Simulation des capteurs de flux thermique. Guillaume Dauster 7 mai 2014

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1 Simulation des capteurs de flux thermique Guillaume Dauster 7 mai

2 Table des matières 1 Introduction Rappels de radiométrie Le rayonnement thermique Définition Spectre du rayonnement thermique Spectre utile du rayonnement thermique Représentation des corps et mesures Luminance énergétique d un corps noir Notion de corps gris Radiométrie Recherches de solutions logicielles Introduction Les attentes Les moteurs de rendu «physic-based» Le moteur de rendu Mitsuba Construction d une scène Modèle de diffusion Les matériaux dans Mitsuba Les modifications apportées à Mitsuba Prise en charge du rendu multi-spectral Modification de la méthode d intégration Validations et simulations Définition de la méthode de validation Validation de la représentation d un corps noir Notion de facteurs de formes Facteurs de formes C 11 et C Facteurs de forme et maximum d émittance monochromatique d un corps noir Comparaison en influence totale Comparaison avec les facteurs de forme Paramètres de la simulation Bornes maximales en configuration C Nombres d échantillons en configuration C Nombre de bandes en configuration C Approche par l expérimentation Définitions Estimation de l irradiance expérimentale en influence totale (h = 5cm) Estimation de l irradiance expérimentale à différentes distances Estimation de l irradiance expérimentale à différentes inclinaisons 27 5 Conclusion

3 5.1 Bilan Perspectives Amélioration possibles de Mitsuba Echantillonage non régulier du spectre Approximation du spectre en dehors des bornes

4 1 Introduction la version de TikZ est : 2.10Le travail présenté ici ce situe dans le contexte du projet OpenFoodSystem 1 qui vise à fournir aux personnes (professionnels et grand-public) de nouveaux appareils de cuisson qualifiés d intelligents, et notamment des fours. La souspartie du projet qui nous concerne est Opticook, programme qui vise au développement d instruments de mesure des variations temporelles de plusieurs propriétés des aliments et de contrôle des variables du four afin de garantir une cuisson optimale, et ce en autonomie complète, c est-à-dire sans intervention humaine dans le processus de cuisson. L IEMN et le LAGIS interviennent essentiellement sur la partie développement de capteurs de flux thermique qui seront placés dans la partie haute du four afin de déterminer la température de surface de l aliment en cours de cuisson. Cette information permettra par la suite de déterminer l état de cuisson de l aliment en exploitant une relation, établie par d autres partenaires du projet, entre température de surface et température interne. Malheureusement, les capteurs de flux thermique ne permettent pas de mesurer directement la température de surface de l aliment. En effet, puisque notre capteur n est pas associé à un système optique jouant le rôle de collimateur, le flux thermique qu il reçoit provient de toutes les surfaces visibles et non pas simplement de celle de l aliment. Pour compenser l absence de collimateur, nous proposons d utiliser plusieurs capteurs de flux et de combiner les mesures qu il fournissent afin d estimer l émittance de la surface de l aliment. Cette dernière sera obtenue en éliminant, par un calcul de décorrélation, l influence des émittances des autres objets visibles par les capteurs. Intuitivement, on comprend qu en utilisant de nombreux capteurs de flux répartis dans la partie haute de la cavité de cuisson, on ne peut qu améliorer la précision de cette estimation de l émittance. Cependant, il n est pas envisageable tant pour des raisons techniques qu économiques, d utiliser plus de capteurs que nécessaire. L objectif du LAGIS dans le projet est de concevoir et développer un outil de simulation qui permettra en définitive de sélectionner, selon un critère objectif, le nombre et la disposition des capteurs de flux thermique dans l enceinte de cuisson. Un critère quantitatif de sélection d une configuration optimale pourrait par exemple être le produit de la précision relative de la mesure de température par le nombre de capteurs, qu il s agirait de maximiser en incluant éventuellement des contraintes additionnelles. Quoi qu il en soit, le simulateur doit nous permettre, pour toutes les configurations envisageables (four, aliment, capteurs), de calculer les flux thermiques reçus par les capteurs. Ce rapport présente les résultats de notre recherche de solutions logicielles déjà existantes, de la modification du code du logiciel qui nous a semblé être le plus adapté au développement du simulateur, et enfin de la validation de cette base de simulation au travers de tests préliminaires dans lesquels nous avons comparé les résultats obtenus sur des configurations simples avec les valeurs théoriques calculées à partir de leurs facteurs de forme 2. Dans la première partie, nous rappelons les définitions des grandeurs radiométriques et présentons les concepts utilisés dans le simulateur (spectre de rayonnement thermique, ra- 1. http :// 2. Voir les références fournies en fin du document sur les notions de transfert thermique et de facteur de forme 4

