DS3. 1- EQUILIBREUSE DE ROUE Le schéma cinématique d'une équilibreuse de roue de véhicule est donné ci-dessous. x, y z

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1 Le sujet comprend : un exercice de cinématique (analytique) Un exercice de cinétique Un problème sur les inerties,et les asservissements Un exercice sur les asservissements. Bon courage EQUILIBREUSE DE ROUE Le schéma cinématique d'une équilibreuse de roue de véhicule est donné cidessous. x, y z R (O, ) est un repère lié au bàti (S ) de l'équilibreuse. Le bras (S ) a une liaison pivot d'axe (O, z ) avec (S ). Soit R (O, x, y, z ) un repère lié à (S ). On pose α= ( x ),, x La roue (S ) de centre C a une liaison pivot d'axe (, x ) avec (S ). x, z y, Soit R (C, ) un repère lié à (S ), tel que OC = r.x (r constante positive). On pose β=( z, z ) z Lorsque la roue n'est pas équilibrée, les effets dynamiques font varier l'angle α entre deux bornes qui peuvent être mesurées. Afin de supprimer cette variation, des masselottes appropriées sont placées sur la périphérie de la jante. Une masselotte d'équilibrage est assimilée à un.point P, dont la position dans R est définie par : CP = a. x + c. z (a et c sont des constantes positives). x α O z β C β z P x y M Salette Lycée Brizeux Quimper. Tracer (en couleur) les figures permettant de faire les changements de repère. Exprimer les vecteurs vitesse de rotation : Ω /, Ω /, et Ω / 3. Déterminer le vecteur vitesse du point P par rapport au bâti (S ) : V P / Déterminer le vecteur accélération du point P par rapport au bâti (S ) : Γ P / : DS 3.doc Page sur 4 Créé le 4//

2 Eolienne On se propose d étudier une éolienne schématisée ci dessous: z = z y La schématisation simplifiée de l éolienne comprend : : un bâti C y un solide en liaison pivot (A, z ) avec le bâti un solide (hélice et rotor de génératrice) en liaison pivot (A, x ) avec le solide Paramétrage : A chaque solide i est associé un repère de base orthonormée directe ( x, y, z ) z = z ( x, x ) = ( y, y ) = α i i i A x α G y β y x x = x ( y, y ) = ( z, z ) = β Le solide est homogène, de masse m, centre d inertie en A, admettant le plan (A, x, z ) comme plan de symétrie matérielle. La matrice d inertie en A est A F E [I (A, ) ] = F B D E D C ( A, x, y, z ) Sur le solide, on repère le point C : CA = h. x +. z µ b λ y Le solide est homogène, de masse m, de centre d inertie G ; on pose AG = L.x Ce solide est constitué : d un cylindre plein 3 d axe (A, x ) de masse m 3, de centre d inertie G 3 ( G G = µ.x ) de hauteur H et de 3 rayon R d une plaque rectangulaire 4 de masse m 4, de centre d inertie G 4 ( G G4 = λ.x ), de coté a suivant (G 4, y ), de coté b suivant (G 4, z ), et d épaisseur négligeable. On a µ >, λ >, m = m 3 + m 4 3 G 3 G G 4 a 4 x Etude cinétique : : simplifier l opérateur [I (A, ) ] sachant que l on a un plan de symétrie matériel (à définir) : Déterminer : La relation entre µ et λ La matrice d inertie en G 3 du solide 3 dans la base ( x, y, z ) : [I(G 3,)] en fonction de la masse m 3 et des dimensions R et H : DS 3.doc Page sur 4 Créé le 4//

