ÉTUDE DES CONTRAINTES ET DES DÉFORMATIONS INDUITES THERMIQUEMENT DANS DES TUBES EN MATÉRIAU COMPOSITE

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1 ÉTUDE DES CONTRAINTES ET DES DÉFORMATIONS INDUITES THERMIQUEMENT DANS DES TUBES EN MATÉRIAU COMPOSITE Mémoire Nicolas Verreault Maîtrise en génie mécanique Maître ès sciences (M.Sc.) Québec, Canada Nicolas Verreault, 2015

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3 Résumé Le principal objectif des présents travaux était d étudier le phénomène de torsion thermique dans des tubes en matériau composite, plus précisément en préimprégné de carbone-époxyde. Un modèle d analyse par éléments finis capable de prédire ces déformations a été développé et a démontré l importance d utiliser des éléments en trois dimensions plutôt que des éléments coques dans ce type d application. Une analyse de l influence des paramètres géométriques sur le phénomène de torsion thermique sur différents types de stratifiés a été réalisée. Des tubes échantillons ont été fabriqués et soumis à un changement de température dans une chambre environnementale. Les déformations ont été mesurées à l aide d un système de corrélation d images en trois dimensions et également par l aide de rosettes de déformation. Les résultats obtenus avec les méthodes de mesure sélectionnées ont montré qu il était possible de capturer le phénomène de torsion mais qu il était difficile de le mesurer avec précision. III

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5 Table des matières Résumé... III Table des matières... V Liste des tableaux... IX Listes des figures... XI Remerciements... XV Chapitre 1 Introduction Mise en situation Revue de littérature Objectifs et plan du mémoire... 7 Chapitre 2 Modèle d analyse par éléments finis Résumé du modèle analytique de Rousseau et al Définition de la configuration des tubes et des propriétés du matériau Conditions aux frontières et chargement Choix du type d éléments Éléments coques Éléments 3D solides Résultats d intérêt et raffinement des maillages Résultats d intérêt Raffinement des maillages Résultats finaux et comparaison avec la littérature Déplacements circonférentiels Contraintes Conclusions Chapitre 3 Étude paramétrique Définition de la configuration des tubes et des propriétés du matériau Étude de l orientation des plis Déplacements circonférentiels Contraintes Conclusions Étude du ratio du rayon intérieur sur l épaisseur (r i /t) V

6 3.3.1 Déplacements circonférentiels Contraintes Conclusions Chapitre 4 Aspects expérimentaux Procédé de moulage sous vide et fabrication des tubes Procédé de moulage sous vide Fabrication des tubes Équipements utilisés Chambre environnementale Système de corrélation d images Support de montage Procédure des essais Calibration d Aramis Préparation des échantillons Réalisation des essais de mesure de déformation thermique Traitement des résultats par le système Aramis Interpolation des résultats Création des primitives et positionnement du système de coordonnées Création des primitives pour la prise de mesures Traitements des résultats des rosettes de déformation Chapitre 5 Analyse des résultats Présentation des résultats Déformations axiales Déformations circonférentielles Angle de torsion Conclusions Chapitre 6 Conclusion et recommandations Bibliographie Annexe A. Caractérisation des propriétés du matériau A.1. Propriétés mécaniques A.2. Coefficients d expansion thermique Annexe B. Développement et validation de la méthode de mesure de l angle de torsion 105 VI

7 B.1. Essai de rotation libre B.2. Validation de la méthode de mesure de la rotation Annexe C. Présentation des résultats pour les contraintes induites thermiquement C.1. Contraintes dans la direction des fibres C.2. Contraintes dans la direction transverse C.3. Contraintes dans la direction radiale C.4. Contraintes de cisaillement dans le plan VII

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9 Liste des tableaux Tableau 2.1 : Propriétés du matériau carbone/époxyde T300/ Tableau 2.2 : Géométrie et stratifiés du modèle de Rousseau et al. [8] Tableau 2.3 : Résultats de l étude de convergence du maillage avec des éléments S4R pour le stratifié Tableau 2.4 : Résultats de l étude de convergence du maillage avec des éléments S8R pour le stratifié Tableau 2.5 : Résultats de l étude de convergence du maillage avec des éléments C3D20R pour le stratifié Tableau 3.1 : Paramètres géométriques du modèle Tableau 3.2 : Propriétés du matériau RS-1/Panex Tableau 4.1 : Dimensions et séquence de plis des tubes Tableau A.1 : Propriétés mécanique du RS-1/Panex 33 [10] Tableau A.2 : Dimensions des éprouvettes testées Tableau A.3 : Modules de rigidité expérimentaux et théorique Tableau A.4 : Déformations thermiques mesurées sur une plaque unidirectionnelle IX

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11 Listes des figures Figure 1.1 : Différence de positions radiales des couches d un stratifié... 3 Figure 2.1 : Conditions aux frontières du modèle Figure 2.2 : Notation utilisée pour les éléments de type coque dans ABAQUS Figure 2.3 : Élément de type S8R Figure 2.4 : Maillage préliminaire pour les modèles avec des éléments coques Figure 2.5 : Nomenclature pour les éléments solides de type brique Figure 2.6 : Élément de type C3D20R Figure 2.7 : Maillage préliminaire pour le modèle avec des éléments solides C3D20R Figure 2.8 : Identification des variables pour le calcul de l angle de torsion normalisé.. 20 Figure 2.9 : Maillages sélectionnés pour les modèles coques Figure 2.10 : Maillage du modèle pour les stratifiés 1 et 2 en éléments C3D20R Figure 2.11 : Prédictions de la torsion thermique en fonction du changement de température appliqué ΔT pour le stratifié Figure 2.12 : Prédictions de la torsion thermique en fonction du changement de température appliqué ΔT pour le stratifié Figure 2.13 : Prédictions des contraintes dans la direction des fibres à travers l épaisseur du tube pour le stratifié 1 et un changement de température de -334 C Figure 2.14 : Prédictions des contraintes dans la direction transverse aux fibres à travers l épaisseur du tube pour le stratifié 1 et un changement de température de -334 C Figure 2.15 : Prédictions des contraintes de cisaillement dans le plan 1-2 à travers l épaisseur du tube pour le stratifié 1 et un changement de température de -334 C Figure 2.16 : Prédictions des contraintes radiales à travers l épaisseur du tube pour le stratifié 1 et un changement de température de -334 C Figure 2.17 : Prédictions des contraintes dans la direction des fibres à travers l épaisseur du tube pour le stratifié 2 et un changement de température de -334 C Figure 2.18 : Prédictions des contraintes dans la direction transverse aux fibres à travers l épaisseur du tube pour le stratifié 2 et un changement de température de -334 C Figure 2.19 : Prédictions des contraintes de cisaillement dans le plan 1-2 à travers l épaisseur du tube pour le stratifié 2 et un changement de température de -334 C Figure 2.20 : Prédictions des contraintes radiales à travers l épaisseur du tube pour le stratifié 2 et un changement de température de -334 C Figure 3.1 : Prédictions de la torsion thermique du stratifié de type 1 d épaisseur variable en fonction de l angle d orientation des plis hors axe Figure 3.2 : Prédictions de la torsion thermique du stratifié type 2 d épaisseur variable en fonction de l angle d orientation des plis hors axe Figure 3.3 : Évolution de la contrainte dans la direction des fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l angle d orientation des plis hors axe d un tube stratifié de type XI

12 XII Figure 3.4 : Évolution de la contrainte dans la direction transverse aux fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l angle d orientation des plis hors axe d un tube stratifié de type Figure 3.5 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan 1-2 dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l angle d orientation des plis hors axe d un tube stratifié de type Figure 3.6 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan θ-z dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l angle d orientation des plis hors axe d un tube stratifié de type Figure 3.7 : Évolution de la contrainte dans la direction des fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l angle d orientation des plis hors axe d un tube stratifié de type Figure 3.8 : Évolution de la contrainte dans la direction transverse aux fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l angle d orientation des plis hors axe d un tube stratifié de type Figure 3.9 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan 1-2 dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l angle d orientation des plis hors axe d un tube stratifié de type Figure 3.10 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan θ-z dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l angle d orientation des plis hors axe d un tube stratifié de type Figure 3.11 : Prédictions de la torsion thermique en fonction du rayon intérieur et de l épaisseur du tube pour un stratifié de type 1 [ -75 / -75 / 0 n / 75 / 75 ] et un changement de température de 100 C Figure 3.12 : Prédictions de la torsion thermique en fonction du rayon intérieur et de l épaisseur du tube pour un stratifié de type 2 [ -75 n / 0 2n / 75 n ] et un changement de température de 100 C Figure 3.13 : Évolution de la contrainte dans la direction des fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio r i /t d un stratifié de type Figure 3.14 : Évolution de la contrainte dans la direction transverse aux fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio r i /t d un stratifié de type Figure 3.15 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan 1-2 dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio r i /t d un stratifié de type Figure 3.16 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan θ-z dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio r i /t d un stratifié de type Figure 3.17 : Évolution de la contrainte dans la direction des fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio r i /t d un stratifié de type Figure 3.18 : Évolution de la contrainte dans la direction transverse aux fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio r i /t d un stratifié de type Figure 3.19 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan 1-2 dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio r i /t d un stratifié de type Figure 3.20 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan θ-z dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio r i /t d un stratifié de type Figure 4.1 : Tubes fabriqués... 57

13 Figure 4.2 : Chambre environnementale avec le système Aramis Figure 4.3 : Paramètres de calibration et composantes du système Aramis [9] Figure 4.4 : Exemple de trame stochastique Figure 4.5 : Support de montage des essais expérimentaux Figure 4.6 : Positionnement des rosettes de déformations et des thermocouples Figure 4.7 : Trame stochastique peinte sur l un des échantillons testés Figure 4.8 : Comparaison de la surface générée avant et après interpolation Figure 4.9 : Primitive cylindrique Figure 4.10 : Création du cercle à l encastrement Figure 4.11 : Création du cercle à l extrémité libre Figure 4.12 : Création de la primitive plan Figure 4.13 : Élimination des mouvements de corps rigide Figure 4.14 : Positionnement du système de coordonnées Figure 4.15 : Création de la primitive ligne servant à la mesure de la déformation axiale74 Figure 4.16 : Création de la primitive ligne pour la mesure de la torsion thermique Figure 4.17 : Création de l angle de mesure de rotation Figure 4.19 : Orientation des jauges d une rosette rectangulaire Figure 5.1 : Comparaison des déformations axiales théoriques et expérimentales du tube Figure 5.2 : Comparaison des déformations axiales théoriques et expérimentales du tube Figure 5.3 : Comparaison des déformations axiales théoriques et expérimentales du tube Figure 5.4 : Comparaison des déformations circonférentielles théoriques et expérimentales du tube Figure 5.5 : Comparaison des déformations circonférentielles théoriques et expérimentales du tube Figure 5.6 : Comparaison des déformations circonférentielles théoriques et expérimentales du tube Figure 5.7 : Comparaison des déformations en torsion théoriques et expérimentales du tube Figure 5.8 : Comparaison des déformations en torsion théoriques et expérimentales du tube Figure 5.9 : Comparaison des déformations en torsion théoriques et expérimentales du tube Figure A.1 : Contraintes axiales en fonction des déformations (Éprouvette 1) Figure A.2 : Déformations thermiques dans la direction des fibres (ε 1 ) en fonction de ΔT Figure A.3 : Déformations thermiques dans la direction transverse (ε 2 ) en fonction de ΔT Figure A.4 : Déformations thermiques d'un échantillon quasi-isotrope en fonction de ΔT Figure B.1 : Montage de l essai de rotation libre Figure B.2 : Primitive plan utilisée pour la mesure de la rotation XIII

14 XIV Figure B.3 : Angle de rotation mesuré Figure B.4 : Mesures de rotation réelles et mesurées de l essai de rotation libre Figure C.1 : Prédictions des contraintes dans la direction des fibres à travers l épaisseur du tube 1 pour un changement de température de 60 C Figure C.2 : Prédictions des contraintes dans la direction des fibres à travers l épaisseur du tube 2 pour un changement de température de 60 C Figure C.3 : Prédictions des contraintes dans la direction des fibres à travers l épaisseur du tube 3 pour un changement de température de 60 C Figure C.4 : Prédictions des contraintes dans la direction transverse aux fibres à travers l épaisseur du tube 1 pour un changement de température de 60 C Figure C.5 : Prédictions des contraintes transverses à travers l épaisseur du tube 2 pour un changement de température de 60 C Figure C.6 : Prédictions des contraintes transverses à travers l épaisseur du tube 3 pour un changement de température de 60 C Figure C.7 : Prédictions des contraintes radiales à travers l épaisseur du tube 1 pour un changement de température de 60 C Figure C.8 : Prédictions des contraintes radiales à travers l épaisseur du tube 2 pour un changement de température de 60 C Figure C.9 : Prédictions des contraintes radiales à travers l épaisseur du tube 3 pour un changement de température de 60 C Figure C.10 : Prédictions des contraintes de cisaillement dans le plan 1-2 à travers l épaisseur du tube 1 pour un changement de température de 60 C Figure C.11 : Prédictions des contraintes de cisaillement dans le plan 1-2 à travers l épaisseur du tube 2 pour un changement de température de 60 C Figure C.12 : Prédictions des contraintes de cisaillement dans le plan 1-2 à travers l épaisseur du tube 3 pour un changement de température de 60 C

15 Remerciements Je tiens premièrement à remercier Mme Marie-Laure Dano pour avoir dirigé les travaux de la présente recherche. Ce fut long et ardu, entrecoupé d une longue pause, mais nous en voyons finalement l accomplissement. Je veux également remercier ma copine Joëlle, qui m a épaulé et donné la motivation nécessaire lorsqu elle était chancelante durant les derniers milles. J aimerais également remercier toute l équipe du département de génie mécanique pour l aide qu elle m a fournie durant les dernières années. Finalement, j aimerais remercier l Agence Spatiale Canadienne pour avoir gracieusement fourni le support à tube utilisé pour les essais expérimentaux. XV

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17 Chapitre 1 Introduction 1.1 Mise en situation L utilisation des matériaux composites de type stratifié a connu une croissance remarquable au cours des dernières années. La principale raison de cette croissance est que les matériaux composites offrent beaucoup d avantages avec lesquels les matériaux compétiteurs, tels l acier et l aluminium, ne peuvent rivaliser. Entres autres, les matériaux composites de type stratifié sont inoxydables et ils se comportent bien en fatigue. Toutefois, la caractéristique les rendant si attrayants est leur rapport résistance/masse volumique très élevé. En effet, dans plusieurs domaines d ingénierie où la masse est un facteur à minimiser sans concéder de résistance, les matériaux composites sont tout désignés pour remplacer peu à peu les matériaux métalliques conventionnels. L un de ces domaines est l aérospatial, où la légèreté des matériaux peut faire économiser beaucoup, étant donné les coûts de mise en orbite des satellites, sondes et autres appareils. Les matériaux composites de type stratifié sont un alliage de deux constituants remplissant chacun des rôles très spécifiques : la matrice et le renfort. La matrice est un milieu continu dont le rôle est de protéger et transmettre la charge au renfort, un milieu discontinu à l intérieur de la matrice. La matrice peut être de différents types : polymérique, métallique, céramique ou en carbone. Le renfort est composé de fibres ou de particules de matière aux propriétés mécaniques élevées, tel le carbone, le verre, le kevlar et la céramique. Le matériau à l étude dans le présent travail de recherche est un composite stratifié constitué de fibres longues de carbone pré imprégnées d une matrice polymérique époxyde. Le terme stratifié implique que le matériau est composé de plusieurs couches de fibres orientées dans différentes directions et liées ensemble par la matrice. Les termes les plus utilisés pour qualifier les stratifiés sont symétrique et équilibré. Un stratifié symétrique signifie que les 1