5 diométrie, notion de corps noir et de corps gris). La seconde partie concerne les recherches qui nous ont permis de nous orienter vers un certain type de logiciel : les moteurs de rendus, et plus spécifiquement ceux qualifiés de «physic-based». Enfin, la dernière partie concerne le processus de validation de la simulation en combinant données théoriques et expérimentales (l ensemble des résultats est fourni en annexe). 2 Rappels de radiométrie 2.1 Le rayonnement thermique Définition Le rayonnement thermique [1] constitue l un des trois mécanismes (conduction, et convection pour les deux autres) par lesquels de l énergie calorifique peut s échanger entre des corps à températures différentes. On modélisera essentiellement l échange radiatif car un moteur de simulation, utilisant une technique qualifiée de «lancer de rayon», ne permet pas de prendre en compte directement les autres phénomènes d échange thermique. Lors d un échange thermique, tout corps joue à la fois le rôle de source (émission ininterrompue d ondes électromagnétiques) et de récepteur (absorption de rayonnement thermique des corps visibles). Le mécanisme d échange thermique implique essentiellement trois étapes, que l on retrouve d ailleurs dans la plupart des logiciels de simulation de type «physic-based». On a ainsi : Une transformation d énergie calorifique en rayonnement électromagnétique par le corps considéré (solide, liquide, gaz), qui se traduit par la définition des propriétés de surface du corps dans un moteur de rendu (propriétés d émissivité et absorptivité). Le rayonnement effectue un parcours dans le milieu séparant les objets ; Dans un moteur de rendu, on réalise un lancer de rayons dans la scène, en tenant compte éventuellement d une interaction entre le rayon et le milieu dans lequel il se propage. Le rayonnement interagit avec le (ou les) récepteur(s) qui en absorbent ou réfléchissent une partie ; Dans un moteur de rendu on effectue la somme des rayons reçus par les surfaces réceptrices Spectre du rayonnement thermique Les rayonnements qualifiés de «thermiques» sont un sous-ensemble du spectre électromagnétique (figure 1) qui comprend une partie des ultra-violets, l ensemble du spectre du visible ainsi que l ensemble du spectre infrarouge. Leurs longueurs d ondes sont comprises entre 0.3µm et 1000µm 3. Une de nos attentes dans un moteur de rendu est de pouvoir paramétrer les simulations dans une telle gamme de longueur d onde. En général, pour réaliser le calcul, le spectre thermique est discrétisé de façon uniforme, c est-à-dire découpé en bandes spectrales de largeurs toutes identiques. Ainsi une portion du spectre électromagnétique peut être définie par trois paramètres : borne inférieure du spectre, borne supérieure du spectre et largeur de bande de bande (ou ce qui est équivalent, nombre de bandes). 3. source : La transmission de la chaleur [1], page 63 5

6 Rayonnement thermique Rayon x, alpha U.V Visible Infrarouge Onde radio,... Figure 1 Le spectre du rayonnement thermique est un sous-ensemble du spectre électromagnétique Spectre utile du rayonnement thermique On retrouve souvent dans la littérature la notion de domaine usuel ou spectre utile du rayonnement thermique, considéré comme s étendant du visible à l infrarouge moyen (soit 0.3µm à 50µm). Une simulation réalisée sur la totalité du spectre thermique s avérant très coûteuse en temps de calcul pour une efficacité incertaine 4, nous avons décidé d utiliser cette notion de spectre utile. Par exemple, l énergie rayonnée par un corps noir diminue quand sa longueur d onde s éloigne du λ max pour atteindre moins de 1% pour les valeurs les plus éloignées. Pour ces longueurs d onde, l énergie peut alors être considérée comme négligeable. Ainsi, pour un corps noir, la notion de spectre utile [5] est définie comme l intervalle situé entre 0, 5λ max et 4, 5λ max (figure 2). rayounnement λ 4.5λ longueur d ondes Figure 2 Spectre utile d un corps noir Pour calculer les bornes de cet intervalle, on utilise de la loi de déplacement de Wien qui fournit la longueur d onde du maximum d émittance monochromatique du corps noir à une température T donnée : λ max = T 4. voir le chapitre consacré aux simulations et validations (1) 6

