RAYONNEMENT THERMIQUE DU CORPS NOIR PARTIE THEORIQUE

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1 RAYONNEMENT THERMIQUE DU CORPS NOIR PARTIE THEORIQUE 1 Définitions Considérons un corps porté à une température T. Ce corps émet de l'énergie par sa surface sous forme de rayonnement thermique, c estàdire sous forme d'ondes électromagnétiques ; cette énergie est émise suivant toutes les longueurs d'onde et toutes les directions. Si ce corps n'est pas seul dans l'espace, il reçoit également de l'énergie sous forme de rayonnement de la part des autres corps. Pour l étude du rayonnement, on est amené à définir plusieurs grandeurs photométriques énergétiques fondamentales. Ces grandeurs peuvent être: monochromatique ( pour les longueurs d'onde comprises entre λ et λ+dλ) ou totale ( par intégration sur toutes les longueurs d'onde). Notation par un indice λ. directionnelle ( dépendant de la direction d'émission) ou hémisphérique (par intégration sur le 1/2 espace supérieur). Notation par un indice θ. Dans le cas d'une source étendue, la luminance L est le flux émis par unité de surface apparente, par unité d'angle solide et par unité de longueur d'onde. C'est une grandeur directionnelle. Elle peut être monochromatique ou totale. θ ds θ r A ds Si l'on considère un élément de surface ds émettant vers un élément de surface ds', on aura : dφ luminance monochromatique L λ,θ unité W m 2 Sr 1 m 1 dω ds cos θ dλ dφ luminance totale L θ unité W m 2 Sr 1 dω ds cos θ ds dω ' cos θ ' est l'angle solide sous lequel on voit, de A, la surface ds' et θ l'angle entre la r 2 normale à ds et la droite joignant les deux surfaces. Toujours dans le cas d'une source étendue, l'émittance M est le flux émis par unité de surface dans tout le demiespace supérieur. C'est une grandeur hémisphérique. émittance monochromatique M λ dφ dsdλ unité W m 2 m 1 émittance totale M dφ ds unité W m 2 Le flux arrivant sur un corps peut être réfléchi, absorbé ou transmis par celuici, définissant les trois coefficients suivants : coefficient de réflexion ρ ρ flux réfléchi / flux incident coefficient d'absorption α α flux absorbé / flux incident coefficient de transmission τ τ flux transmis / flux incident La conservation de l'énergie se traduit par ρ + α + τ 1 Corps noir 1

2 Ces coefficients peuvent dépendre de la longueur d'onde λ et de la direction du rayonnement incident. 2 Loi de Lambert On dit qu'une source vérifie la loi de Lambert (ou qu'elle est à émission diffuse) si sa luminance ne dépend pas de la direction d'émission. La plupart des corps émissifs vérifient cette propriété. Ce sera le cas considéré en T.P. On peut ainsi s'affranchir de l'utilisation de coefficients directionnels. On obtient alors une relation simple entre la luminance et l'émittance (par intégration sur la direction) M λ π L λ ou M π L 3 Le corps noir Le corps noir est un corps émissif idéal pour lequel α λ 1 quelque soit λ. C'est donc l'absorbeur parfait. Si le corps noir est à une température d'équilibre T, la puissance qu'il absorbe est égale à la puissance qu'il émet. Le corps noir est donc également un émetteur parfait, c estàdire qu il réémet toute la puissance qu il reçoit. Attention : les longueurs d onde du rayonnement reçu et du rayonnement émis ne sont pas forcément les mêmes ; un corps éclairé par le soleil (donc dans le visible) réémet à température ambiante (donc dans l infrarouge). Il s'agit d'un corps purement fictif permettant d'obtenir les lois de base du rayonnement thermique. En thermodynamique classique, l'équivalent est le gaz parfait que l'on étudie en premier lieu avant d'étudier les gaz réels. a Loi de Planck Luminance spectrale du corps noir Soit un corps noir à la température T. On peut calculer la densité d'énergie du rayonnement (dit rayonnement noir) de ce corps. Le calcul fait appel à la mécanique quantique, le champ électromagnétique dans la cavité limitée du corps noir étant équivalent à un ensemble d'oscillateurs harmoniques indépendants en équilibre thermodynamique à la température T et obéissant à la statistique de Boltzmann. On montre que la luminance L λ ( T ) du corps noir est égale à la densité d'énergie du rayonnement multipliée par 4π. (L exposant de L signifie corps noir). c On en déduit la luminance spectrale du corps noir L λ ( T ) C 1 1 λ 5 C 2 e 1 C 1 et C 2 sont des constantes qui valent respectivement C 1 2 h c 2 1, W m 2 et C 2 h c / k 1, m K La figure suivante montre le tracé de L λ ( T ) pour différentes valeurs de T. Corps noir 2