18 couches de part et d autres du plan moyen du stratifié sont symétriques, tandis qu équilibré signifie que pour chaque couche d orientation définie, une autre couche possède une orientation opposée. Il est possible pour un stratifié d être à la fois symétrique et équilibré. L utilisation première des matériaux composites dans le domaine de l aérospatial est de nature structurelle, servant par exemple de support pour les antennes et satellites. Dans ce type d application, la rigidité structurelle est bien entendu très importante, mais la stabilité thermique l est tout autant, puisque les écarts de température dans l espace sont très importants. Un des types de poutre fréquemment utilisé est tubulaire à section circulaire en raison de leur bonne résistance au flambage et à la traction ainsi qu à leur procédé de fabrication relativement simple comparé à d autres types de poutres. La majorité des couches du stratifié ont les fibres orientées axialement, donnant au tube la rigidité axiale voulue, et quelques couches ont leurs fibres légèrement désaxées à ±θ, assurant ainsi une certaine solidité circonférentielle. Cependant, un problème découle d une telle configuration : sous chargement thermique, des contraintes sont générées dans les couches du stratifié. Des contraintes de cisaillement se développent notamment dans les couches orientées à ±θ. Dans le cas de stratifiés symétriques, équilibrés et plans, ces contraintes de cisaillement, étant de même grandeur et de direction opposée, s équilibrent et ne causent pas de déformations en cisaillement. Par contre, dans le cas d un tube, malgré le fait que les contraintes résiduelles soient toujours égales et de direction opposée, les couches orientées à ±θ n occupent pas la même position radiale par rapport au centre du tube. Cette particularité fait que, bien que l équilibre des forces soit conservé, celui des moments autour du centre du tube ne l est pas, puisque les bras de levier des forces ne sont pas égaux. Une torsion thermique est ainsi induite dans le tube. Les stratifiés symétriques et équilibrés sont beaucoup moins enclins à la torsion thermique, puisque la différence entre les rayons moyens des plis inverses est beaucoup plus petite que pour les stratifiés non symétriques et équilibrés, donc le moment de torsion généré est beaucoup plus faible. Ce phénomène est démontré à la Figure 1.1 avec un stratifié 2

19 non-symétrique et équilibré de type [-θ / -θ / 0x / θ / θ ]. Comme on le voit sur la figure, la paroi du tube est constituée d un empilement de deux plis orientés à -θ, plusieurs plis à 0 par rapport à l axe Z, et deux plis à +θ. Les deux plis situés sur le rayon intérieur du tube, orientés à -θ, créent un couple de torsion inférieur à celui des deux plis au rayon externe, orientés à θ, en raison de la différence de rayon. Cette différence de couple se traduit en déformation en cisaillement du tube et génère ce que l on appelle de la torsion thermique. Figure 1.1 : Différence de positions radiales des couches d un stratifié 3

20 Cette torsion thermique peut être préjudiciable à la résistance et à la tenue en fatigue du tube. En effet, les tubes utilisés comme support dans la structure d un satellite sont habituellement retenus à leurs deux extrémités, empêchant ainsi les déplacements et créant des contraintes de cisaillement à travers la paroi du tube. Les déformations engendrées par la torsion thermique étant très petites, les contraintes subies par le tube sont également faibles, mais la résistance limitée du stratifié en cisaillement et la combinaison possible avec d autres chargements peuvent créer un état de contraintes risquant de causer de l endommagement. De plus, un phénomène de fatigue thermique sera observé si le tube est soumis à un changement de température cyclique, comme le sont souvent les satellites ou sondes en orbite. 1.2 Revue de littérature Au cours des vingt dernières années, plusieurs travaux de recherche ont été réalisés sur les déformations thermiques dans les tubes de matériaux composites ainsi que les contraintes qu elles engendrent. Cependant, peu de chercheurs se sont penchés sur le phénomène de la torsion thermique dans les tubes de matériaux composites. Whitney [1] a montré dans ses travaux théoriques que, sous chargement thermique, la valeur élevée du coefficient d expansion thermique à travers l épaisseur a un effet sur le calcul des contraintes. Cet effet devient très important pour les tubes à paroi épaisse (ratio rayon intérieur sur l épaisseur inférieur à 10). Il propose de modifier la théorie classique des coques pour tenir compte des déformations normales transverses. Whitney n a toutefois pas étudié le phénomène de torsion thermique. Rousseau et al. [8], ainsi que Hyer et al. [2] ont observé expérimentalement que, contrairement à ce qu avance la théorie classique des stratifiés, les tubes en matériaux composites symétriques et équilibrés se déforment en torsion lorsque soumis à un changement de température. Ce phénomène est dû aux positions radiales différentes des plis hors-axe. Ils ont alors développé une analyse élastique prenant en compte les trois dimensions prédisant ce comportement dans les tubes épais. Le modèle étudie également l influence de l utilisation des propriétés du 4

21 matériau dépendantes ou indépendantes de la température sur les résultats. Ils ont démontré que les propriétés étaient effectivement dépendantes de la température. Cependant, l influence sur les résultats de torsion n est observée que pour des températures très basses, de l ordre de -50 C. Tutuncu et Winckler [3] ont montré dans leurs travaux théoriques qu il est possible de créer de la torsion thermique dans des tubes en matériaux composites à section non-circulaire en utilisant des stratifiés hybrides constitués de couches en kevlar/époxyde et en verre/époxyde. Ils ont aussi montré que modifier l épaisseur du tube ne changeait pas la magnitude de la torsion thermique induite. Ils ont également démontré, dans un autre article [4], en utilisant un modèle d élasticité linéaire, que pour un tube composé de plis unidirectionnels, l angle maximisant la torsion thermique est de 45 degrés pour les tubes minces, comme le prédit la théorie classique des stratifiés. Par contre, dans le cas des tubes épais, cet angle dépend de l épaisseur et du rayon moyen du tube. Milburn [5] s est basé sur les résultats de Tutuncu et Winckler et a développé un modèle analytique simple pour prédire la torsion thermique dans des tubes stratifiés. Il l a utilisé pour étudier la possibilité de concevoir des tubes qui ne génèrent pas de torsion thermique. Ses résultats ont démontré qu en modifiant l angle de certains plis du stratifié, il était possible d équilibrer les forces d expansion thermique et ainsi obtenir un tube ayant une torsion thermique pratiquement nulle. Kaddour et al. [6] ont également observé physiquement le phénomène de torsion thermique dans leur étude des contraintes résiduelles induites lors de la mise en œuvre de tubes verre/époxyde. Ces contraintes sont évaluées expérimentalement en mesurant le changement de géométrie quand les tubes sont coupés le long de leur axe longitudinal. Ces mesures mettent également en évidence le phénomène de torsion thermique. En ce qui a trait aux éléments finis, Holstein et al. [7] ont montré que des éléments en trois dimensions étaient plus appropriés pour la modélisation des tubes épais, et que les éléments coques ne devraient être utilisés qu avec des tubes minces. Plusieurs méthodes de mesures expérimentales ont été utilisées dans les différents travaux afin de mesurer les distorsions induites thermiquement dans les tubes en 5

22 matériau composite. Hyer et al. [2] ont utilisé une méthode consistant à induire un changement de température aux tubes à l aide d une chambre environnementale. La torsion thermique a été déterminée en fixant des bras radiaux au tube et en mesurant les déplacements tangentiels à l extrémité des bras à l aide de capteurs de déplacement linéaire et de jauges de déformations. Finalement, Milburn [5] a utilisé un système de corrélation d images en trois dimensions appelé ARAMIS. Le système permet, à l aide de deux caméras, de mesurer des déplacements sans contact sur des échantillons et propose un système d analyse des résultats. Cependant, les essais de Milburn ont mesuré la torsion thermique induite par un changement de température à seulement deux températures. Le nombre limité de mesures ne permet pas de bien évaluer la précision de la méthode de mesure. La méthode de corrélation d image sera également employée dans les présents travaux, mais la torsion thermique induite par un changement de température sera mesurée en plusieurs incréments afin de pouvoir juger de l aptitude de mesure de cette méthode. Les travaux présentés dans cette revue de littérature montrent que les effets thermiques à travers l épaisseur doivent être pris en compte dans le calcul des contraintes pour les tubes épais (ri/t inférieur à 10). Pour les tubes minces, il semble que ces effets diminuent et que la théorie classique des coques soit suffisante. Au niveau expérimental, la méthode de corrélation d images en trois dimensions semble prometteuse pour évaluer la torsion mais doit être validée. 6

23 1.3 Objectifs et plan du mémoire Les objectifs des présents travaux sont les suivants : Étudier le phénomène de torsion thermique dans les tubes en matériau composite, plus spécifiquement de pré-imprégné carbone-époxyde. Développer un modèle par éléments finis prédisant avec précision les déplacements et déformations induits par un changement thermique dans les tubes en matériau composite. Étudier l influence des paramètres géométriques du tube sur la torsion thermique. Déterminer la possibilité de mesurer le phénomène de torsion thermique à l aide d un système de corrélation d image. Le Chapitre 2 sera consacré à l élaboration du modèle par éléments finis. La géométrie, les propriétés mécaniques, les conditions aux frontières et le type de chargement appliqués, le type d éléments choisis, le type d analyse effectuée ainsi que les résultats étudiés y seront expliqués en détail. Une comparaison des résultats du modèle avec ceux de la littérature permettra également de choisir le type d éléments le plus approprié pour cette application. Ensuite, les résultats d une étude paramétrique permettant d étudier l influence de différents paramètres sur la torsion thermique seront présentés au Chapitre 3. Les paramètres étudiés sont : l épaisseur du tube, le rayon de courbure ainsi que l orientation des fibres par rapport à l axe longitudinal du tube. Le Chapitre 4 couvrira les aspects expérimentaux du projet. Une brève revue du procédé général de moulage sous vide des matériaux composites ainsi que les étapes de fabrication des échantillons testés seront présentés. Les problèmes rencontrés et les solutions apportées seront discutés. De plus, l équipement utilisé, la méthode de prise de mesures, une brève explication du principe de corrélation d images ainsi qu une description du système ARAMIS et de la chambre environnementale utilisées seront présentés. Le Chapitre 5 présentera les résultats expérimentaux ainsi que la comparaison de ceux-ci avec les résultats du modèle d éléments finis. L analyse de ces résultats sera aussi couverte dans ce chapitre. Finalement, une conclusion et des recommandations seront présentées au Chapitre 6. 7

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25 Chapitre 2 Modèle d analyse par éléments finis Afin d étudier le comportement mécanique de tubes soumis à un chargement thermique, un modèle de prédiction est conçu avec la méthode d analyse par éléments finis. Ce chapitre explique le processus de création de ce modèle développé à l aide du logiciel ABAQUS. Afin de valider le modèle, les prédictions sont comparées aux résultats obtenus par Rousseau et al. [8] qui ont développé un modèle d analyse élastique en trois dimensions pour prédire le comportement de tubes en matériau composite sous chargement thermique et mécanique. 2.1 Résumé du modèle analytique de Rousseau et al. Le modèle analytique proposé par Rousseau et al. [8] utilise la théorie de l élasticité plane. Comme les cylindres étudiés ont un ratio rayon sur épaisseur plus petit que 10, le modèle tient compte des effets d expansion thermique dans l épaisseur. Le modèle est développé dans un système de coordonnées polaires. Le modèle définit, pour chaque couche, les équations gouvernant les déplacements (et donc les déformations et contraintes) en fonction des propriétés du matériau et de constantes d intégration. Pour ce faire, Rousseau et al. définissent d abord les relations déplacements-déformations, les équations d équilibre ainsi que les équations de compatibilité, qui peuvent ensuite être simplifiées en posant certaines hypothèses. En effet, puisque le problème est axisymétrique, aucune composante de déplacement ne dépend de la coordonnée circonférentielle θ. De plus, les contraintes et déformations loin des bouts du tube sont supposées uniformes et donc indépendantes de la coordonnée Z. Après la simplification des équations, l expression des trois composantes de déplacement (u, v et w) peut donc être obtenue à partir de ce système d équations. Ces expressions de déplacements comportent plusieurs constantes d intégration inconnues. 9

26 Afin de déterminer la valeur de ces inconnues, les conditions aux frontières sont appliquées afin de fournir les équations nécessaires à la résolution du système d équations. Les premières conditions aux frontières sont les états de contraintes aux parois internes et externes du tube, qui sont égales à zéro. Ensuite, les règles de continuité des contraintes et des déplacements entre les couches sont appliquées. Finalement, Rousseau et al. imposent que la force axiale et le couple de torsion appliqués au tube sont égales à zéro. Les équations obtenues sont utilisées pour déterminer les valeurs des contraintes et des déformations pour des tubes ayant différentes séquences de plis soumis à un changement de température. L influence de tenir compte ou pas de la dépendance des propriétés des matériaux à la température est étudiée. 2.2 Définition de la configuration des tubes et des propriétés du matériau La géométrie, les propriétés du matériau et les stratifiés utilisés sont les mêmes que dans les travaux de Rousseau et al. [8]. Cependant, il faut noter que les propriétés du matériau ont été supposées indépendantes de la température dans les présents travaux. Cette hypothèse est basée sur les résultats du modèle analytique de Rousseau et al. [8]. Ils montrent en effet que la torsion thermique prédite en utilisant des propriétés dépendantes de la température est sensiblement la même celle prédite en utilisant des propriétés constantes dans un intervalle allant d approximativement -70 C à 180 C. Le matériau carbone-époxyde utilisé est du T300/934, dont les propriétés mécaniques sont présentées dans le Tableau

27 Tableau 2.1 : Propriétés du matériau carbone/époxyde T300/934 E 1 (GPa) 130 E 2 (GPa) 9,52 E 3 (GPa) 8,55 ν 12 0,31 ν 13 0,31 ν 23 0,49 G 12 (GPa) 4,76 G 13 (GPa) 4,76 G 23 (GPa) 3,2 α 1 (/ C) 0 α 2 (/ C) 1, α 3 (/ C) 1, Les dimensions importantes à respecter par rapport aux travaux de Rousseau et al. [8] sont le rayon intérieur et l épaisseur du tube. La longueur peut être modifiée, puisque les résultats pour la rotation sont normalisés en unité de rotation par unité de longueur [rad/mm], et ne tiennent donc pas compte de la longueur. Ainsi, une longueur de 50 mm sera utilisée dans le modèle. Les tubes étudiés dans [8] sont considérés comme minces, puisque leur ratio ri/t est d une valeur de 14, donc supérieure à la valeur limite de 10 [4]. Les dimensions ainsi que l empilement de plis des tubes sont présentés au Tableau 2.2. L empilement des stratifiés est donné à partir du rayon intérieur vers le rayon extérieur (voir Erreur! Source du renvoi ntrouvable.). L ordre de grandeur des déformations dues à la torsion thermique dans les deux types de stratifiés est différent. En effet, la torsion dans le stratifié de type 1 est plus importante, ce qui a été vérifié expérimentalement par Rousseau et al. à l aide de rosettes de déformations et de transducteurs de déplacement. 11

28 Tableau 2.2 : Géométrie et stratifiés du modèle de Rousseau et al. [8] Longueur (mm) 50 Rayon intérieur (mm) 25,4 Épaisseur (mm) 1,778 Stratifié 1 Stratifié 2 [ / 0 10 / 20 2 ] T [ -20 / 20 / 0 10 / 20 / -20 ] T Deux types d éléments seront utilisés pour modéliser le problème : des éléments coques et des éléments solides. Dans le cas des éléments coques, seule la surface au rayon moyen du tube est modélisée, et les propriétés de section (l épaisseur et l empilement des plis) lui sont attribuées. En ce qui concerne les éléments solides, le tube est modélisé en trois dimensions selon les dimensions indiquées dans le Tableau 2.2 et les propriétés de section sont attribuées en fonction du nombre d éléments à travers l épaisseur et du stratifié à modéliser. Si plusieurs éléments sont modélisés à travers l épaisseur, l empilement de plis devra être divisé également parmi les éléments. 2.3 Conditions aux frontières et chargement Dans le logiciel d analyse par éléments finis ABAQUS, les conditions aux frontières sont appliquées sur la géométrie et non sur le maillage. Dans le cas présent, afin d étudier le comportement du tube sous chargement thermique, il suffit d empêcher la rotation d une des extrémités du tube autour de l axe Z tout en laissant l autre extrémité libre. Pour ce faire, les déplacements circonférentiels et axiaux seront bloqués à la position Z=0. Les déplacements radiaux sont laissés libres afin de permettre l expansion radiale. La Figure 2.1 montre, à titre d exemple, les conditions aux frontières appliquées sur un modèle coque. Le chargement appliqué, quant à lui, est tout simplement un changement de température uniforme dans tout le tube. 12

29 R Z Z=0 Z=L Libre U z = 0 Figure 2.1 : Conditions aux frontières du modèle 2.4 Choix du type d éléments Il existe plusieurs types d éléments dans ABAQUS, certains sont d usage général, et d autres d usage plus spécifique. Ainsi, il est important de bien choisir un type d éléments approprié pour l application étudiée, sans quoi les résultats obtenus peuvent être erronés. Dans le cas présent, l étude porte sur des tubes minces et épais soumis à un changement de température. Avec la méthode des éléments finis, les tubes sont généralement modélisés soit en éléments coques ou soit en éléments solides Éléments coques Les éléments coques, comme leur nom l indique, sont désignés spécialement pour les applications comportant des coques ou des pièces à paroi mince. Les éléments étudiés dans le cadre des présents travaux sont les suivants : S4R, S4R5, S8R et S8R5. La signification de la notation utilisée dans ABAQUS est illustrée sur la Figure

