Séquence 4. Statistique descriptive Notion de probabilité. Sommaire

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1 Séquence 4 Statistique descriptive Notion de probabilité Sommaire 1. Prérequis 2. Statistique descriptive 3. Notion de probabilité 4. Algorithmique 5. Synthèse de la séquence 6. Exercices d approfondissement 1

2 1 Prérequis A Statistiques Vocabulaire, représentation graphique À savoir Une série statistique porte sur un caractère (âge, poids, couleur, etc.) dont on a relevé certaines modalités (10 ans, 15 ans, 20 ans, etc.). Les données sont présentées dans un tableau dans lequel on indique, pour chaque modalité du caractère, le nombre de fois où on a relevé cette valeur. Ce «nombre de fois» s appelle l effectif. On peut, en plus de ces effectifs, ou à leur place, indiquer la proportion de chaque modalité dans l ensemble des données. Cette proportion s appelle la fréquence de la modalité. Exemple Un sauteur à la perche a relevé ses performances au cours des six derniers mois : Hauteur 5,40 5,50 5,55 5,60 5,65 5,70 5,75 5,80 5,90 Nb de sauts Fréquences 4 % 4 % 4 % 16 % 32 % 24 % 8 % 4 % 4 % Le caractère étudié est la hauteur du saut. Ses modalités sont 5,40 ; 5,50 ; 5,55 ; ; 5,90. Les effectifs sont 1 ; 1 ; 1 ; 4 ; ; 1. L effectif de la modalité 5,65 est 8. Les fréquences sont 4 % ; 4 % ; 4 % ; 16 % ; ; 4 %. La fréquence de la modalité 5,65 est 32 %. Exemple On a relevé la couleur des 5000 véhicules passés à un péage d autoroute. Couleur Blanc Gris Noir Rouge Bleu Jaune Autre Nb de véhicules Fréquences 28,5 % 31 % 27 % 4 % 8 % 0,4 % 1,1 % 3

3 Le caractère étudié est la couleur du véhicule. Ses modalités sont Blanc ; Gris ; Noir ; ; Autre. Les effectifs sont 1425 ; 1550 ; ; 55. L effectif de la modalité Rouge est 200. Les fréquences sont 28,5 % ; 31 % ; ; 1,1 %. La fréquence de la modalité Bleu est 8 %. À savoir Pour représenter ces séries statistiques on utilise habituellement des diagrammes en barres (ou bâtons) ou des diagrammes circulaires, les hauteurs des barres ou les angles des secteurs angulaires étant proportionnels aux effectifs ou aux fréquences. Pour représenter les caractères quantitatifs continus où les modalités sont regroupées par classe, on utilise aussi des histogrammes (diagrammes en rectangles), où les valeurs du caractère sont représentées en abscisse sur un axe gradué ; la base de chaque rectangle correspond à l intervalle de chaque classe, l aire des rectangles étant proportionnelle aux effectifs ou aux fréquences (voir dans la suite du cours). Exemple Représentons la série des performances du sauteur à la perche par un diagramme en bâtons. Effectifs 8 Fréquences 32% 6 24% 4 16% 2 8% 1 4% 5,40 5,50 5,60 5,70 5,80 5,90 Hauteur 4

4 Exemple Représentons la série des couleurs des 5000 véhicules, par un diagramme circulaire. Gris Blanc Autre Bleu Jaune Noir Rouge Calcul des caractéristiques À savoir Pour résumer une série statistique portant sur un caractère quantitatif, on peut calculer son étendue, sa moyenne, sa médiane. Exemple Exemple Résumons la série des performances du sauteur à la perche par son étendue, sa moyenne, sa médiane. Son étendue est 0,50 m ( 590, 540, = 050, ). Sa moyenne est : 54, + 55, + 555, + 56, , 8+ 57, , 2+ 58, +59, = 5658,. 25 Sa médiane est 5,75 m (il y a autant de sauts inférieurs à cette hauteur que de sauts supérieurs). Résumons la série des couleurs des 5000 véhicules par son étendue, sa moyenne, sa médiane. La couleur n étant pas un caractère quantitatif, il n y a ni étendue, ni moyenne, ni médiane. 5

5 B Probabilités Notion de probabilité Se souvenir Ce que veut dire : «la probabilité d obtenir PILE en lançant une pièce non truquée est 1 2» ; à savoir : si on lance une pièce non truquée, on a 1 chance sur 2 qu elle tombe sur PILE. Ce que veut dire : «la probabilité d obtenir un DEUX en lançant un dé non truqué est 1 6» ; à savoir : si on lance un dé non truqué, on a 1 chance sur 6 qu il tombe sur un DEUX. 6

6 2 Statistique descriptive A Activités Introduction Dans de nombreuses disciplines scientifiques, biologie, physique, psychologie, économie, archéologie, etc. on a recours désormais aux statistiques pour établir certains résultats. Il en est de même de plus en plus dans l environnement professionnel. Les ordinateurs et les calculs statistiques ont depuis longtemps envahi la finance, les cabinets d assurance, de gestion, les laboratoires d analyses médicales, et même l industrie, à travers, par exemple, le contrôle qualité. Au quotidien, nos médias sont remplis de statistiques, visibles ou non, que ce soit à propos de l économie, de la politique, des faits de société ou de la météo. Il est donc indispensable au citoyen d aujourd hui de comprendre ce que sont les statistiques pour comprendre ce que veulent réellement dire les informations qu il reçoit. De même il est indispensable à qui exercera une activité dans les domaines de la gestion, de la santé ou du social, non seulement de comprendre, mais aussi de savoir utiliser les notions de base des statistiques. Vous devriez avoir vu en collège une bonne partie de ce chapitre. Pour vous remettre dans le bain, nous commencerons par des activités simples vous permettant de réviser vos connaissances.. Faites les consciencieusement, si possible sans aide. 7

7 Étude d un caractère qualitatif Dans un lycée, on a fait remplir en début d année aux 250 élèves de seconde une fiche de renseignements. On en a extrait deux. a) Souhaits d orientation en fin de seconde. Le graphique ci-contre indique les souhaits d orientation des 250 élèves. Complétez le tableau correspondant. Effectifs Orientation Effectif Fréquence ES L S STG Autres Ne sait pas Total ES L S STG Autres NSP Quelle est l orientation souhaitée la plus fréquente (on l appelle le mode)? b) Code postal du domicile. Le tableau ci-dessous indique les différents codes postaux du domicile des 250 élèves. Représentez ces données par un diagramme circulaire. Code Postal Effectif Total 250 Quel est le code postal le plus fréquent (on l appelle le mode)? 8

8 Commentaire Dans ces deux exemples, nous avons rencontré l étude de deux caractères l orientation et le code postal qui sont des caractères qualitatifs. Cela signifie qu ils ne représentent pas des quantités et qu on ne peut donc pas faire d autre traitement que de les représenter (par exemple calculer une orientation moyenne n a pas de sens). Un caractère qualitatif peut néanmoins s exprimer par des nombres, comme le code postal, mais ces nombres ne représentent pas des quantités, ce ne sont que des «codages» Pour représenter ces caractères on utilise habituellement des diagrammes en barres (ou bâtons, ou tuyaux d orgue), des diagrammes en bande, ou des diagrammes circulaires, les hauteurs des barres ou les angles des secteurs angulaires étant proportionnels aux effectifs ou aux fréquences. L ordre de présentation des modalités n a pas d importance. Dans différents médias, on trouve des formes plus ou moins imagées des barres ou des disques ; il est alors prudent de vérifier ce qui est (ou devrait être) proportionnel aux effectifs avant d interpréter le graphique. Rappel Exemple Nous rappelons aussi que l ensemble des personnes ou objets étudiés ici les élèves de seconde d un lycée s appelle la population étudiée, chaque personne ou chaque objet étant un individu. Ce que l on étudie s appelle le caractère, et les différentes valeurs de ce caractère les modalités : «STG» est une modalité du caractère «orientation», «56380» une modalité du caractère «code postal». Le nombre d individus ayant une modalité précise du caractère est l effectif de cette modalité. La somme de tous les effectifs, appelé effectif total, donne la taille de la population. Souvent, en particulier pour comparer des populations de taille différente, on donne les fréquences de chaque modalité plutôt que les effectifs. La fréquence d une modalité est la proportion que représente l effectif de cette modalité par rapport à l effectif total. Elle s exprime aussi bien sous forme de fraction, d écriture décimale que de pourcentage (qui est lui même une fraction). Pour l orientation, la modalité «STG» a pour effectif 55 sur un effectif total de 250. Sa fréquence est : 55 que l on peut écrire ou 0,22 ou 22 ou enfin 22%

9 Étude d un caractère quantitatif Revenons à nos 250 élèves de seconde. On extrait de la fiche de renseignements deux autres caractères. a) Taille de la famille dans laquelle vit chaque élève. Le graphique ci-dessous indique la taille de la famille (enfants plus adultes) de chacun des 250 élèves. Complétez le tableau correspondant, cicontre. Calculez le nombre moyen de personnes par famille. Quel écart de taille y a-t-il entre les familles les moins nombreuses et les familles les plus nombreuses (on l appelle l étendue)? Taille de la famille Effectif Fréquence 3 personnes 4 personnes 5 personnes 6 personnes 18 7 personnes 21 8 personnes 9 personnes 10 personnes 2 12 personnes 4 Total Effectifs Taille de la famille b) Temps de parcours du domicile au lycée. Le tableau ci-dessous indique les différents temps de parcours (en minutes) du domicile au lycée pour les 250 élèves. Temps de parcours (en minutes) Effectif

10 Temps de parcours (en minutes) Effectif Temps de parcours (en minutes) Effectif Quel est le temps de parcours moyen? Quel écart y a-t-il entre le temps de parcours le plus long et le plus court (on l appelle l étendue)? Regroupez ces données par tranches (on dit aussi classes) de 10 min (attention aux bornes des intervalles). Temps [0 ; 10[ [10 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 50[ [50 ; 60[ [60 ; 70[ [70 ; 80[ [80 ; 90] Effectif Quel temps de parcours moyen obtient-on avec les données ainsi groupées? Représentez ces données sur le graphique ci-dessous. Surface pour un effectif de Temps de parcours Commentaire Dans ces deux exemples, nous avons rencontré l étude de deux caractères la taille des familles et le temps de parcours qui sont des caractères quantitatifs. Cela signifie qu ils représentent des quantités. On pourra, en plus de représentations, faire un certains nombre de calculs significatifs (par exemple la taille moyenne, l écart entre le temps le plus long et le temps le plus court). 11

11 On distingue deux types de caractères quantitatifs : les caractères quantitatifs discrets (ou à valeurs discontinues), où les modalités ne prennent que quelques valeurs numériques précises (comme pour la taille des familles), les caractères quantitatifs continus, où les modalités peuvent prendre, en théorie, toutes les valeurs numériques d un intervalle (comme pour le temps de parcours). Pour représenter les caractères quantitatifs discrets on utilise habituellement des diagrammes en bâtons, où les valeurs du caractère sont représentées en abscisse sur un axe gradué, la hauteur des bâtons étant proportionnelle aux effectifs ou aux fréquences. Pour représenter les caractères quantitatifs continus on utilise habituellement des histogrammes (diagrammes en rectangles), où les valeurs du caractère sont représentées en abscisse sur un axe gradué ; la base de chaque rectangle correspond à l intervalle de chaque classe, l aire des rectangles étant proportionnelle aux effectifs ou aux fréquences. Lorsque les classes ont même amplitude (c était le cas dans l exercice ci-dessus) les rectangles de l histogramme ont tous la même largeur. Leurs aires étant proportionnelles aux effectifs, leurs hauteurs le sont aussi. On peut alors «lire» les effectifs sur un «axe vertical virtuel». Mais lorsque les classes sont d amplitudes différentes, les rectangles ont des largeurs différentes. Leurs aires étant toujours proportionnelles aux effectifs, leurs hauteurs ne représentent plus rien. On ne peut plus lire les effectifs sur un axe vertical. Exemple Regroupez différemment les données de l exercice précédent dans le tableau cidessous. Temps de parcours (en minutes) [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 20[ [20 ; 50[ [50 ; 90] Effectif Représentez ces données par l histogramme ci-dessous. 12

12 Surface pour un effectif de Temps de parcours c) Temps de parcours du domicile au lycée : effectifs cumulés croissants. Reprenons les données sur les temps de parcours, une fois regroupées par classes de 10 min. Soit : Temps [0 ; 10[ [10 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 50[ [50 ; 60[ [60 ; 70[ [70 ; 80[ [80 ; 90] Effectif Construisons maintenant le tableau des effectifs cumulés croissants. On obtient : Temps < 0 < 10 < 20 < 30 < 40 Effectif = = = 240 Temps < 50 < 60 < 70 < Effectif = = = = = 250 Pour chaque temps correspondant à une borne de l une des tranches, on indique le nombre d élèves dont le temps de parcours est inférieur (ou strictement inférieur, ça dépend des intervalles choisis) à ce temps. Pour t = 10 : il y a 61 élèves dans la classe [0 ; 10[, donc 61 élèves dont le temps de parcours est inférieur à 10 minutes. Pour t = 20 : il y a 61 élèves dans la classe [0 ; 10[ et 90 élèves dans la classe [10 ; 20[, donc 151 élèves dont le temps de parcours est inférieur à 20 minutes. Pour t = 30 : il y a 151 élèves dont le temps de parcours est inférieur à 20 minutes et 84 élèves dans la classe [20 ; 30[, donc 235 élèves dont le temps de parcours est inférieur à 30 minutes. 13

13 et ainsi de suite. L effectif cumulé de la dernière valeur (ici 90 minutes) est nécessairement l effectif total, c est-à-dire 250. Pour des raisons de représentation graphique (voir ci-après), on peut mettre une première colonne correspondant à la toute première valeur de la première classe. L effectif cumulé correspondant est nécessairement 0 (aucun élève n a un temps de parcours inférieur au plus petit temps relevé! ). Faisons maintenons une représentation graphique de ce tableau des effectifs cumulés croissants. Pour ce faire, on place sur un graphique les points dont les coordonnées sont les deux valeurs de chaque colonne : les modalités du caractère (ici les temps) en abscisse, les effectifs cumulés en ordonnée. On relie alors chaque point par un segment de droite (voir graphique ci-dessous). Effectifs cumulés Temps de parcours