3 3, Luminance (Wm 2 m 1 ) , , (2) (1) (1) 6 K (2) 5 K (3) 4 K (4) 3 K (3) (4),5 1 1,5 2 longueur d'onde λ (µm) Un corps noir vérifiant par définition la loi de Lambert, son émittance monochromatique (ou spectrale) vaut M λ ( T ) π L λ ( T ). b Loi de Stefan Emittance totale du corps noir Le calcul donne, après intégration sur λ, l'émittance totale, c'estàdire la puissance totale rayonnée dans le demi espace supérieur par unité de surface du corps noir M σ T 4 avec σ 2 π 5 k 4 15c 2 h 3 C'est la loi de Stefan où σ est la constante de Stefan : σ 5, W m 2 K 4. Par exemple, le soleil peut être assimilé à un corps noir de température 58K et d'émittance W m 2. Si l on désire connaître le flux rayonné entre 2 longueurs d onde ( dans le visible par exemple), on doit calculer la quantité M λ λ 2 λ 1 température T, on calcule plutôt la fonction f(λt) définie par f ( λt ) ( T ) dλ. Afin d avoir une fonction utilisable quelque soit la λ M λ ( T ) dλ M λ ( T ) dλ λ M λ ( T ) dλ Cette fonction est normalisée (elle varie de à 1) et la valeur de f(λt) représente donc le porcentage de puissance émise dans le demiespace supérieur entre et λ. Cette fonction est tabulée (voir plus loin). σ T 4 Corps noir 3

4 c Formule de Wien L'émittance spectrale présente un maximum pour une valeur λ m qui obéit simplement à la loi de Wien λ m T constante 2898 µm K Cette loi est fondamentale pour comprendre un certain nombre de phénomènes faisant appel au rayonnement comme, par exemple, l'effet de serre. 4 Corps réels On étudie les corps réels en les comparant au corps noir de même température. On définit l émissivité spectrale ε λ comme le rapport de la luminance du corps considéré à la luminance du corps noir ayant la même température ε λ L λ ( T ) L λ ( T ) L'émissivité est toujours inférieure à 1. L'émissivité totale est définie de même par ε ε λ dλ L approximation la plus simple (mais aussi la plus grossière) est de considérer que l émissivité est indépendante de la longueur d'onde et de la direction d émission. On dit alors que le corps considéré est un corps gris à émission diffuse. Les propriétés énergétiques (luminance, émittance) d'un corps réel se déduiront simplement de celles du corps noir ayant la même température par simple multiplication par l'émissivité. Pour ce qui est du rayonnement, on doit toujours considérer un corps comme étant à la fois émetteur ( du fait qu'il est à une température T différente de ) et récepteur ( visàvis du rayonnement émis par les autres corps ). La loi de Kirchhoff montre que α λ,θ,t ε λ,θ,t Cette relation se simplifie dans le cas de corps gris à émission diffuse pour lesquels on a α ε quelque soit la longueur d onde. Les propriétés d'un corps réel, assimilé à un corps gris à émission diffuse, seront donc définies par son émissivité ε et son coefficient de réflexion ρ s'il s'agit d'un corps opaque avec α ε et α + ρ 1 PARTIE EXPERIMENTALE Dans ce TP, on se propose de vérifier la loi de Stefan, c estàdire de vérifier que la puissance rayonnée par un corps varie bien comme la puissance quatrième de la température de ce corps. Le corps émissif est constitué par le filament de tungstène d'une ampoule électrique (lampe à incandescence). On considérera que le filament de l ampoule est un corps gris à émission diffuse. On n aura donc besoin que de connaître son émissivité ε et ses propriétés énergétiques (luminance et émittance) seront simplement celles d un corps noir multipliées par ε. Il faudra mesurer la puissance consommée par la lampe ainsi que la résistance du filament. En fonction du matériel disponible, indiquer le montage expérimental utilisé ainsi que les grandeurs mesurées. Corps noir 4

