Suites arithmétiques et géométriques

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1 Suites arithmétiques et géométriques Activité Forage d un puits cχ Suite arithmétique Une entreprise de forage propose le tarif suivant : 00 le premier mètre ; 0 le deuxième mètre ; 0 le troisième mètre et ainsi de suite On admet que les prix de chaque mètre foré forment une suite arithmétique (voir BEP) de premier terme u = 00 Donnez la raison r de cette suite Déterminez le prix du cinquième mètre 3 Exprimez le prix du mètre de rang n + en fonction du prix du mètre de rang n 4 Exprimez le prix du mètre de rang n en fonction de u, de r et de n 5 Utilisez cette relation pour calculer le prix du 5 e mètre 6 Essayez de déterminer le prix total pour un forage de 5 mètres L objectif de la leçon est d aborder une méthode permettant de répondre rapidement à la dernière question Suites arithmétiques et géométriques 7

2 Activité Spirales Suite géométrique Les spirales sont des formes géométriques que l on rencontre dans notre quotidien (balancier annulaire, coquilles ) Il existe différentes formes de spirales On va étudier ici la spirale constituée de demi-cercles comme l indique le schéma cidessous La longueur du premier demi-cercle (le plus petit) est p (en centimètres) Exprimez de même les longueurs des autres demi-cercles en fonction de p Les quatre nombres obtenus forment une suite géométrique : quelle est la raison de cette suite (voir BEP)? 3 Exprimez la longueur de la spirale en fonction de p Mais si on devait calculer la longueur d une spirale constituée de 0, 00 demicercles ce travail s avèrerait vite fastidieux et très long! Dans ce chapitre on apprendra à calculer la somme des termes d une suite géométrique ; on pourra alors répondre facilement à cette question 8

3 Cours Suites arithmétiques a Définition Une suite arithmétique (u n ) est définie par : son premier terme u ; la relation u n + = u n + r, où r est la raison Remarque : u n est appelé terme de rang n Exemple Les nombres impairs forment la suite arithmétique de premier terme et de raison a Expression de u n en fonction de u, r et n Le terme de rang n est donné par l expression u n + (n )r Démonstration : u + r u 3 = u + r + r u 4 = u 3 + r + 3r Exemple Le 5 e nombre impair est u 5 = + 4 = 49 Remarque : Si le premier terme de la suite est noté u 0, l expression de u n est : u n = u 0 + nr 3 a Somme des k premiers termes La somme des k premiers termes d une suite arithmétique est : S k + u + + u k = k u + u k Démonstration : En remarquant que u + u k = u + u k = u 3 + u k = et en ajoutant membre à membre les deux égalités suivantes : S k + u + + u k + u k S k = u k + u k + + u + u on obtient S k = (u + u k ) + (u + u k ) + + (u + u k ) + (u + u k ) = k(u + u k ) k (u soit S k = + u k ) Suites arithmétiques et géométriques 9

4 Exemple Dans l activité, les prix de chaque mètre de forage forment la suite arithmétique de premier terme u = 00 et de raison r = 0 Le prix du 5 e mètre foré est : u 5 = = 40 Le prix total des 5 mètres est la somme des 5 premiers termes de la suite : 5 ( ) S 5 = = 550 Remarque : Si le premier terme de la suite est noté u 0, la somme des k premiers termes est : k(u S k = u 0 + u + + u k = 0 + u k ) Suites géométriques a Définition Une suite géométrique (u n ) est définie par : son premier terme u ; la relation u n + = u n q, où q est la raison, q 0 Exemple Une production initiale de unités augmente tous les mois de 0 % : les productions mensuelles forment la suite géométrique de premier terme u = et de raison q =, a Expression de u n en fonction de u, q et n Le terme de rang n est donné par l expression u n q n Démonstration : u q u 3 = u q q u 4 = u 3 q q 3 Exemple Dans l exemple précédent, la production du e mois est : u = 5 000, ª 4 66 unités Remarque : Si le premier terme de la suite est noté u 0, l expression de u n est : u n = u 0 q n 0