14 Exemple Ce choix (de relier les points par des segments de droite) revient à considérer que les valeurs du caractère sont régulièrement distribuées à l intérieur de chaque classe. ( ) ( ) Par exemple, on a représenté les points de coordonnées 30 ; 235 et 40 ; 240, ce qui signifie qu il y a 5 ( ) temps de parcours dans la classe [30 ; 40[ (ici on la savait déjà, mais parfois on peut avoir un tableau d effectifs cumulés sans avoir le tableau des effectifs). Relier ces deux points par un segment de droite revient à faire comme si ces 5 temps étaient répartis régulièrement dans l intervalle [30 ; 40[ : par exemple comme si on avait 30, 32, 34, 36, 38. Ce n est évidemment pas forcément vrai (ici on sait que c est faux car on connait le tableau détaillé des temps de parcours, mais souvent on ne le sait pas si l on a directement les regroupements par classe sans avoir le tableau détaillé). Cette idée de régularité entre chaque point connu permet de faire des extrapolations (c est-à-dire des sortes de déductions à partir de données partielles) sur les valeurs du caractère, bien sûr si l on n a pas le tableau détaillé de ces valeurs. Par exemple on a extrapolé, sur le graphique, le 200 ème temps de parcours. On a trouvé qu il était d environ 26 minutes. Bien sûr, avec le tableau détaillé des valeurs, on sait que ce 200 ème temps est de 25 minutes, mais si l on n avait que le tableau des regroupements par classe, on n en saurait rien. Ce type de graphique est appelé polygone des effectifs cumulés croissants. A partir du deuxième regroupement par classes d amplitudes inégales (voir exemple du b) ), construire le tableau des effectifs cumulés croissants, puis le graphique correspondant (polygone des effectifs cumulés croissants). A l aide de ce graphique, extrapoler le 200 ème temps de parcours. Comparer avec la valeur extrapolée ci-dessus. B Cours Une caractéristique de position, la moyenne a) Calcul de la moyenne Pour caractériser une série statistique, on peut la «résumer» par une (ou des) caractéristique(s). La plus simple, et qui «positionne» la série, est la moyenne. Supposons donnée une série statistique à caractère quantitatif discret. On note x i les valeurs du caractère, n les effectifs et f les fréquences correspondants. i i 15

15 Valeurs du caractère x 1 x Effectif n 1 n Fréquence f 1 f x p n p f p Définition La moyenne de la série est la valeur du caractère calculée par : nx 11+ n2x npxp x = = fx + f x + n1+ n2+ + n f.... pxp p n Chaque fréquence se calcule par : fi = i ce qui justifie l égalité ci-dessus. n1+ n np La notation «x», qui se lit «x barre», est une notation habituelle pour une moyenne. On reprend la lettre générique utilisée pour noter les valeurs du caractère (ici «x») et on met une «barre» au-dessus. Avec le signe de sommation (la lettre grecque Σ, qui se lit «sigma», signifie que p nx i i p l on veut calculer une somme) la moyenne s écrit : x = i = 1 = fx p i i. i = 1 ni i = 1 On note souvent, car on l utilise souvent, l effectif total par une lettre. p Par exemple : N = n i. On peut alors écrire la moyenne : p i = 1 nx i i p x = i = 1 1 = nx N N i i. i = 1 Important Vous devez bien comprendre toutes ces façons différentes d écrire la même chose. Propriété Il est important de comprendre que N x, c est à dire la moyenne, multipliée par l effectif total, donne la somme de toutes les valeurs de la série. 16

16 Commentaire p 1 Cela provient directement du calcul : x = nx N i i, et nous servira souvent. i = 1 En effet, en multipliant par N les deux termes de l égalité précédente, on obtient : p 1 N x = N nx N i i i = 1 valeurs de la série. p soit N x = n i x i i = 1 qui est bien la somme de toutes les Exemple Dans l activité, le temps total de trajet des 250 élèves pour venir au lycée est : , 4 = 4600 min. On peut vérifier que l on trouverait la même chose en ajoutant tous les temps de trajet des 250 élèves : = 4600 min. A vérifier vous-même, par exemple en regardant le calcul du temps de parcours moyen fait dans l activité 2. Remarque Dans le cas d un caractère quantitatif continu, donné sous forme de classes, on prend le centre de chaque classe comme valeur du caractère pour calculer la moyenne. Commentaire Exemple Le choix des classes pour le regroupement aura donc une influence sur la valeur calculée de la moyenne. Si nous prenons les temps de parcours de l activité, nous avons vu que la moyenne calculée après regroupement par classes de 10 minutes est différente de celle calculée avec les données brutes : 18 minutes au lieu de 18,4 minutes. Nous avons fait un deuxième regroupement : calculons la moyenne obtenue après ce regroupement. Ce regroupement donne : Temps de parcours (en minutes) [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 90] Effectif Pour calculer le temps de parcours moyen avec les données groupées ainsi, on calcule le temps de parcours total des 250 élèves en prenant pour chaque classe la valeur centrale, et on divise ce total par 250 : Total = 2, , = 4702, , 5 Moyenne = = 18, 81minutes. 250 Enfin, faisons un regroupement par classes de 30 minutes et calculons la moyenne. 17

17 Ce regroupement donne : Temps de parcours (en minutes) [0 ; 30[ [30 ; 60[ [60 ; 90] Effectif Pour calculer le temps de parcours moyen avec les données groupées ainsi, on calcule le temps de parcours total des 250 élèves en prenant pour chaque classe la valeur centrale, et on divise ce total par 250 : Total = = Moyenne = = 17, 16 minutes. 250 Vous pouvez constater que ces moyennes sont toutes différentes. b) Propriétés de la moyenne Supposons donnée une série statistique à caractère quantitatif. On note x i les valeurs du caractère (ou les centres des classes), x la moyenne. Théorème Si toutes les valeurs du caractère sont multipliées (ou divisées) par une constante a, sans changer les effectifs, la moyenne est ellemême multipliée (ou divisée) par a. Si on ajoute (ou retranche) une même constante b à toutes les valeurs du caractère, sans changer les effectifs, la moyenne est elle-même augmentée (ou diminuée) de b. Commentaire Cela est assez naturel et résulte simplement du calcul d une moyenne. Si l on a multiplié les valeurs par a la nouvelle moyenne, que l on notera m vaut : m n 1a x 1+ n 2a x n pa x p a( n 11 x + n 2 x npxp) = = n1+ n np n1+ n np ( nx 11+ n2x npxp) m = a = a x. n1+ n np Si l on a ajouté b à toutes les valeurs, la nouvelle moyenne, que l on notera M vaut : M n 1( x 1+ b) + n 2( x 2+ b) n p( x p + b) = n1+ n np ( M nx 11+ n 2 x n p x p) + ( n 1b+ n 2b n pb) = n1 + n n p 18

18 Exemple ( M nx 11+ n 2 x n p x p) ( n1+ n np ) b = + = x + b. n1+ n np n1+ n np Si nous prenons les temps de parcours de l activité, et si nous supposons que tous les élèves font l aller et le retour chaque jour, nous pouvons calculer leur temps de trajet quotidien, en multipliant les temps par 2, et même hebdomadaire (en comptant 5 jours de classe par semaine) en les multipliant par 10. Temps de parcours (en min) Durée trajet quotidien Durée trajet hebdomadaire Effectif (inchangé) Le temps de trajet quotidien moyen sera obtenu directement en multipliant par 2 la moyenne trouvée à l activité : durée moyenne du trajet quotidien = 2 18, 4= 36, 8 min. Le temps de trajet hebdomadaire moyen sera obtenu directement en multipliant par 10 la moyenne trouvée à l activité : durée moyenne du trajet hebdomadaire = 10 18, 4 = 184 min. De même, on peut calculer le temps scolaire journalier (trajet aller retour et temps de présence au lycée) de chaque élève. Pour cela il faut multiplier par 2 les temps donnés dans l activité, et ajouter 9 heures (de 8h à 17h) de présence, soit 540 minutes. Temps de parcours (en min) Temps scolaire quotidien Effectif (inchangé) Le temps scolaire quotidien moyen sera obtenu directement en multipliant par 2 la moyenne trouvée à l activité et en ajoutant 540 : temps scolaire journalier moyen = 2 18, = 576, 8 min. Supposons que l on s intéresse à un caractère quantitatif pour une population d effectif total N. N Supposons que cette population soit partagée en deux groupes, l un d effectif p pour lequel la moyenne du caractère est m 1, et l autre d effectif q (avec p+ q = N ) pour lequel la moyenne du caractère est m 2. On note x la moyenne du caractère pour la population entière. Théorème Si une population d effectif total N est partagée en deux groupes, l un d effectif p de moyenne m 1, l autre d effectif q (avec p+ q = N ) et de moyenne m 2, la moyenne de la population pm qm entière est : x = N 19

19 Commentaire Exemple Cela résulte du fait que pm 1 est la somme de toutes les valeurs du caractère pour le premier groupe, et que q m2 est la somme de toutes les valeurs du caractère pour le deuxième groupe. pm 1+ qm 2est donc la somme de toutes les valeurs du caractère pour la population totale. La moyenne s obtient en divisant cette somme par l effectif total N. Revenons à nos 250 élèves de seconde, dont 138 sont des filles et 112 des garçons. La fiche de renseignements nous a donné la taille de chaque élève et nous avons calculé que la taille moyenne des filles est 1,66 m, et la taille moyenne des garçons 1,72 m. Calculons la taille moyenne des 250 élèves. Le total des tailles des filles est : 1, = 229, 08. Le total des tailles des garçons est : 1, = 192, 64. Le total des tailles des 250 élèves est : 1, , = 229, , 64 = 421, 72. La taille moyenne des 250 élèves est donc : 1, , , 72 = = 1, soit environ 1,69 m Moyenne «élaguée». Lorsqu une des modalités d une série statistique paraît non significative, ou erronée, on ne tient pas compte de cette valeur pour calculer la moyenne. On dit alors que l on calcule une moyenne élaguée. Définition On appelle moyenne élaguée d une série statistique, une moyenne calculée sans tenir compte des valeurs aberrantes de cette série. Exemple On a relevé les tailles de 80 élèves de seconde. On a obtenu le tableau suivant : Taille en m 1,60 1,63 1,68 1,70 1,72 1,75 1,78 1,85 3,86 Effectif Calculer la moyenne de cette série, ou une moyenne élaguée si nécessaire. On a relevé les salaires mensuels de 80 salariés d une entreprise. On a obtenu le tableau suivant : Salaire en Effectif

20 Calculer la moyenne de cette série, ou une moyenne élaguée si nécessaire. Réponses. Dans cette série, on voit tout de suite que la dernière modalité est incohérente. En effet elle ne peut en aucun cas correspondre à une taille d élève. On va donc ici la négliger, et calculer une moyenne élaguée. On aura donc une taille moyenne de : 160, , , 9 133, 43 = 173, m Dans cette série, par contre, la dernière modalité n est pas du tout incohérente. En effet elle peut tout à fait correspondre à un salaire mensuel, et le fait que ce salaire soit le double du précédent n est pas du tout aberrant dans une échelle de rémunérations. On aura donc un salaire mensuel moyen de : = 1812, Saisie Effacement c) Utilisation d une calculatrice ou d un logiciel (tableur) Les calculs faits dans le cours sont développés pour vous permettre de comprendre les notions. Mais dans la pratique, y compris dans les exercices et les devoirs (sauf avis contraire), vous effectuerez ces calculs à l aide de votre calculatrice ou d un ordinateur. Calculer une moyenne, une médiane, représenter une série à l aide d une calculatrice TI 82 Stats.fr (les procédures sont identiques ou très voisines pour les autres modèles de TI). Il faut d abord saisir les données (ici, celles de l activité sur la taille des familles des 250 élèves de seconde). Appuyer sur la touche stats, puis choisir le menu EDIT, suivi de entrer. Sur l écran apparaît alors l éditeur de listes, dans lequel on se déplace avec les touches. On tape chaque valeur du caractère ( x i ) dans une colonne (par exemple L1 ), et chaque effectif ou fréquence ( n i ) dans une autre colonne (par exemple L2 ). Pour effacer une liste complète, on place le curseur sur le haut de la colonne (par exemple L1 ), on tape sur la touche annul, suivie de entrer. 21

21 Calcul Graphiques Appuyer de nouveau sur la touche stats, puis choisir le menu CALC, suivi de entrer. Sur l écran apparaît alors l indication Stats 1-Var et le curseur clignote. Taper alors L1, L2 pour indiquer, dans l ordre, la liste des valeurs et celle des effectifs. (touches 2nde des touches 1 et 2, et touche située au-dessus de la touche 7 ). Appuyer sur entrer, et apparaît à l écran la liste des paramètres de la série statistique : moyenne ( x ), somme de toutes les valeurs (Σx), effectif total (n), médiane (Med), quartiles (Q1, Q3), etc. On peut représenter une série statistique par un histogramme ou par un diagramme en boîte après avoir saisi les données. Appuyer sur la touche graph stats (touche 2nde de la touche f(x) ), puis sur entrer (ce qui sélectionne le dessin n 1 : Graph1). On place le curseur sur ON que l on valide par entrer, puis sur le type de graphique ou que l on valide par entrer. On renseigne alors la ligne ListeX avec L1, pour indiquer la liste des valeurs, et la ligne Effectifs avec L2, pour indiquer la liste des effectifs. On affiche alors le (ou les) graphique(s) en appuyant sur la touche graphe. Saisie Calculer une moyenne, une médiane, représenter une série à l aide d une calculatrice Casio GRAPH 25 (les procédures sont identiques ou très voisines pour les autres modèles de Casio). Il faut d abord saisir les données. Dans le menu général, sélectionner l icône STAT (ou LIST ), et appuyer sur ENTER. Sur l écran apparaît alors l éditeur de listes, dans lequel on se déplace avec les touches. 22

