Étude numérique pour analyse paramétrique directe des systèmes tournants en dynamiques non-linéaires

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1 Club Cast3M 2015 Étude numérique pour analyse paramétrique directe des systèmes tournants en dynamiques non-linéaires Présentée par : Lihan XIE Thèse CEA Saclay (DEN/DM2S/SEMT/DYN) Directeur de thèse : R. DUFOUR (LaMCoS) Encadrant : S. BAGUET (LaMCoS) Encadrant CEA : B. PRABEL

2 INTRODUCTION Contexte industriel d études des machines tournantes: Investissements financiers importants Impact majeur sur la sûreté des installations... En prenant en compte les nonlinéarités dans les machines : Non-linéarités présentes: fissure, contact rotorstator, paliers hydrodynamiques Phénomènes complexes: saut d amplitudes, cycle d hystéresis, instabilités... Bifurcation Changement de stabilité, mutation de régime Étude paramétrique 2

3 Objectif et Positionnement Objectif : Mise en oeuvre de techniques efficaces dans Cast3M pour étudier le comportement non-linéaire des machines tournantes dans le cadre de la modélisation élément fini tri-dimensionnelle. Réponse forcée au balourd, en régime établi Méthodes de résolution : Méthode de la Balance Harmonique (HBM) [CAM89] Analyse de stabilité par la théorie de Floquet Détection et localisation des bifurcations dans le cadre de HBM 3

4 Plan de la présentation I. Introduction et Objectif II. Courbe de réponse par la HBM III. Analyse de stabilité IV. Bifurcation V. Applications numériques VI. Perspective 4

5 Courbe de réponse - Méthode de la Balance Harmonique (HBM) Rotor linéaire modélisé par des éléments 3D dans le repère mobile : Effet de Coriolis Effet centrifuge Équation de mouvement d un rotor non-linéaire : Décomposition en séries de Fourier : En fréquentiel : DFT : 5

6 Courbe de réponse - Méthode de la Balance Harmonique (HBM) Rotor linéaire modélisé par des éléments 3D dans le repère mobile : Effet de Coriolis Effet centrifuge Équation de mouvement d un rotor non-linéaire : Décomposition en séries de Fourier : En fréquentiel : DFT : 6

7 Courbe de réponse - Technique de continuation par pseudo longueur d'arc Solution initialement approchée PREDICTION Direction tangente CORRECTIONS Pseudo-longueur d arc Test sur le résidu R <ε 7

8 Courbe de réponse - Technique de continuation par pseudo longueur d'arc Solution initialement approchée PREDICTION Direction tangente CORRECTIONS Pseudo-longueur d arc Test sur le résidu R <ε nous permet de suivre la courbe de réponse 8

9 Courbe de réponse - AFT (Alternating frequency-time) Algorithme HBM + Continuation : X, ω solution initiale approchée pour ω = ω0 Calcul des termes non linéaires AFT (Alternating frequency-time) X (x,x') DFT -1 fnl DFT DFT FNL k=k+1 9 i=i+1

10 STABILITY Analyse de stabilité ANALYSIS Théorie de Floquet HBM : + Petite perturbation Système quadratique des valeurs propres: Analyse de stabilité des solutions périodiques dans le domaine fréquentiel : Valeurs propres complexes Λ = Exposants de Floquet Stabilité et Bifurcations Im Point limite (fold) Λ = iµ Hopf secondaire (NS) Quasi - periodic Stable Λ = 0 LP / BP Instable Re Bifurcation simple Periodic Neimark-Sacker Λ = -iµ Hopf secondaire (NS) 10 Points singuliers

11 Détection des bifurcations - Points singuliers (LP ou BP) Point limite Bifurcation simple Caractérisation des points singuliers : 11

12 Détection des bifurcations - Points singuliers (LP ou BP) Point limite Bifurcation simple Caractérisation des points singuliers : - Bifurcation de Neimark-Sacker (NS) hopf simple 12 A. Griewank, G. Reddien The calculation of Hopf points by a direct method IMA J. Numer. Anal., 3 (1983), pp

13 Organigramme d un calcul sous Cast3M Définition du chargement non-linéaire fnl(t), dfnldx(x) RIGI, MASS, AMOR, KENT, CORI, BLOQ DONNEES MODELISATION ROTOR et STATOR M, C, K, Kcl (Cgyro, Ccori, Kcent ) PJBA Réduction de Craig-Bampton DIAG: nb de vp nég VIBR, IDLI, DEPI, REAC PJBA Réduction de Craig-Bampton LIAIRS AFT - TFR INDICATEURS de BIFURCATION PREPARATION- HBM Dupliquer les matrices sur les harmoniques RESOLUTION PAR CONTINUATION Prédiction - Correction ANALYSE STABILITE Exposants de Floquet HBM LIAISONS R-S en harmoniques CONTINU MONO 13 LIAIRS RELA