5 3 a Somme des k premiers termes La somme des k premiers termes d une suite géométrique est : S k + u + + u k q k, q q L ESSENTIEL Remarque : Si q =, la suite est constante : u = u = u 3 = Démonstration : On remarque que : u q, u 3 = u q,, u k + = u k q On calcule qs k : qs k = q(u + + u k ) = qu + + qu k = u + + u k + et on ajoute membre à membre les égalités : qs k = u + u u k + u k + S k = u u u k u k q On obtient (q ) S k = u k + u, soit S k = u k q ou S k = u k q q Exemple Dans l activité, la spirale est constituée de demi-cercles dont les longueurs forment la suite géométrique de premier terme u = p et de raison q = La longueur de la spirale formée de 0 demi-cercles est : S 0 = p 9 ª 608 cm La longueur de la spirale formée de 00 demi-cercles est : S 00 = p 99 ª 0 30 cm Remarque : Si le premier terme de la suite est noté u 0, la somme des k premiers termes est : q S k = u 0 + u + + u k ou S k = u k 0 q Suites arithmétiques géométriques Définition u n + = u n + r u n + = u n q u premier terme r : raison arithmétique q : raison géométrique Calcul du terme de rang n u n + (n )r u n q n Somme des k premiers termes n(u q S k = S k = u k + u k ), q q Suites arithmétiques et géométriques

6 Exercices On note (u n ) une suite arithmétique de premier terme u et de raison r Dans les cas suivants, calculez u n u = 0 ; r =,5 ; n = u = 50 ; r = ; n = 50 3 u = 4 ; r = ; n = 0 On note (u n ) une suite géométrique de premier terme u et de raison q Dans les cas suivants, calculez u n u = 0 ; q = ; n = 5 u = 00 ; q = ; n = 0 3 u = 40 ; q = 0,7 ; n = 3 Une suite arithmétique a pour premier terme u = 5 et pour raison 3 Calculez u et u 3 Exprimez u n en fonction de n 3 Calculez u 5 4 Calculez S 5 4 Une suite géométrique a pour premier terme u = 5 et pour raison 3 Calculez u et u 3 Exprimez u n en fonction de n 3 Calculez u 5 4 Calculez S 5 5 Soit la somme : S = Calculez S (sans calculatrice) 6 Trois nombres a, b et c forment une suite arithmétique de raison r = 5 Exprimez a et c en fonction de b Déterminez b pour que a + b + c = 3 Déduisez les valeurs de a et c 7 La somme des quatre termes consécutifs d une suite arithmétique est 3 Le premier de ces termes est 4 Calculez la raison de cette suite arithmétique 8 Trois nombres a, b et c forment une suite géométrique de raison q = 3 Exprimez a et c en fonction de b XDéterminez b, à l aide d une calculatrice, pour que abc = Déduisez les valeurs de a et c 9 Soit la suite (u n ) définie par u = 8 et 3 u n + = u n + Donnez la nature et la raison de la suite Calculez les cinq premiers termes de (u n ) 3 Calculez S 0 0 Soit la suite (u n ) définie par u = 8 et 3 u n + = u n Donnez la nature et la raison de la suite Calculez les cinq premiers termes de (u n ) 3 Calculez S 0 Soit la suite arithmétique (u n ) de premier terme u = 3 et de raison 0,5 Dans un repère orthonormal, représentez les 0 premiers termes de la suite : à chaque terme, on associe un point de coordonnées (n ; u n ) Soit la suite arithmétique (v n ) de premier terme 9 et de raison Dans le repère précédent, représentez les 0 premiers termes de la suite 3 En observant les représentations graphiques obtenues, donnez le sens de variation d une suite arithmétique en fonction de sa raison Représentez dans un même repère orthonormal les 8 premiers termes des suites géométriques : (u n ) de premier terme et de raison, ; (v n ) de premier terme 8 et de raison 0,5 En observant les représentations graphiques obtenues, donnez le sens de variation d une suite géométrique, dont la raison et le premier terme sont strictement positifs, en fonction de sa raison