5 1 Bilan thermique de l ampoule Avant de commencer les mesures, il faut établir le bilan thermique de l'ampoule et réfléchir à la façon de déterminer les différents coefficients. Ceci conditionne le bon déroulement du TP. On admet que, à l'équilibre thermique, le filament reçoit en plus de la puissance électrique P e, une puissance εsσt a 4 rayonnée par le milieu extérieur de température T a. Le filament perd de la puissance d une part par rayonnement, d autre part par convection avec l extérieur via le gaz contenu dans l ampoule et le verre de l ampoule. On suppose que la puissance perdue par convection P conv peut se mettre sous la forme P conv K (T T a ), K étant une constante ne dépendant que des caractéristiques de la lampe. Etablir la formule donnant le bilan thermique de l'ampoule. Lorsque T est peu différente de T a, comment peuton simplifier l équation? Comment déterminer le coefficient K de convection? Lorsque T est très grande devant T a, comment peuton simplifier l équation? Quel type de courbe devrezvous tracer pour vérifier la loi de Stefan? Et sur quel type de papier? 2 Mesure de la température du filament On peut mesurer la température T du filament à l'aide de 2 techniques 2a) En mesurant la résistance du filament Soit R(T) la résistance électrique du filament pour la température T. On peut déterminer la température T du filament en utilisant la variation du rapport R(T) / R(T ) avec la température T. Voir le tableau des propriétés du tungstène. On notera T R la température déduite de ce type de mesure. 2b) En utilisant un pyromètre optique à disparition de filament 2bl) Principe du pyromètre optique Le pyromètre optique à disparition de filament est un appareil portatif permettant la mesure de la température d'un corps par l'intermédiaire du rayonnement qu'il émet et dont on observe, au travers d'un filtre, une longueur d'onde dans le visible (ici λ,65 µm donc dans le rouge). On compare ce rayonnement à celui émis par un filament interne calibré dont on ajuste la luminance jusqu'à obtenir son égalité avec celle du rayonnement extérieur. Le pyromètre a été étalonné pour donner la température d'un corps noir de luminance identique à celle du filament de référence interne. Pour plus de détails sur son fonctionnement et sa manipulation, on consultera la notice du matériel disponible dans le cahier (Meci, PM12 (deux échelles), PM13 (trois échelles) ). 2b2) Relation entre la température T lue affichée par le pyromètre et la température vraie T vraie Si le corps dont on veut mesurer la température T vraie n'est pas un corps noir, sa luminance L λ ( T vraie ) ε λ L λ ( T vraie ) est inférieure à celle du corps noir pour cette température. Ainsi, quand on vise un corps d'émissivité ε < l, lorsque l'égalité des luminances est obtenue, la température vraie T vraie du corps non noir est supérieure à la température T lue lue sur le pyromètre optique puisque celuici est calibré pour un corps noir et que son filament à une luminance L λ ( T lue ). Montrer que l'on a la relation suivante entre T lue, T vraie et ε λ, émissivité à la longueur d'onde λ 1 T vraie 1 T lue Le pyromètre utilisé travaille à λ,65 µm. On a donc + λk hc ln ( ε λ ) 1 T vraie Corps noir 5 1 T lue + 4, ln( ε λ ).

6 On utilisera cette expression par la suite pour obtenir la température vraie du filament. A titre d'exemple, l'écart entre T lue et T vraie est d environ 1 K à 15 K et atteint environ 4 K à 3 K. 3 Mesures Mesurer à l'ohmmètre la résistance R(T ) du filament à température ambiante avant toute mesure de puissance. On prendra T 3 K par la suite. Pour différentes valeurs de la tension d alimentation ( de à V max ), mesurer la puissance consommée par l ampoule et la température T R du filament déduite de la valeur de sa résistance. Dès que la température est assez élevée, mesurer également la température T pyr du filament à l aide du pyromètre. Regrouper l ensemble des mesures dans un tableau en n oubliant pas d effectuer la correction nécessaire sur T pyr. Pour la suite, on choisit T R comme étant la bonne valeur de la température du filament.. Tracer la courbe voulue et en déduire la valeur du coefficient K. Quelle valeur obtienton pour l exposant de la loi de Stefan? Conclusions. Estimez les rapports P conv /P e et P ray /P e à puissance nominale. De même, estimer le pourcentage de puissance émise dans le visible (,4 µm < λ <,8 µm ) en utilisant le tableau 2. Conclusions. Tracer la courbe donnant la température du filament déduite de T pyr après correction en fonction de T R déduite de la mesure de la résistance du filament. Conclusions. Corps noir 6