7 Ainsi, dans le cas qui nous intéresse, on pourra considérer une température minimum et maximum de l enceinte du four et déterminer l intervalle de longueur d ondes le plus pertinent. Par exemple, pour des températures comprises entre 300 et 700 Kelvin, on détermine les limites suivantes (cf. tableau 1) : Kelvin Wien x0.5λ x4.5λ 300 9, 66µm 4, 83µm 43, 47µm 700 4, 01µm 2, 00µm 18, 00µm Table 1 Bornes inférieures et supérieures des longueurs d onde utiles pour des températures de 300 et 700 Kelvin Néanmoins, il faut garder en tête qu il s agit d une approximation, et que par conséquent elle peut engendrer un manque de précision dans les résultats lors de l étape d intégration (étape importante lors du calcul d émittance totale par exemple). 2.2 Représentation des corps et mesures Luminance énergétique d un corps noir Un corps noir est un objet idéal dont le spectre d émission électromagnétique ne dépend que de sa température. On considère également qu un corps noir est capable d absorber toute l énergie électromagnétique qu il reçoit, donc qu à sa surface ne se produit aucun phénomène de réflexion ou de diffusion. L équation (2) donne l expression de la radiance spectrale L 0 T (λ) d un corps noir à une température T en Kelvin, où h désigne la constante de Planck, c la vitesse de la lumière, k la constante de Boltzmann et λ la longueur d onde. L 0 T (λ) = 2hc 2 λ 5 (e hc/λkt 1) (W.m 2.sr 1.µm 1 ) (2) On utilisera cette notion dans nos simulations afin de valider les expérimentations à partir du cadre théorique du corps noir Notion de corps gris Un corps gris est un matériau dont l émissivité ε est indépendante de la longueur d onde, pour une température donnée et une direction donnée du flux incident. L émissivité s exprime comme le rapport entre l énergie émise L T par un corps et celle qu émettrait un corps noir de même température. ε = L T L 0 T (3) Sachant que le corps noir est un corps idéal, on utilisera dans des travaux plus avancés la notion de corps gris, plus proche de la réalité. 7

8 2.2.3 Radiométrie Ce que l on appelle radiométrie est la caractérisation et la mesure des transferts d énergie par rayonnements électromagnétiques depuis une source, vers un capteur [2]. Il faut bien différencier la radiométrie et la photométrie, qui est son équivalent mais dans le cadre de la perception par l œil humain. Le plus souvent, ce sont les grandeurs photométriques et non les grandeurs radiométriques qui sont utilisées dans les moteurs de rendu, lesquels sont destinés à fournir des images synthétiques de scènes décrites par un modèle 3D. Grandeur Notation unité Flux φ W Irradiance E W.m 2 Intensité I W.sr 1 Radiance M W.m 2.sr 1 Table 2 Les grandeurs radiométriques Il y a quatre grandeurs radiométriques principales (table 2) que nous serons amenés à utiliser dans notre processus de simulation : le flux, l irradiance, l intensité et la radiance [6]. Le flux est la quantité totale d énergie qui arrive sur une surface par unité de temps. Le flux énergétique s exprime en joule par seconde (J.s 1 ), ou watts. L irradiance est le flux par unité de surface, dans le cas d un capteur, et l émittance le flux par unité de surface, dans le cas d une source. Ces grandeurs s expriment toutes deux en W.m 2. D après la loi de Lambert, le flux qui arrive sur un élément de surface est proportionnel au cosinus de l angle entre la direction du rayon (i.e. pour une surface A 1 ) et la normale à cette surface A 2 (figure 3). A 2 θ Figure 3 L irradiance incidente à une surface est proportionnelle au cosinus de l angle entre le rayon et la normale L intensité décrit la distribution directionnelle de la lumière issue d une source ponctuelle. L intensité dépend de la notion d angle solide, qui est l analogue tridimensionnel de l angle plan (voir la figure 4 5 ). L angle solide (souvent noté ω ) par lequel un objet est observé depuis un point est calculé par la surface de sa projection sur une sphère unité centrée sur le point A 1