22 On tape chaque valeur du caractère ( x i ), suivi de ENTER, dans une colonne (par exemple List 1 ), et chaque effectif ou fréquence ( n i ), suivi de ENTER, dans une autre colonne (par exemple List 2 ). Effacement Calculs Pour effacer une liste complète, on place le curseur sur un élément de la liste, on sélectionne DEL-A (touche F4 ), suivie de YES. En bas de l éditeur de listes se trouve un menu déroulant horizontal. On active le sous-menu CALC en appuyant sur la touche F2, puis le menu SET. On renseigne alors la ligne 1Var Xlist avec List 1, pour indiquer la liste des valeurs, et la ligne 1Var Freq avec List 2, pour indiquer la liste des effectifs. Taper alors EXIT. Sélectionner enfin le menu 1VAR en appuyant sur la touche F1. Apparaît à l écran la liste des paramètres de la série statistique : moyenne ( x ), somme de toutes les valeurs (Σx), effectif total (n), médiane (Med), etc. Graphiques On peut représenter une série statistique par un histogramme ou par un diagramme en boîte après avoir saisi les données. Dans l éditeur de listes on active le sous-menu GRPH en appuyant sur la touche F1, puis le menu SET. On renseigne alors la ligne Graph Type avec le type de graphique souhaité, en validant une des options du menu horizontal du bas de l écran, puis la ligne XList avec List 1, pour indiquer la liste des valeurs, et la ligne Frequency avec List 2, pour indiquer la liste des effectifs. On valide l écran (ou on QUIT ). On affiche alors le graphique en validant GRPH, puis GPH1. Saisie Calculs Calculer une moyenne, une médiane, représenter une série à l aide d un tableur. Il faut d abord saisir les données, que l on met dans deux colonnes, une pour les valeurs du caractère (par exemple la colonne A), une pour les effectifs (ou fréquences) correspondants (par exemple la colonne B). Ici il y a 10 valeurs. Pour les calculs, on utilise les fonctions statistiques présentes dans la plupart des tableurs, c est à dire : 23

23 Moyenne Graphiques MOYENNE, MEDIANE, QUARTILE, FREQUENCE, SOMME, MIN, MAX, lorsque les valeurs de la série sont toutes énumérées dans une colonne (c est à dire que les effectifs sont tous égaux à 1). Sinon, dans le cas où les valeurs sont regroupées avec leur effectif (ou fréquence) dans une deuxième colonne, il faut faire les calculs intermédiaires avec le tableur. On calcule dans la colonne C les produits des valeurs (colonne A) par leur effectif (colonne B) en écrivant dans la cellule C2 : =A2*B2, et en «étirant» la formule vers le bas jusqu à la dernière valeur. Dans deux cellules libres (par exemple B12 et C12) on calcule les sommes des colonnes B et C (effectif total et somme de toutes les valeurs) en écrivant : =SOMME(B2 :B11) et =SOMME(C2 : C11). La moyenne s obtient alors en divisant la somme des valeurs par l effectif total, en écrivant dans une cellule libre (par exemple C13) : =C12/B12. On peut représenter une série statistique par un histogramme ou par un diagramme en boîte après avoir saisi les données, lorsque les valeurs de la série sont toutes énumérées dans une colonne (c est à dire que les effectifs sont tous égaux à 1). On utilise alors l assistant graphique. Sinon, dans le cas où les valeurs sont regroupées avec leur effectif (ou fréquence) c est plus difficile. D autres caractéristiques de position, la médiane, les quartiles a) Médiane d une série statistique. Supposons donnée une série statistique à caractère quantitatif, les valeurs du caractère étant rangées par ordre croissant (ou décroissant). Définition La médiane de la série est une valeur du caractère qui partage la série en deux groupes (l un des valeurs inférieures à la médiane, l autre des valeurs supérieures) de même effectif. Commentaire Cela signifie que 50 % de la population a une valeur du caractère inférieure à la médiane, et que 50 % de la population a une valeur du caractère supérieure à cette médiane. 24

24 Exemple Dans l une des classes de seconde précédemment évoquées, on a relevé la taille des élèves, et obtenu : cm Effectif Déterminez la médiane de cette série. Dans une autre classe de seconde, on a aussi relevé la taille des élèves, et obtenu : cm Effectif Déterminez la médiane de cette série. Réponses. Dans cette série, nous avons 23 données classées par ordre croissant. Si nous prenons la 12 ème valeur, c est-à-dire ici 167, nous aurons bien partagé la série en deux parties de même effectif. La médiane de cette série est donc 167 cm. Dans cette série, nous avons 34 données classées par ordre croissant. Si nous prenons une valeur comprise entre la 17 ème et la 18 ème valeur, c est-à-dire ici entre 169 et 171, nous aurons bien partagé la série en deux parties de même effectif. On peut prendre la valeur située au milieu, 170. La médiane de cette série sera donc 170 cm. Remarque Quand le caractère est quantitatif discret, et que l effectif est impair, la médiane est une valeur de la série. C est la valeur centrale, pour laquelle il y a exactement N 1 valeurs inférieures et N 1 valeurs supérieures. 2 2 Quand le caractère est quantitatif discret, et que l effectif est pair, la médiane n est pas une valeur de la série. On peut prendre pour médiane n importe quelle valeur entre les deux valeurs centrales. On prend souvent la demisomme de ces deux valeurs. b) Quartiles d une série statistique. Supposons donnée une série statistique à caractère quantitatif, les valeurs du caractère étant rangées par ordre croissant (ou décroissant). 25

25 Définition Les quartiles de la série sont trois valeurs du caractère qui partagent la série en quatre groupes de même effectif. On les note souvent Q 1, Q 2 et Q 3 par ordre croissant, et Q 2 est la médiane. Commentaire Exemple Cela signifie que 25% de la population a une valeur du caractère inférieure à Q 1, 25% de la population une valeur du caractère comprise entre Q 1 et la médiane, 25% une valeur comprise entre la médiane et Q 3, et 25% une valeur supérieure à Q 3. Reprenons les deux exemples ci-dessus. Pour la première série les quartiles sont : Q 1 = 163 Q 2 = 167 = Médiane Q 3 = 174 Pour la deuxième série les quartiles sont : Q 1 = 164 Q 2 = 170 = Médiane Q 3 = 177 Remarque Comme pour la médiane, la détermination des quartiles est parfois sujette à discussion quant au choix de la valeur à choisir. En réalité, la précision n est pas fondamentale : ce qui compte c est de découper la population en deux ou quatre parties de même effectif, environ. Commentaire Lorsque l effectif total est très grand (plusieurs centaines de données), la précision n a pas d importance (par exemple pour les 250 élèves, on peut découper la population en quatre groupes de 62, 63, 63 et 62 personnes, ou 63, 62, 62 et 63 personnes, sans que cela change grand-chose. Par contre, lorsque l effectif total est faible, cette précision semble plus importante ; en réalité, il faut comprendre que faire des statistiques sur un petit nombre de valeurs n est pas très intéressant, en particulier découper un petit effectif en quatre groupes «représentatifs» n a pas beaucoup de sens. C est le cas de nos deux exemples ci-dessus. c) Détermination graphique de la médiane ou des quartiles d une série statistique. Supposons donnée une série statistique à caractère quantitatif continu, les valeurs du caractère étant rangées en classes par ordre croissant (ou décroissant). On peut déterminer facilement dans quelle classes se trouve la médiane (ou un quartile), mais si l effectif de cette classe est important, on ne saura pas bien comment déterminer plus précisément cette médiane. 26

26 On peut alors utiliser une méthode graphique pour donner une valeur plus significative. Pour cela on utilise le polygone des effectifs cumulés (croissants ou décroissants), défini à l activité, et on détermine, par extrapolation, la valeur du caractère correspondant à la moitié (ou un quart, ou trois quarts) de l effectif total. On considère que cette valeur est une bonne approximation de la médiane (ou du premier quartile, ou du troisième quartile). Exemple Reprenons les temps de parcours de l activité, après regroupement par classes de 10 minutes. Construisons le polygone des effectifs cumulés croissants, correspondant au tableau ci-dessous. minutes) Effectif Effectif cumulé croissant C est à dire nombre d élèves dont le temps de parcours est : 0 inférieur à 0 min [0 ; 10[ inférieur à 10 min [10 ; 20[ inférieur à 20 min [20 ; 30[ inférieur à 30 min [30 ; 40[ inférieur à 40 min [40 ; 50[ inférieur à 50 min [50 ; 60[ inférieur à 60 min [60 ; 70[ inférieur à 70 min [70 ; 80[ inférieur à 80 min [80 ; 90] inférieur à 90 min On commence le graphique (voir page suivante) par un effectif de 0 pour une abscisse de 0 min car il n y a aucun élève dont le temps de parcours soit inférieur à 0 minutes. On poursuit par un effectif de 61 pour 10 minutes. Puis un effectif de 151 pour 20 minutes, et ainsi de suite. On relie ensuite ces points pour construire le polygone. On repère, en ordonnées, le quart et la moitié de l effectif, et on lit, en abscisses, les valeurs approximatives du premier quartile et de la médiane : 27

27 250 Effectifs cumulés % % Temps de parcours Q 1 Mé On trouve par exemple : Q 1 10, 1 ; Médiane 17. Un quart des élèves a un temps de parcours inférieur à 10,1 min, la moitié un temps de parcours inférieur à 17 min. Remarque On voit sur cet exemple que Q 1, correspondant à 25% de la population, correspond à un effectif «virtuel» de 62,5 élèves. On lit Q 1 10, 1. Si l on avait pris la 62 ème valeur on aurait eu : Q 1 = 10, si l on avait pris la 63 ème valeur on aurait eu : Q 1 = 10 également. La différence est sans signification pour ce type de renseignement. De même la médiane «réelle», c est à dire la valeur entre les 125 ème et 126 ème données, est 19 minutes alors que sur le graphique, on a lu une valeur médiane de 17 minutes. Cela est dû au regroupement par classes.

28 Des caractéristiques de dispersion, l étendue, l écart interquartile Les caractéristiques vues précédemment (moyenne, médiane, quartiles) permettent de «positionner» la série statistique. On va voir maintenant comment caractériser sa dispersion. a) L étendue d une série statistique. Pour mesurer la dispersion d une série, la première caractéristique, extrêmement simple, que l on utilise est l étendue (que vous avez déjà rencontrée en collège). Supposons donnée une série statistique à caractère quantitatif. On note x max et x min les valeurs maximale et minimale du caractère. Définition L étendue d une série statistique est égale à : x max x min. Commentaire La signification de l étendue est évidente : c est l écart entre la plus petite et la plus grande valeur du caractère. On peut le visualiser ainsi : X min Médiane X max Étendue 50% 50% Exemple Prenons les temps de parcours de l activité. Vous avez déjà calculé l étendue qui est de : 90 0 = 90 min. b) L écart interquartile d une série statistique. La deuxième caractéristique que l on définit est l intervalle interquartile. Supposons donnée une série statistique à caractère quantitatif. On note Q 1 et Q 3 les premier et troisième quartiles. Définition L intervalle interquartile est l intervalle : Q 1;Q 3. L écart interquartile est égal à : Q3 Q 1. Commentaire La signification de l intervalle interquartile est que les 50% «centraux» des valeurs de la série se trouvent dans cet intervalle. On peut le visualiser ainsi : 29

29 X min Q 1 Médiane Q 3 Écart interquartile X max 25% 50% 25% Exemple Exemple Prenons les temps de parcours de l activité. Quel est l intervalle interquartile? On peut vérifier que Q 1 = 10, et Q 3 = 23. L intervalle interquartile est donc l intervalle 10 ; 23. c) Résumé d une série statistique par un indicateur de position et un de dispersion On résume souvent les séries statistiques en donnant un indicateur de position et un de dispersion. Les couples choisis sont en général : la moyenne et l étendue ou la médiane et l intervalle interquartile (vous verrez en classe de première un autre couple possible : moyenne et écart type). Moyenne et étendue On peut résumer une série statistique par le couple moyenne étendue. Prenons les temps de parcours de l activité. On peut résumer cette série en disant que le temps de parcours moyen est de 18,4 min, et que l étendue est de 90 min. Remarque Ce couple moyenne étendue a l inconvénient d être sensible aux valeurs extrêmes, lesquelles peuvent parfois «masquer» les caractéristiques principales des autres valeurs de la série. C est particulièrement gênant lorsque quelques valeurs ne sont en fait que des valeurs «parasites» : erreurs de mesure, défaillances d un appareil de mesure, erreurs de report ou cas atypiques par exemple. Exemple Prenons encore les temps de parcours de l activité. On peut penser que les temps de parcours supérieurs à 45 minutes ne sont pas significatifs de la situation du lycée, et plutôt dus à des cas très particuliers. De même aussi pour le temps de 0 minute (le fils et la fille du proviseur! ). Si on enlève ces 7 personnes (deux à 0 min, une à 50 min, une à 55, une à 60 et deux à 90 min), on obtient une série où le temps moyen de parcours est de 17,5 min environ (au lieu de 18,4) et l étendue de 44 min seulement (au lieu de 90). La différence est assez sensible, surtout sur l étendue. Médiane et intervalle interquartile. On peut résumer une série statistique par le couple médiane intervalle interquartile. 30