7 Problèmes PROBLÈME CORRIGÉ Étude de l évolution de la production d une entreprise La production durant la première semaine est de 000 unités, puis l entreprise augmente sa production de 0 % par semaine Recopiez et complétez le tableau ci-dessous : la première semaine : u la deuxième semaine : u la troisième semaine : u la quatrième semaine : u 4 u, u, u 3 et u 4 sont les premiers termes d une suite a Quel est le coefficient multiplicateur qui permet de passer de u à u, de u à u 3, de u 3 à u 4? b Quelle est la nature de cette suite? Précisez sa raison 3 Calculez la production totale au cours des 0 premières semaines CORRIGÉ la première semaine : u 000 la deuxième semaine : u 000, = 00 la troisième semaine : u 3 40 la quatrième semaine : u 4 40, = 66 a Le coefficient multiplicateur qui permet de passer de u à u, de u à u 3, de u 3 à u 4 est, b Il s agit d une suite géométrique de raison q =, 3 Production totale au cours des 0 premières semaines : q S 0 = u 0, = = unités q, 3 Une entreprise est sollicitée pour réaliser l aménagement de deux salles destinées à accueillir un salon «Mathématiques en fête» Dans une première salle, elle doit réaliser le sol à l aide de dalles blanches ou noires en PVC de dimensions 50 50, en cm La salle a pour longueur 49,5 m et pour largeur m Le motif blanc à réaliser est le suivant Le premier rang comporte : u = 3 dalles blanches ; le deuxième rang comporte : u = 7 dalles blanches ; Suites arithmétiques et géométriques 3

8 le troisième rang comporte : u 3 = dalles blanches ; le quatrième comporte u 4 = 5 dalles blanches et ainsi de suite en suivant la même progression jusqu au rang permettant d atteindre le mur d en face Le reste de la pièce sera complété par les dalles noires Calculez u u, u 3 u et u 4 u 3 Quelle est la nature de la suite (u n ) ainsi définie? Donnez le premier terme et la raison 3 Déterminez le nombre de rangs à réaliser pour couvrir la largeur de la pièce 4 Déterminez le nombre de dalles blanches utilisées au dernier rang 5 Déterminez le nombre de dalles blanches nécessaires pour réaliser le motif 6 a Calculez le nombre total de dalles (blanches ou noires) nécessaires pour recouvrir entièrement le sol b Déduisez le nombre de dalles noires D après Bac Pro Aménagement Finition 4 Au cours du mois de janvier, une entreprise, qui fabrique un tissu, produit chaque jour la même longueur de tissu On relève chaque soir la longueur totale produite depuis le début du mois À la fin du 3 e jour, on atteint une longueur totale u 3 = mètres linéaires À la fin du 5 e jour, on atteint une longueur totale u 5 = mètres linéaires Les longueurs totales produites forment une suite arithmétique Calculez la raison r Calculez la production totale u à la fin du mois de janvier D après Bac Pro AMA Vêtements et accessoires de mode 5 Placement d un capital Une société de maintenance dispose d un capital de Elle place ce capital sur un compte rémunéré à 5,5 % par an On note u le capital initial, u la valeur acquise au bout d un an en capitalisant les intérêts et u 3 celle acquise au bout de deux ans Les termes u, u et u 3 forment une suite géométrique Calculez u et u 3 Déterminez la raison de cette suite 3 Déduisez u 6 arrondi à 0 D après Bac Pro MSMA 6 Une machine permet l automatisation de l emballage dans des boîtes en carton de volume variable suivant les produits à conditionner La machine doit pouvoir s adapter à différents types de boîtes ; il est donc nécessaire de régler le temps de cadencement en fonction du volume de ces boîtes Le temps de cadencement est fixé à 6 secondes pour une boîte de volume 5 dm 3 On estime qu il faut augmenter le temps de cadencement de 5 %, chaque fois que le volume des boîtes augmente de 0 dm 3 a Calculez le temps de cadencement pour une boîte de volume 5 dm 3 b Calculez le temps de cadencement pour une boîte de volume 35 dm 3 (arrondissez au centième de seconde) On note u n le terme général de la suite géométrique de premier terme u = 6 et de raison q =,05 a Exprimez u n en fonction de n b Déterminez u 3, u 5, u 7 et u 9 Arrondissez les résultats au centième 3 On admet que la valeur de u n arrondie au centième représente le temps de cadencement correspondant à un volume de boîte de (5 + 0n)dm 3 ; ainsi u correspond à un volume de 5 dm 3 et u correspond à un volume de 5 dm 3 Déterminez le temps de cadencement correspondant à un volume de boîte de 75 dm 3 D après Bac Pro EDPI 4