7 Propriétés du tungstène T ( K ) ρ(t) / ρ(3) ε à λ,65 µm ε totale 3 1,,32 4 1,4265,42 5 1,869,53 6 2,3416,64 7 2,8478,76 8 3,3628,88 9 3,8832,11 1 4,4124,458, ,9451,456, ,4832,454, ,319,452, ,5823,45, ,1434,448, ,716,446, ,2796,444, ,8584,442, ,4425,44, ,3,438, ,63,436, ,235,434, ,842,432, ,458,43, ,81,428, ,715,426, ,343,424, ,991,422, ,634,42, ,29,418, ,949,416, ,618,414, ,283,412, ,973,41, ,664,48, ,354,46, ,726 Corps noir 7

8 f ( λt ) λ M λ dλ M λ dλ ( λt en µm K ) λ M λ dλ σt 4 λt λt ,,,,, 47,5937,5965,599,,62,648 6,,,,, 48,675,612,6129,6156,6182 7,,,,, 49,629,6235,6261,6286,6312 8,,,,, 5,6337,6362,6387,6412,6436 9,1,1,1,1,2 51,6451,6485,659,6532,6556 1,3,4,4,5,7 52,6579,663,6625,6648, ,9,1,13,15,18 53,6693,6716,6738,676, ,21,24,28,33,37 54,683,6825,6845,6867, ,43,49,55,62,69 55,699,6929,695,697,699 14,78,86,96,16,117 56,71,73,749,769,788 15,128,14,153,167,182 57,717,7126,7145,7164, ,197,213,23,247,266 58,721,7219,7238,7256, ,285,35,326,347,37 59,7291,739,7326,7343, ,393,471,442,467,494 6,7378,7395,7411,7428, ,521,549,577,66,636 61,7461,7477,7493,759,7525 2,667,698,73,763,796 62,7541,7556,7572,7587,763 21,83,865,9,936,972 63,7618,7633,7648,7662, ,19,145,184,1122, ,7692,776,7721,7735, ,12,124,128,132, ,7763,7777,7791,784, ,142,1444,1486,1528, ,7831,7845,7858,7871, ,1613,1656,17,1743, ,7897,791,7923,7936, ,1831,1875,192,1964,29 68,7961,7973,7985,7998,81 27,253,298,2143,2188, ,822,834,845,857,869 28,2279,2324,2369,2415,246 7,88,892,813,8115, ,256,2551,2596,2642, ,8137,8148,8159,817,8181 3,2732,2778,2823,2868, ,8191,822,8213,8223, ,2958,33,347,392, ,8244,8254,8264,8275, ,3181,3225,3269,3313, ,8295,834,8314,8324, ,341,3445,3488,3531, ,8343,8353,8362,8372, ,3617,366,373,3745, ,839,8399,849,8418, ,3829,3871,3912,3954, ,8436,8444,8453,8462, ,436,477,4117,4153, , ,8496,855, ,4238,4277,4317,4356, ,8521,853,8538,8546, ,4434,4472,4511,4549,4585 8,8562,857,8578,8586, ,4624,4661,4699,4736, ,861,869,8617,8624,8632 4,489,4845,4881,4917, ,8639,8647,8654,8661, ,4987,522,557,592, ,8676,8683,869,8697,874 42,516,5194,5227,5261, ,8711,8718,8725,8732, ,5327,5359,5392,5424, ,8745,8752,8759,8765, ,5488,5519,5551,5582, ,8778,8785,8791,8797,884 45,5643,5673,573,5733, ,881,8816,8822,8829, ,5793,5822,5851,588,598 88,8841,8847,8853,8859,8865 Corps noir 8

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