3 La matrice d inertie en G 4 du solide 4 dans la base ( x, y, z ) : [I(G 4,)] en fonction de la masse m 4 et des dimensions a et b La matrice d inertie en G du solide dans la base ( x, y, z ) : [I(G,)] On notera A, B, C, les termes de la matrice d inertie [I(G,)] dans la suite du problème 3 Déterminer le moment cinétique σ ( A,/ ) du solide dans son mouvement par rapport au bâti 4 Déterminer le moment dynamique δ ( A,/ ) du solide dans son mouvement par rapport au bâti en projection sur z 5 Déterminer le moment cinétique σ G, / ) du solide dans son mouvement par rapport au bâti ( 6 Déterminer le moment dynamique δ G, / ) du solide dans son mouvement par rapport au bâti en projection sur x ( Rappels x G z y Pour un cylindre plein de rayon R et de longueur L, la matrice d inertie exprimée en son centre de gravité s écrit : I GS / R = G m ( R 4 L + ) 3 m ( R 4 L + ) 3 m. R R (La matrice d inertie d un parallélépipède rectangle sera recalculée par le candidat) 3 PANNEAUX DEROULANTS Découverte du système Le panneau publicitaire déroulant, appartenant à la catégorie des MUPI (Mobilier Urbain Pour l Information), est un objet installé dans l espace public. C est un media de masse qui permet de toucher le consommateur sur son lieu de vie. La société JC DECAUX qui installe des mobiliers urbains fixes s est intéressée depuis longtemps à pouvoir toucher un maximum de personnes grâce à l utilisation de ces panneaux. En effet, on a longtemps utilisé des panneaux fixes mais les études réalisées par JC Decaux Wordlink ont permis d analyser les effets publicitaires de l introduction du mouvement dans la communication extérieure. Cette étude, appelée Sutton démontre qu un panneau en mouvement augmente le contact visuel avec le panneau de 37%. Ceci signifie que 9% du trafic aura au moins un contact visuel avec le site durant son passage. Lorsque le panneau est déroulant, plus de deuxtiers de personnes mémorisent la campagne. C est pourquoi JC DECAUX a été amené à développer ce type de panneau déroulant. L expérience de JC DECAUX dans ce domaine date de plus de trente ans puisque le premier brevet concernant ce type de panneau a été déposé en décembre 977. : DS 3.doc Page 3 sur 4 Créé le 4//

4 Le système étudié est le système de panneau type sénior de 8m² qui équipe de nombreuses villes dont Paris. Ce panneau permet de faire défiler successivement dans un sens puis dans l autre jusqu à 7 iches avec un temps d exposition constant pour chaque iche. Le système actuel est décrit en annexe. Mise en situation Le format des iches rétro éclairées est d environ 8m². Les iches sont de dimensions : 3 x 3 mm (largeur x hauteur) avec une surface visible de 36 x 3 mm. Le dispositif est constitué de deux rouleaux (longueur 3mm et 4mm). Le défilement s effectue à la vitesse de m/s avec une rampe d accélération et de décélération de chacune seconde. Le cycle de défilement pour 4 iches est le suivant : N N N 3 N 4 N 4 N 3 N N N cycle de défilement normal des iches t Le temps d exposition est programmable à distance via un module GSM (Wacom) relié à un automate programmable (Siemens). Ce temps d exposition est modifiable suivant les termes du contrat avec l annonceur. Les iches étant changées tous les 5 jours, il faut faciliter leur mise en place. Pour cela, elles sont disposées en bandeau et placées sur le rouleau du haut lors de leur installation. La première est une amorce fixée au rouleau du haut avec un adhésif puis elles sont reliées les unes aux autres par un système de zip. La dernière est une amorce qui est également fixée au rouleau du bas par un adhésif. Cet ensemble constitue un bandeau. Dans la solution actuelle, l entraînement se fait par deux moteurs asynchrones identiques commandés par deux variateurs scalaires. L ensemble est géré par l automate programmable. iches Amorce haute Amorce basse fixation sur le rouleau haut Bande réfléchissante amorce Bandes réfléchissantes iches Bande réfléchissante amorce fixation sur le rouleau bas : DS 3.doc Page 4 sur 4 Créé le 4//

5 Expression du besoin, diagramme A.P.T.E. A qui rendil service? Agences publicitaires et annonceurs Sur quoi agitil? «Passants» Panneau publicitaire déroulant Dans quel but? Attirer l attention des passants et transmettre un message publicitaire Fonctions de service, diagramme des interacteurs Agences publicitaires et annonceurs Environnement FC FP FP «Passants» FC3 Panneau publicitaire déroulant FS Energie FC Gestionnaire FP FP FS FC FC FC 3 Informer le consommateur sur différents produits par défilement d iches Fournir un service à l entreprise qui fabrique le produit iché Faire des sondages Répondre aux contraintes d urbanisme Assurer la maintenance du panneau Limiter la consommation Diagramme FAST de la solution actuelle Voir en annexe. Cahier des charges fonctionnel partiel Fonction de service Critère d'appréciation Niveau FP Tension sur l iche 4N + ou N FT4 Vitesse m/s + ou % FT5 Temps d exposition s de s à 4s : DS 3.doc Page 5 sur 4 Créé le 4//