14 Application numérique - Jeffcott avec Contact Simplifié à 2ddls Modèle de contact par pénalité Loi de frottement de Coulomb Réponse au balourd Jiang J., Determination of the global responses characteristics of a piecewise smooth dynamical system with contact, Nonlinear Dynamics, 2009, 57,

15 Application numérique - Jeffcott avec Contact - Réponse au balourd en variant le coefficient de frottement µ = 0.05 µ = 0.11 µ =

16 Application numérique - Jeffcott avec Contact - Validation temporelle Contact annulaire Solution périodique µ =

17 Application numérique - Jeffcott avec Contact - Validation temporelle Contact partiel avec du rebond µ = 0.11 Solution quasi-périodique 17

18 Application numérique - Rotor à 3 disques avec contact rotor-stator avec Stator fixe kcontact=10*kpalier r_disques = 0,12m, 0,2m,0,2m kxx=kzz=6e7n/m cxx*czz=600n/m/s r_arbre=0,05m l=1,3m 18

19 Application numérique - Rotor à 3 disques avec contact rotor-stator en poutre (SEG2) 2.5 Eccentricity r / clearance h Linear Stable periodic Unstable periodic Limit point NS bifurcation 2.5 µ=0.2 Linear Stable periodic Unstable periodic Limit point Rotating speed (tr/min) µ=0.03 Excentricity/clearance Rotating speed (tr/min)

20 Application numérique - Rotor à 3 disques avec contact rotor-stator en 3D (CU20) µ=0.1 20

21 Conclusion Modélisation 3D du rotor et stator, réduction de modèle Mise en œuvre de la Méthode de la Balance Harmonique, de l analyse de stabilité au sein de CAST3M Etude du comportement des rotors appliqués à différents types de nonlinéarité, analyse de la stabilité des solutions périodiques Détection de point limite où le changement de stabilité est indiqué, de bifurcation simple, et de bifurcation du régime périodique vers le régime quasi-périodique 21

22 Perspective Etude paramétrique des bifurcations du système non-linéaire Q (Q 0,ω 0,λ 0 ) Δs R(Q,ω,λ=λ 0 ) (Q 0 +ΔQ,ω 0 +Δω,λ 0 +Δλ) (Q 1,ω 1,λ 1 ) ω CEA 10 AVRIL 2012 PAGE 30 λ G res (Q,ω,λ) R(Q,ω,λ=λ 1 ) 22

23 Perspective Limit points tracking (LP): λ : additional parameter : equilibrium : characterization of limit points : normalization : path following where with 23

24 Application numérique - Jeffcott avec Contact 24

25 Application numérique - Jeffcott avec Contact Coefficient de frottement µ = 0.2 Fréquence d excitation dimensionné Etude paramétrique des bifurcations du système non-linéaire 25 Détermination les seuils de stabilité, et les frontières de changement de régime du système en dynamique non-linéaire

26 Référence [CAM 89] CAMERON T.M., GRIFFIN J.H. An Alternating Frequency/Time Domain Method for Calculating the Steady-State Response of Nonlinear Dynamic Systems. Journal of Applied Mechanics, vol. 56, n 1, 1989, p , ASME. [PEL13] PELETAN L., BAGUET S.,TORKHANI M., JACQUET-RICHARDET G. A Comparison of Stability Computational Methods for Periodic Solution of Nonlinear Problems With Application to Rotordynamics. Nonlin. Dyn. 72, , 2013 [JIA 09] JIANG J., Determination of the global responses characteristics of a piecewise smooth dynamical system with contact, Nonlinear Dynamics, 2009, 57, [GRI 83] GRIEWANK A., REDDIEN G. The calculation of Hopf points by a direct method, IMA J. Numer. Anal., 3 (1983), pp

27 MERCI DE VOTRE ATTENTION! 27 CEA 10 AVRIL 2012 Commissariat à l énergie atomique et aux énergies alternatives Centre de Saclay Gif-sur-Yvette Cedex T. +33 (0)1 XX XX XX XX F. +33 (0)1 XX XX XX XX Etablissement public à caractère industriel et commercial RCS Paris B Direction de l Energie Nucléaire Direction déléguée aux Activités Nucléaires de Saclay Département de Modélisation des Systèmes et Structures Service Laboratoire