9 7 Pour assurer une fabrication, une entreprise doit acheter une machine dont le prix est de On estime que la machine se déprécie de 5 % par an On note V la valeur initiale de la machine : V = La deuxième année de fonctionnement, la valeur est notée V La troisième année de fonctionnement, la valeur est notée V 3 Calculez V et V 3 Montrez que la suite des valeurs annuelles V, V et V 3 est une suite géométrique dont vous donnerez la raison 3 Calculez V 5 en utilisant le formulaire D après Bac Pro Matériaux souples 8 L objectif d une entreprise fabriquant des cames est d augmenter sa production annuelle de 5 % par rapport à l année précédente La production annuelle de la première année est U = 000 unités On note U la production annuelle de la deuxième année, U 3 la production annuelle de la troisième année,, U n la production annuelle de la n-ième année a Calculez les productions annuelles U, U 3 et U 4 b Vérifiez que les termes U, U, U 3 et U 4 forment une suite géométrique et précisez la raison a Établissez la relation donnant U n en fonction de n b Calculez la production annuelle de la 0 e année, si l objectif est tenu Donnez le résultat arrondi au dixième D après Bac Pro MSMA 9 Une usine dispose d un stock de tonnes de fil d acier destiné à la fabrication de bandes d acier de pneumatiques d automobile Le tableau ci-dessous indique l évolution de la masse du stock de fil d acier pendant les 4 premiers jours de la période d utilisation du stock Jour de la période : n Montrez que M, M, M 3 et M 4 sont les premiers termes d une suite arithmétique et donnez la raison de cette suite Exprimez M n en fonction de n Masse, en kg, du stock de fil d acier : M n M = M = M 3 = M 4 = Calculez la masse du stock de fil d acier restant au 5 e jour de cette période 4 L entreprise décide de renouveler son stock lorsque celui-ci atteint kg De combien de jours dispose l usine avant de renouveler son stock? D après Bac Pro Pilotage de systèmes de production automatisée 0 En sortant de fabrication, une pièce contient 5 g de plastifiant et on estime à % les pertes annuelles en plastifiant Le cahier des charges prévoit de garantir les propriétés physiques de cette pièce pendant 0 ans Or, ces propriétés ne sont plus correctes lorsque la pièce contient moins de 8 g de plastifiant L objectif de cet exercice est de déterminer la masse de plastifiant dans une pièce âgée de 0 ans a Calculez la masse de plastifiant dans une pièce âgée de an : on la note u b Calculez la masse de plastifiant dans une pièce âgée de ans : on la note u 3 c Montrez que u = 5, u et u 3 sont les trois premiers termes d une suite géométrique dont vous donnerez la raison q Exprimez, en fonction de n, la masse de plastifiant en grammes dans une pièce âgée de n ans 3 a Calculez la masse de plastifiant dans un pièce âgée de 0 ans (arrondissez le résultat à l unité) b La garantie est-elle satisfaisante? D après Bac Pro Plasturgie Suites arithmétiques et géométriques 5