30 Figure 2.2 : Notation utilisée pour les éléments de type coque dans ABAQUS L élément S4R5 est donc un élément coque à quatre nœuds à intégration réduite et a cinq degrés de liberté par nœud. Les éléments S4R et S8R sont tous deux à intégration réduite, possèdent respectivement quatre et huit nœuds et ont six degrés de liberté par nœud : trois translations et trois rotations selon X, Y et Z en repère cartésien ou R, θ et Z en repère cylindrique. La Figure 2.3 illustre un élément de type S8R. Les nœuds sont numérotés selon la connectivité de l élément. De plus, les degrés de liberté des nœuds sont illustrés. Les points d intégration sont identifiés par les astérisques. Les éléments S4R5 et S8R5 ont les mêmes degrés de liberté que ceux illustrés sur la Figure 2.3 excepté la rotation selon Z. Contrairement aux éléments S8R et S8R5, les éléments S4R et S4R5 ne comptent que quatre nœuds, un à chaque coin. 14

31 8 4 * u u 3 z x u 2 u 1 u 4 y u 5 * 5 Figure 2.3 : Élément de type S8R 2 * 2 6 * Les éléments S4R et S8R sont plus appropriés pour modéliser les coques épaisses, puisqu ils tiennent compte des déformations de cisaillement transverse. Les éléments S4R5 et S8R5 sont utilisés en général pour les applications de coques minces, pour lesquelles le cisaillement transverse est négligeable. Dans tous les cas, les contraintes et les déformations normales à travers l épaisseur sont négligées. La différence principale entre les éléments coques à quatre et huit nœuds est dans le type d interpolation utilisé lors de la résolution du modèle : les éléments à quatre nœuds utilisent une interpolation linéaire et ceux à huit nœuds utilisent une interpolation quadratique. Les éléments à huit nœuds donnent donc généralement une meilleure approximation de la solution. La Figure 2.4 illustre le maillage préliminaire utilisé pour les éléments coques. Une étude de convergence sur le maillage sera effectuée à la section

32 Figure 2.4 : Maillage préliminaire pour les modèles avec des éléments coques Éléments 3D solides Il existe beaucoup d éléments solides en trois dimensions convenant à différentes applications. Pour une application telle que l analyse linéaire de déplacementscontraintes, comme dans le cas présent, un élément recommandé est l élément brique C3D20R. La nomenclature de cet élément est illustrée sur la Figure

33 Figure 2.5 : Nomenclature pour les éléments solides de type brique L élément de type C3D20R, illustré à la Figure 2.6, est donc constitué de 20 nœuds, dont chacun a trois degrés de liberté, étant les trois translations dans les directions X, Y et Z. L intégration réduite permet de n avoir que huit points d intégration au lieu de 27, ce qui réduit grandement le temps de calcul. Le type d interpolation entre les nœuds d une même arête utilisé pour cet élément est quadratique. Ce type d élément permet de tenir compte des contraintes et des déformations normales dan l épaisseur. 17

34 u 3 1 z y u x u 1 2 Figure 2.6 : Élément de type C3D20R En utilisant ce type d élément, le tube peut être modélisé avec un ou plusieurs éléments à travers l épaisseur. Le maillage préliminaire, avec un seul élément à travers l épaisseur, est illustré à la Figure 2.7. Une étude de convergence sur le maillage sera effectuée dans la section suivante. 18

35 Figure 2.7 : Maillage préliminaire pour le modèle avec des éléments solides C3D20R 2.5 Résultats d intérêt et raffinement des maillages Résultats d intérêt ABAQUS permet l étude de plusieurs variables résultant d une analyse de chargement thermique, dont les déplacements, les déformations, les contraintes, les forces résultantes et plusieurs autres. La principale variable d intérêt dans le cas présent est la composante circonférentielle du vecteur de déplacement, qui représente la torsion thermique subie par le tube. Ce déplacement peut être affiché lors du traitement de données dans ABAQUS/CAE, selon le système de coordonnées cylindriques utilisé dans les présents travaux. Cependant, afin de comparer les résultats de la méthode par éléments finis aux résultats obtenus analytiquement par Rousseau et al. [8], quelques opérations doivent être réalisées 19

36 sur la valeur de déplacement calculée par ABAQUS. En effet, la valeur calculée par ABAQUS est simplement le déplacement circonférentiel en millimètre, tandis que les résultats de Rousseau et al. [8] sont donnés en angle de torsion par unité de longueur [rad/mm]. La transformation à effectuer est donnée par: Uθ[mm] θ [ rad ] = re[mm] mm l[mm] (2.1) où θ représente l angle de torsion normalisé par la longueur, U θ est le déplacement circonférentiel déterminé à une distance l, r e est le rayon extérieur, où le déplacement est déterminé et l correspond à la distance dans la direction Z entre le point où le déplacement est obtenu et l encastrement. Les paramètres sont identifiés à la Figure 2.8. p r i r e U p l Z Figure 2.8 : Identification des variables pour le calcul de l angle de torsion normalisé À des fins de design, les contraintes engendrées par le changement de température sont également étudiées. Les composantes du champ de contraintes étudiées sont 20

37 celles dans la direction des fibres, σ1, dans la direction transverse aux fibres, σ2, dans la direction radiale, σ3, ainsi que la contrainte de cisaillement dans le plan 1-2, τ12. Les contraintes sont uniformes sur toute la longueur du cylindre, sauf au niveau de l extrémité libre du tube (effet de bord libre). Elles seront donc observées dans un élément situé loin des extrémités du tube. De plus, dû à l axisymétrie du tube, les contraintes sont indépendantes de θ Raffinement des maillages Afin d obtenir un bon compromis entre la précision des résultats et le temps de calcul pour une analyse, une étude de convergence est effectuée pour chaque type d élément. L étude de convergence est faite sur la variable primaire qu est le déplacement circonférentiel. Elle consiste à raffiner le maillage progressivement et calculer l erreur, en pourcentage, entre les valeurs du déplacement prédit d un maillage à l autre. Généralement, lorsque le modèle est bon, l erreur diminue à chaque raffinement, démontrant ainsi la convergence de l approximation. Lorsque l erreur atteint un seuil appelé le critère de convergence, le maillage est jugé adéquat. Étant donné les temps de calcul faibles de cette analyse, un critère de convergence relativement sévère de 1% est utilisé afin d obtenir des résultats plus précis. Les études de convergence ont été effectuée avec le stratifié 1 [ -202 / 010 / 202 ]T et pour un changement de température uniforme de 334 C Maillage d éléments coques Dans le modèle avec éléments coques, la pièce est maillée en spécifiant le nombre d éléments souhaité selon la circonférence et selon la longueur du tube. Puisque ce sont des éléments coques, par défaut il n y a qu un seul élément à travers l épaisseur. Le maillage peut donc être raffiné en augmentant le nombre d éléments dans ces deux directions. Chaque raffinement de maillage quadruple le nombre d éléments du modèle. Le Tableau 2.3 présente les résultats de l étude de convergence pour le maillage avec des éléments S4R et le Tableau 2.4 présente 21

38 celle pour le maillage avec des éléments S8R. Les maillages des éléments de type S4R5 et S8R5 utilisés seront identiques à ceux utilisés pour les S4R et S8R respectivement. Tableau 2.3 : Résultats de l étude de convergence du maillage avec des éléments S4R pour le stratifié 1 Nbre éléments Nbre éléments Nbre éléments Torsion thermique % erreur circonférence longueur total [µrad/mm] absolu ,657 N/D ,5066 5, ,4953 0, ,4922 0,124 Tableau 2.4 : Résultats de l étude de convergence du maillage avec des éléments S8R pour le stratifié 1 Nbre éléments Nbre éléments Nbre éléments Torsion thermique % erreur circonférence longueur total [µrad/mm] absolu ,5034 N/D ,5141 0, ,515 0,036 Les résultats de l étude montre qu avec les éléments S4R, deux raffinements sont nécessaires afin d obtenir la convergence, tandis qu un seul raffinement est nécessaire pour les éléments S8R. De plus, le maillage convergé des éléments S4R comporte quatre fois plus d éléments que celui des éléments S8R. Les maillages sélectionnés pour les analyses subséquentes sont indiqués en italique dans les tableaux et présentés à la Figure

39 Figure 2.9 : Maillages sélectionnés pour les modèles coques Maillage d éléments solides Le modèle en éléments C3D20R est maillé de la même façon que pour les éléments coques, mais avec la possibilité d avoir plusieurs éléments à travers l épaisseur. Le raffinement du maillage se fera donc en deux étapes. La première est identique aux éléments coques, c est-à-dire qu elle consiste à quadrupler le nombre d éléments et observer l influence sur la précision des résultats. Lorsque la convergence est atteinte, l influence du nombre d éléments à travers l épaisseur totale est ensuite observée. Le Tableau 2.5 montre les résultats de cette étude. Tableau 2.5 : Résultats de l étude de convergence du maillage avec des éléments C3D20R pour le stratifié 1 Nbre éléments circonférence Nbre éléments longueur Nbre éléments épaisseur Nbre éléments total Torsion thermique [µrad/mm] % erreur absolu ,5537 N/D ,2325 9, ,2297 0, ,2242 0, ,2312 0, ,2305 0,021 23

40 Les résultats montrent qu en ce qui concerne la prédiction de la torsion thermique, le nombre d éléments à travers l épaisseur importe peu, car l erreur entre les résultats des modèles à un élément et ceux à plusieurs éléments est très faible. Cependant, l étude des contraintes radiales a montré que le tube doit être modélisé avec sept éléments à travers l épaisseur afin d obtenir des résultats précis. Ce phénomène sera discuté plus en détails dans la section Le maillage de 48 éléments sur la circonférence, 20 éléments sur la longueur et sept éléments dans l épaisseur sera donc utilisé pour les deux stratifiés. La Figure 2.10 illustre ce maillage. Figure 2.10 : Maillage du modèle pour les stratifiés 1 et 2 en éléments C3D20R 24

41 2.6 Résultats finaux et comparaison avec la littérature La dernière étape de validation du modèle consiste à comparer les résultats obtenus par éléments finis à ceux obtenus analytiquement par Rousseau et al. [8]. Les résultats observés sont la torsion thermique et les contraintes dans le repère local des différents plis. Les déplacements sont observés sur un intervalle de température allant de 177 C, qui correspond à la température de cuisson, à -157 C, qui est la température d utilisation la plus froide dans l espace. Les contraintes, quant à elles, sont observées pour le changement de température maximum ΔT = -334 C Déplacements circonférentiels L étude des déplacements circonférentiels a été faite pour les deux stratifiés et les résultats sont présentés aux Figures 2.11 et Dû à l utilisation d un système de coordonnées cylindriques différents dans le modèle analytique [8] par rapport au modèle par éléments finis, les résultats obtenus avec le modèle d éléments finis sont de signe inverse aux résultats obtenus avec le modèle de Rousseau et al. [8]. Toutefois, la torsion thermique induite dans les tubes est physiquement dans la même direction dans les deux cas. À des fins de visualisation, les graphiques ont été tracés en prenant la valeur absolue des résultats. Finalement, il est à noter que les unités des résultats des deux stratifiés ne sont pas les mêmes; les résultats du stratifié 1 sont en µrad/mm, tandis que ceux du stratifié 2 sont en nrad/mm. Cette différence est expliquée par les séquences de plis différentes des stratifiés. 25

42 Torsion thermique [nrad/mm] Torsion thermique [µrad/mm] 3,5 3 2,5 2 Modèle analytique [ref] 8 ] Éléments finis (C3D20R) Éléments finis (S4R) Éléments finis (S4R5) Éléments finis (S8R) Éléments finis (S8R5) 1,5 1 0, Δ T [ C] Figure 2.11 : Prédictions de la torsion thermique en fonction du changement de température appliqué ΔT pour le stratifié Modèle analytique [[] 8 ] Éléments finis (C3D20R) Éléments finis (S4R) Éléments finis (S4R5) Éléments finis (S8R) Éléments finis (S8R5) Δ T [ C] Figure 2.12 : Prédictions de la torsion thermique en fonction du changement de température appliqué ΔT pour le stratifié 2. 26

43 Comme on peut le voir à la Figure 2.11, les quatre types d éléments coques testés donnent des résultats similaires, mais inférieurs par rapport à la prédiction du modèle analytique. Dans le cas du stratifié 2, dont les résultats sont présentés à la Figure 2.12, tous les modèles qui utilisent des éléments coques prédisent une torsion thermique nulle, tandis que le modèle qui utilise des éléments solides prédit une torsion thermique non-nulle, mais toutefois très petite. Ainsi, les résultats montrent que les éléments coques ne sont pas appropriés pour l analyse de torsion thermique par éléments finis, et ce, même en cas de tubes minces, tel que le cas présentement étudié. Il semble que la prise en compte des déformations thermiques à travers l épaisseur soit nécessaire pour prédire la torsion thermique dans les tubes, même lorsque ceux-ci sont minces. Dans le cas des éléments C3D20R, la corrélation obtenue entre les résultats par éléments finis et le modèle analytique est excellente pour les deux stratifiés. Le modèle en trois dimensions avec les éléments C3D20R est donc le plus apte à prédire précisément les déplacements engendrés par la torsion thermique dans les tubes minces Contraintes La répartition à travers l épaisseur des contraintes σ1, σ2, τ12 et σ3 du stratifié 1 sont tracées respectivement aux Figures 2.13, 2.14, 2.15 et Chaque figure, exceptée la Figure 2.16, comporte la courbe des contraintes obtenues avec le modèle analytique et la courbe des contraintes obtenues pour chaque type d éléments utilisé dans le modèle éléments finis. La Figure 2.16 ne comporte pas de courbes pour les éléments coques puisque ces derniers ne tiennent pas compte des effets à travers l épaisseur, et ne peuvent donc pas prédire de contraintes radiales. Cependant, elle montre la convergence de la contrainte radiale avec l augmentation du nombre d éléments à travers l épaisseur afin de justifier le choix de sept éléments C3D20R à travers l épaisseur pour le modèle éléments finis en solide 3D. 27

44 Épaisseur [mm] Épaisseur [mm] 1,8 1,6 Couches à +20 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 Modèle analytique [ref] 8 ] Éléments finis (C3D20R) Éléments finis (S4R) Éléments finis (S4R5) Éléments finis (S8R) Éléments finis (S8R5) Couches à 0 0,2 Couches à Contrainte σ 1 [MPa] Figure 2.13 : Prédictions des contraintes dans la direction des fibres à travers l épaisseur du tube pour le stratifié 1 et un changement de température de -334 C. 1,8 1,6 Couches à +20 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 Couches à 0 Modèle analytique [ref] 8 ] Éléments finis (C3D20R) Éléments finis (S4R) Éléments finis (S4R5) Éléments finis (S8R) Éléments finis (S8R5) 0,2 0 Couches à Contrainte σ 2 [MPa] Figure 2.14 : Prédictions des contraintes dans la direction transverse aux fibres à travers l épaisseur du tube pour le stratifié 1 et un changement de température de -334 C. 28

45 Épaisseur [mm] Épaisseur [mm] 1,8 1,6 Couches à +20 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 Couches à 0 Modèle analytique [ref] 8 ] Éléments finis (C3D20R) Éléments finis (S4R) Éléments finis (S4R5) Éléments finis (S8R) Éléments finis (S8R5) 0,2 Couches à Contrainte τ 12 [Mpa] Figure 2.15 : Prédictions des contraintes de cisaillement dans le plan 1-2 à travers l épaisseur du tube pour le stratifié 1 et un changement de température de -334 C. 1,8 1,6 Couches à +20 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 Couches à 0 Couches à -20 Modèle analytique [ref][ 8 ] EF (7 éléments) EF (2 éléments) EF (1 élément) 0,0-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 Contrainte σ 3 [MPa] Figure 2.16 : Prédictions des contraintes radiales à travers l épaisseur du tube pour le stratifié 1 et un changement de température de -334 C. 29