9 Figure 4 Répartition de l énergie radiante dans l hémisphère entourant la surface da La radiance (ou luminance énergétique) est le flux qui parvient ou est émis par une surface dans un certain angle solide et dans une direction particulière. Si la radiance est connue pour chaque élément d une surface, toutes les autres grandeurs radiométriques peuvent être calculées comme une intégrale de la radiance selon des surfaces, directions ou distances spécifiques. 3 Recherches de solutions logicielles bla bla bla! 3.1 Introduction Les attentes On cherche une solution logicielle prenant en compte les capacités et contraintes suivantes : 1. La possibilité d effectuer un calcul en multi-spectral et «physic-based», c est-à-dire tenant compte de toutes les propriétés physiques d un objet en terme d interaction avec le rayonnement électromagnétique ; 2. De permettre d effectuer des mesures physiques sur les objets et les éléments de la scène au travers de grandeurs radiométriques et non pas photométriques ; 3. Dont le code est disponible et modifiable si les fonctionnalités nécessaires ne sont pas disponibles dans la version de base ; 4. Permettant l importation de modèles 3D issus d autres plate-formes de modélisation 3D (.obj, etc.) Il existe principalement deux méthodes de rendu 3D : la méthode dite de rastérisation (figure 5a 6 ), où le rendu est basé sur les polygones qui constituent l objet 3D à représenter et des transformations géométriques permettant de le projeter sur la surface du capteur d image virtuel. L autre méthode dite de lancer de rayon ou raytracing (figure

10 5b 7 ), consiste à calculer la trajectoire des rayons lumineux pour tous les pixels du capteur d image virtuel. Cette méthode suit les règles de la physique, notamment en ce qui concerne les changements de direction des rayons lors d une interaction avec un dioptre. (a) Méthode de rastérisation : on part de la géométrie de l objet (ici triangle en rouge) que l on projette dans le plan du capteur d image virtuel (b) Méthode de raytracing : on projette des rayons dans la scène en suivant le parcours réel de la lumière, d où un plus grand réalisme. Figure 5 Les deux principales méthodes de rendu de scène en 3 dimensions Les moteurs de rendu «physic-based» Nous nous attarderons essentiellement sur les moteurs «physic-based» dont le code source est accessible afin de vérifier que ce dernier n intègre pas de pré ou post-traitements destinés à gérer les grandeurs photométriques. De ce fait, la licence du logiciel est de type opensource (GPL, BSD, MIT,...) 8. Il existe un certain nombre de moteurs de rendu «physic-base», notamment pour le jeu vidéo 9 et la production de contenu (Renderman, AppleSeed,...) 10. Ces moteurs sont principalement destinés à la création de contenus visuels générés à partir de modèles 3D, et donc très peu d entre eux permettent de réaliser des calculs radiométriques à des fins de simulation scientifique. Dans cette dernière catégorie, nous avons trouvé PBRT 11 et Mitsuba 12 [4] dont les algorithmes de rendu sont issus de l ouvrage Physically Based Rendering [6] (PBRT étant développé par les auteurs du livre). Nous avons essentiellement comparé ces deux solutions car ce sont les deux seules qui satisfaisaient tous les critères permettant d envisager une simulation. Les caractéristiques permettant une comparaison et donc un choix, recueillies dans leurs documentations respectives, sont résumées dans le tableau suivant. Les caractéristiques des deux logiciels sont similaires 13, néanmoins Mitsuba est intéressant car il intégre des outils de mesure physique qui vont être importants pour la suite Voir un descritif des licences existantes : 9. Approche encore peu utilisée, car coûteuse en temps de calcul 10. Autres moteurs de rendu : http :// 12. http :// 13. Voir la notice README-INSTALL pour un détail supplémentaire des bibliothèques nécessaires en plus de celle donner dans la documentation (tester sur une configuration Ubuntu LTS) 10