10 La sensibilité d une pellicule photographique peut être évaluée en ASA (norme américaine) ou en DIN (norme allemande) Entre ces deux échelles, on a la correspondance suivante : ASA a =,5 b = a = 5 b = 5 a 3 = 50 b 3 = 8 a 4 = 00 b 4 = a n Précisez la nature de chacune des suites (a n ) et (b n ) Donnez leurs raisons respectives Exprimez a n en fonction de n Calculez a 8 3 Exprimez b n en fonction de n Calculez b 8 4 On cherche à obtenir une relation permettant de convertir des DIN en ASA, donc à exprimer a n en fonction de b n b n a Vérifiez que 4 = n 3 b Déduisez que a n =,5 4 DIN c Sachant que b 0 = 39, calculez a 0 L objectif est l étude de la dévalorisation d une machine pour déterminer au bout de combien d années elle aura perdu 60 % de sa valeur initiale Une entreprise achète une machine pneumatique à projeter les enduits Sa valeur initiale est v = 500 Chaque année, la machine se dévalorise de % par rapport à l année précédente Calculez les valeurs de la machine la deuxième année, puis la troisième année (on les note v et v 3 ) Les valeurs v, v et v 3 sont les trois premiers termes d une suite Indiquez la nature de cette suite (justifiez la réponse) Donnez la valeur de la raison 3 La n-ième année, la valeur de la machine est notée v n Exprimez v n en fonction de n 4 On souhaite savoir au bout de combien d années la machine aura perdu 60 % de sa valeur initiale b n b n 3 a Calculez la valeur de la machine après qu elle ait perdu 60 % de sa valeur initiale b Calculez, en utilisant les calculs successifs de v n, au bout de combien d années la machine aura perdu 60 % de sa valeur initiale D après Bac Pro EOGT 3 Pour charger un bain électrolytique de son soluté, on étudie sa dissolution en laboratoire Pour cela, on introduit 0 g de ce soluté dans 00 ml d électrolyte non saturé Les mesures obtenues sont les suivantes : Durée (en min) t Masse non dissoute (en g) L objectif de cet exercice est de déterminer la durée nécessaire pour dissoudre 9 g de soluté Montrez que les nombres 8, 6,4 et 5, sont, dans cet ordre, les trois premiers termes d une suite géométrique Déterminez la raison de cette suite On note u n le terme général de la suite géométrique de premier terme u égal à 8 et de raison q égale à 0,8 Exprimez, pour tout entier n non nul, u n en fonction de n 3 Calculez la valeur exacte de u 4 4 En considérant que la suite géométrique étudiée précédemment modélise la dissolution du soluté, déterminez la quantité de soluté qui n a pas été dissoute 0 minutes après le début de l expérience ; arrondissez le résultat à 0,0 g D après Bac Pro Traitements de surfaces 4 Une société de nettoyage industriel embauche un ouvrier le er juillet 00, avec la proposition suivante : salaire mensuel u = 00 au er juillet 00 ; augmentation de,5 % par an m 8 6,4 3 5, 6