30 Commentaire Ce couple médiane intervalle interquartile est souvent représenté graphiquement par un diagramme en boîte, appelé parfois «boîte à moustaches» ou «boîte à pattes». correspondant à : X min Q 1 Médiane Q 3 Écart interquartile X max Exemple Prenons toujours les temps de parcours de l activité. On peut résumer cette série en disant que le temps de parcours médian est de 19 min, et que l écart interquartile est de 13 min, puisque Q 1 = 10, et Q 3 = 23. Remarque Ce couple médiane intervalle interquartile a l avantage d être peu sensible aux valeurs extrêmes. On dit qu il est «robuste» par rapport aux valeurs extrêmes. Exemple Prenons encore les temps de parcours de l activité. Si l on prend les 250 élèves de seconde, on a vu ci-dessus que le temps de parcours médian était de 19 min, et que l écart interquartile était de 13 min ( Q 1 = 10, et Q 3 = 23). Si l on «élague» les sept valeurs extrêmes définies ci-dessus au et si l on prend les 243 autres élèves de seconde, on a un temps de parcours médian de 19 min encore, et un écart interquartile de 13 min encore (mais avec Q 1 = 9, et Q 3 = 22 ). C Synthèse du cours Moyenne d une série statistique Définition La moyenne d une série est la valeur du caractère calculée par : nx 11+ n2x npxp x = = fx + f x + n1+ n2+ + n f.... pxp p 31

31 Théorème Si toutes les valeurs du caractère sont multipliées (ou divisées) par une constante a, sans changer les effectifs, la moyenne est elle-même multipliée (ou divisée) par a. Si on ajoute (ou retranche) une même constante b à toutes les valeurs du caractère, sans changer les effectifs, la moyenne est elle-même augmentée (ou diminuée) de b. Théorème Si une population d effectif total N est partagée en deux groupes, l un d effectif p de moyenne m 1, l autre d effectif q (avec p + q = N ) et de moyenne m 2, la moyenne de la population entière est : pm qm x = N Médiane, quartiles d une série statistique Définition La médiane d une série est une valeur du caractère qui partage la série en deux groupes (l un des valeurs inférieures à la médiane, l autre des valeurs supérieures) de même effectif. Définition Les quartiles d une série sont trois valeurs du caractère qui partagent la série en quatre groupes de même effectif. On les note Q 1, Q 2 et Q 3 par ordre croissant, et Q 2 est la médiane. D Exercice 1 Exercices d apprentissage On donne la série statistique : Caractère x i Effectif n i

32 Cochez la ou les bonnes réponses. La médiane de cette série est : o a. 20 o b. 25 o c. 6 o d. 1 Le 3 ème quartile de cette série, Q 3, est : o a. 26 o b. 21 o c. 30 o d. 27 Exercice 2 0n donne la série statistique suivante, où il manque deux effectifs, mais dont on sait que la moyenne est x = 12 : Caractère x i Effectif n 1 4? 6? 4 1 i Les effectifs manquant peuvent être : o a. égaux à 5 o b. non-égaux o c. égaux o d. on ne sait pas Exercice 3 La moyenne des salaires mensuels d une entreprise est On ajoute un salaire de La nouvelle moyenne x est : o a. x = 1200 o b. x = 1250 o c.1200 < x < 1250 o d. on ne sait pas Exercice 4 Dans une classe où il y a plus de filles que de garçons, la moyenne des filles à un devoir est 15 et celle des garçons La moyenne x de la classe à ce devoir est : o a. x > 13 o b. x > 15 o c. 13 < x < 15 o d. x = 14 Exercice 5 Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes Donner une série statistique, d effectif total 15, d étendue 10, et de médiane 12. a. Un élève a obtenu la note 13 au 5 ème devoir en classe. Avant ce devoir, sa moyenne était de 11. Quelle est sa nouvelle moyenne? b. Après le 6 ème devoir, sa moyenne est de 12. Quelle note a-t-il eue à ce 6 ème devoir? Dans un groupe de 60 personnes, dont 35 femmes, l âge moyen des femmes est de 22 ans et celui des hommes de 28 ans. Quel est l âge moyen du groupe? 33

33 Exercice 6 Le traité de Nice attribuait en 2003 aux 25 pays de l Union Européenne un nombre de votes au Conseil de l U. E. suivant le tableau ci-dessous : Pays Votes Pays Votes Pays Votes Pays Votes Pays Votes Allemagne 29 Espagne 27 Hongrie 12 Luxembourg 4 Royaume-Uni 29 Autriche 10 Estonie 4 Irlande 7 Malte 3 Slovaquie 7 Belgique 12 Finlande 7 Italie 29 Pays-Bas 13 Slovénie 4 Chypre 4 France 29 Lettonie 4 Pologne 27 Suède 10 Danemark 7 Grèce 12 Lituanie 7 Portugal 12 Tchéquie 12 On s intéresse au caractère «nombre de votes». Faites un tableau indiquant pour chaque modalité de ce caractère le nombre de pays concernés (effectif), puis un graphique en bâtons. Calculer le nombre moyen de votes par pays, ainsi que l étendue de cette série. Exercice 7 On sait que les 19 pays les moins peuplés d Europe ont une population moyenne (en 2003) de 2,19 millions d habitants par pays, et que les 23 pays les plus peuplés d Europe (sauf Russie) ont une population moyenne (en 2003) de 23,70 millions d habitants par pays. Calculer, avec ces données, la population moyenne de l ensemble des 42 pays. Une autre source d information nous donne le tableau suivant qui regroupe par tranche de population (en 2003) les 42 pays d Europe (Russie non comprise). Population (en millions) [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 50[ [50 ; 90] Nombre de pays Représenter ces données par un histogramme. Calculer la population moyenne d un pays. Comparer avec celle que l on a calculée à la question précédente. En déduire une estimation de la population totale de ces 42 pays. Construire l histogramme des effectifs cumulés croissants et en déduire, graphiquement, une estimation de la médiane de cette série. Exercice 8 Le tableau suivant regroupe par superficie les 31 pays les plus étendus du monde. Superficie (en millions de km²) 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,6 1,8 1,9 2 2,1 2,3 Nombre de pays Superficie (en millions de km²) 2,4 2,5 2,7 2,8 3,3 7,7 8,5 9, ,1 Nombre de pays Déterminer la médiane, l intervalle interquartile. Représenter cette série par un diagramme en boîte. Déterminer la superficie moyenne de ces 31 pays. Comparer avec la médiane. 34

34 3 Notion de probabilité A Activités Introduction En physique, en chimie, en biologie ou dans d autres domaines, lorsque l on réalise une expérience connue dans des conditions bien précises, en général, on sait par avance le résultat que l on va obtenir : si l on suspend une masse connue à un ressort connu, on peut prévoir l allongement de ce ressort ; si l on verse de l acide sur du calcaire, on obtient une effervescence etc. On dit que ces expériences sont déterministes. Mais, dans certains cas, même si l on connaît parfaitement les éléments de l expérience, on ne peut néanmoins pas en prévoir le résultat : si on lance en l air une pièce de monnaie parfaitement connue, on ne sait pas si elle va tomber sur pile ou sur face ; si on fait rouler sur la table un dé parfaitement connu et équilibré, on ne peut savoir sur quel numéro il va s arrêter etc. On parle alors d expériences aléatoires. Dans ce cas nous pourrons quand même prévoir quels sont les résultats possibles (Pile ou Face pour la pièce, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 pour le dé), et essayer de prévoir quelle «chance» (ou risque) on a que ce soit un résultat plutôt qu un autre qui se produise. Voyons sur deux activités comment on peut procéder, puis nous passerons au cours pour formaliser et approfondir. Un dé classique, parfaitement équilibré On s apprête à lancer un dé classique, cubique, parfaitement équilibré, où les six faces sont numérotées de 1 à 6. Quels résultats peut-on avoir de ce lancer? Peut-on prévoir avec quelle «chance» chacun d entre eux pourrait arriver? Réponses Bien entendu, les résultats possibles de ce lancer sont les numéros 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. On pourrait aussi imaginer comme résultat le fait que le dé s arrête en équilibre sur une de ses arêtes : on dit alors qu il est «cassé». Pour simplifier l exemple, nous supposerons qu il est rigoureusement impossible que le dé s arrête autrement que sur l une de ses faces. 35

35 Commentaire Commentaire Nous n avons donc que six résultats possibles : n 1, n 2, n 3, n 4, n 5 ou n 6. Dans cet exemple, le fait de lancer le dé est une expérience aléatoire (puisque son résultat n est pas prévisible) qui n a pas encore eu lieu. Les résultats possibles (n 1, n 2, n 3, n 4, n 5 ou n 6) sont appelés les événements élémentaires de cette expérience ou issues. Puisque le dé est parfaitement équilibré et que l on n a aucun autre renseignement, on peut penser que chaque numéro a la même «chance» d arriver. Comme il y en a 6, on pourra dire qu il y a 1 chance sur 6 que le dé tombe sur le n 1, qu il y a 1 chance sur 6 que le dé tombe sur le n 2, etc. On pourrait aussi dire qu il y a 10 chances sur 60 que le dé tombe sur le n 1, ou 5 chances sur 30. L idée, intuitive, est que les 6 numéros se répartiraient équitablement si l on faisait 6 fois l expérience, ou 60 fois, ou 30 fois etc. On va traduire ce «nombre de chances» par une fraction. Le fait que le dé tombe sur le n 1 «risque» de se produire dans 1/6 ème des cas, ou dans 10/60 ème des cas, ce qui est compatible avec le fait que : 1/ 6 = 10 / 60 = 5 / 30. Le fait que le dé tombe sur le n 2 «risque» de se produire dans 1/6 ème des cas, etc. Ce nombre, qui évalue la «chance» (ou le risque) qu un résultat (un événement élémentaire) se produise est appelé la probabilité de cet évènement. On dira que la probabilité de l événement élémentaire «n 1» est 1 6. Un dé original, très déséquilibré On s apprête maintenant à lancer un dé beaucoup moins classique, tétraédrique (c est à dire à quatre faces triangulaires) et très déséquilibré (on a particulièrement alourdi certains sommets du dé pour qu il tombe plus souvent sur certains numéros). Ses quatre faces sont numérotées de 1 à 4. Quels résultats peut-on avoir de ce lancer? Peut-on prévoir avec quelle «chance» chacun d entre eux pourrait arriver? Réponses Bien entendu, les résultats possibles de ce lancer sont les numéros 1, 2, 3 ou 4. On pourrait, là encore, imaginer comme résultat le fait que le dé s arrête en équilibre sur une de ses arêtes, qu il soit «cassé». Pour simplifier l exemple, nous supposerons encore qu il est rigoureusement impossible que le dé s arrête autrement que sur l une de ses faces. Nous n avons donc que quatre résultats possibles : n 1, n 2, n 3 ou n 4. 36

36 Commentaire Dans cet exemple, le fait de lancer le dé est une expérience aléatoire (puisque son résultat n est pas prévisible) qui n a pas encore eu lieu. Les résultats possibles (n 1, n 2, n 3 ou n 4) sont les événements élémentaires de cette expérience ou issues. Puisque le dé n est pas parfaitement équilibré, on n a pas de raison de penser que chaque numéro a la même «chance» d arriver. N ayant pas d autre renseignement, on ne peut pas déterminer la «chance» d arriver de chaque numéro. Information complémentaire pour pouvoir répondre On suppose maintenant que notre dé a été testé avant d être vendu et que le test sur lancers a donné les résultats suivants : Issues n 1 n 2 n 3 n 4 Nombre de fois où on l a obtenue Suite de la réponse On peut donc supposer, vu le grand nombre de lancers effectués lors de ce test, que l on «risque» d obtenir, lorsqu on lancera nous-mêmes le dé, les différents résultats avec la même «fréquence» que celle observée dans le tableau. On peut ainsi dire qu il y a 495 chances sur que le dé tombe sur le n 1, 505 chances sur que le dé tombe sur le n 2, chances sur que le dé tombe sur le n 3 et chances sur que le dé tombe sur le n 4. L idée, intuitive, est que les 4 numéros se répartiraient comme dans le tableau si l on refaisait fois l expérience. On va traduire ce «nombre de chances» par une fraction. Le fait que le dé tombe sur le n 1 «risque» de se produire dans 495/5000 cas. Le fait que le dé tombe sur le n 2 «risque» de se produire dans 505/5000 cas. Le fait que le dé tombe sur le n 3 «risque» de se produire dans 1010/5000 cas. Le fait que le dé tombe sur le n 4 «risque» de se produire dans 2990/5000 cas. On dira que la probabilité de l événement élémentaire «n 1» est , celle de l événement élémentaire «n 2» est , celle de l événement élémentaire «n 3» est , et celle de l événement élémentaire «n 4» est Commentaire Cette idée intuitive que l observation d un grand nombre de cas permet de «deviner» la probabilité qu un événement se produise est aussi sous-jacente dans le premier exemple (dé cubique bien équilibré). Pour affirmer le fait que chaque événement élémentaire a une probabilité de 1 6, on s imagine ce qui se passerait si l on lançait le dé un très grand nombre de fois 37

37 (par exemple fois) ; on aurait à peu près autant de fois chaque issue (ici environ fois). Car on sait très bien que si on lance ce dé 6 fois exactement, il y a très peu de chances que l on obtienne exactement une fois chaque issue. Cependant ces deux exemples sont assez différents dans leur façon d obtenir les probabilités de chaque issue : pour le premier dé, équilibré, un raisonnement sur l égalité des chances permet de conclure (même si on peut avoir en tête ce qui se passerait si l on testait ce dé en le lançant un grand nombre de fois), pour le deuxième dé, déséquilibré, aucun raisonnement ne suffit pour déterminer les probabilités de chaque issue ; seul le tableau statistique du test permet de les déterminer. Ce sont les deux principales façons de définir des probabilités : un raisonnement sur l expérience aléatoire en question, une utilisation des fréquences obtenues dans un tableau statistique. Remarque Dans les deux exemples ci-dessus, nous pouvons remarquer deux choses : les probabilités calculées sous forme de fractions sont toujours des nombres inférieurs à 1 (on n imagine pas qu un résultat puisse avoir 7 chances sur 6 de se produire, donc une probabilité de 7 6! ) en ajoutant les probabilités de toutes les issues possibles, on obtient exactement 1, pour le dé cubique, on a =1; = B Cours Le langage des probabilités a) Expérience aléatoire, événements élémentaires, univers Définition Une expérience aléatoire est une expérience pour laquelle plusieurs issues sont possibles, sans que l on puisse prévoir celle qui se produira. Les issues sont aussi appelées les événements élémentaires, ou les éventualités. 38