6 Présentation du sujet Il est composé des différentes parties indépendantes où on se propose de : comparer l évolution technologique du produit à partir de l analyse des différents brevets déposés par JC DECAUX ; justifier les solutions retenues ; vérifier le dimensionnement de certains composants ; régler certains paramètres de l automate et du variateur de vitesse. Les trois solutions ont été successivement :. Entraînement avec un seul moteur et transmission par chaîne : Brevet FR de décembre 977 ;. Entraînement avec un moteur commandé en vitesse : Brevet FR 6596 de mars 99 ; 3. Entraînement avec deux moteurs asynchrones pilotés par une commande en scalaire : Solution non brevetable Étude de la fonction FP : «enrouler ou dérouler l iche» On s intéresse ici au rouleau supérieur du panneau d ichage et on considère que le bandeau d iches s enroule sur ce rouleau supérieur. L étude du comportement dynamique du système nous amène à chercher les inerties de ces différents éléments et à déterminer si l évolution de la vitesse angulaire des rouleaux pendant les phases d enroulement et de déroulement du bandeau d iches respecte le cahier des charges fonctionnel (fonction FT4). Calcul de l inertie du rouleau et du bandeau d iches Hypothèses : le rouleau supérieur vide est un cylindre creux en aluminium de longueur L, de diamètre intérieur d et de diamètre extérieur d ; une fois entièrement enroulé autour du rouleau supérieur, le bandeau d iches est un cylindre creux de longueur L, de diamètre intérieur d et de diamètre extérieur d 3. d d L = 3 mm Rouleau : Masse volumique : ρ roul = 7 kg.m 3 d = 9 mm d = 4 mm Rouleau Bandeau d iches d 3 Bandeau d iches : Masse volumique. : ρ b = 5 kg.m 3 d = 4 mm d 3 = 5 mm Figure : Modèle pour le calcul des inerties On note : I roul : moment d inertie du rouleau supérieur vide par rapport à son axe ; I b : moment d inertie du bandeau d iches enroulées par rapport à l axe du rouleau sur lequel il est enroulé. : DS 3.doc Page 6 sur 4 Créé le 4//

7 Q. Donner l expression de I roul en fonction de ρ roul, L, d et d. Q. Calculer I roul. On donne cidessous le modèle volumique du rouleau supérieur vide accompagné de ses propriétés de masse. Repère de création du rouleau Y Z X Figure : Propriétés de masse d un rouleau vide Q3. En utilisant le tableau des propriétés de masse du modèle volumique, donner la valeur de I roulmodèle (moment d inertie du modèle du rouleau vide par rapport à son axe). Q4. Donner l expression de I b en fonction de ρ b, L, d et d 3. Q5. Calculer I b. Q6. Quel est le domaine de variation de l inertie du rouleau par rapport à son axe depuis le rouleau vide jusqu au rouleau chargé du bandeau d iches? Pour la suite du sujet, on considère que l inertie du rouleau chargé du bandeau d iches par rapport à son axe est ( I roul + I b ) = 6,5. kg.mm. Détermination de la loi de variation de la vitesse angulaire du rouleau au cours de l enroulement des iches Lors de l enroulement sur le rouleau, on souhaite respecter la loi cinématique suivante : V(t) Vitesse de défilement du bandeau d iches V Temps T T T f Figure 3 : Loi cinématique de défilement d une iche du bandeau : DS 3.doc Page 7 sur 4 Créé le 4// t

8 On s intéresse à la phase durant laquelle V(t) = V = constante On utilise le modèle suivant pour l étude de l enroulement des iches : Situation à l instant θ(t) Ω(t) R i R(t) Rouleau supérieur Bandeau de n iches e V(t)= V Figure 4 : Modèle pour l enroulement des iches sur le rouleau supérieur Données complémentaires : Rouleau : d o Rayon initial : = Ri = 7mm o Rayon en cours d enroulement : R(t) d 3 o Rayon final : = R f o o Position angulaire du rouleau par rapport au bâti : θ(t) Vitesse angulaire du rouleau par rapport au bâti : Ω(t) Affiche : o Hauteur d une iche : H = 3 mm o Largeur d une iche : L = 3 mm o Épaisseur d une iche : e = mm o Vitesse de défilement en régime établi : V = m.s Bandeau : o Nombre d iches sur le bandeau : n = 6 o Longueur du bandeau (iches + amorces) : L b = 5 m On adopte la loi de variation suivante pour R(t): θ ( t) R( t) = Ri +. e. π La vitesse d enroulement V(t) est maintenue constante : V = R(t). Ω(t) constante avec = Ω ( t) = dθ ( t) dt : DS 3.doc Page 8 sur 4 Créé le 4//