46 Les Figures 2.13, 2.14 et 2.15 montrent que tous les types d éléments testés offrent un niveau acceptable de précision dans le calcul des contraintes dans le plan. Toutefois, les éléments coques sont légèrement moins précis que les éléments solides C3D20R, spécialement pour les contraintes dans la direction transverse σ2. En effet, pour toutes les contraintes observées, les prédictions obtenues avec le modèle EF solide sont semblables à celles obtenues avec le modèle analytique, alors que les prédictions obtenues avec les éléments coques montrent quelques disparités. Sur la Figure 2.15, les contraintes obtenues avec les éléments C3D20R sont inverses aux autres. Cela est encore une conséquence du système de coordonnées du modèle 3D différent. Ces résultats concordent avec ceux de Whitney [1]. Celui-ci avait observé que l effet des déformations thermiques à travers l épaisseur devrait être pris en compte dans le calcul de contraintes dans le plan pour un ratio ri/t égal à Cependant, lorsque ri/t augmente, ce qui est le cas des tubes minces, cet effet se dissipe. La Figure 2.16 montre la courbe des contraintes radiales dans l épaisseur pour le modèle analytique ainsi que pour les modèles EF comportant un, deux ou sept éléments C3D20R à travers l épaisseur. L ordre de grandeur des contraintes radiales est tellement petit que ces dernières sont négligeables. Cependant, on constate que les modèles comportant seulement un ou deux éléments solides dans l épaisseur prédisent deux comportements totalement différents du comportement prédit par le modèle analytique. Par contre, le modèle comportant sept éléments à travers l épaisseur prédit les contraintes radiales avec la même précision que le modèle analytique. Ainsi, il s avère nécessaire d utiliser plusieurs éléments solides à travers l épaisseur pour bien prédire les contraintes radiales. La répartition à travers l épaisseur des contraintes σ1, σ2, τ12 et σ3 du stratifié 2 sont tracées respectivement aux Figures 2.17, 2.18, 2.19 et Chaque figure comporte la courbe des contraintes obtenues avec le modèle analytique et la courbe des contraintes obtenues avec les éléments solides C3D20R avec sept éléments à travers l épaisseur. Les éléments coques n ont pas été considérés dans l analyse 30

47 Épaisseur [mm] des contraintes pour le stratifié 2 puisque ces derniers ne prédisent aucun déplacement en torsion et il a été vu que les éléments coques ne sont pas adéquats pour cette application en raison de leur inhabilité à prédire les contraintes radiales. 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 Modèle analytique [8] Éléments finis (C3D20R) 0,4 0, Contrainte σ 1 [MPa] Figure 2.17 : Prédictions des contraintes dans la direction des fibres à travers l épaisseur du tube pour le stratifié 2 et un changement de température de -334 C. 31

48 Épaisseur [mm] Épaisseur [mm] 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 Modèle analytique [8] Éléments finis (C3D20R) 0,4 0, Contrainte σ 2 [MPa] Figure 2.18 : Prédictions des contraintes dans la direction transverse aux fibres à travers l épaisseur du tube pour le stratifié 2 et un changement de température de -334 C. 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 Modèle analytique [8] Éléments finis (C3D20R) 0,4 0, Contrainte τ 12 [MPa] Figure 2.19 : Prédictions des contraintes de cisaillement dans le plan 1-2 à travers l épaisseur du tube pour le stratifié 2 et un changement de température de -334 C. 32

49 Épaisseur [mm] 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 Modèle analytique [8] Éléments finis (C3D20R) 0,2 0-0,15-0,1-0,05 0 0,05 0,1 0,15 Contrainte σ 3 [MPa] Figure 2.20 : Prédictions des contraintes radiales à travers l épaisseur du tube pour le stratifié 2 et un changement de température de -334 C. Les Figures 2.17, 2.18, 2.19 et 2.20 montrent que le modèle développé offre également une très bonne corrélation dans le cas d un stratifié équilibré et symétrique. Sur la Figure 2.19, la courbe pour les éléments C3D20R est, comme pour le stratifié 1, inverse à celle du modèle analytique. Cela est encore une conséquence du système de coordonnées du modèle 3D différent. 2.7 Conclusions À la lumière des résultats obtenus, les éléments coques offrent une prédiction acceptable des contraintes dans la direction des fibres et la direction transverse aux fibres, mais leur inhabilité à prédire correctement les déplacements circonférentiels et les contraintes radiales, et ce même pour les tubes catégorisés à paroi mince, en font un choix inapproprié pour ce type de modélisation. Cependant, le modèle en trois dimensions avec les éléments C3D20R prédit avec précision les déplacements et les contraintes, en plus de permettre l observation des contraintes radiales. Le 33

50 modèle choisi pour la suite de cette étude sera donc constitué d éléments C3D20R avec un maillage de 48 éléments sur la circonférence, 20 éléments par tranche de 50 mm de longueur et un élément par groupe de deux plis à travers l épaisseur. Il est donc recommandé d utiliser les éléments C3D20R lors de modélisation d applications de tubes en matériaux composites soumis à un chargement thermique, même si le tube a une paroi mince. 34

51 Chapitre 3 Étude paramétrique L objectif de ce chapitre est d étudier l influence des différents paramètres géométriques du tube sur les déplacements circonférentiels et les contraintes résultants d un chargement thermique. Les paramètres étudiés sont l orientation des plis, le rayon intérieur ainsi que l épaisseur du tube. Le modèle développé au chapitre 2 est utilisé afin de prédire les valeurs théoriques. Les résultats de cette étude influenceront le choix de certains paramètres des tubes à fabriquer pour les essais expérimentaux. 3.1 Définition de la configuration des tubes et des propriétés du matériau La géométrie des tubes étudiés a été établie en fonction des essais expérimentaux à venir. Ainsi, les dimensions choisies pour les tubes n excèdent pas celles du volume de mesure sélectionné pour les essais expérimentaux avec le système de mesure par corrélation d images Aramis. Le volume de mesure utilisé est d approximativement 135 mm x 108 mm x 120 mm. De plus, l étude s est portée sur deux types de stratifiés choisis en raison de leur utilisation fréquente dans le domaine aérospatial, soit les stratifiés [ -θ2 / 0n / θ2 ] et [ -θn / 02n / θn ]. Les dimensions fixes du modèle et les types de stratifiés étudiés sont présentés dans le Tableau 3.1. Tableau 3.1 : Paramètres géométriques du modèle Longueur (mm) 100 Épaisseur d un pli (mm) Stratifié de type 1 [ -θ 2 / 0 n / θ 2 ] Stratifié de type 2 [ -θ n / 0 2n / θ n ] Puisque l influence du rayon intérieur et de l épaisseur totale du tube sur les déplacements et contraintes est étudiée, ces paramètres géométriques restent 35

52 variables. La variation de l épaisseur du tube se fait en utilisant deux méthodes différentes. La première consiste à modifier le nombre de plis à 0 au centre du stratifié de type 1. Donc pour cette méthode, le tube le plus mince possible est un tube ne comportant aucune couche à 0. La deuxième méthode consiste à ajouter des couches de façon à garder la même proportion entre le nombre de couches à 0 et le nombre de couches à ±θ du stratifié de type 2. Par exemple, le stratifié [ -θ 2 / 0 4 / θ 2 ] peut être utilisé pour épaissir le stratifié [ -θ / 0 2 / θ ]. La deuxième méthode présente l avantage de pouvoir observer seulement l influence du changement d épaisseur, puisque le stratifié conserve les mêmes propriétés mécaniques et thermomécaniques effectives, contrairement à la première méthode, pour laquelle l ajout de couches à 0 influence ces propriétés. Également, la deuxième méthode permet d étudier des tubes plus minces en amincissant l épaisseur des couches, tant que la proportion des couches dans l épaisseur totale du tube reste respectée. Basé sur le maillage final établi à la section 2.6, le modèle sera donc maillé avec des éléments solide C3D20R au nombre de 48 sur la circonférence, 40 sur la longueur et un nombre variable à travers l épaisseur à raison d un élément par groupe de deux plis. Le matériau carbone-époxyde utilisé pour la fabrication des tubes expérimentaux est le RS-1/Panex 33. Ses propriétés sont présentées dans le Tableau 3.2. Elles ont été mesurées expérimentalement par des essais de caractérisation décrits à l Annexe A. Les conditions aux frontières du modèle sont les mêmes que celles sur la Figure 2.1. Le chargement appliqué est un changement de température uniforme de 100 C. 36

53 Tableau 3.2 : Propriétés du matériau RS-1/Panex 33 E 1 (GPa) 101,7 E 2 (GPa) 7,91 E 3 (GPa) 7,91 ν 12 0,318 ν 13 0,318 ν 23 0,458 G 12 (GPa) 3,02 G 13 (GPa) 3,02 G 23 (GPa) 2,71 α 1 (/ C) 2, α 2 (/ C) 3, α 3 (/ C) 3, Étude de l orientation des plis L étude de l orientation des plis vise à observer l influence de l angle θ du stratifié sur les déplacements circonférentiels et les différentes contraintes subis par le stratifié lorsque soumis à un intervalle de température. Elle a été réalisée, pour différentes épaisseurs de tube à un rayon intérieur constant de 12.7 mm, en faisant varier l angle d orientation θ des couches désaxées des deux types de stratifiés. Une variation de l angle θ de 0 à 90 degrés a été étudiée Déplacements circonférentiels Les Figure 3.1 et 3.2 présentent respectivement les prédictions de la variation de la torsion thermique en fonction de l angle θ des couches des stratifiés de types 1 et 2 pour différentes épaisseurs de tubes. Tel que mentionné précédemment, l épaisseur varie en modifiant le nombre de plis à 0 du stratifié de type 1 et pour le type 2, elle varie en ajoutant des couches de façon à garder la même proportion entre le nombre de couches à 0 et le nombre de couches à ±θ. 37

54 Torsion thermique [μrad/mm] Torsion thermique [µrad/mm] [-θ/-θ/θ/θ] [-θ/-θ/0/0/θ/θ] 2 /θ/θ] [-θ/-θ/06/θ/θ] 6 /θ/θ] [-θ/-θ/010/θ/θ] /θ/θ] Angle θ (deg) Figure 3.1 : Prédictions de la torsion thermique du stratifié de type 1 d épaisseur variable en fonction de l angle d orientation des plis hors axe [-θ/0/0/θ] [-θ2/04/θ2] 2 2 /θ 2 ] [-θ3/06/θ3] 3 6 /θ 3 ] [-θ4/08/θ4] 4 8 /θ 4 ] Angle θ (deg) Figure 3.2 : Prédictions de la torsion thermique du stratifié type 2 d épaisseur variable en fonction de l angle d orientation des plis hors axe. 38

55 La Figure 3.1 montre que l angle θ qui maximise la torsion thermique tend à diminuer en épaississant le tube par l ajout de couches à 0. En effet, cet angle est de 79 pour le stratifié [-θ/-θ/θ/θ], de 78 pour le stratifié [-θ/-θ/0/0/θ/θ], de 75 pour le stratifié [-θ/-θ/06/θ/θ] et finalement de 73 pour le stratifié [-θ/-θ/010/θ/θ], considérablement plus épais. La Figure 3.2, quant à elle, montre que l angle θ qui maximise la torsion thermique ne change pas lorsque l épaisseur varie en modifiant le nombre de couches de façon à garder constante la proportion de couches à 0 par rapport aux couches à ±θ. En effet, cet angle est constant à 79 pour toutes les épaisseurs étudiées. Ce phénomène était attendu, puisque cette méthode d augmentation de l épaisseur ne change pas les propriétés effectives du stratifié. Dans les deux cas, les figures montrent que l angle θ qui maximise la torsion thermique est entre 70 et 80. Ces résultats sont très intéressants car ils montrent que lorsqu un tube a plus qu une couche hors-axe, l angle qui maximise la torsion n est plus 45 o comme l avait montré Tutuncu et Winckler pour un tube comportant une seule couche [4]. De plus, ces résultats semblent indiquer que le modèle proposé par Milburn [5] serait basé sur une hypothèse erronée. Un angle de 75 est donc sélectionné comme orientation des plis hors-axe lors de la fabrication des échantillons d essai afin de maximiser la torsion thermique. Finalement, la torsion thermique est nulle lorsque θ est à 0 ou 90, donc lorsque l orientation des plis coïncide avec l axe du cylindre ou sa direction circonférentielle Contraintes Les Figures 3.3, 3.4, 3.5 et 3.6 montrent respectivement l évolution des contraintes σ1, σ2, τ12 et τθz dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction de l angle d orientation des plis hors axe pour un tube stratifié de type 1. Les contraintes ont été observées dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur puisque, tel que vu au chapitre 2, c est à cet endroit qu elles sont les plus élevées pour ce type de chargement. De plus, les contraintes varient très peu à travers l épaisseur d une couche, il est donc inutile de chercher le maximum absolu dans une couche. Les 39

56 Contrainte σ 1 [MPa] contraintes radiales ne sont pas analysées puisqu elles sont très faibles en général et elles sont nulles sur le rayon intérieur, tel que vu au chapitre [-θ/-θ/θ/θ] [-θ/-θ/0/0/θ/θ] 2 /θ/θ] [-θ/-θ/06/θ/θ] 6 /θ/θ] [-θ/-θ/010/θ/θ] 10 /θ/θ] Angle θ (deg) Figure 3.3 : Évolution de la contrainte dans la direction des fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l angle d orientation des plis hors axe d un tube stratifié de type 1. 40

57 Contrainte τ 12 [MPa] Contrainte σ 2 [MPa] [-θ/-θ/θ/θ] [-θ/-θ/0/0/θ/θ] 2 /θ/θ] [-θ/-θ/06/θ/θ] 6 /θ/θ] [-θ/-θ/010/θ/θ] /θ/θ] Angle θ (deg) Figure 3.4 : Évolution de la contrainte dans la direction transverse aux fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l angle d orientation des plis hors axe d un tube stratifié de type [-θ/-θ/θ/θ] [-θ/-θ/0/0/θ/θ] 2 /θ/θ] [-θ/-θ/06/θ/θ] 6 /θ/θ] [-θ/-θ/010/θ/θ] 10 /θ/θ] Angle θ (deg) Figure 3.5 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan 1-2 dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l angle d orientation des plis hors axe d un tube stratifié de type 1. 41

58 Contrainte τ θz [MPa] [-θ/-θ/θ/θ] [-θ/-θ/0/0/θ/θ] 2 /θ/θ] [-θ/-θ/06/θ/θ] 6 /θ/θ] [-θ/-θ/010/θ/θ] /θ/θ] Angle θ (deg) Figure 3.6 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan θ-z dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l angle d orientation des plis hors axe d un tube stratifié de type 1. De façon générale, les courbes montrent que l amplitude des contraintes augmente avec l épaisseur, surtout la contrainte dans la direction des fibres. Également, le stratifié sans couches à 0 montre généralement une tendance différente des autres stratifiés, puisque le comportement des couches à 0 est différent des couches à ±θ, ce qui augmente les contraintes; les comparaisons avec ce tube seront donc évitées. La contrainte dans la direction des fibres (Figure 3.3) montre un maximum en tension lorsque l angle θ est d approximativement 40 et ne montre pas de compression, excepté pour le tube [ -θ / -θ / 02 / θ / θ ], pour lequel une légère compression est observée à un angle de 90. La contrainte est nulle lorsque les fibres sont à 0. La contrainte dans la direction transverse (Figure 3.4) est nulle lorsque les fibres sont à 0 et est maximale pour un angle allant de 50 à 70, dépendamment du stratifié. La contrainte est très faible pour un angle θ de 0 à 20. Finalement, les contraintes de cisaillement dans le plan 1-2 (Figure 3.5) et dans le plan θ-z (Figure 3.6) sont 42

59 Contrainte σ 1 [MPa] toutes deux nulles pour des angles de 0 et 90, puisque les courbes à 0 et à 90 ne montrent pas de couplage extension-cisaillement. Comme le montre la Figure 3.5, la contrainte de cisaillement dans le plan 1-2 est maximal pour un angle θ d environ 30, ce qui, contre intuitivement, ne correspond pas à l angle engendrant le déplacement de torsion thermique maximal. Cependant, ce résultat concorde avec les résultats de Rousseau et al. [8] qui montrent aussi que la contrainte de cisaillement dans un tube [+ /0n/- ] est maximum quand l angle des fibres est d environ 30. Comme le montre la Figure 3.6, la contrainte de cisaillement dans le plan θ-z est maximale pour un angle θ d environ 45, ce qui ne correspond également pas à l angle engendrant le déplacement de torsion thermique maximal. Les Figures 3.7, 3.8, 3.9 et 3.10 montrent respectivement l évolution des contraintes σ1, σ2, τ12 et τθz dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction de l angle d orientation des plis hors axe pour un tube stratifié de type [-θ/0/0/θ] [-θ2/04/θ2] [-θ3/06/θ3] [-θ4/08/θ4] Angle θ (deg) Figure 3.7 : Évolution de la contrainte dans la direction des fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l angle d orientation des plis hors axe d un tube stratifié de type 2. 43

60 Contrainte τ 12 [MPa] Contrainte σ 2 [MPa] [-θ/0/0/θ] [-θ2/04/θ2] [-θ3/06/θ3] [-θ4/08/θ4] Angle θ (deg) Figure 3.8 : Évolution de la contrainte dans la direction transverse aux fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l angle d orientation des plis hors axe d un tube stratifié de type [-θ/0/0/θ] [-θ2/04/θ2] [-θ3/06/θ3] [-θ4/08/θ4] Angle θ (deg) Figure 3.9 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan 1-2 dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l angle d orientation des plis hors axe d un tube stratifié de type 2. 44