11 On note : u le salaire au er juillet 003 ; u 3 le salaire au er juillet 004 ; u n le salaire au er juillet (00 + n) Calculez le salaire mensuel u au cours de la e année puis le salaire mensuel u 3 au cours de la 3 e année Les résultats sont arrondis au centime d euro Les revenus de cet employé forment une suite (u n ) de er terme u = 00 S agit-il d une suite arithmétique ou géométrique? Justifiez votre réponse et calculez la raison de cette suite 3 Exprimez u n en fonction de n 4 Si le salaire de l employé devait augmenter tous les ans de,5 % pendant 0 ans, quel serait son montant en juillet 0? D après Bac Pro Hygiène et environnement 5 Au cours de sa première année d exploitation, une entreprise agricole a produit L de lait On suppose que, pendant 8 ans, la production de lait de cette entreprise agricole augmente chaque année de % par rapport à celle de l année précédente a Calculez la production annuelle de lait de la deuxième année d exploitation b Calculez la production annuelle de lait de la troisième année d exploitation On note u n le terme général de la suite géométrique de raison q =,0 et de premier terme u = a Exprimez u n en fonction de n avec les valeurs données de u et q b Calculez u 4, u 6 et u 8 Arrondissez les résultats à l unité 3 On admet que la valeur de u n, arrondie à l unité, représente la production annuelle de lait de la n-ième année d exploitation La communauté européenne a fixé un quota annuel de L de lait pour cette entreprise agricole La production annuelle de lait de la cinquième année d exploitation dépassera-t-elle le quota? Justifiez la réponse D après Bac Pro Étude et définition de produits industriels 6 Une blanchisserie industrielle prévoit d augmenter sa capacité de lavage de draps d hôpitaux de 0 % chaque année Cette blanchisserie a lavé draps la re année (U = ) De même U désigne le nombre prévu de draps lavés la e année ; U 3 désigne le nombre prévu de draps lavés la 3 e année ; U n désigne le nombre prévu de draps lavés la n-ième année Calculez U, U 3 et U 4 U, U, U 3,, U n, sont les termes consécutifs d une suite géométrique de raison q a Déterminez la valeur de q b Exprimez U n en fonction de n 3 L objectif prévisionnel est maintenu a Calculez le nombre de draps lavés la 0 e année b Calculez le nombre de total de draps que la blanchisserie aura lavés pendant 0 ans D après Bac Pro Métiers du pressing et de la blanchisserie 7 Une fonderie a coulé 0 cloches le premier mois Elle désire augmenter sa production de 0 % chaque mois Précisez le nom de cette suite, le premier terme et la raison Calculez le nombre de cloches produites le douzième mois 3 Calculez le nombre de cloches coulées dans l année D après Bac Pro Mise en œuvre des matériaux 8 On étudie l évolution de la production d une entreprise fabriquant, entre autres, des tables La production des tables a démarré au er juin 003 et a augmenté ensuite de 4 % par mois Soit P la production mensuelle pour le premier mois, P la production mensuelle pour le deuxième mois,, P n la production mensuelle pour le n-ième mois Suites arithmétiques et géométriques 7

12 Quelle est la nature et la raison de cette suite? Exprimez P n en fonction de P et de n 3 La production en juin 004 est P = 64 Quelle a été la production en juin 003? (Arrondissez le résultat à l unité) 4 Calculez la production totale entre le er juin 003 et le 30 juin 004 D après Bac Pro Productique bois 9 L encolure d un bustier est décorée d une modestie ornée de rangées de perles dont on veut déterminer le nombre Le er rang comporte u = 78 perles ; le e rang comporte u = 74 perles ; le 3 e rang comporte u 3 = 70 perles ; le 4 e rang comporte u 4 = 66 perles Ces quatre premiers termes forment-ils une suite arithmétique ou géométrique? Justifiez votre réponse et donnez la raison de cette suite a Exprimez u n en fonction de n b La dernière rangée de perles comporte 0 perles Déterminez le rang n correspondant à cette dernière rangée c Calculez le nombre total de perles nécessaires pour garnir la modestie D après Bac Pro Artisanat et métiers d art vêtements et accessoires de mode 3 On admet que la valeur u n, arrondie à l unité, représente le nombre d articles fabriqués au cours de l année 00 + n Ainsi u représente la quantité produite en 00, u celle en 003, et u 6 celle en 007 La somme des 6 premiers termes de cette suite est notée S 6 a Calculez S 6 b Que représente S 6? D après Bac Pro Artisanat et Métiers d art tapissier d ameublement et ébéniste 3 L étude porte sur une assise de différents assemblages de briques Chaque modèle étudié est un carré, servant de base à une élévation Les briques de fabrication artisanale sont toutes identiques Sur les schémas ci-après, les cotes sont exprimées en centimètres L épaisseur des joints est incluse dans les dimensions Le modèle est un carré de 3 cm de côté, constitué de quatre briques Le modèle s obtient en ajoutant une brique à chaque côté du modèle Le modèle 3 s obtient en ajoutant une brique à chaque côté du modèle, et ainsi de suite jusqu au modèle Commercialisation de fauteuils Un grossiste propose à un artisan un contrat garantissant l achat en 00 de unités et s engage à augmenter de 4 % par an ses achats jusqu en 007 compris L étude suivante porte sur la quantité de fauteuils à produire pour satisfaire ce contrat Déterminez la quantité de fauteuils achetée en 003 Soit la suite géométrique de premier terme et de raison,04 Brique + Joint a Exprimez le terme u n de rang n en fonction de n Modèle õ L b Déduisez la valeur arrondie à 0,0 de u 6 8