38 Commentaire Exemples Il est important, avant de commencer un exercice de probabilité, d avoir bien compris l expérience aléatoire dont on parle, et ses résultats possibles (événements élémentaires). On veut lancer un dé à quatre faces et s intéresser au numéro obtenu. Les événements élémentaires sont : n 1, n 2, n 3 et n 4. On veut lancer deux dés identiques à quatre faces et s intéresser aux deux numéros obtenus. Les événements élémentaires sont : (1 et 1), (1 et 2), (1 et 3), (1 et 4), (2 et 2), (2 et 3), (2 et 4), (3 et 3), (3 et 4) et (4 et 4), si l on ne peut pas distinguer les deux dés (sinon, avec deux dés distincts, (1 et 2) et (2 et 1) sont des issues différentes). On veut lancer deux fois un dé à quatre faces et s intéresser à la somme des deux numéros obtenus. Les événements élémentaires sont : 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8. Vocabulaire On regroupe souvent toutes les issues d une expérience aléatoire dans un même ensemble, que l on appelle l univers de l expérience. Exemples Dans l exemple l univers de l expérience est : E = { n 1 ; n 2 ; n 3 ; n 4 }. Dans l exemple l univers de l expérience est : E = { (1 et 1) ; (1 et 2) ; (1 et 3) ; (1 et 4) ; (2 et 2) ; (2 et 3) ; (2 et 4) ; (3 et 3) ; (3 et 4) ; (4 et 4) }. Dans l exemple décrire l univers de l expérience. Remarque Vous remarquerez que l on note les ensembles avec des accolades, { et }, et que les issues sont séparées par des points-virgules. b) Événements Reprenons l exemple précédent, où l on veut lancer deux dés identiques à quatre faces et s intéresser aux deux numéros obtenus. Au lieu de se demander si un résultat précis va se produire (aura-t-on le 1 et le 3?), on peut s intéresser à une possibilité plus large : aura-t-on deux numéros impairs? Cela revient à se demander si l on aura l une des issues (1 et 1), ou (1 et 3), ou (3 et 3). Et donc, si l on aura l une des issues de l ensemble : {(1 et 1) ; (1 et 3) ; (3 et 3)}. Cet ensemble est caractéristique du fait «d avoir deux numéros impairs». On dit que c est l événement «avoir deux numéros impairs». 39

39 On peut de la même façon définir d autres événements, correspondant à différentes possibilités des issues : «avoir un double», «avoir deux numéros dont la somme fasse 4», «avoir au moins un 1», etc. Chaque événement pourra être représenté par l ensemble de toutes les issues correspondantes : {(1 et 1) ; (2 et 2) ; (3 et 3) ; (4 et 4)} est l événement «avoir un double», {(1 et 3) ; (2 et 2)} est l événement «avoir deux numéros dont la somme fasse 4», {(1 et 1) ; (1 et 2) ; (1 et 3) ; (1 et 4)} est l événement «avoir au moins un 1». On dit que ces issues sont les issues favorables à l événement (on devrait dire favorables à ce qu il se réalise). On peut aussi considérer qu un ensemble d issues quelconques représente un événement, même si l on ne peut pas le décrire par une phrase : {(1 et 1) ; (2 et 3) ; (2 et 4)} est un événement. Définition On appelle événement d une expérience aléatoire, un ensemble d issues de cette expérience. C est donc un sous-ensemble de l univers. En général, un événement traduit une possibilité que l on envisage pour le résultat de l expérience. Commentaire Exemple Exemples Il est important de comprendre que, lorsque l expérience sera faite (on aura lancé nos deux dés), on pourra dire qu un événement est réalisé si c est l UNE des issues qui le composent qui se réalise. Si c est l issue (2 et 2) qui se réalise, l événement «avoir un double» sera réalisé ; si c est l issue (3 et 3) qui se réalise, l événement «avoir un double» sera réalisé ; si c est l issue (1 et 2) qui se réalise, l événement «avoir un double» ne sera pas réalisé. Pour l expérience de l exemple a) ci-dessus, décrire par une phrase l événement : S = {6 ; 7 ; 8}. Dans le même exemple, décrire par ses issues l événement : I = «avoir une somme impaire». Réponses. L événement : S = {6 ; 7 ; 8} peut se décrire, par exemple, par la phrase : «obtenir deux numéros dont la somme est supérieure ou égale à 6». L événement : I = «avoir une somme impaire» est l événement : I = {3 ; 5 ; 7} 40

40 Cas particuliers Reprenons l exemple précédent. Parmi les ensembles d issues que l on peut fabriquer, donc les événements, il y en a deux particuliers. 1 L ensemble formé de toutes les issues, autrement dit l univers, est un événement : E = { (1 et 1) ; (1 et 2) ; (1 et 3) ; (1 et 4) ; (2 et 2) ; (2 et 3) ; (2 et 4) ; (3 et 3) ; (3 et 4) ; (4 et 4) }. Cet événement est sûr de se réaliser, puisqu il contient toutes les issues possibles. On l appelle parfois l événement certain. On pourrait le traduire par «avoir un résultat, mais peu importe lequel». 2 L ensemble formé d aucune des issues est aussi considéré comme un événement. On le note avec un symbole particulier,, qui se lit «ensemble vide». = { }. Cet événement ne peut pas se réaliser, puisqu il ne contient aucune des issues possibles. On l appelle parfois l événement impossible. On pourrait le traduire par «ne pas avoir de résultat», ce qui est impossible, puisqu on aura forcément un résultat lorsqu on aura lancé nos dés, ou par une propriété manifestement impossible : «avoir au moins un 5», «avoir une somme égale à 9» ou «avoir un double 6». Définitions Soit une expérience aléatoire, dont les issues sont notées a 1, a 2, a 3,, a n (on suppose qu il y a n issues). On appelle événement certain l événement constitué de toutes les issues de l expérience, c est à dire l univers : E = { a 1, a 2, a 3,, a n }. On appelle événement impossible l événement constitué d aucune issue de l expérience, c est à dire l ensemble vide : = { }. c) Schémas illustrant les issues d une expérience aléatoire Il est souvent bien pratique de représenter l univers d une expérience aléatoire par un schéma qui montre bien comment on peut obtenir les différentes issues. Ces schémas nous seront de plus bien utiles par la suite. On trouve principalement trois types de schéma. 41

41 Les diagrammes en forme de «patate», qui permettent de séparer différentes catégories d issues : Exemple Ici on a représenté l univers de l exemple, en séparant les événements élémentaires correspondant au fait «d obtenir un double». (1 et 2) (1 et 3) (1 et 4) (2 et 3) (1 et 1) (2 et 2) (3 et 3) (2 et 4) (3 et 4) (4 et 4) Les tableaux à double entrée, lorsque deux critères structurent les issues : Exemple Ici on a représenté l univers de l exemple, en faisant apparaître les issues qui s obtiennent de deux façons (cases grisées), et qu il faudrait différencier si l on pouvait distinguer les deux dés (par exemple avec deux couleurs différentes). 1 er dé ème dé 1 (1 et 1) (1 et 2) (1 et 3) (1 et 4) 2 (1 et 2) (2 et 2) (2 et 3) (2 et 4) 3 (1 et 3) (2 et 3) (3 et 3) (3 et 4) 4 (1 et 4) (2 et 4) (3 et 4) (4 et 4) Exemple Les schémas en arbre qui montrent une sorte de chronologie du déroulement de l expérience : Ici on a représenté l univers de l exemple, en faisant apparaître les issues qui s obtiennent de deux façons (flèches pointillées), et qu il faudrait différencier si l on pouvait distinguer les deux dés (par exemple avec deux couleurs différentes). 1 er dé e dé Issues (1;1) (1;3) (1;2) (1;4) (1;2) (2;3) (2;2) (2;4) (1;3) (3;3) (2;3) (3;4) (1;4) (3;4) (2;4) (4;4) Exemple Représenter l univers de l exemple par un diagramme en «patate» et par un tableau à double entrée. Réponse. Par un diagramme en «patate» :

42 Par un tableau à double entrée : 1 er dé ème dé Loi de probabilité a) Probabilité d un événement élémentaire Reprenons les deux premiers exemples précédents, au début du cours, et regardons quelle chance a-t-on que chacun des résultats se produise. Pour l exemple, où l on veut lancer un dé à quatre faces et s intéresser au numéro obtenu, les événements élémentaires sont : n 1, n 2, n 3 et n 4. Si le dé est «normal», on est dans le même cas de figure que dans l activité, et l on peut, en raisonnant sur l égalité des chances, admettre que chaque issue a une chance sur quatre de se produire : on dira une probabilité de 1 4. Pour l exemple, où l on veut lancer deux dés identiques à quatre faces et s intéresser aux deux numéros obtenus, les événements élémentaires sont : (1 et 1), (1 et 2), (1 et 3), (1 et 4), (2 et 2), (2 et 3), (2 et 4), (3 et 3), (3 et 4) et (4 et 4). Mais là, on ne peut pas raisonnablement supposer qu il y a égalité des chances, car on voit qu il y a deux façons d obtenir le résultat (1 et 2), suivant que le 1 est sur un dé ou sur l autre, alors qu il n y a qu une façon d obtenir (1 et 1). Comment calculer les chances de se produire de chaque issue? On va utiliser les schémas évoqués précédemment, en particulier un tableau à double entrée ou un schéma en arbre. Prenons le tableau. Puisque chaque colonne correspond à une issue pour le premier dé, on peut dire qu il y a égalité de chance d avoir une colonne plutôt qu une autre. 1 er dé ème dé 1 (1 et 1) (1 et 2) (1 et 3) (1 et 4) 2 (1 et 2) (2 et 2) (2 et 3) (2 et 4) 3 (1 et 3) (2 et 3) (3 et 3) (3 et 4) 4 (1 et 4) (2 et 4) (3 et 4) (4 et 4) De même pour les lignes puisqu elles correspondent aux issues pour le deuxième dé. On peut ainsi admettre que toutes les cases du tableau ont la même chance de se produire : soit une chance sur seize. On peut alors en déduire la probabilité des différentes issues de l expérience aléatoire : 1 (1 et 1) correspond à une case, on dira que sa probabilité est de 16. Il en est de même pour toutes les issues «doubles» : (2 et 2), (3 et 3), (4 et 4). 43

43 2 (1 et 2) correspond à deux cases, on dira que sa probabilité est de 16. Il en est de même pour toutes les autres issues : (1 et 3), (1 et 4), (2 et 3), (2 et 4) et (3 et 4). Remarque Dans d autres cas, comme dans l activité, on a vu que c était les données statistiques qui permettaient de trouver la probabilité de chaque issue. Définitions Lors d une expérience aléatoire, dont les issues sont notées a 1, a 2, a 3,, a n, on peut attribuer à chaque issue de cette expérience un nombre représentant ses chances de se produire : on dit que c est la probabilité de cette issue. L ensemble des issues et de leurs probabilités constitue la loi de probabilité de l expérience aléatoire. Notation On peut noter ces nombres avec des indices permettant de retrouver à quelle issue chaque nombre correspond : p 1 est la probabilité de l issue a 1, p 2 est la probabilité de l issue a 2, p 3 est la probabilité de l issue a 3,, p n est la probabilité de l issue a n. On peut aussi noter ces nombres de manière fonctionnelle : p 1 = p(a 1 ), p 2 = p(a 2 ), p 3 = p(a 3 ),, p n = p(a n ). On a vu comme remarques à la fin des activités et, que ces nombres sont nécessairement inférieurs à 1 (et bien sûr positifs), et que leur somme vaut 1. Ces propriétés sont caractéristiques des probabilités. Propriété Lors d une expérience aléatoire, dont les issues sont notées a 1, a 2, a 3,, a n, la probabilité de chaque issue est un nombre compris entre 0 et 1 : ( ) pour n importe quel indice i, 0 p i 1 ou 0 pa ( i ) 1 De plus, ces probabilités vérifient : p 1 + p 2 + p p n = 1 (ou p ( a 1 )+ p ( a 2 )+ p ( a 3 )+...+ p ( a n )=1 ). 44

44 Par exemple, pour l exemple, où l on veut lancer deux dés identiques à quatre faces et s intéresser aux deux numéros obtenus, les événements élémentaires sont : (1 et 1), (1 et 2), (1 et 3), (1 et 4), (2 et 2), (2 et 3), (2 et 4), (3 et 3), (3 et 4) et (4 et 4). 1 On a vu que : p( 1et 1) = p( 2et 2) = p( 3et 3) = p( 4 et 4) = (compris entre 0 et 1), 16 2 et que : p( 1et 2) = p( 1et 3) = p( 1et 4) = p( 2et 3) = p( 2et 4) = p( 3et 4) = (aussi entre 0 et 1). 16 De plus on a aussi : p( 1et 1) + p( 2et 2) + p( 3et 3) + p( 4 et 4) + p( 1et 2) + p( 1et 3) + p( 1et 4)+ 1 + p( 2et 3) + p( 2et 4) ( 3et 4) p = + = = Exemple un tableau à double entrée)., établir la loi de probabilité (on pourra utiliser Réponse. Reprenons le tableau à double entrée de la page 107. Puisque chaque colonne correspond à une issue pour le premier dé, on peut dire qu il y a égalité de chance d avoir une colonne plutôt qu une autre. 1 er dé ème dé De même pour les lignes puisqu elles correspondent aux issues pour le deuxième dé. On peut ainsi admettre que toutes les cases du tableau ont la même chance de se produire : soit une chance sur seize. On peut alors en déduire la probabilité des différentes issues de l expérience aléatoire : 2 correspond à une case, on peut dire que sa probabilité est de Il en est de même pour l issue 8. 3 correspond à deux cases, on peut dire que sa probabilité est de Il en est de même pour l issue 7. 4 correspond à trois cases, on peut dire que sa probabilité est de Il en est de même pour l issue 6. Enfin, 5 correspond à quatre cases, donc sa probabilité est b) Équiprobabilité Le cas particulier de l exemple, ou de l activité, où toutes les issues ont la même probabilité de se produire, est très fréquent. 45