61 Contrainte τ θz [MPa] [-θ/0/0/θ] [-θ2/04/θ2] [-θ3/06/θ3] [-θ4/08/θ4] Angle θ (deg) Figure 3.10 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan θ-z dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur (12.7 mm) en fonction de l angle d orientation des plis hors axe d un tube stratifié de type 2. La contrainte dans la direction des fibres (Figure 3.7) montre un faible maximum en tension lorsque l angle θ est d approximativement 40 et un maximum en compression pour un angle de 90. La contrainte est nulle lorsque les fibres sont à 0, et très faible lorsque l angle est d approximativement 50 à 70, dépendamment du stratifié. La contrainte dans la direction transverse aux fibres (Figure 3.8) est nulle lorsque les fibres sont à 0 et 90 et est maximale pour un angle de 45. La contrainte σ2 est très faible pour un angle θ de 0 à 20 et de 70 à 90. Les contraintes de cisaillement dans le plan 1-2 (Figure 3.9) et dans le plan θ-z (Figure 3.10) sont toutes deux nulles pour des angles de 0 et 90. L angle maximisant la contrainte de cisaillement dans le plan 1-2 est d environ 30 pour τ12>0 et d environ 60 pour τ12<0 pour le tube le plus mince. L angle maximisant la contrainte de cisaillement dans le plan θ-z (Figure 3.10) est de 45 pour le tube le plus mince, mais il diminue légèrement pour les tubes plus épais. 45

62 Comme ce qui a été vu pour la stratifié de type 1, les courbes montrent que l amplitude des contraintes augmente légèrement avec l épaisseur. De façon générale, les contraintes dans la direction des fibres et de cisaillement dans le plan θ-z du stratifié de type 2 sont moins élevées que dans le stratifié de type 1, mais les contraintes dans la direction transverse aux fibres et de cisaillement dans le plan 1-2 sont plus élevées dans le stratifié de type Conclusions D un point de vue de conception d un tube stratifié sous chargement thermique, une orientation de faible angle (de l ordre de 10 à 20 ) semble à privilégier, car le phénomène de torsion thermique et les contraintes thermiques sont moindres, pour les deux types de stratifié. Une légère augmentation de l angle des couches hors axe accroît rapidement les contraintes, surtout celles de cisaillement. 3.3 Étude du ratio du rayon intérieur sur l épaisseur (r i /t) L étude vise à observer l influence du ratio ri/t sur les déplacements et contraintes dans le tube sous chargement thermique. L étude est réalisée pour une orientation des plis hors-axe du stratifié constante de ±75, car cet angle maximise la torsion thermique, tel qu observé à la section précédente. Puisque le ratio est dépendant de deux paramètres, le rayon intérieur et l épaisseur, l influence de la variation de ces deux paramètres est observée. Les deux méthodes de variation de l épaisseur seront testées. Quatre rayons intérieurs différents de 6 mm, 12.7 mm, 19 mm et 25.4 mm sont testés. Pour chaque rayon, l épaisseur est variée de façon à obtenir des valeurs de ratio ri/t allant d approximativement 5 à

63 Torsion thermique [µrad/mm] Déplacements circonférentiels Les Figures 3.11 et 3.12 présentent les résultats de l étude de l influence du ratio ri/t sur les déplacements circonférentiels pour les stratifiés de types 1 et 2 respectivement. Pour le stratifié de type 2, le graphique comporte quatre courbes, une pour chaque rayon testé, mais le graphique du stratifié de type 1 n en comporte que trois. En effet, pour ce type de stratifié, le rayon de 6 mm ne permettait qu une variation du ratio jusqu à 9, puisque le tube le plus mince pour ce stratifié est de [ - 75 / -75 / +75 / +75 ], tel qu expliqué à la section Ri=12.7mm Ri=19mm Ri=25,4mm Ratio r i /t Figure 3.11 : Prédictions de la torsion thermique en fonction du rayon intérieur et de l épaisseur du tube pour un stratifié de type 1 [ -75 / -75 / 0 n / 75 / 75 ] et un changement de température de 100 C. 47

64 Torsion thermique [µrad/mm] Ri=6mm Ri=12.7mm Ri=19mm Ri=25.4mm Ratio r i /t Figure 3.12 : Prédictions de la torsion thermique en fonction du rayon intérieur et de l épaisseur du tube pour un stratifié de type 2 [ -75 n / 0 2n / 75 n ] et un changement de température de 100 C. À la lumière des résultats présentés aux Figures 3.11 et 3.12, plusieurs conclusions peuvent être portées sur l influence du ratio ri/t sur le phénomène de torsion thermique. Premièrement, les deux figures montrent clairement que pour un ratio constant, une diminution du rayon intérieur entraîne une augmentation de la torsion thermique. En effet, pour le stratifié de type 2, une diminution d un rayon de 25.4 mm à un rayon intérieur de 6 mm entraîne une augmentation de plus de 400% de la torsion thermique. Deuxièmement, dans les deux cas, plus le tube est épais, donc plus le ratio diminue, plus la torsion thermique prédite par le modèle éléments finis est importante. Cet effet est particulièrement intéressant dans le cas du stratifié de type 2 (Figure 3.12), puisqu on peut observer l effet direct de la variation du ratio ri/t, car pour ce type de stratifié, les propriétés mécaniques et thermomécaniques effectives du tube ne changent pas en épaississant le tube. Les courbes ont une allure exponentielle, donc si le ratio est divisé en deux, la torsion thermique double. Ce phénomène est dû à l augmentation de la distance entre les plis à θ et +θ plus le tube est épais. 48

65 Contrainte σ 1 [MPa] Contraintes Les Figures 3.13, 3.14, 3.15 et 3.16 montrent l évolution des contraintes σ1, σ2, τ12 et τθz respectivement en fonction du ratio ri/t pour un stratifié de type Ri=12.7mm Ri=19mm Ri=25,4mm Ratio r i /t Figure 3.13 : Évolution de la contrainte dans la direction des fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio r i /t d un stratifié de type 1 49

66 Contrainte τ 12 [MPa] Contrainte σ 2 [MPa] -24,4-24,6-24, ,2-25,4-25,6-25,8-26 Ri=12.7mm Ri=19mm Ri=25,4mm Ratio r i /t Figure 3.14 : Évolution de la contrainte dans la direction transverse aux fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio r i /t d un stratifié de type 1 0,4 0,2 0 Ri=12.7mm Ri=19mm Ri=25,4mm -0,2-0,4-0,6-0,8-1 -1,2-1, Ratio r i /t Figure 3.15 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan 1-2 dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio r i /t d un stratifié de type 1 50

67 Contrainte τ θz [MPa] Ri=12.7mm Ri=19mm Ri=25,4mm Ratio r i /t Figure 3.16 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan θ-z dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio r i /t d un stratifié de type 1 Dans le cas des contraintes dans la direction des fibres (Figure 3.13), l augmentation du ratio ri/t diminue aussi les contraintes en tension. Par contre, à ratio constant, le fait d augmenter le rayon intérieur du tube se traduit en une augmentation des contraintes en tension dans les fibres. Les contraintes dans la direction transverse aux fibres (Figure 3.14) ne montrent pas de tendance claire selon le changement de rayon et de ratio ri/t. En effet, l ordre de grandeur est le même peu importe le rayon et la valeur du ratio. Dans le cas de la contrainte de cisaillement dans le plan 1-2 (Figure 3.15), l augmentation du ratio ri/t augmente les valeurs négatives et l augmentation du rayon les diminue. Finalement, l accroissement du ratio ri/t réduit l amplitude des contraintes de cisaillement dans le plan θ-z (Figure 3.16). Également, l augmentation du rayon intérieur du tube augmente ces contraintes. Les Figures 3.17, 3.18, 3.19 et 3.20 montrent l évolution des contraintes σ1, σ2, τ12 et τθz respectivement, en fonction du ratio ri/t pour un stratifié de type 2. 51

68 Contrainte σ 2 [MPa] Contrainte σ 1 [Mpa] Ri=6mm Ri=12.7mm Ri=19mm Ri=25.4mm Ratio r i /t Figure 3.17 : Évolution de la contrainte dans la direction des fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio r i /t d un stratifié de type 2-24,4-24,6-24,8-25,0-25,2-25,4-25,6-25,8-26,0 Ri=6mm Ri=12.7mm Ri=19mm Ri=25.4mm -26, Ratio r i /t Figure 3.18 : Évolution de la contrainte dans la direction transverse aux fibres dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio r i /t d un stratifié de type 2 52

69 Contrainte τ θz [MPa] Contrainte τ 12 [MPa] 0,0-0,2-0,4-0,6-0,8-1,0-1,2-1,4-1,6-1,8 Ri=6mm Ri=12.7mm Ri=19mm Ri=25.4mm -2, Ratio r i /t Figure 3.19 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan 1-2 dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio r i /t d un stratifié de type 2 13,0 12,5 12,0 11,5 11,0 Ri=6mm Ri=12.7mm Ri=19mm Ri=25.4mm 10,5 10,0 9,5 9, Ratio r i /t Figure 3.20 : Évolution de la contrainte de cisaillement dans le plan θ-z dans la couche à -θ située sur le rayon intérieur en fonction du ratio r i /t d un stratifié de type 2 53

70 Tel qu anticipé, pour chaque contrainte, les courbes sont tous très similaires peu importe le rayon du tube. Ceci est encore une fois dû au fait qu avec cette méthode d épaississement du tube, les propriétés mécaniques et thermomécaniques effectives ne changent pas, donc on retrouve les mêmes contraintes d un rayon à l autre. Également, on remarque que les courbes ont la même allure exponentielle que celle des courbes de déplacement de torsion thermique (Figure 3.12). Les contraintes augmentent très vite jusqu à un ratio d environ 15 pour ensuite continuer d augmenter, mais avec une pente moindre Conclusions Les deux types de stratifiés ont montré un comportement similaire en torsion lorsque le ratio rayon sur épaisseur augmente. Dans les deux cas, plus le tube est épais, donc plus le ratio diminue, plus la torsion thermique prédite par le modèle éléments finis est importante. Par contre, les deux types de stratifiés ont montré des réactions opposées lorsque le ratio du rayon sur épaisseur est modifié. En effet, dans le cas du stratifié de type 1, l amincissement du tube a provoqué une diminution notable des contraintes dans les fibres et de cisaillement dans le plan θ-z et une augmentation négligeable des contraintes de cisaillement dans le plan 1-2; ce type de stratifié semble donc plus approprié pour des applications de tube à paroi mince. Tandis que pour le stratifié de type 2, l amincissement du tube a provoqué une augmentation notable des contraintes dans les fibres et de cisaillement dans le plan θ-z et une diminution négligeable des contraintes transverses et de cisaillement dans le plan 1-2; ce type de stratifié est donc plus approprié pour des applications de tube à paroi épaisse. 54

71 Chapitre 4 Aspects expérimentaux Les aspects expérimentaux du projet sont présentés dans ce chapitre. Il présente une brève introduction au procédé de moulage sous vide de matériaux composites ainsi que les étapes de fabrication des échantillons testés. De plus, l équipement de mesure utilisé et la procédure des essais expérimentaux y sont détaillés. Finalement, les méthodes d obtention des résultats d intérêt sont présentées. 4.1 Procédé de moulage sous vide et fabrication des tubes Procédé de moulage sous vide La fabrication des tubes a été effectuée avec du pré-imprégné carbone-époxyde de type RS-1/Panex 33 par le procédé de moulage sous vide. Ce procédé consiste à appliquer les couches de pré-imprégné voulues sur un moule, habituellement fait de métal, puis de créer un vide sur le moule. Ce vide permet à la fois d éliminer les bulles d air du stratifié et de retirer le surplus de résine. Le vide est maintenu pendant toute la cuisson du matériau, qui consiste à chauffer le stratifié à une certaine température pour une période déterminée afin d obtenir la polymérisation de la résine. La température et le temps de polymérisation varient selon le matériau utilisé. Dans le cas du RS-1/Panex 33, la cuisson se fait à 80 C pendant 12 heures. Le moule utilisé pour la fabrication des tubes échantillons est un cylindre d acier de diamètre de 25.4 mm. Préalablement à la fabrication, la surface de ce moule est traitée avec un agent de démoulage afin de faciliter le démoulage des tubes après la cuisson. 55

72 Les premiers échantillons fabriqués comportaient des défauts visibles et plusieurs itérations ont été nécessaires afin de développer le procédé de fabrication générant des tubes de qualité. Ce procédé consiste en les étapes suivantes : 1. Il faut premièrement découper les couches dans le pré-imprégné. Afin de minimiser les erreurs d orientation, une seule découpe est utilisée pour enrouler chaque paire de couches ayant la même orientation. Par exemple, trois découpes seront faites pour fabriquer un stratifié [ θ/ θ/ 0 / 0 / θ / θ], une pour chaque orientation. Les découpes sont de forme rectangulaire et ont des dimensions correspondant à la longueur du tube par le double de la circonférence du tube, ce qui permet d enrouler deux couches à la fois. Comme le diamètre du tube augmente à mesure que des couches sont appliquées, la circonférence du tube augmente également. Cette dimension doit donc être minutieusement calculée pour chaque découpe afin d obtenir un joint le plus étroit possible. Lorsque les dimensions sont connues, il faut procéder à la découpe en portant attention à bien l orienter de façon à ce que les fibres aient l angle voulu par rapport à l axe du tube. 2. Lorsque les découpes sont faites, il faut les enrouler à tour de rôle de façon très serrée autour du moule. Pour chaque découpe enroulée, il faut appliquer une couche de ruban thermo rétractable autour du tube, puis le chauffer à l aide d un séchoir à cheveux et laisser reposer pendant environ 30 minutes. Cette étape sert à appliquer une légère compression sur le pré-imprégné, le forçant à épouser la forme cylindrique. Lorsque les 30 minutes sont écoulées, le ruban est enlevé et la prochaine couche est enroulée à son tour. 3. Lorsque toutes les couches sont appliquées et comprimées sur le moule, on applique le vide à l aide d un sac à vide autour du moule. Il faut enlever les bulles d air le plus possible au niveau du sac afin d arriver au vide le plus uniforme possible. Puis le tout est placé dans un four pour être chauffé et maintenu à la température de cuisson du matériau pendant le temps requis. 56

73 4.1.2 Fabrication des tubes En suivant ces étapes, trois tubes ont été fabriqués en utilisant un stratifié différent pour chacun tel qu indiqué dans le Tableau 4.1. Les trois stratifiés sont de type [ -θ / -θ / 0n / θ / θ ]. Dans le but d étudier la variation de l épaisseur sur les déformations, les trois tubes ont un nombre de couches orientées à 0 différent. L angle θ a été choisi de façon à maximiser la torsion induite thermiquement. En effet, un des objectifs des essais est de valider l utilisation d un système de corrélation d image pour déterminer l angle de torsion. Il était donc souhaitable d avoir assez de torsion pour étudier la précision de la méthode de mesure. Comme observé précédemment sur les Figures 3.1 et 3.2, un angle de 75 permet de maximiser la torsion induite thermiquement. Cette valeur a donc été choisie pour θ. Tableau 4.1 : Dimensions et séquence de plis des tubes Tube Séquence Longueur (mm) Rayon interne (mm) Épaisseur (mm) Ratio ri/t Type de paroi 1 [ -75 / -75 / 75 / 75 ] Mince 2 [ / 0 2 / 75 2 ] Mince 3 [ / 0 6 / 75 2 ] Épaisse La Figure 4.1 montre les trois tubes qui ont été fabriqués. Figure 4.1 : Tubes fabriqués 57

74 4.2 Équipements utilisés Chambre environnementale La chambre environnementale est l équipement utilisé afin d induire un changement de température uniforme aux échantillons. La chambre, de marque Cincinnati Sub- Zero et de modèle Z Plus 32, est montrée à la Figure 4.2. Ce type de chambre environnementale permet de contrôler à la fois l humidité et la température à l intérieur de la chambre. Cependant, l absorption de l humidité des matériaux composites se faisant très lentement, seule la température a été contrôlée dans les essais effectués. La chambre est équipée de ventilateurs faisant circuler l air à l intérieur et utilise la modulation entre un système de refroidissement par liquide réfrigérant et un système de chauffage par éléments chauffants afin d atteindre et maintenir la température visée. L intervalle de température possible est de -73 C à 190 C. L intérieur de la chambre, de forme cubique, mesure 97 cm par côté, pour un volume de 0,91m 3. La chambre possède deux fenêtres permettant de voir à l intérieur, l une, très épaisse, sur la porte et l autre, beaucoup plus mince, sur le côté gauche. La fenêtre sur la gauche a été ajoutée spécialement par le fabriquant afin d avoir la possibilité de prendre des mesures à travers la vitre avec un système de corrélation d images. 58