13 3 a Déterminez le nombre de briques constituant le modèle 5 b Calculez la longueur L 5 du côté du modèle 5 D après Bac Pro Complétez le tableau ci-dessous : n : nombre de briques formant le modèle L : longueur du côté du modèle (en cm) õ : longueur du côté du carré intérieur (en cm) Ä : aire du carré intérieur (en cm ) Modèle õ L Modèle Modèle Modèle 3 On note (n i ), (L i ), (õ i ) et (Ä i ), les suites formées respectivement par les nombres de briques, les longueurs des côtés des modèles, les longueurs des côtés des carrés intérieurs, les aires des carrés intérieurs Donnez, dans chaque cas, la nature de la suite et précisez, lorsque c est possible, le premier terme et la raison de la suite 3 Étude de l évolution de la contrainte à la rupture du PVC plastifié en milieu extérieur Ce PVC plastifié est destiné à être utilisé à l extérieur et sera sollicité en traction Par ailleurs, lorsque le PVC plastifié est exposé au soleil, il se dégrade On observe une modification de ses propriétés mécaniques Pour ce PVC plastifié, on estime à % la diminution annuelle de la contrainte à la rupture Les valeurs successives de cette contrainte forment une suite u n Une pièce à l état neuf a une contrainte à la rupture de 8,5 MPa : on note u = 8,5 a Calculez la contrainte à la rupture pour une pièce exposée pendant un an On note ce nombre u b Calculez la valeur exacte de u 3 c Montrez que u, u et u 3 sont les trois premiers termes d une suite géométrique dont vous calculerez la raison Le cahier des charges prévoit de garantir les propriétés mécaniques de ce matériau pendant 0 ans Une pièce sera déclarée usée lorsque la contrainte à la rupture sera inférieure à 5,5 MPa On souhaite vérifier la validité de cette garantie sur 0 ans On admet que u n = 8,5 0,98 n est la contrainte de rupture du matériau au bout de (n ) années a Calculez la contrainte à la rupture pour une pièce exposée pendant 0 ans Arrondissez le résultat au dixième b La garantie est-elle conforme au cahier des charges? Justifiez votre réponse D après Bac Pro Plasturgie 33 UCalculs des termes et de la somme d une suite géométrique et représentation graphique Une entreprise démarre une production en 00 Cette production est de pièces L augmentation prévue jusqu en 00 est régulière et de 5 % par an Suites arithmétiques et géométriques 9

14 On va, à l aide d un tableur, calculer les productions de chaque année jusqu en 00 ainsi que la production cumulée sur ces 0 années, puis représenter graphiquement cette évolution Construction du tableau de valeurs Libellés des colonnes En B4, saisissez : «Année» et en C4 «Production» Remplissage du tableau En B5 entrez «00» et en B6 entrez «00» Sélectionnez les deux cellules B5 et B6 et complétez la colonne en cliquant-glissant sur le bord inférieur droit de la cellule B6 (une croix noire apparaît) jusqu à l obtention de «00» En C5 entrez «5000» En C6 entrez «=C5*,05» (pour écrire C5, il suffit de cliquer sur la cellule C5) : validez et complétez la colonne en cliquant-glissant sur le bord inférieur droit de la cellule C6 Pour obtenir le total de la production : sélectionnez la cellule C5 et cliquez sur Pour n utiliser que des nombres entiers : sélectionnez les cellules de C5 à C5 ; dans Format/Cellule, sélectionnez Nombre : réduisez le nombre de décimales à zéro et cochez Utilisez le séparateur de milliers Construction graphique Sélectionnez les cellules de B5 à C4, cliquez sur l assistant graphique : dans le cadre Type de graphique sélectionnez Nuages de points, puis dans le cadre Sous-type de graphique sélectionnez le graphique où les points ne sont pas reliés 0