45 Cette situation qu il faut apprendre à reconnaître, amène des calculs relativement simples. Définition Lors d une expérience aléatoire, si toutes les issues ont la même chance de se produire, on dit qu il y a équiprobabilité (ou que les issues sont équiprobables). Les propriétés énoncées ci-dessus nous montrent que chaque issue aura alors comme probabilité : 1 p =, où n est le nombre d issues de l expérience. n Démonstration Exemples Considérons une expérience aléatoire, dont les issues sont notées a 1, a 2, a 3,, a n, et pour laquelle il y a équiprobabilité. On aura donc : p1= p2 = p 3 =... = p n et p1+ p2+ p p n = 1. 1 Donc : n p 1 = 1. Ce qui donne bien : p1= = p2 = p 3 =... = p. n n On veut tirer au hasard une date dans le calendrier d une année non bissextile. Quelle est la probabilité de tomber sur Noël? Un restaurant propose un menu rapide composé d un plat principal et d un dessert. Il offre le choix de trois plats principaux et de deux desserts. Ne sachant que choisir, je décide de tirer au hasard le plat principal, puis le dessert pour composer mon menu. Décrire l univers et la loi de probabilité de cette expérience aléatoire. Réponses. Dans l énoncé, l expression «au hasard» signifie que toutes les dates ont la même chance d être tirées. On est alors en situation d équiprobabilité. La probabilité de tomber sur Noël est donc : p(noël) = puisqu il y a 365 issues possibles. C est d ailleurs ce que l intuition nous suggère, et on aurait le même résultat pour n importe quelle date, même moins remarquable. On peut représenter les différents menus (les issues) par un tableau à double entrée. Puisque chaque colonne correspond Plat à une issue pour le premier tirage, on Dessert peut dire qu il y a égalité de chance d avoir une colonne plutôt qu une autre puisque ce tirage est «au hasard». 1 2 (1 et 1) (1 et 2) (2 et 1) (2 et 2) (3 et 1) (3 et 2) 46

46 De même pour les lignes puisqu elles correspondent aux issues du deuxième tirage. On peut ainsi admettre que toutes les cases du tableau ont la même chance de se produire : il y a équiprobabilité, et il y a 6 issues possibles. La probabilité de chaque menu est donc : 1 6. Remarque Un schéma en arbre se prête aussi très bien à ce genre d expérience : Plat principal Dessert Issues (1et 1) (1et 2) (2 et 1) (2 et 2) (3 et 1) (3 et 2) c) Loi de probabilité d une expérience aléatoire non équiprobable, mais à base d équiprobabilité Dans ces situations non équiprobables, pour déterminer la loi de probabilité d une expérience aléatoire, il faut : se ramener à une situation où il y a équiprobabilité, déterminer la probabilité de chaque issue possible de l expérience. Exemple Dans une boîte se trouvent trois boules vertes et une boule blanche, indiscernables au toucher. On en tire une au hasard, et sans la remettre dans la boîte, on en tire une deuxième, encore au hasard. On note les couples de couleurs obtenues, en tenant compte de l ordre de tirage. Décrire l univers et la loi de probabilité de cette expérience aléatoire. Les issues de cette expérience sont faciles à déterminer. En notant V la couleur verte et B la couleur blanche, on trouve : (V,V), (V,B) et (B,V) car on ne peut pas tirer deux boules blanches. L univers est donc : { (V,V) ; (V,B) ; (B,V) }. Mais ces issues ne sont pas équiprobables : on a certainement plus de chance d obtenir (V,V) que (V,B). Pour se ramener à une situation équiprobable, on va raisonner sur les boules (en les supposant toutes différentes) et non pas sur les couleurs. On peut par exemple imaginer que les boules sont numérotées. 47

47 On va représenter les différents tirages par un schéma en arbre. 1 er tirage V 1 V 2 V 3 B 2 e tirage V 2 V 3 B V 1 V 3 B V 1 V 2 B V 1 V 2 V 3 Issues (V,V) (V,V) (V,B) (V,V) (V,V) (V,B) (V,V) (V,V) (V,B) (B,V) (B,V) (B,V) Puisque chaque tirage se fait «au hasard», on peut dire qu il y a égalité de chance d avoir une branche de l arbre plutôt qu une autre. Il y a équiprobabilité des branches et il y en a 12. On peut maintenant calculer la probabilité de chaque issue de notre expérience. L issue (V,V) est obtenue avec 6 branches, sa probabilité est donc : 6 = 05,. 12 L issue (V,B) est obtenue avec 3 branches, sa probabilité est donc : 3 = 025,. 12 L issue (B,V) est obtenue avec 3 branches, sa probabilité est donc : 3 12 = 025,. d) Probabilité d un événement quelconque Reprenons les exemples du début du cours, et regardons quelle chance on a qu un certain événement se réalise. Pour l exemple, où l on veut lancer un dé «normal» à quatre faces et s intéresser au numéro obtenu, les événements élémentaires sont : n 1, n 2, n 3 et n 4. La loi de probabilité est : p(1) = p(2) = p(3) = p(4) = 1 4. Considérons l événement : «avoir un n pair», que l on peut écrire {2 ; 4}. Quelle est la probabilité qu il se produise? Intuitivement, on voit que l on a deux chances sur quatre qu il se produise. On pourrait donc écrire : p( «avoir un n pair» ) = 2 4. On peut remarquer que cet événement est constitué de deux issues, et que l on a : p( «avoir un n pair» ) = p( {2 ; 4} ) = p(2) + p(4) = + = Ceci traduit le fait que l événement sera réalisé si l une ou l autre des deux issues se réalise, ce qui nous donne comme probabilité que l événement se réalise, la probabilité de la première issue, plus celle de la seconde. Pour l exemple, où l on veut lancer deux dés identiques à quatre faces et s intéresser aux deux numéros obtenus, les issues sont : 48

48 (1 et 1), (1 et 2), (1 et 3), (1 et 4), (2 et 2), (2 et 3), (2 et 4), (3 et 3), (3 et 4) et (4 et 4). La loi de probabilité est : p(1 et 1) = p(2 et 2) = p(3 et 3) = p(4 et 4) = 1 16, p(1 et 2) = p(1 et 3) = p(1 et 4) = p(2 et 3) = p(2 et 4) = p(3 et 4) = Considérons l événement : «avoir un double», que l on peut écrire { (1 et 1) ; (2 et 2) ; (3 et 3) ; (4 et 4) }. Quelle est la probabilité qu il se produise? Intuitivement, en regardant le tableau à double entrée représentant les issues, on voit que l on a quatre chances sur seize qu il se produise. On pourrait donc écrire : p( «avoir un double» ) = On peut remarquer que cet événement est constitué de quatre issues, et que l on a : p( «avoir un double» ) = p( {(1 et 1) ; ( 2 et 2) ; (3 et 3) ; (4 et 4)} ) = p( 1 et 1) + p(2 et 2) + p(3 et 3) + p(4 et 4) = = issues se réalise, ce qui nous donne comme probabilité que l événement se réalise, la probabilité de la première issue, plus celle de la seconde, plus celle de la troisième, plus celle de la quatrième. De même, considérons l événement : «avoir deux numéros dont la somme fasse 4», que l on peut écrire { (1 et 3) ; (2 et 2) }. Quelle est la probabilité qu il se produise? Intuitivement, en regardant le tableau à double entrée représentant les issues, on voit que l on a trois chances sur seize qu il se produise. On pourrait donc écrire : p( «avoir deux numéros dont la somme fasse 4») = On peut remarquer ce cet événement est constitué de deux issues, et que l on a : p( «avoir deux numéros dont la somme fasse 4» ) = p( {(1 et 3) ; (2 et 2)} ) = p(1 et 3) + p(2 et 2) = + = Ceci traduit le fait que l événement sera réalisé si l une ou l autre des deux issues se réalise, ce qui nous donne comme probabilité que l événement se réalise, la probabilité de la première issue, plus celle de la seconde. Ce procédé se généralise. Propriété Lors d une expérience aléatoire, la probabilité d un événement quelconque est la somme des probabilités de toutes les issues qui composent cet événement. 49

49 Par exemple, pour l exemple, où l on veut lancer deux fois un dé à quatre faces et s intéresser aux deux numéros obtenus, sans tenir compte de l ordre. On considère l événement «avoir un double OU avoir deux numéros dont la somme fasse 4». Cet événement est constitué des issues : { (1 et 1) ; (1 et 3) ; (2 et 2) ; (3 et 3) ; (4 et 4)}. Sa probabilité est : p(1 et 1) + p(1 et 3) + p(2 et 2) + p(3 et 3) + p(4 et 4) = = Exemple Pour l expérience de l exemple, calculer les probabilités des événements : S = {6 ; 7 ; 8} et I = {3 ; 5 ; 7}. Réponse. On a : p(s) = p(6) + p(7) + p(8) = + + = p(i) = p(3) + p(5) + p(7) = + + = Cas particulier On a vu dans la partie b) que pour toute expérience aléatoire, on a toujours deux événements particuliers, l événement certain (l univers) et l événement impossible (l ensemble vide). Il est facile de calculer leur probabilité. Propriétés On note E l univers d une expérience aléatoire. La probabilité de l événement certain est : p(e) = 1. La probabilité de l événement impossible est : p( =0 ). Explication L univers est constitué de toutes les issues possibles. Sa probabilité est donc la somme de toutes les probabilités de ces issues. Or nous avons vu au début de cette partie que la somme de toutes les probabilités de toutes les issues valait 1. La probabilité de l univers est donc 1. Quant à l événement impossible, c est par convention (c est-à-dire par décision arbitraire mais admise de tous) que l on a p( =0 ). 50

50 Mais cette convention est conforme à l intuition (il y a 0 chances sur que l on ait l événement impossible) et aussi à la propriété indiquant le calcul de la probabilité d un événement (c est la somme des probabilités des issues de l événement : n a aucune issue, donc sa probabilité est 0). Équiprobabilité En situation d équiprobabilité, les calculs sont là aussi simplifiés. Propriétés Lors d une expérience aléatoire équiprobable, la probabilité d un événement quel- nombre d'issues de A conque A est égale à : p(a) = nombre total d'iss ues. Démonstration Exemple S il y a équiprobabilité, chaque issue a pour probabilité p = 1, où n est le nom- bre total d issues de l expérience. n Si l événement A est constitué de k issues, sa probabilité est la somme des pro- babilités de ces k issues : p(a) = (k k fois), puisqu elles ont toutes même probabilité ( ) n n n n. 1 k nombre d'issues de A Ce qui fait bien : p(a) = k = = n n nombre total d'issues. On veut tirer au hasard une date dans le calendrier d une année non bissextile. Quelle est la probabilité de tomber sur un jour de décembre? Dans l énoncé, l expression «au hasard» signifie que toutes les dates ont la même chance d être tirées. On est en situation d équiprobabilité, chaque jour ayant comme probabilité 1 d être tiré : 365. La probabilité de tomber sur un jour de décembre est donc : nombre de jours de décembre p(décembre) = nombre total de jours = C Synthèse du cours Le langage des probabilités Définitions Une expérience aléatoire est une expérience pour laquelle plusieurs issues sont possibles, sans que l on puisse prévoir celle qui se produira. Les issues sont aussi appelées les événements élémentaires, ou les éventualités. 51

51 Vocabulaire On regroupe souvent toutes les issues d une expérience aléatoire dans un même ensemble, que l on appelle l univers de l expérience. Définition On appelle événement d une expérience aléatoire, un ensemble d issues de cette expérience. C est donc un sous-ensemble de l univers. Définitions Soit une expérience aléatoire, dont les issues sont notées a 1, a 2, a 3,, a n (on suppose qu il y a n issues). On appelle événement certain l événement constitué de toutes les issues de l expérience, c est à dire l univers : E = { a 1, a 2, a 3,, a n }. On appelle événement impossible l événement constitué d aucune issue de l expérience, c est à dire l ensemble vide : = { }. 52

52 Loi de probabilité Propriétés Lors d une expérience aléatoire, dont les issues sont notées a 1, a 2, a 3,, a n, la probabilité de chaque issue est un nombre compris entre 0 et 1 : pour n importe quel indice i, 0 p i 1 (ou 0 p( a i ) 1 ). ces probabilités vérifient : p 1 + p 2 + p p n = 1 ( ou p ( a 1 )+ p ( a 2 )+ p ( a 3 )+...+ p ( a n )=1 ). Propriété Lors d une expérience aléatoire, la probabilité d un événement quelconque est la somme des probabilités de toutes les issues qui composent cet événement. Propriétés On note E l univers d une expérience aléatoire. La probabilité de l événement certain est : p(e) = 1. La probabilité de l événement impossible est : p( =0 ). Propriété Lors d une expérience aléatoire équiprobable, la probabilité d un événement quel- nombre d'issues de A conque A est égale à : p(a) = nombre total d'iss ues. D Exercices d apprentissage Exercice 9 Dans les exercices 9 et 10, indiquer la ou les bonnes réponses. On joue à Pile ou Face (P ou F) deux fois de suite avec une pièce bien équilibrée. La probabilité d obtenir deux fois Face, p(f, F) est : a. 1 b. 1 c. 1 d. égale à p(p, P)