75 Figure 4.2 : Chambre environnementale avec le système Aramis Système de corrélation d images Le système de corrélation d image utilisé est appelé Aramis, de la compagnie GOM. Le système Aramis est un système de mesure optique de déformations en trois dimensions sans contact. Le système est composé de deux caméras à 5 mégapixels d une distance focale de 50 mm disposées sur un trépied, d un senseur, d un ordinateur à haute performance équipé du logiciel d application Aramis et de panneaux de calibration. Le système permet la mesure de déformations aussi petites que 0.02%. Le système est montré à la Figure 4.2. Le système Aramis permet l analyse de plusieurs tailles d échantillon. Il suffit de calibrer le système en fonction du volume de mesure approximatif nécessaire. La calibration s effectue à l aide des panneaux de calibration fournis avec le système. Il est important de choisir un panneau de calibration de taille appropriée à 59

76 l échantillon à mesurer afin d obtenir la plus grande précision possible. Effectivement, plus le volume de mesure est petit, meilleure est la précision des mesures. Avant la calibration, trois paramètres doivent être ajustés : la distance entre le milieu du volume de mesure et la barre de montage des caméras, la distance entre les deux caméras et l angle entre les deux caméras. Ces paramètres, illustrés sur la Figure 4.3, varient selon le panneau de calibration choisi. Le processus de calibration du système consiste à placer le panneau de calibration dans différentes positions données par le logiciel et, pour chacune de ces positions, une photo est prise par les caméras. À partir de ces photos, le logiciel calcule le volume de mesure. Dans le cas présent, le panneau de calibration utilisé est de 135 mm par 108 mm. Les caméras utilisées ayant une résolution de 2448 X 2050 pixels, le système offre une précision d environ 0.05 mm. Cela est légèrement supérieur aux déformations attendues, de l ordre de 0.03 mm pour le tube épais. Cependant, le volume de calibration choisi est le plus petit volume disponible permettant de capturer le comportement du tube entier. Hauteur (volume de mesure) Longueur (volume de mesure) Centre du volume de mesure Largeur (volume de mesure) Distance de mesure Angle de caméra Lentille caméra gauche Lentille caméra droite Support Glissière gauche Distance de glissières Glissière droite Distance de caméras Figure 4.3 : Paramètres de calibration et composantes du système Aramis [9] 60

77 Le principe du système Aramis est le suivant : les caméras prennent simultanément une photo de l échantillon. Les deux caméras ayant une prise de vue différente de l échantillon, le logiciel peut ainsi faire la corrélation entre les deux images afin de générer un modèle 3D de la surface de l échantillon. La première image de l échantillon non déformé sert de stade de référence. Par la suite, une ou plusieurs autres images peuvent être prises pendant le chargement de l échantillon dans le cas d une déformation progressive, ou après le chargement dans le cas d une déformation subite. Le système Aramis corrèle ensuite les images entre elles et calcule les déplacements engendrés par le chargement entre chaque stade de déformation et le stade de référence. Afin de permettre au système de faire la corrélation entre les deux images, la surface de l échantillon doit être apprêtée de façon à ce que chaque pixel détecté par la première caméra soit facilement associable au pixel correspondant sur l image de la deuxième caméra. Pour ce faire, une trame stochastique est appliquée sur la surface de l échantillon par projection de peinture. La trame stochastique permet d obtenir un agencement aléatoire de points blancs sur un fond noir (ou l inverse), rendant ainsi chaque pixel d une image différent des autres pixels de cette image. Un exemple de trame stochastique est montré à la Figure 4.4. Figure 4.4 : Exemple de trame stochastique 61

78 4.2.3 Support de montage Le support de montage utilisé est gracieusement fourni par l Agence Spatiale Canadienne. Il permet le montage vertical simultané de plusieurs tubes. Un maximum de quatre tubes peut être installé sur le support. Il s agit d une plaque d aluminium à laquelle sont vissées quatre courtes tiges cylindriques d un diamètre extérieur correspondant au diamètre intérieur des tubes testés, c est-à-dire de 25.4 mm. Les tiges ont une longueur de 25.4 mm et sont positionnées en ligne droite, séparées par une distance centre en centre de 50.8 mm. Les tubes sont donc installés sur ces tiges, puis maintenus en place par deux mors. Le serrage est assuré par cinq vis placées de part et d autre des tubes sur les mors. La Figure 4.5 montre le support avec un tube installé. Figure 4.5 : Support de montage des essais expérimentaux 62

79 4.3 Procédure des essais Tel que mentionné précédemment, trois tubes ont été fabriqués au total. Afin de tester l influence des différentes variables en jeu, chaque tube est fait d une séquence de plis différente. De plus, dans le but d obtenir le plus petit volume de calibration possible et ainsi obtenir une précision accrue, les essais de torsion thermique ont été effectués sur un tube à la fois. La procédure des essais est décrite dans la présente section Calibration d Aramis Avant de commencer les essais, il est important de calibrer le système Aramis. Puisque l échantillon se trouve à l intérieur de la chambre, les caméras devront prendre les images à travers la vitre de la chambre et, par conséquent, la calibration doit être également faite à travers la vitre. Le panneau de calibration utilisé mesure 135 mm par 108 mm. Pour ce panneau, les caméras doivent être séparées l une de l autre par une distance de 369 mm. La distance entre le milieu du volume de mesure (correspondant à la position initiale du panneau de calibration) et la barre de support des caméras doit être de 920 mm. Afin d éviter que la chaleur, émise par la chambre à travers la vitre, n affecte la précision des caméras, il est recommandé d avoir une distance minimale de 300 mm entre les caméras et la vitre. Pour les présents essais, les caméras ont été placées à 370 mm de la vitre. L épaisseur de la vitre étant approximativement de 5 mm, le panneau de calibration est donc placé initialement à 550 mm de l intérieur de la vitre, pour obtenir la distance totale de 920 mm. En respectant ces distances, l angle entre les caméras se trouve automatiquement ajusté à 25. Après avoir effectué la calibration avant les essais, le volume de mesure final était d approximativement 140 mm par 115 mm par 140 mm. Donc, tant que le système reste bien calibré, il peut mesurer les déformations d une pièce à l intérieur de ce 63

80 volume. Le système reste calibré tant que la position des caméras ne change pas l une par rapport à l autre Préparation des échantillons Tel que mentionné précédemment, les tubes ont besoin de quelques préparations avant d être testés. Tout d abord, ils doivent être coupés à une longueur de 150 mm. Une telle longueur permet d avoir la totalité du tube ainsi que l encastrement à l intérieur du volume de mesure. L encastrement doit être visible sur les images afin de pouvoir appliquer la correction de mouvement de corps rigide, une opération faite pendant le traitement de données qui permet d annuler les mouvements de corps rigide pouvant fausser les déformations calculées par le système Aramis. Également, dans le but d avoir une méthode alternative de mesure de la torsion et des autres déformations, trois rosettes rectangulaires de déformations ont été collées sur chaque tube. La Figure 4.6 montre la position de ces rosettes. Deux rosettes ont été positionnées le long du tube : la première au tiers de la longueur et la deuxième aux deux tiers, dans le but d étudier l uniformité des déformations le long du tube. La dernière rosette a été collée à l opposé de la deuxième rosette afin de pouvoir évaluer si de la flexion était présente dans le tube. 64

81 Figure 4.6 : Positionnement des rosettes de déformations et des thermocouples Ensuite, une trame stochastique doit être peinte sur la surface des tubes. La peinture appliquée doit être le plus mat possible afin d éviter la réflexion de lumière, puisque cette dernière empêche le logiciel de calculer correctement le modèle 3D de la surface. Les tubes sont d abord peints en blanc, puis un moucheté de peinture noire est appliqué. La proportion de points noirs couvrant le fond blanc doit être d approximativement 50% de la surface et ceux-ci doivent être très uniformes, tant dans leur répartition que dans leur taille. La taille des points à obtenir dépend du volume de mesure utilisé. Plus celui-ci est grand, plus la taille des points est grande. La Figure 4.7 montre un exemple de trame stochastique appliquée sur un des échantillons testés. 65

82 Figure 4.7 : Trame stochastique peinte sur l un des échantillons testés Finalement, deux thermocouples ont été collés à l arrière de chaque tube afin de mesurer la température. Un est fixé au bas du tube près de l encastrement et l autre à l autre bout, tel qu illustré à la Figure 4.6. Comme on peut le remarquer sur la Figure 4.6, les thermocouples et les jauges de déformations ont été placés de façon à ne pas apparaître sur les images prises par le système Aramis afin de ne pas perturber les mesures. 66

83 4.3.3 Réalisation des essais de mesure de déformation thermique La première étape est de placer le tube sur son support dans la chambre et de brancher les thermocouples et les jauges de déformation. Il faut également placer un morceau de silice sur lequel une jauge de déformation a été collée. En effet, la silice étant un matériau isotrope avec un coefficient d expansion thermique négligeable, cette étape permet de mesurer les déformations thermiques propres à la jauge pour chaque incrément de température pour ensuite soustraire ces valeurs à celles mesurées par les autres jauges et ainsi obtenir les déformations du tube uniquement. Ensuite, alors que la chambre est à température ambiante, les jauges sont mises à zéro et les premières images sont prises. Cette température servira de température de référence, pour laquelle les déformations sont nulles. Ensuite, le chargement thermique est appliqué en commençant par la température inférieure de -30 C, puis en augmentant par incréments de 10 C, jusqu au maximum de 80 C. Pour chaque incrément de température, deux photos sont prises successivement avec le système Aramis et la lecture de déformation de chaque jauge est notée. Les images et lectures sont prises lorsque la température indiquée par les thermocouples est stable à plus ou moins 0,5 C de la cible. Bien que la chambre environnementale puisse refroidir jusqu à -70 C, la limite inférieure a été fixée à seulement -30 C afin d éviter la formation de glace sur la vitre d observation de la chambre environnementale. En effet, lorsque l on refroidit à une température inférieure à -30 C, de la glace se forme sur la vitre, ce qui obstrue la vision des caméras et rend impossible la prise de photos. La limite supérieure est fixée à 80 C pour ne pas dépasser la température de cuisson du matériau. Afin d éviter que les vibrations causées par la chambre environnementale n influencent les résultats, cette dernière est temporairement arrêtée pendant la prise de photo. L arrêt de la chambre cause un changement de température, mais puisque le temps d arrêt est très court, ce changement de température est minime et donc négligé. 67

84 4.4 Traitement des résultats par le système Aramis Les photos prises par les caméras doivent être traitées afin d obtenir des résultats exploitables. La présente section présente les étapes à exécuter pour le traitement des données Interpolation des résultats Étant donné la nature aléatoire de la trame stochastique, le système Aramis n arrive pas toujours à générer 100 % de la surface à l étude. En effet, lorsque la trame stochastique n est pas assez uniforme sur certaines régions de la surface préparée, le logiciel ne peut générer de facettes de calcul pour ces régions. Cela crée donc des vides sur la surface. Il est possible de remplir ces vides en utilisant la fonction d interpolation des résultats d Aramis. La Figure 4.8 montre la surface avant et après interpolation. Figure 4.8 : Comparaison de la surface générée avant et après interpolation 68

85 4.4.2 Création des primitives et positionnement du système de coordonnées Tel qu illustré à la Figure 4.8, le système de coordonnées n est pas placé adéquatement initialement par Aramis. Il est donc important de le repositionner à un endroit pertinent sur l échantillon étudié. Dans le cas présent, il s agit du centre du tube à l encastrement. Dans Aramis, le positionnement du système de coordonnées se fait par rapport à des entités géométriques appelées primitives. La première primitive à créer est un cylindre pour représenter le tube. La fonction utilisée crée, pour chaque étape, un cylindre à partir de la surface générée. Le cylindre est de type «Best-Fit», ce qui signifie que c est un cylindre qui offre la meilleure corrélation avec la surface du tube. La Figure 4.9 illustre le cylindre créé. Figure 4.9 : Primitive cylindrique 69

86 Ensuite, deux cercles sont créés sur le cylindre primitif, un à l encastrement et l autre à l extrémité libre. Les Figures 4.10 et 4.11 montrent ces opérations. Figure 4.10 : Création du cercle à l encastrement Figure 4.11 : Création du cercle à l extrémité libre 70

87 La dernière primitive à créer avant de repositionner le système de coordonnées est un plan passant par le centre des deux cercles ainsi qu un point sur la surface du tube, tel qu illustré à la Figure Figure 4.12 : Création de la primitive plan Contrairement aux primitives, qui sont générées pour chaque étape du projet, le système de coordonnées dans Aramis est le même pour toutes les étapes. Effectivement, il est essentiel que le système de coordonnées soit immobile entre deux images afin d être en mesure d évaluer les déplacements relatifs entre ces deux images. Pour cette raison, Aramis propose une fonction permettant d éliminer les mouvements de corps rigide pouvant avoir eu lieu pendant l essai. Cette fonction permet à l utilisateur d identifier des points sur la surface n ayant pas subi de déformations (ou très peu) durant tout l essai. Puis, le logiciel pose l hypothèse que ces points sont fixes pour la totalité de l essai et élimine donc tous les déplacements entre ces points d une étape à l autre. Dans le cas présent, les vibrations de la chambre ont causé des mouvements de corps rigide de l échantillon. Pour les retirer, les points à l encastrement ont été 71

88 choisis comme étant fixes durant tout l essai. La Figure 4.13 montre l exécution de la fonction. Les points ombragés sont ceux identifiés comme fixes, à l encastrement. Figure 4.13 : Élimination des mouvements de corps rigide Les primitives étant créées et les mouvements de corps rigide éliminés, le système de coordonnées peut maintenant être repositionné au centre du tube à l encastrement. Cette opération s effectue en indiquant premièrement trois points sur le cercle à l encastrement pour définir le plan XY. Ensuite, deux autres points sur la primitive plan créée précédemment définissent le plan YZ et finalement un dernier point, le centre du cercle à l encastrement, défini le plan XZ. La Figure 4.14 montre le positionnement du système de coordonnées. 72

89 Figure 4.14 : Positionnement du système de coordonnées Création des primitives pour la prise de mesures Dans les présents essais de chargement thermique, trois types de déformations sont étudiés : les déformations circonférentielles, les déformations axiales et finalement, la rotation due à la torsion thermique. Pour calculer ces déformations, il faut extraire d Aramis les valeurs de déplacement d intérêt : l élongation axiale, la variation du rayon ainsi que le déplacement circonférentiel des tubes. Ces déplacements sont obtenus à l aide de primitives. En effet, puisque ces dernières sont générées pour chaque étape d un essai, elles permettent de suivre l évolution à travers l essai de la valeur qu elles représentent. L élongation axiale du tube sera mesurée en traçant une primitive ligne partant de la base du tube jusqu à son extrémité libre. Comme cette ligne relie toujours les deux mêmes points sur la surface, elle changera de dimension en même temps que le tube et ce changement de dimension dans la direction Z servira à calculer la déformation axiale. Il sera donc possible de calculer les déformations axiales pour 73

90 chaque écart de température en divisant le changement de longueur de cette ligne par sa longueur initiale. La Figure 4.15 illustre cette primitive ligne. Figure 4.15 : Création de la primitive ligne servant à la mesure de la déformation axiale La déformation circonférentielle se calcule à partir du changement de rayon. Ce dernier est donné par le cylindre primitif créé précédemment, dont le rayon représente le rayon moyen du tube pour chaque incrément de température. En divisant le changement de rayon par le rayon initial, il sera possible de calculer les déformations circonférentielles. Finalement, l angle de rotation des tubes sera évalué par une méthode développée dans le cadre des présents travaux. Des essais de rotation de corps rigides ont été effectués dans le but de valider cette méthode. Les résultats peuvent être consultés 74

91 à l Annexe B. La méthode développée pour mesurer la rotation d un tube avec le système Aramis est la suivante. Après avoir positionné le système de coordonnées au centre du tube et à l extrémité encastrée, il faut créer une primitive ligne reliant le centre du tube près de l extrémité libre à un point sur son pourtour, tel qu illustré à la Figure Cette ligne subira la même rotation que le tube, puisque le point sélectionné sur le pourtour du cercle changera de position tandis que le point au centre du cercle restera immobile. Figure 4.16 : Création de la primitive ligne pour la mesure de la torsion thermique Il suffit maintenant de mesurer, pour chaque incrément de température, l ampleur de cette rotation en mesurant l angle entre cette ligne et la primitive plan créée précédemment. La Figure 4.17 montre la mesure de cet angle. 75