9 Par dérivation de l expression de R(t) par rapport au temps, montrer que l on peut écrire : dr( t) e V =. dt. π R( t) Q7. En utilisant la condition initiale R() = R i, montrer que l expression suivante e R( t) = Ri +. V. t est solution de l équation précédente. π Q8. En négligeant la durée des phases d accélération et de décélération de la loi cinématique de la figure 3 visàvis de la durée de la phase à vitesse constante, calculer la valeur du rayon final R f si on considère que T f = 4 s. Q9. Exprimer puis calculer les vitesses angulaires maximale Ω max et minimale Ω min du rouleau au cours de l enroulement. Ω max Ω min Q. Calculer l écart relatif et conclure sur l évolution de la vitesse angulaire du Ω max rouleau au cours de l enroulement (ou du déroulement) de l iche. Étude de l asservissement en couple du moteur à courant continu Le but de cette étude est de vérifier les comportements statique et dynamique du système assurant la fonction «tendre l iche» et de définir le type de correcteur le mieux approprié à cette application. Le moteur haut est un moteur asynchrone qui assure le défilement des iches. Le moteur bas est un moteur à courant continu à aimant permanent asservi en couple grâce à un variateur. Il assure la tension des iches. On rappelle les équations du moteur en négligeant l inductance de l induit : E(t) = k e. Ω m (t) C m (t) = k c. i(t) V a (t) = R a.i(t) + E(t) J mc dω m ( t). = Cm ( t) Cr ( t) dt k c : constante de couple k e : constante de f.e.m. On posera k = k e = k c R a : résistance d induit J mc : moment d inertie ramené sur l arbre du moteur. C r : couple résistant C m : moment du couple moteur V a : tension appliquée aux bornes de l induit Ω m : vitesse angulaire de l arbre du moteur. i : courant d induit Q. Déterminer les transformées de Laplace de ces différentes expressions. Le moteur asservi se présente sous la forme suivante où la partie en pointillé représente le modèle du moteur à courant continu : V Im Hi(p) C r V I + C(p) F(p) Va + E I C m A A A3 + Ω m A Figure 4 : Schéma bloc du moteur asservi : DS 3.doc Page 9 sur 4 Créé le 4//

10 V I représente la consigne de courant donc de couple. F(p) représente la fonction de transfert du hacheur commandant le moteur. Elle est supposée constante F(p) = F C(p) le correcteur associé au hacheur. On appelle H(p) = C(p). F(p) H i (p) représente le capteur de courant. Q. Déterminer les expressions des différents blocs A, A, A3 associés au modèle du moteur à courant continu. Le système commandé en couple peut donc se mettre sous la forme suivante : V Im Hi(p) V I + C(p) F(p) Va + E A I A C m Correcteur + hacheur H(p) A A3 + C r Figure 5 : Schéma bloc de l asservissement en couple Q3. Exprimer C m en fonction de V I, C r et des fonctions de transfert. C r représente le couple résistant de l ensemble iches, rouleaux, réducteurs et moteur asynchrone d entraînement haut. : DS 3.doc Page sur 4 Créé le 4//

11 ANNEXE Caractéristiques techniques du produit actuel Caractéristiques techniques du système : panneau 8m² ; déroulant vertical pour à 7 iches ; détection des iches par un capteur optique ; rétro éclairage par 4 tubes fluorescents ; alimentation électrique : V 5Hz monophasé ; matériel de classe I : protection différentielle de 3mA et mise à la terre ; entraînement : deux moteurs asynchrones SEW Eurodrive associés à deux variateurs ; automate programmable: Siemens S76 ; interface de dialogue avec l'automate: console Siemens TD ou système GSM Wacom ; consommation : moins de 4W pour un système déroulant et 85W pour l'éclairage. Caractéristiques techniques des iches à utiliser : support : Papier ou longue conservation (65 ou 9 g/m²) ; dimensions : 33 x 3 mm ; épaisseur : µm ; résistance à la traction : ISO 87:99 ; accroche des iches par système Zip Grip. Cahier des charges de fonctionnement classique: rampe d accélération et de décélération : s ; temps d exposition d une iche : T ex = s à la montée et à la descente ; temps d exposition des iches extrêmes : 4s ; vitesse de défilement d une iche : V = m/s ; effort de tension sur les iches : entre 3N et 5N. : DS 3.doc Page sur 4 Créé le 4//