53 Exercice 10 Deux boules rouges et une noire, indiscernables au toucher, sont dans une boîte. On en tire deux successivement, en remettant la première dans la boîte avant de tirer la deuxième. La probabilité d obtenir deux boules rouges est : a. 2 9 b. 4 9 c. 4 6 d. 1 Deux boules rouges et une noire, indiscernables au toucher, sont dans une boîte. On en tire deux successivement, sans remettre la première dans la boîte. La probabilité d obtenir deux boules rouges est : a. 1 b. 1 3 c. 1 6 d. 1 9 Exercice 11 Exercice 12 Exercice 13 Exercice 14 Dans une boîte se trouvent une boule blanche numérotée 1, deux boules rouges numérotées 2 et 3, et deux boules noires numérotées 4 et 5. On tire une boule au hasard dans la boîte et on regarde le numéro tiré. Déterminer l univers et la loi de probabilité de cette expérience aléatoire. Quelle est la probabilité de tirer un numéro pair? Dans une boîte se trouvent une boule blanche numérotée 1, deux boules rouges numérotées 2 et 3, et deux boules noires numérotées 4 et 5. On tire une boule au hasard dans la boîte et on regarde la couleur tirée. Déterminer l univers et la loi de probabilité de cette expérience aléatoire. Quelle est la probabilité de tirer une couleur du drapeau français? Dans une boîte se trouvent une boule blanche numérotée 1, deux boules rouges numérotées 2 et 3, et deux boules noires numérotées 4 et 5. On tire une boule au hasard dans la boîte, on la remet, et on en tire au hasard une deuxième. On s intéresse aux deux numéros tirés, dans l ordre. Déterminer l univers et la loi de probabilité de cette expérience aléatoire. Quelle est la probabilité de tirer un double (événement D)? Quelle est la probabilité de tirer un 3 en deuxième position (événement T)? Quelle est la probabilité de tirer un premier numéro supérieur au second (événement S)? Dans une boîte se trouvent une boule blanche numérotée 1, deux boules rouges numérotées 2 et 3, et deux boules noires numérotées 4 et 5. On tire une boule au hasard dans la boîte et, sans la remettre, on en tire au hasard une deuxième. On s intéresse aux deux numéros tirés, dans l ordre. Déterminer l univers et la loi de probabilité de cette expérience aléatoire. Quelle est la probabilité de tirer un double (événement D)? Quelle est la probabilité de tirer un 3 en deuxième position (événement T)? 54

54 Quelle est la probabilité de tirer un premier numéro supérieur au second (événement S)? Exercice 15 Exercice 16 Exercice 17 On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes ordinaires. Déterminer l univers et la loi de probabilité de cette expérience aléatoire. Quelle est la probabilité de tirer un cœur (événement C)? Quelle est la probabilité de tirer une figure (événement F)? On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes ordinaires, puis, sans la remettre, on en tire une seconde, également au hasard. Déterminer l univers et la loi de probabilité de cette expérience aléatoire. Quelle est la probabilité de tirer les deux as rouges (cœur et carreau)? Quelle est la probabilité de tirer deux as? Dans un grand port européen, arrivent chaque jour 5000 conteneurs venant d Europe (la moitié), d Asie (30%) et d Amérique. Parmi les conteneurs venant d Europe, 5% sont en infraction, de même pour ceux venant d Amérique. Compléter le tableau ci-contre Provenance État Europe Asie Amérique Nb de conteneurs en règle Nb de conteneurs en infraction 125 Les douaniers tirent au hasard un conteneur parmi les 5000 arrivés. Quelle est la probabilité d en tirer un en règle (événement R)? Quelle est la probabilité d en tirer un venant d Asie (événement A)? Exercice 18 On lance un dé truqué à six faces, dont on a fait en sorte que la probabilité de sortir de chaque face soit proportionnelle au numéro de la face. Quel est l univers? Y a-t-il équiprobabilité? Déterminer la loi de probabilité de cette expérience. 55

55 4 Algorithmique A Listes Considérons un algorithme où intervient une variable A. Lorsque l on affecte à A une nouvelle valeur, l ancienne valeur est effacée. Pour pouvoir conserver différentes valeurs prises par une variable, on peut considérer une variable de type Liste. Exemple Considérons l algorithme suivant. Entrée ENTRER a entier naturel compris entre 10 et 99 Initialisation Traitement Sortie L liste vide DANS A mettre a DANS B mettre ent (A/10) DANS L mettre A DANS C mettre A-10*B DANS L ajouter C AFFICHER L Faisons fonctionner cet algorithme, par exemple pour la valeur a = 47. a L A B C Entrée 47 Initialisation Traitement 47 (4) (4; 7) Sortie (4; 7) 4 7 Remarque (1) Attention, l ordre est important. Les listes (4; 7) et (7; 4) sont différentes. (2) Au lieu de noter ( ) la liste vide, on peut la noter (symbole qui désigne aussi l événement impossible en probabilité). (3) Nous noterons, comme pour les calculatrices, L[n] n le nième n élément de la liste L. Dans l exemple précédent, on a, à l issue de l algorithme : L[1] = 4 et L[2] = 7. 56

56 Exemple 1 Considérons l algorithme suivant. Entrée Traitement Sortie ENTRER L liste de 3 entiers naturels Si L[1] > L[2] alors DANS A METTRE L[1] DANS L[1] METTRE L[2] DANS L[2] METTRE A Fin du Si Si L[1] > L[3] alors DANS A METTRE L[1] DANS L[1] METTRE L[3] DANS L[3] METTRE A Fin du Si Si L[2] > L[3] alors DANS A METTRE L[2] DANS L[2] METTRE L[3] DANS L[3] METTRE A Fin du Si AFFICHER L Faire fonctionner cet algorithme pour : a) L = (17; 8; 5) b) L = (7; 9: 3) c) L = (8; 6; 8) Que fait cet algorithme? Réponses a) L Entrée (17; 8; 5) (8; 8; 5) (8; 17; 5) (5; 17; 8) Sortie (5; 8; 17) A 17 On a : L[1] = 17 > 8 = L[2] 8 On a : L[1] = 8 > 5 = L[3] 17 On a : L[2] = 17 > 8 = L[3] b) L A Entrée (7; 9; 3) (7; 9; 3) On a : L[1] = 7 9 = L[2] 7 On a : L[1] = 7 > 3 = L[3] (3; 9; 7) 9 On a : L[2] = 9 > 7 = L[3] Sortie (3; 7; 9) 57

57 c) L A Entrée (8; 6; 8) 8 On a : L[1] = 8 > 6 = L[2] (6; 8; 8) (6; 8; 8) On a : L[1] = 6 8 = L[3] (6; 8; 8) On a : L[2] = 8 8 = L[3] Sortie (6; 8; 8) Cet algorithme range dans l ordre croissant les termes de la liste L. Remarque (point de logique) On a utilisé le fait que si «a < b» b n est pas vrai alors «a b» b est vrai. En fait la négation de «a < b» b est «a b». b De même, la négation de «a b» b est «a > b». b B Boucles Boucles «POUR» Pour une étude statistique, on veut créer une liste contenant les chiffres des unités de 1 2, 2 2,..., 99 2 et Un algorithme répondant au problème est le suivant. DANS A METTRE 1^2-10*ent(1^2/10) DANS L[1] METTRE A DANS A METTRE 2^2-10*ent(2^2/10) DANS L[2] METTRE A... DANS A METTRE 100^2-10*ent(100^2/10) DANS L[100] METTRE A Fin Ce qui précède peut être écrit de la façon suivante. POUR I variant de 1 à 100 DANS A METTRE I^2-10*ent(I^2/10) DANS L[I] METTRE A Fin de la boucle pour On peut programmer cet algorithme sur calculatrice de la façon suivante. 58

58 Ti-82 PROGRAM :LISTE : FOR(I,1,100) : I^2-10*ent((I^2)/10) L 1 [I] : END La Casio Graph 25 permet de programmer directement cet algorithme en utilisant la séquence : Seq(I 2-10*ent (I 2 /10),I,1,100,1) (le dernier 1 représente le pas, on obtient Seq par : OPTN, LIST, Ñ). Remarque - Le END de ces programmes représente la fin de la boucle et non la fin du programme. - La variable I qui prend ici les valeurs de 1 à 100 s appelle parfois l incrément. La valeur finale de I est, ici, le nombre de boucles effectuées (on peut remarquer dans ce cas que c est un «compteur»). Syntaxe Exemple 2 Ti-82 Casio Graph 25 For(Variable,début,fin,pas) ou For(Variable,début,fin) si pas = 1 For début variable To fin Step pas END Next Considérons l algorithme suivant. Entrée ENTRER N entier naturel Initialisation DANS A METTRE 0 Traitement Sortie POUR I variant de 1 à N DANS A METTRE A+N Fin de la boucle POUR AFFICHER A Faire fonctionner cet algorithme avec : a) N = 5 b) N = 11 Que fait cet algorithme? Réponses a) Entrée 5 N I A

59 Sortie 25 b) N I A Entrée Sortie Cet algorithme nous donne : N+N+...+N = N N=N Nfois Boucles «TANT QUE» On cherche à écrire un algorithme, nous donnant la liste des chiffres composant l écriture décimale d un entier naturel p (entrée). Par exemple, si N = 1846, on peut utiliser le fait que : Si N 1 = ent(n/10) = 184 alors le chiffre des unités est = N-10*N 1 = 6, Si N 2 = ent(n 1 /10) = 18 alors le chiffre des dizaines de N est = N 1-10*N 2 = 4, Si N 3 = ent(n 2 /10) = 1 alors le chiffre des centaines de N est =N 2-10*N 3 = 8, Le chiffre des milliers de N est alors N 3 = 1. Le tableau de fonctionnement de l algorithme serait alors le suivant. Entrée 1846 N A C (chiffres) L (6) (4;6) (8;4;6) (1;8;4;6) Sortie (1;8;4;6) 60

60 Un algorithme correspondant est le suivant. Entrée ENTRER P Initialisation { L liste vide DANS N METTRE P Traitement DANS A METTRE ent(n/10) A=184 DANS C METTRE N-10*A DANS L ajouter en début de liste C { DANS N METTRE A DANS A METTRE ent(n/10) A=18 DANS C METTRE N-10*A DANS L ajouter en début de liste C { DANS N METTRE A DANS A METTRE ent(n/10) DANS C METTRE N-10*A A=1 boucle DANS L ajouter en début de liste C { DANS N METTRE A DANS A METTRE ent(n/10) A=0 DANS C METTRE N-10*A DANS L ajouter en début de liste C Sortie AFFICHER L Bien sûr, cet algorithme ne fonctionne que pour les entiers dont l écriture décimale comporte 4 chiffres. On répète plusieurs fois les mêmes opérations (on parle alors de boucle, voir schéma précédent). En fait, A=0 correspond à la dernière boucle effectuée. Si A prend une valeur non nulle alors une boucle supplémentaire doit être effectuée. Grâce à ces remarques, on peut généraliser l algorithme précédent de la façon suivante. Entrée Initialisation Traitement Sortie ENTRER P L liste vide DANS N METTRE P TANT QUE A 0 FAIRE DANS A METTRE ent(n/10) DANS C METTRE N-10*A DANS L AJOUTER en début de liste C DANS N METTRE A Fin de la boucle «TANT QUE» AFFICHER L 61

61 Remarque - La condition «A = 0» est la condition d arrêt de la boucle «TANT QUE». Pour le tableau de fonctionnement d un algorithme contenant une boucle «TANT QUE», il peut-être utile d ajouter une colonne pour la condition (sur notre exemple : A 0?) en notant «OUI» si la condition est réalisée et «NON» si elle ne l est pas (voir exemple 3). - Pour les calculatrices, on utilise l instruction suivante. Algorithme Ti-82 Casio Graph 25 TANT QUE WHILE End While WhileEnd - Cas du tableur (ne permet pas de faire fonctionner des boucles mais le «Copier-Coller» de formules donnent parfois le même résultat). On peut faire fonctionner l algorithme précédent à l aide du tableur de la façon suivante. A B C D 1 A C L N 2 3 =ent(d2/10) =D2-10*A3 =B3 =A3 Formules entrées Lorsque l on copie la formule contenue dans A3 et que l on colle dans A4, celle-ci s adapte et devient «ent(d3/10)». De même si l on copie la cellule B3 que l on colle dans les cellules B4, B5, B6,, on obtient respectivement «=D3-10*A4», «=D4-10*A5», «=D5-10*A6», En recopiant le contenu des cellules A3 : D3 et en les collant aux cellules de A4 : D4 jusqu à A10 : D10 et entrant la valeur 1846 dans D2, on obtient : A B C D 1 A C L N

62 Les éléments de la liste L se lisent alors en partant du dernier élément non nul de la colonne C et en remontant : 1;8;4 et 6. Exemple 3 On considère l algorithme suivant : Entrée ENTRER A et B entiers naturels Initialisation DANS I METTRE 0 Traitement Sortie TANT QUE A B FAIRE DANS A METTRE A-B DANS I METTRE I+1 Fin de la boucle «TANT QUE» AFFICHER A et I Faire fonctionner cet algorithme pour : a) A = 26 et B = 4 b) A = 19 et B = 7 c) A = 45 et B = 5. Que fait cet algorithme? Réponses a) B I A B? Entrée OUI 22 1 OUI 18 2 OUI 14 3 OUI 10 4 OUI 6 5 OUI 2 6 NON Sortie 2 6 b) A B I A B? Entrée

63 OUI 12 1 OUI 5 2 NON Sortie 5 2 c) Entrée 45 5 A B I A B? 0 OUI 40 1 OUI 35 2 OUI 30 3 OUI 25 4 OUI 20 5 OUI 15 6 OUI 10 7 OUI 5 8 OUI 0 9 OUI Sortie 0 9 Cet algorithme nous donne le reste (A) et le quotient (I) de la division euclidienne de A par B. Remarque La variable I prend comme valeur, le nombre de tours effectués. C Exercices d apprentissage Exercice 19 On désire obtenir une valeur approchée de la somme S de tous les inverses des entiers naturels non nuls inférieurs ou égaux à 100. Autrement dit : S = Déterminer une valeur approchée de S à l aide d un tableur. On veut déterminer une valeur approchée de S à l aide de la calculatrice. 64

64 a) A l aide du tableau de fonctionnement suivant, compléter l algorithme suivant pour qu il réponde au problème donné. I (compteur) A S Initialisation ,5 1,5 3 0,333 1, ,25 2,08333 Initialisation DANS S METTRE 0. DANS A METTRE 1/I DANS S METTRE Fin de Sortie Afficher S. b) Programmer l algorithme sur votre calculatrice. Exercice 20 Une fonction particulière On considère l algorithme suivant. Entrée ENTRER X réel positif Initialisation DANS A METTRE 0 Traitement TANT QUE A X FAIRE DANS B METTRE X A DANS C METTRE B DANS F METTRE A+C DANS A METTRE A+1 Fin de la boucle «TANT QUE» AFFICHER F Faire fonctionner cet algorithme pour : a) X = 0 b) X = 1 c) X = 1,25 On note f la fonction qui à un réel positif x associe le réel F sortie de l algorithme précédent lorsque l entrée est x. On désire construire la courbe représentative de cette fonction et on entre pour cela le programme suivant. 65