92 Figure 4.17 : Création de l angle de mesure de rotation Puisque l angle initial n est pas exactement zéro, il faut soustraire cet angle à la valeur mesurée pour chaque incrément afin d obtenir l angle de rotation absolu. 4.5 Traitements des résultats des rosettes de déformation Les mesures prises par les rosettes doivent être traitées afin de représenter les vraies valeurs des déformations subies par le tube. En effet, les jauges se déforment elles-mêmes sous le chargement thermique; il faut donc soustraire ces déformations thermiques des jauges aux valeurs mesurées afin d obtenir les déformations seules du tube. Ces valeurs ont été obtenues en mesurant la déformation d une jauge collée sur un morceau de silice pour chaque incrément de température. En soustrayant ces valeurs à celles mesurées par les jauges collées sur le tube, les déformations du tube seulement ont été obtenues. Par la suite, quelques opérations mathématiques ont dû être effectuées sur les valeurs brutes afin de les transformer en déformations pertinentes pour le tube, c est-à-dire les déformations axiales, circonférentielles et de cisaillement. Pour une 76

93 rosette de déformation, les déformations des jauges (εa, εb et εc) sont reliées aux déformations axiales (εz), circonférentielles (ε θ ) et de cisaillement (γ θz) par : ε a = ε z+ε θ 2 + ε z ε θ cos 2θ 2 a + γ θz sin 2θ 2 a (4.1) ε b = ε z+ε θ 2 + ε z ε θ cos 2(θ 2 b ) + γ θz sin 2(θ 2 b) (4.2) ε c = ε z+ε θ 2 + ε z ε θ cos 2(θ 2 c ) + γ θz sin 2(θ 2 c) (4.3) où a, b, c sont les angles entre la direction circonférentielle et les axes des jauges a, b et c, respectivement tel que le montre la Figure Figure 4.18 : Orientation des jauges d une rosette rectangulaire Comme la rosette est rectangulaire, l angle entre chaque jauge est de 45. Sachant également que la jauge b est collée le long de l axe Z, il est possible de définir les angles θa à 45, θb à 90 et θc à 135. Le système d équation peut donc être résolu et simplifié pour obtenir les déformations εz, ε θ et γ θz : ε z = ε b (4.4) ε θ = ε a ε b + ε c (4.5) γ θz = ε a ε c (4.6) 77

94 Ensuite, l angle de torsion peut être calculé selon les étapes suivantes. Premièrement, le déplacement circonférentiel au bout du tube est calculé selon : U θ [mm] = γ θz l[mm] (4.7) Puis, l angle de rotation au bout du tube est calculé avec : θ[rad] = U θ[mm] r e [mm] (4.8) Finalement, l angle de rotation normalisé sur la longueur est obtenu avec : θ [ rad ] = θ[rad] mm l[mm] (4.9) 78

95 Chapitre 5 Analyse des résultats 5.1 Présentation des résultats Cette section présente et analyse les résultats obtenus lors des essais expérimentaux sur les tubes fabriqués. Les résultats expérimentaux sont également comparés aux résultats du modèle théorique. Les déformations circonférentielles et axiales obtenues pour les trois tubes sont présentées ainsi que l angle de torsion en fonction du changement de température appliqué. Afin de pouvoir comparer les résultats, le chargement thermique appliqué au modèle théorique est égal à celui appliqué expérimentalement, c est-à-dire à la température mesurée des thermocouples. Les contraintes ont également été calculées pour un changement de température de 60 C : les résultats sont présentés à l Annexe C Déformations axiales Les Figures 5.1, 5.2 et 5.3 présentent les déformations axiales mesurées expérimentalement en fonction du changement de température appliqué ΔT. Pour ΔT = 0, la température est égale à la température initiale de 24 C. Sur les figures, les déformations axiales calculées avec le modèle éléments finis sont aussi représentées pour fin de comparaison. 79

96 Déformations axiales (µdef) Déformations axiales (µdef) Aramis Rosette 1 Rosette Rosette Théorique (MEF) ΔT ( C) Figure 5.1 : Comparaison des déformations axiales théoriques et expérimentales du tube Aramis Rosette Rosette 2 Rosette 3 Théorique (MEF) ΔT ( C) Figure 5.2 : Comparaison des déformations axiales théoriques et expérimentales du tube 2 80

97 Déformations axiales (µdef) Aramis Rosette Rosette 2 Rosette 3 Théorique (MEF) ΔT ( C) Figure 5.3 : Comparaison des déformations axiales théoriques et expérimentales du tube 3 Premièrement, la corrélation entre les valeurs théoriques et expérimentales obtenues avec Aramis est excellente pour le tube 1, tel qu illustré à la Figure 5.1. Cependant, la corrélation déprécie dans le cas des deux autres tubes, comme le montrent les Figures 5.2 et 5.3. Dans le cas du tube 2, la courbe obtenue avec Aramis est relativement constante, à l exception d une valeur égarée à un ΔT d environ -40 C, mais montre une erreur relative égale durant la quasi-totalité de l essai. Pour le tube 3, la courbe obtenue avec Aramis est plus erratique, mais représente malgré tout de façon acceptable la tendance linéaire des déformations axiales. Deuxièmement, en ce qui concerne les valeurs obtenues avec les rosettes de déformation, un comportement similaire aux valeurs obtenues avec Aramis est observable : la corrélation est excellente pour le tube 1 (Figure 5.1), mais l erreur relative s agrandit de pair avec l épaisseur du tube testé. Cette erreur grandissante des valeurs expérimentales par rapport aux valeurs théoriques semble liée à la décroissance des déformations axiales mesurées. En effet, plus les valeurs 81

98 mesurées sont faibles, plus la précision d une méthode de mesure est exposée. En outre, la fabrication de stratifiés épais augmente le risque d erreurs de fabrication, tel qu un alignement des fibres imparfait et la présence de bulles d air, puisque le nombre de couches à appliquer est plus élevé. Ces erreurs de fabrication ont également pu contribuer à l imprécision des mesures observées aux Figures 5.2 et 5.3. Pour les tubes 2 et 3, les déformations lues par les rosettes 1 et 2 divergent légèrement de celles mesurées par la rosette 3 lorsqu un changement de température positif est appliqué. Tel qu illustré à la Figure 4.6, les rosettes 1 et 2 ne sont pas du même côté du tube que la rosette 3; la divergence est donc peut-être le résultat d une légère flexion dans le tube du côté de ces rosettes, diminuant ainsi leur élongation axiale. Cette légère flexion pourrait être causée par un manque d uniformité de la température à travers le tube. Par contre, les déplacements mesurés par le système Aramis ne semblaient pas montrer de flexion. Dernièrement, l effet de l ajout du nombre de couche à 0 dans les tubes 2 et 3 est facilement observable dans la diminution des déformations axiales d un tube à l autre. Effectivement, le coefficient d expansion thermique dans la direction des fibres du pré-imprégné carbone-époxyde est beaucoup plus faible que celui dans la direction transverse. Les couches à 0 font donc diminuer le coefficient d expansion thermique global du tube dans la direction axiale. La différence entre les tubes 1 et 2, qui est de seulement deux couches à 0, réduit considérablement l ampleur des déformations axiales, passant de l ordre de 2000 µdef pour le tube 1 à 400 µdef pour le tube 2. 82

99 Déformations circonférentielles (µdef) Déformations circonférentielles Les Figures 5.4, 5.5 et 5.6 présentent la comparaison des déformations circonférentielles obtenues théoriquement et expérimentalement pour chacun des trois tubes testés. Les valeurs mesurées par Aramis pour ces déformations ne sont pas tracées sur les figures, puisqu elles étaient trop erronées. Il est à noter que la méthode de calcul employée pour ces déformations n est pas valable si le tube subit de la flexion, ce qui peut expliquer pourquoi les valeurs sont si erronées Rosette 1-80 Rosette Rosette 3 Théorique (MEF) ΔT ( C) Figure 5.4 : Comparaison des déformations circonférentielles théoriques et expérimentales du tube 1 83

100 Déformations circonférentielles (µdef) Déformations circonférentielles (µdef) Rosette 1 Rosette Rosette 3 Théorique (MEF) ΔT ( C) Figure 5.5 : Comparaison des déformations circonférentielles théoriques et expérimentales du tube Rosette Rosette 2 Rosette 3 Théorique (MEF) ΔT ( C) Figure 5.6 : Comparaison des déformations circonférentielles théoriques et expérimentales du tube 3 84

101 La précision des déformations circonférentielles mesurées à l aide des rosettes de déformation par rapport aux résultats théoriques suit le comportement inverse à ce qui a été observé pour les déformations axiales, c est-à-dire que la précision augmente de pair avec l épaisseur du tube testé. En effet, la corrélation du tube 1 (Figure 5.4) est médiocre, tandis qu elle s améliore pour le tube 2 (Figure 5.5), pour finalement devenir excellente pour le tube 3 (Figure 5.6). Encore une fois, l ordre de grandeur des déformations mesurées semble jouer un rôle dans la précision de la mesure des déformations. Dans le cas des déformations circonférentielles, l ajout de couches à 0 a un impact totalement à l opposé de ce qui est observable pour les déformations axiales. L ajout des couches à 0 fait augmenter le coefficient d expansion thermique dans la direction circonférentielle (transverse aux fibres). Cela démontre bien la versatilité des matériaux composites et l importance de concevoir un stratifié en fonction de son utilisation Angle de torsion Finalement, les Figures 5.7, 5.8 et 5.9 présentent la comparaison des angles de rotation obtenus théoriquement et expérimentalement pour chacun des trois tubes testés. 85

102 Torsion thermique (µrad/mm) Torsion thermique (µrad/mm) Aramis Rosette 1-15 Rosette 2 Rosette 3 Théorique (MEF) ΔT ( C) Figure 5.7 : Comparaison des déformations en torsion théoriques et expérimentales du tube Aramis -20 Rosette 1 Rosette 2-25 Rosette 3 Théorique (MEF) ΔT ( C) Figure 5.8 : Comparaison des déformations en torsion théoriques et expérimentales du tube 2 86

103 Torsion thermique (µrad/mm) Aramis Rosette 1 Rosette 2-30 Rosette 3 Théorique (MEF) ΔT ( C) Figure 5.9 : Comparaison des déformations en torsion théoriques et expérimentales du tube 3 La corrélation entre les valeurs théoriques et les valeurs expérimentales obtenues avec Aramis est médiocre dans le cas du tube 1, tel qu illustré à la Figure 5.7. La courbe oscille autour de zéro et laisse présager qu uniquement du bruit a été mesuré. Ceci était anticipé, puisque le tube 1 a un ratio du rayon moyen par rapport à l épaisseur élevé, ce qui, tel que démontré au Chapitre 3, signifie de faibles déformations de torsion thermique. L imprécision des méthodes de mesures s en est donc trouvée amplifiée. Encore une fois, la corrélation s améliore pour les tubes 2 et 3, qui présentent des déformations plus importantes, mais elle reste néanmoins moyenne. La corrélation ambivalente des résultats obtenus avec Aramis peut provenir en partie d erreurs de fabrication des tubes, notamment au niveau de l alignement des couches à ±75. En effet, tel que démontré par les Figures 3.1 et 3.2, l angle d enroulement des fibres par rapport à l axe du tube influence grandement la torsion thermique. Ainsi, une erreur dans l alignement de l angle peut induire une diminution importante de la torsion, particulièrement lorsque l angle tend vers 90. Néanmoins, ces résultats démontrent qu Aramis réussit à établir une 87

104 tendance pour le comportement en torsion des tubes, mais que sa capacité à mesurer précisément l angle de torsion est limitée. Des conclusions similaires peuvent être tirées pour la méthode de mesure par rosettes de déformation, dont les résultats ne montrent pas de meilleure corrélation avec les résultats théoriques. En effet, pour le tube 1, la corrélation n est pas excellente, mais elle s améliore pour les tubes 2 et 3, particulièrement pour les rosettes 1 et 3, dont les résultats sont semblables et assez près de ceux théoriques. Donc de façon similaire aux données mesurées avec Aramis, les rosettes de déformation démontrent que le phénomène de torsion thermique dans les tubes de stratifiés équilibrés est présent, mais la précision des mesures n est pas excellente. Finalement, malgré leur précision moyenne, les résultats obtenus démontrent bien l influence de l épaisseur du tube sur la torsion thermique. En effet, l ordre de grandeur des déformations maximales mesurées expérimentalement est d approximativement 10 µrad/mm pour le tube 1, 15 µrad/mm pour le tube 2 et 20 µrad/mm pour le tube Conclusions Les résultats des essais expérimentaux montrent que les méthodes de mesures testées donnent des résultats plus ou moins précis en fonction de l ordre de grandeur des déformations mesurées. Cependant, les essais ont bel et bien démontré le phénomène de torsion thermique et les méthodes de mesures peuvent être employées pour estimer l ordre de grandeur des déformations. Le comportement global du tube est bien capturé. Quelques sources d erreur ont pu influencer les résultats : erreur dans l alignement des fibres pendant la fabrication des tubes; erreur d alignement lors du collage des jauges; 88

105 les propriétés du matériau sont dépendantes de la température, ce qui a été négligé dans les présents travaux; erreur dans la détermination des propriétés du matériau entrées dans le modèle; variation de la température dans les tubes lors des essais. Il est à noter que Rousseau et al. [8] ont également constaté beaucoup de variation dans les mesures prises par les rosettes de déformation. 89

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107 Chapitre 6 Conclusion et recommandations Le phénomène de torsion dans les tubes de matériaux composites soumis à un chargement thermique a été étudié. Les objectifs de l étude étaient de proposer un modèle par éléments finis prédisant avec précision les déformations de torsion thermique, d étudier l influence des paramètres géométriques du tube sur la torsion thermique et les contraintes engendrées et finalement, d évaluer la capacité de mesurer la torsion thermique à l aide d un système de corrélation d image en trois dimensions. En premier lieu, le modèle par éléments finis dans Abaqus a été construit en utilisant quatre types d éléments coques (S4R, S4R5, S8R, S8R5) et un type d élément solide (C3D20R) afin de valider l élément le plus approprié pour cette application. Pour chaque type d élément, une étude de convergence a été faite. Les résultats du modèle ont été validés en utilisant les résultats d une analyse élastique de Rousseau et al. [8] prenant en compte les trois dimensions. Il a été démontré par le modèle que les éléments coques sous-estimaient la torsion thermique et ce, même dans une application de coque mince. De plus, les éléments coques ne prédisent aucune contrainte radiale, puisqu ils ne tiennent pas compte des effets à travers l épaisseur. À l opposé, les éléments solides C3D20R prédisent très précisément les déplacements et les contraintes, quoique plusieurs éléments doivent être utilisés à travers l épaisseur pour prédire correctement les contraintes radiales. Il est donc recommandé d utiliser des éléments solides 3D pour modéliser adéquatement le comportement en torsion de tubes en matériau composite, même si ceux-ci sont à paroi mince. L étude paramétrique a démontré que pour des applications de chargement thermique, l angle d orientation des plis hors axes qui offrait la meilleure réaction à ce type de chargement en termes de déplacements et de contraintes était compris 91

108 entre 10 et 20. Un angle plus faible ne donne pas assez de résistance circonférentielle et un angle plus élevé augmente drastiquement les déplacements et contraintes. Il a également été démontré que l angle maximisant la torsion n est pas de 45 pour des stratifiés asymétriques et équilibrés (même en cas de tube mince). En effet, pour les deux types de stratifiés étudiés, cet angle se tient plutôt autour de 75 et est fonction du rayon et de l épaisseur. Ce résultat peut sembler contre-intuitif car les contraintes de cisaillement dans les couches hors-axe sont maximum pour une valeur de θ autour de 45. D ailleurs, l hypothèse que la torsion est maximum pour θ = 45 a été utilisé par Milburn [5] pour développer un modèle analytique. Il pourrait alors s avérer que les résultats de ce modèle soient erronés. Quant à la variation du ratio ri/t, l étude a donné des résultats différents selon le type de stratifié étudié. En effet, le stratifié [ -θ2 / 0n / θ2 ] (type 1) a montré une diminution notable des contraintes σ1 et τθz et une légère augmentation de τ12 pour des tubes plus minces, tandis que le stratifié [ -θn / 02n / θn ] (type 2) a montré l opposé : une augmentation notable des contraintes σ1 et τθz et une légère diminution de τ12. Cela indique donc que le stratifié de type 1 est plus approprié pour les applications de tubes à paroi mince et le stratifié type 2 pour les tubes à paroi épaisse. Les deux méthodes de mesure ont donné des résultats qui corrèlent assez bien avec les résultats théoriques. La méthode de calcul proposée pour déterminer l angle de torsion avec le système par corrélation d images donne des résultats satisfaisants. Elles ont démontré l existence du phénomène et malgré le manque de précision, les déplacements mesurés ont le même ordre de grandeur que les résultats théoriques. Les différences entre les résultats expérimentaux et théoriques peuvent provenir de différentes sources : erreur dans l alignement des fibres pendant la fabrication des tubes; erreur d alignement lors du collage des jauges; les propriétés du matériau sont dépendantes de la température, ce qui a été négligé dans les présents travaux; 92