12 ANNEXE Diagramme FAST solution actuelle (solution 3) FP Afficher successivement plusieurs iches FP Enrouler ou dérouler l iche FT Enrouler ou dérouler par le haut Moteur asynchrone + Système de transmission de puissance FT Enrouler ou dérouler par le bas Moteur asynchrone + Système de transmission de puissance FP Tendre l iche Variateurs de vitesse de MAS FP 3 Gérer le défilement des iches FT 3 Compter le nombre d iches Capteur optique Automate FT 4 Gérer la vitesse de défilement Variateurs de vitesse de MAS FT 5 Gérer le temps d exposition de chaque iche Automate FP 4 Guider les rouleaux dans le châssis Axes + Roulements : DS 3.doc Page sur 4 Créé le 4//

13 4 ASSERVISSEMENT DE MOTEUR Il faudra veiller à mettre les unités pour les différentes grandeurs calculées et sur les courbes qui sont à tracer HYPOTHESE : Pour cette étude, on se place dans le cas d'un système linéaire, continu et invariant. Modélisation du moteur Le moteur est un moteur à courant continu. Le modèle de connaissance de cet actionneur, si on néglige l'inductance et les différents frottements, permet d'écrire les équations électromécaniques suivantes e(t) = u(t) R. i(t) = K e. ω(t) d ω( t) C m (t) = K t. i(t) = J. dt Avec : u(t) Tension d'entrée en V. ω (t) Fréquence angulaire de l'arbre du moteur en rad. s. e(t) Force électromotrice en V. R Résistance de l'induit en Ω. K e Constante de force électromotrice en V/rad. s. K t Constante de couple en N.m.A. C m Couplé électromécanique délivré par le moteur en m.n. J Moment d'inertie équivalent rapporté à l'arbre de sortie en Kg.m. 4 Écrire les 4 équations ci dessus dans le domaine de Laplace si toutes les conditions initiales sont nulles. 4 En fonction des résultats trouvés à la question précédente, compléter le schéma blocs proposé ci dessous. U(p) I(p) C Ω(p) m (p) + E(p) 43. Calculer la fonction de transfert H(p) = Ω( p) U ( p) de ce moteur. 44 Par une expérimentation du moteur en charge, on a relevé les diagrammes de Bode (Modèle de comportement). A partir de ces courbes, on donne page suivante les diagrammes asymptotiques correspondants. Déterminer l ordre du système ainsi que la constante de temps τ et la gain statique Ks. Écrire numériquement la fonction de transfert H(p) du moteur sous sa forme canonique 45 Les caractéristiques techniques du moteur annoncées par le constructeur sont R = 3,4 Ω et K t =,85 N.m.A Calculer la valeur de K e (préciser les unités) et de J (en kg.m ) 46 Tracer la réponse temporelle de ce moteur s'il est soumis à un échelon de tension d'amplitude U = V. : DS 3.doc Page 3 sur 4 Créé le 4//

14 Asservissement en vitesse de l'arbre de sortie du moteur Pour assurer l'asservissement de la vitesse de rotation de l'arbre de sortie du moteur (donc de l'arbre principal), on associe à l'actionneur un variateur modélisé par un amplificateur pur de gain K a réglable et on place un capteur de vitesse angulaire en bout de l'arbre de sortie de gain K c =,6 V/rad.s. Le schéma fonctionnel de l'asservissement est donné cidessous. Ω c (p) K c U c (p) I(p) Ω(p) + K a H(p) U r K c 47 Indépendamment des résultats trouvés précédemment on prendra H(p) =,5 +,5.p Calculer la fonction de transfert F(p) = Ω ( p) de ce système en boucle fermée en fonction de K a et des valeurs numériques. Ω c ( p) 48 Tracer la réponse temporelle de cet asservissement s il est soumis à un échelon Ω c = rad/s et si K a = 8 En déduire l'erreur statique Es (écart entre la valeur de consigne et la valeur réelle quand t ). 49. Quelle valeur faut il donner à Ka si on souhaite une erreur Es %? Diagramme asymptotique de Bode du moteur en charge (question 44) log G ω 6 db par décade ϕ ω 9 : DS 3.doc Page 4 sur 4 Créé le 4//

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