65 Ti-82 Casio Graph 25 PROGRAM : FONCTION EffListe L 1 EffListe L 2 FOR(I,0,50) 0 A I/10 X WHILE ( A X ) X-A B (B) C A+1 A A+C L 2 (I+1) END X L 1 (I+1) END = FONCTION = For 0 I To 50 0 A I/10 X While (A X) X-A B B C A+1 A A+C List 2[I+1] WhileEnd X List 1[I+1] Next Remarque : Avant d exécuter ce programme sur la calculatrice Casio, il convient de définir la dimension des listes 1 et 2. Une façon de faire est de remplir les listes avec par exemple que des 1. Les sélectionner successivement et taper la séquence : Seq(1,I,1,50,1). a) A quoi correspondent les 2 «END»du programme pour calculatrice Ti? b) Qu obtient-on dans les listes L 1 et L 2? Sur quelle intervalle, cela nous permet-il d étudier la fonction f? c) Construire l allure de la courbe représentative de la fonction f ( on pourra utiliser les outils de représentations graphiques des séries statistiques de la calculatrice : 2 nde, Graph Stats, 1 : Graph1 On L1 L2 pour la Ti-82; Menu STAT, GRPH, SET, XList : List1, YList : List2 puis GPH1 pour la Casio Graph25. Exercice 21 On désire déterminer tous les entiers n tels que n+1 n soit le cube d un entier et n-1 n le carré d un (autre) entier. Cela revient à chercher tous les entiers naturels N 100 tels que N 3 2 soit le carré d un entier ce qui revient à dire que N 3 2 est un entier naturel. On désire pour répondre, utiliser une feuille de calculs. 1 N B N 3 2 C Carré d entier? 2 2 =RACINE(A2) =SI(ent(B2)=B2;A2^3-1 ; ) 3 =A2+1 66

66 Remarque La condition x x est entier se traduit par ent( x) x = x. x Qu affiche C2? Jusqu à quelle ligne doit-on étendre les formules? Que lit-on dans la colonne C? Conclure. 67

67 5 Synthèse de la séquence Moyenne d une série statistique Définition La moyenne d une série est la valeur du caractère calculée par : nx 11+ n2x npxp x = = fx + f x + n1+ n2+ + n f.... pxp p Théorème Si toutes les valeurs du caractère sont multipliées (ou divisées) par une constante a, sans changer les effectifs, la moyenne est elle-même multipliée (ou divisée) par a. Si on ajoute (ou retranche) une même constante b à toutes les valeurs du caractère, sans changer les effectifs, la moyenne est elle-même augmentée Théorème Si une population d effectif total N est partagée en deux groupes, l un d effectif p de moyenne m 1, l autre d effectif q (avec p + q = N ) et de moyenne m 2, la pm qm moyenne de la population entière est : x = N Médiane, quartiles d une série statistique Définition La médiane d une série est une valeur du caractère qui partage la série en deux groupes (l un des valeurs inférieures à la médiane, l autre des valeurs supérieures) de même effectif. 68

68 Définition Les quartiles d une série sont trois valeurs du caractère qui partagent la série en quatre groupes de même effectif. On les note Q 1, Q 2 et Q 3 par ordre croissant, et Q 2 est la médiane. Le langage des probabilités Définition Une expérience aléatoire est une expérience pour laquelle plusieurs issues sont possibles, sans que l on puisse prévoir celle qui se produira. Les issues sont aussi appelées les événements élémentaires, ou les éventualités. Définitions Soit une expérience aléatoire, dont les issues sont notées a 1, a 2, a 3,, a n (on suppose qu il y a n issues). On appelle événement certain l événement constitué de toutes les issues de l expérience, c est à dire l univers : E = { a 1, a 2, a 3,, a n }. On appelle événement impossible l événement constitué d aucune issue de l expérience, c est à dire l ensemble vide : = { }. Loi de probabilité Propriété Lors d une expérience aléatoire, dont les issues sont notées a 1, a 2, a 3,, a n, la probabilité de chaque issue est un nombre compris entre 0 et 1 : ( ) pour n importe quel indice i, 0 p i 1 ou 0 pa ( i ) 1 ces probabilités vérifient : p 1 + p 2 + p p n = 1 (ou p ( a 1 )+ p ( a 2 )+ p ( a 3 )+...+ p ( a n )=1 ). 69

69 Propriété Lors d une expérience aléatoire, la probabilité d un événement quelconque est la somme des probabilités de toutes les issues qui composent cet événement. Propriétés On note E l univers d une expérience aléatoire. La probabilité de l événement certain est : p(e) = 1. La probabilité de l événement impossible est : p( =0 ). Propriété Lors d une expérience aléatoire équiprobable, la probabilité d un événement quel- nombre d'issues de A conque A est égale à : p(a) = nombre total d'iss ues. 70

70 6 Exercices d approfondissement Exercice I Exercice II Une chaîne de magasins de vêtements a 60 % de ses magasins pour les hommes et 40 % pour les femmes. Le chiffre d affaires moyen des magasins pour hommes est de 1,1 million d euros, celui des magasins pour femmes de 1,4 million d euros. Calculer le chiffre d affaires moyen par magasin dans cette chaîne. Le chiffre d affaires de chaque magasin augmente de 5 %. Quel est le nouveau chiffre d affaires moyen par magasin de cette chaîne. Le chiffre d affaires de chaque magasin pour homme augmente de 5 % et celui de chaque magasin pour femme de 7 %. a. Sans faire de calcul, dire si le chiffre d affaires moyen augmente de 6 %, plus de 6 % ou moins de 6 %. b. Calculer le nouveau chiffre d affaires moyen par magasin de cette chaîne. Quel pourcentage d augmentation cela fait-il? Lors d un devoir en commun, les cinq classes de seconde ont eu les moyennes suivantes : Classe 2nde 1 2nde 2 2nde 3 2nde 4 2nde 5 Moyenne 9, ,8 10,4 Nombre d élèves Calculer la moyenne de l ensemble des secondes. Dans chacune des cinq classes, la médiane est 10. Peut-on en déduire la médiane pour l ensemble des secondes? Exercice III La population de la France en 2004 est donnée par tranches d âge dans le tableau suivant : Tranche d âge [0 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 45[ [45 ; 60[ [60 ; 105] Population (en millions) 15 7, ,4 Construire l histogramme de cette série. Construire le polygone des effectifs cumulés croissants. En déduire la médiane et les quartiles Q 1 et Q 3. Résumer cette série par une boîte à moustaches. Exercice IV Trois stratégies pour 4 % d augmentation! La structure salariale d une entreprise est donnée par le tableau suivant : Catégorie Ouvriers Employés Cadres Cadres supérieurs Salaire mensuel (en ) Effectif

71 Calculer le salaire moyen de l entreprise, et la masse salariale totale. Pour faire taire certaines critiques, le PDG envisage d augmenter le salaire moyen de l entreprise de 4,17 %. a. Les délégués syndicaux proposent immédiatement une augmentation de chaque salaire de 4,17 %. Calculer les salaires de chaque catégorie, le salaire moyen et la masse salariale totale. b. Le PDG propose quant à lui de restructurer l entreprise en supprimant 24 ouvriers et en répartissant les salaires ainsi économisés entre les 576 salariés restant. Calculer les salaires de chaque catégorie, le salaire moyen et la masse salariale totale. c. Les actionnaires souhaitent une restructuration massive de l entreprise en supprimant 200 ouvriers, sans augmentation des autres salariés. Calculer les salaires de chaque catégorie, le salaire moyen et la masse salariale totale. d. Résumer ces trois propositions dans un tableau et conclure. Exercice V Exercice VI Exercice VII Exercice VIII On suppose que, lors de la naissance d un enfant, il y a équiprobabilité que ce soit un garçon ou une fille. On s intéresse à une femme qui veut avoir trois enfants. Quelle est la probabilité qu elle ait 3 garçons? Quelle est la probabilité qu elle ait exactement 2 garçons et 1 fille? Quelle est la probabilité qu elle ait au moins 1 fille? Quelle est la probabilité qu elle ait 1 fille comme troisième enfant? On lance trois dés à six faces, bien équilibrés et on note les trois numéros sortis. Quelle est la probabilité d avoir un triple 6? Quelle est la probabilité d avoir un 4, un 2 et un 1 (donc un 421)? On a dans une boîte quinze boules numérotés de 1 à 15, et indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard, puis, sans la remettre dans la boîte, on en tire une deuxième et, toujours sans la remettre, une troisième. On note les trois numéros dans l ordre du tirage. On dira qu on a le tiercé dans l ordre si l on a tiré les numéros 1, 2 et 3 dans cet ordre. On dira qu on a le tiercé dans le désordre si l on a tiré les numéros 1, 2 et 3 dans n importe quel ordre. Quelle est la probabilité d avoir le tiercé dans l ordre? Quelle est la probabilité d avoir le tiercé dans le désordre? Une épreuve est composée d un QCM comportant trois questions. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, dont une seule est bonne. On décide de répondre au hasard à chaque question. Quelle est la probabilité d avoir les trois réponses justes? Quelle est la probabilité d avoir exactement deux réponses justes? 72

72 Exercice IX Exercice X Une épreuve est composée d un QCM comportant dix questions. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, dont une seule est bonne. On décide de répondre au hasard à chaque question. Quelle est la probabilité d avoir les dix réponses justes? Quelle est la probabilité d avoir exactement neuf réponses justes? Une enquête d opinion sur la popularité d un homme politique de Droite a été faite auprès de 900 personnes. Elle a donné les résultats suivants : 40% Sympathisants de DROITE 75% Sympathisants de GAUCHE Favorables Défavorables Compléter le tableau suivant. Opinion Sympathie Favorable Défavorable Ne se prononce pas Total Droite 0 Gauche Total 900 On tire au hasard une personne parmi les 900 pour l interroger. Quelle est la probabilité qu elle soit d opinion favorable (événement F)? Quelle est la probabilité qu elle ne se prononce pas (événement N)? Quelle est la probabilité qu elle soit sympathisant de Droite (événement D)? Exercice XI Une ville de habitants a fait réaliser une enquête statistique pour savoir quelle proportion de sa population était satisfaite de son logement. L enquête a partagé la ville en trois zones : le centre ville, la zone intermédiaire et la zone périphérique. On a relevé que 10 % de la population habite en centre ville. Dans les 60 % habitant en zone intermédiaire, 6,25 % déclarent ne pas être satisfaits de leur logement. En zone périphérique, il y a cinq fois plus d habitants satisfaits de leur logement que d habitants non satisfaits. Pour l ensemble de la ville, 10 % des habitants ne sont pas satisfaits de leur logement. Compléter le tableau suivant qui donne les effectifs de chaque catégorie d habitant : Centre ville Zone intermédiaire Zone périphérique Satisfaits Non satisfaits 73

73 On interroge au hasard un habitant, en supposant que chaque habitant a la même probabilité d être interrogé. Quelle est la probabilité qu il réside en zone périphérique (évènement P)? Quelle est la probabilité qu il soit satisfait de son logement (évènement S)? Exercice XII On considère l algorithme suivant. Entrée Traitement Sortie ENTRER N DANS A METTRE le quotient de la division euclidienne de N par 10 DANS B METTRE N-10*A DANS M METTRE A-2*B TANT QUE M 10 AFFICHER M DANS A METTRE le quotient de la division euclidienne de M par 10 DANS B METTRE M-10*A DANS M METTRE A-2*B FIN DU TANT QUE Faire fonctionner l algorithme pour N=2492 puis N=129 et enfin N=70. Si n est un entier, on note f ( n) n la valeur obtenue M par l algorithme si la valeur entrée (N) est n. n On admet que si f ( n) est divisible par 7 alors n est divisible par 7. a) En déduire parmi les nombres 2492, 129 et 70, ceux qui sont divisibles par 7. b) En programmant l algorithme sur calculatrice, déterminer si les nombres , , et sont divisibles par 7 ou non. Exercice XIII On considère l algorithme suivant. Entrée A et B sont des entiers naturels tels que1 B A. Traitement Dans K mettre 1 Dans R mettre le reste de la division euclidienne de A par B. Tant que R 0 Dans K mettre K+1 Dans R mettre le reste de la division euclidienne de A+R par B. Fin de la boucle «Tant que» Dans S mettre A K. Sortie Afficher S. Faire fonctionner cet algorithme pour a) A = 50 et B = 20 b) A = 48 et B =

74 On admet que cet algorithme nous donne le plus petit multiple non nul commun aux deux nombres A et B. B Simplifier la fraction : Exercice XIV On considère l algorithme suivant. ENTRER N (entier naturel non nul) DANS I METTRE 0 DANS A METTRE N TANT QUE A 1 FAIRE DANS A METTRE A/10 DANS I METTRE I+1 FIN DE LA BOUCLE «TANT QUE» AFFICHER I a) Faire fonctionner cet algorithme avec : 145. b) Que fait cet algorithme? c) Programmer cet algorithme sur calculatrice. On admet que le programme suivant nous donne le même résultat. Ti-82 Casio Graph 25 PROGRAM : NBCHIF2 : Input N : log (N)+1 A : ent(a) B : Disp B = NBCHIF2 =? N log(n)+1 A Int(A) B BÉ Lequel de ces 2 programmes vous semblent-ils le plus efficace? Celui de la question 1 ou celui de la question 2? Exercice XV On considère la feuille de calculs suivante. A B C 1 d N 2 Deux entiers naturels sont entrés dans les cellules A2 et B2. Qu écrire dans la cellule C2 pour obtenir A2 si ce nombre divise B2 et rien sinon (on pourra utiliser le fait que d divise n si et seulement si n est entier). d Déterminer, à l aide d une feuille de calculs, la somme des diviseurs de