109 erreur dans la détermination des propriétés du matériau entrées dans le modèle; variation de la température dans les tubes lors des essais. Dans le cadre de futurs travaux de recherche, il serait intéressant d utiliser d autres types d éléments, comme les éléments solides axisymétriques CGAX (dans Abaqus) pour modéliser le comportement en torsion thermique de tubes stratifiés. La précision de ces éléments ainsi que le temps de calcul pourraient être comparés aux éléments solides C3D20R. En outre, l effet de la torsion thermique sur la fatigue du matériau en situation de cyclage thermique pourrait être étudié. Également, il serait intéressant d observer la torsion thermique conjointement à d autres types de chargement de nature mécanique, hydrique ou autres. 93

110

111 Bibliographie 1. J. M. Whitney, On the Use of Shell Theory for Determining Stresses in Composite Cylinders, J.Compos. Mater., vol. 5, pp , M. W. Hyer, C. Q. Rousseau and S. S. Tompkins, Thermally Induced Twist in Graphite-Epoxy Tubes, J. Eng. Mater. Technol., 110(2), pp , N. Tutuncu and S. J. Winckler, Thermally Induced Twist in Composites Tubes and Their Applications to Helicopter Rotor Blades with Controllable Twist, Journal of the Helicopter Society, vol. 39, n 1, pp , N. Tutuncu and S. J. Winckler, Stresses and Deformations in Thick-Walled Cylinders Subjected to Combined Loading and a Temperature Gradient, Journal of Reinforced Plastics and Composites, vol 12, n 2, pp , G. Milburn, Torsion Behaviour of Composite Tubes under Thermal Loading, Division of Graduate Studies of the Royal Military College of Canada, A. S. Kaddour, S. T. S. Al-Hassani and M. J. Hinton, Residual Stress Assessment in Thin Angle Ply Tubes, Applied Composite Materials 10, pp , D. Holstein, P. Aswendt, R. Höfling, C. D. Schmidt and W. Jüptner, Experimental and Numerical Analysis of the Thermal Deformation of Composite Tubes, SPIE, vol. 3407, pp , C. Q. Rousseau, M. W. Hyer, S. S. Tompkins, Stresses and Deformations in Angle-Ply Composite Tubes, Virginia Tech Center for Composite Materials and Structures Report, CCMS-87-04, GOM Optical Measuring Techniques, ARAMIS User Manual Software (Version 6.3 and higher), 23 mai M. Gakwaya, Compensation des Déformations Induites Thermiquement dans les Matériaux Composites à l aide d un Piezocomposite, Faculté des Études Supérieures de l Univertisé Laval, M. W. Hyer, D. E. Cooper and D. Cohen, Stresses and Deformations in Cross- Ply Composite Tubes Subjected to a Uniform Temperature Change, Journal of Thermal Stresses, 9: 2, pp , Dassault Systèmes, Abaqus, (Version 6.10) [Logiciel]. (2010, 1 er juin) 13. M.W. Hyer, Stress Analysis of fiber-reinforced composites materials, WCB/McGraw-Hill, New York (1998). 95

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113 Annexe A. Caractérisation des propriétés du matériau Afin d obtenir les résultats théoriques les plus précis, il est impératif de bien caractériser le matériau à l étude. Dans le cas présent, les propriétés importantes se classent dans deux catégories : les propriétés mécaniques et les propriétés thermomécaniques. Les propriétés hygromécaniques n ont pas été prises en compte, étant donné que les tubes n ont pas eu assez de temps pour absorber l humidité entre le moment de leur fabrication et le moment des essais effectués. Cependant, les propriétés hygromécaniques devraient être incluses au modèle si ce dernier est utilisé pour prédire le comportement de pièces à utilisation prolongée, car dans ce cas, l humidité devient un facteur important dans le comportement du matériau. A.1. Propriétés mécaniques Les propriétés mécaniques du matériau utilisé dans le cadre des travaux de recherche présents ont déjà été caractérisées par Gakwaya [10]. Toutefois, puisque le pré-imprégné de carbone-époxyde avait vieilli, des essais de traction sur des éprouvettes quasi-isotropes ont été effectués afin de confirmer la validité des propriétés trouvées dans les travaux de Gakwaya. Pour ce faire, une plaque stratifiée de huit couches de matériau composite préimprégné a été fabriquée en utilisant le procédé de moulage sous vide, puis a été découpée en quatre éprouvettes de dimensions respectant les normes ASTM D3039 et D3518. L orientation des couches est définie par [0/90/+45/-45]S, où s en indice après le crochet signifie que le stratifié est symétrique. Grâce à cette séquence de plis, la plaque a les mêmes propriétés mécaniques dans le plan X-Y, d où le terme quasi-isotrope. En utilisant la théorie classique des stratifiés, il a été possible de prédire le module de rigidité de l éprouvette quasi-isotrope à partir des 97

114 propriétés mécaniques d une seule couche trouvées par Gakwaya. Ce module de rigidité théorique a pu être comparé avec celui déterminé par les essais de traction. Le Tableau A.1 présente les propriétés mécaniques d une couche du matériau RS- 1/Panex 33 trouvées dans [10]. Tableau A.1 : Propriétés mécanique du RS-1/Panex 33 [10] E 1 (GPa) E 2 (GPa) E 3 (GPa) ν 12 ν 13 ν 23 G 12 (GPa) G 13 (GPa) G 23 (GPa) 101,7 7,91 7,91 0,318 0,318 0,458 3,02 3,02 2,71 Le Tableau A.2 présente la géométrie des éprouvettes testées. Trois mesures ont été prises à différents endroits sur les éprouvettes pour chaque dimension et la moyenne arithmétique de chacune a été utilisée pour calculer l aire. Tableau A.2 : Dimensions des éprouvettes testées [0/90/45/-45]S Éprouvette 1 Éprouvette 2 Éprouvette 3 Éprouvette 4 Épaisseur (mm) Largeur (mm) Épaisseur (mm) Largeur (mm) Épaisseur (mm) Largeur (mm) Épaisseur (mm) Largeur (mm) Lecture 1 1,374 19,989 1,323 20,178 1,388 20,000 1,391 20,106 Lecture 2 1,333 20,051 1,328 20,066 1,350 19,958 1,331 20,060 Lecture 3 1,303 19,828 1,344 19,628 1,315 19,941 1,336 19,779 Moyenne 1,337 19,956 1,332 19,957 1,351 19,966 1,353 19,982 Aire (mm 2 ) 26,675 26,577 26,975 27,029 Les essais de traction ont été effectués à l aide d une machine à traction MTS Insight 100 KN. Les déformations axiales ont été mesurées à l aide d un vidéoextensomètre. La force développée par la machine à traction et les déformations mesurées par le vidéo-extensomètre sont traitées par le logiciel d acquisition de données Testworks. La contrainte axiale est calculée en divisant la force exercée sur l éprouvette par son aire. Afin d obtenir le module de rigidité axial EX, il suffit de tracer le graphique de la contrainte axiale en fonction de la déformation axiale et la pente de ce graphe correspond au module recherché. À titre d exemple, la Figure A.1 montre la courbe obtenue pour l éprouvette numéro 1. Sur le graphique, une 98

115 Contrainte axiale [MPa] courbe de tendance linéaire de la courbe contrainte-déformation a également été tracée. L équation de cette courbe de tendance linéaire est affichée, et tel que mentionné ci-dessus, la pente représente le module de rigidité axial, qui pour cette éprouvette est de 38.7 GPa y = 38702x + 8,411 R² = 0, ,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 Déformation axiale [mm/mm] Éprouvette 1 Linéaire (Éprouvette 1) Figure A.1 : Contraintes axiales en fonction des déformations (Éprouvette 1) Le Tableau A.3 présente les modules de rigidité obtenus pour chacune des éprouvettes, la moyenne des quatre valeurs ainsi qu une comparaison entre le module expérimental moyen et le module théorique prédit par la théorie classique des stratifiés en utilisant les propriétés indiquées dans le Tableau A.1. Tableau A.3 : Modules de rigidité expérimentaux et théorique E X1 (GPa) E X2 (GPa) E X3 (GPa) E X4 (GPa) E Xmoy (GPa) E Xth (GPa) % erreur Écart Type 38,702 40,121 37,966 40,438 39, ,912 1, ,170 Les modules de chaque éprouvette sont assez similaires, la plus grande différence étant entre les éprouvettes 3 et 4 et est de l ordre de 2.5 GPa. Cette différence est expliquée par le fait qu il est difficile d avoir une orientation parfaite des fibres lors de 99

116 la fabrication des éprouvettes. En effet, si certaines couches dévient légèrement par rapport à leur orientation théorique, cela entraîne un effet direct sur la valeur du module de rigidité axial. Cependant, malgré ces petites différences, la moyenne du module des quatre éprouvettes a une très bonne corrélation avec le module théorique prédit par la CLT. Les propriétés élastiques trouvées dans les travaux de Gakwaya sont donc toujours valides et seront les propriétés utilisées dans les présents travaux de recherche. A.2. Coefficients d expansion thermique L objet de la présente étude étant l étude des déformations thermiques dans les tubes de matériau composite, la détermination des coefficients d expansion thermique est d importance primordiale. Afin de déterminer ces propriétés, des essais d expansion thermique ont été effectués. Tout d abord, un essai a été fait sur un matériau composite unidirectionnel pour mesurer les coefficients d expansion thermique dans les directions des fibres (α1) et transverse (α2) du matériau. À cette fin, une plaque [ 0 / 0 / 0 / 0 ]T de 50.8 mm par 76.2 mm a été fabriquée et quatre jauges de déformations, deux dans le sens des fibres et deux transversalement, ont été collées de part et d autre de la plaque. Sachant que les jauges de déformation subissent elles-mêmes une déformation sous un chargement thermique, une jauge additionnelle a été collée sur un morceau de silice afin de mesurer uniquement la déformation thermique de la jauge. En effet, le coefficient d expansion thermique de la silice étant négligeable, cette méthode permet de soustraire les déformations thermiques de la jauge elle-même aux déformations mesurées par les autres jauges collées sur l échantillon, obtenant ainsi uniquement les déformations thermiques de ce dernier. Une chambre environnementale Cincinnati Sub-Zero a été utilisée afin d appliquer le changement de température et pour contrôler la température des échantillons, des thermocouples ont étés collés sur la plaque et le morceau de silice. L intervalle de température théorique de l essai est de -40 C à 60 C. Les jauges de déformations 100

117 sont mises à zéro à -40 C, puis la température est augmentée par incrément de 10 C, en assurant la stabilisation à l aide des thermocouples et une lecture de toutes les jauges a été prise pour chaque incrément. Pour chaque direction, la moyenne arithmétique des deux jauges a été calculée, puis la valeur de la jauge sur la silice a été soustraire à cette moyenne. Le Tableau A.4 présente les résultats obtenus. Tableau A.4 : Déformations thermiques mesurées sur une plaque unidirectionnelle Déformations thermiques (µdef) Tthéorique ( C) Tthermocouple ( C) ΔT ( C) ε 1 ε , ,27 10,03 370, ,79 20, ,78 30, , ,35 39, , ,69 49, ,5 128, ,05 60, ,5 150, ,07 70, ,5 172, ,65 79, , ,5 89,8 3266,5 211, ,15 100, ,5 231,5 Avec ces résultats, il est possible de tracer les graphiques de la variation des déformations thermiques dans les directions des fibres et transverse en fonction du changement de température. Ces courbes sont présentées sur les Figures A.2 et A.3. La pente de chaque graphique représente le coefficient d expansion thermique dans leur direction respective. 101

118 Déformation thermique ε 2 [µdef] Déformation thermique ε 1 [µdef] y = 2,2282x + 14,654 R² = 0, Direction fibres Linéaire (Direction fibres) ΔT [ C] Figure A.2 : Déformations thermiques dans la direction des fibres (ε 1 ) en fonction de ΔT y = 36,495x - 14,288 R² = 0, Direction transverse 500 Linéaire (Direction transverse) ΔT [ C] Figure A.3 : Déformations thermiques dans la direction transverse (ε 2 ) en fonction de ΔT 102

119 Dans le cas de la Figure A.2, la courbe de déformations est généralement linéaire, tel qu illustré par la courbe de tendance. En effet, une grande partie de la courbe a la même pente que la courbe de tendance. Les quelques écarts peuvent être expliqués par le fait que dans la direction des fibres, les déformations sont très faibles, donc les légères fluctuations de la jauge lors de la lecture sont plus apparentes. Dans le cas des déformations thermiques dans la direction transverse, à la Figure A.3 les résultats sont très satisfaisants. La courbe obtenue démontre fortement la linéarité de l expansion thermique. Les coefficients d expansion thermique mesurés sont de / C dans la direction des fibres et de / C dans la direction transverse. Ces valeurs seront utilisées dans les calculs ultérieurs de ce projet. Afin de vérifier la validité de ces valeurs, un essai d expansion thermique a également été fait sur un échantillon quasi-isotrope dans le but de comparer le coefficient d expansion thermique obtenu avec celui prédit par la théorie classique des stratifiés. Deux jauges ont étés collées dans la direction 0 de part et d autre de la plaque. Le reste du test a été effectué de la même façon que les essais précédents. La Figure A.4 montre les déformations thermiques mesurées en fonction du changement de température ΔT. La pente de la droite de tendance tracée représente le coefficient d expansion thermique. 103

120 Déformations thermiques α x [µdef] y = 4,2715x + 0,8324 R² = 0, Série1 Linéaire (Série1) ΔT [ C] Figure A.4 : Déformations thermiques d'un échantillon quasi-isotrope en fonction de ΔT Comme dans le cas des déformations mécaniques, les résultats de cet essai sont très linéaires. Le coefficient d expansion thermique mesuré est de / C, ce qui donne un écart de % avec la valeur théorique de la théorie classique des stratifiés, de / C. Cela représente une erreur considérable qui peut être attribuée aux erreurs de mesure dans la détermination de α1 et α2. Ces erreurs proviennent de la fabrication du stratifié, par exemple de l imprécision de la direction des fibres des différentes couches ou la présente de bulles d air dans le stratifié. 104

121 Annexe B. Développement et validation de la méthode de mesure de l angle de torsion Le module d analyse des résultats d Aramis permet l affichage direct de certains résultats, comme par exemple les déplacements selon les axes X, Y et Z du système de coordonnées établi. Cependant, la rotation autour d un axe n en fait pas partie. Par conséquent, une méthode de mesure de la torsion thermique a été développée. Afin de valider la précision de cette méthode, un essai simple de rotation d un corps rigide a été réalisé et mesuré avec le système Aramis. B.1. Essai de rotation libre L essai consiste à monter une tige d aluminium dans le mandrin d un tour numérique afin de lui induire une rotation connue, puis prendre des images pour chaque angle. La rotation du mandrin étant précise au millième de degré, il est donc possible de connaître très précisément l angle induit à la tige et comparer cette valeur à celle mesurée par Aramis. Une rotation totale de 2 a été appliquée par incréments de 0,25, puis ramenée à 0 avec le même incrément. Afin d évaluer la répétabilité et la stabilité des données d Aramis, trois photos ont été prises pour chaque incrément. L essai a été réalisé avec le même volume de mesure que les essais de déformation thermique. La Figure B.1 illustre le montage de l essai. 105

122 Figure B.1 : Montage de l essai de rotation libre B.2. Validation de la méthode de mesure de la rotation La méthode développée pour mesurer la rotation d un tube dans Aramis est la suivante. Après avoir positionné le système de coordonnées au centre du tube et à l extrémité encastrée, il faut créer une primitive plan correspondant au plan YZ du système de coordonnées. Rappelons que puisque le système de coordonnées ne change pas de position d une étape à l autre, le plan sera aussi immobile d une étape à l autre. La Figure B.2 illustre ce plan. 106

123 Figure B.2 : Primitive plan utilisée pour la mesure de la rotation Ensuite, une primitive ligne reliant le centre du tube à un point sur son pourtour est créée pour chaque étape. Cette ligne reflétera donc la rotation du tube, puisque le point sélectionné sur le pourtour du cercle changera de position tandis que le point au centre du cercle restera immobile. Il ne suffit maintenant qu à mesurer l ampleur de cette rotation en mesurant l angle entre cette ligne mobile et le plan immobile précédemment créé. La Figure B.3 montre la mesure de cet angle. 107

124 Figure B.3 : Angle de rotation mesuré Puisque l angle initial n est pas exactement zéro, il faut soustraire cet angle à la valeur mesurée pour chaque étape afin d obtenir la rotation absolue. La Figure B.4 montre l angle de rotation appliqué ainsi que l angle déterminé par cette méthode de mesure. 108