11 PBRT Mitsuba Import / Export 3DSMax, Blender, StructureSynth Blender, Rihoceros, Make- Humans Documentation Livre [6] et explication des En ligne et Manuel de l API formats d entrée Multithread oui oui Indices de réfraction scene/spds data/ior des matériaux Support du rendu Dans core/pbrt.h et Dans core/spectrum.h et spectral core/spectrum.h config.py Fichiers sources.txt.xml Table 3 Caractéristiques générales des deux API. du projet. C est pour cela que l on va se concentrer sur cette solution. 3.2 Le moteur de rendu Mitsuba Comme on peut le lire dans la documentation de Mitsuba, celui-ci est un moteur de rendu écrit en C++, orienté recherche et qui est conçu pour être modulaire dans la construction de la scène 3D. Il est composé d un noyau et d un ensemble de plugins qui peuvent être combinés en fonction des besoins 14. Une scène, dans Mitsuba, comporte en général les plugins décrits ci-dessous Construction d une scène Une scène est définie dans Mitsuba par un fichier xml, comme l illustre l exemple suivant. <?xml v e r s i o n=" 1. 0 " encoding=" utf 8"?> <scene v e r s i o n=" "> <i n t e g r a t o r type=" path "> [... ] <! Une camera > <s e n s o r type=" p e r s p e c t i v e "> <transform name="toworld"> <r o t a t e y="1" angle=" 180 "/> </transform> [... ] <f i l m type=" h d r f i l m "> [... ] </sensor > <! Un o b j e t > <shape type=" cube "> <bsdf type=" r o u g h d i e l e c t r i c " > [... ] <! On l u i d e f i n i t un bsdf > </shape> 14. voir la documentation pour l ensemble des plugins : partie voir le script que l on a réalisé mtsxml.py ; un générateur simplifié de scène pour Mitsuba 11

12 <! Un autre o b j e t avec un e m i t t e r > <shape type=" sphere "> [... ] <e m i t t e r type=" area "> <rgb name=" r a d i a n c e " value=" 100,400,100 "/> </emitter > </shape> [... ] </scene> Listing 1 Exemple de scène définie dans Mitsuba integrator correspond aux techniques de rendu, il se définit au début du fichier source. La documentation propose une démarche de sélection de la technique de rendu la plus adaptée pour la scène que l on souhaite traiter. sensor apparentés à une camera (perspective ou orthographique), il permet aussi d enregistrer des informations de radiance et d irradiance. Il s utilise en combinaison avec films et samplers. Le type de caméra qui nous sera indispensable est l irradiancemeter qui permet de capturer l irradiance reçue par un capteur de forme variable (associé à un shape, voir plus bas). films définit l enregistrement d images (dimensions, lissages,...) et d informations sur la scène. Les films de type mfilm sont utilisés pour l enregistrement des informations de spectre (une modification des sources a été faite pour enregistrer au format csv plus pratique à manipuler), RGB, XYZ et luminance. samplers définit le nombre d échantillons qui seront capturés de la scène par pixels. Le type le plus simple est independant. shape sert à définir la géométrie d un objet. Il existe un certain nombre de primitives au sein du logiciel et on peut utiliser des formats externes tels que les.obj. emitters correspond à l émission de radiation dans la scène : il existe des sources lumineuses et des environnements (soleil, ciel,...). Tous les types de sources prennent en compte un paramètre de type spectrum. On pourra définir notamment des corps noirs, que l on va utiliser dans nos tests. bsdf (pour bidirectional scattering distribution function) décrit la manière dont la lumière va interagir avec les surfaces de l objet dans la scène. On peut représenter des matériaux à partir d un bsdf. Les bsdf dans Mitsuba sont la conjonction de ce que l on retrouve dans la littérature : brdf (bidirectional reflectance distribution function) et btdf (bidirectional transmission distribution function). Il existe d autres plugins qui ne nous seront pas directement utiles pour le sujet qui nous concerne. Dans Mitsuba, l émissivité est simulée par le plugin emitter où l on définit le spectre de radiance pour l ensemble des longueurs d ondes. On doit donc résoudre les intégrales suivantes pour le corps gris et le corps noir. L T L 0 T = 0 L T (λ) dλ 0 L 0 T (λ) dλ (4) 12

13 3.2.2 Modèle de diffusion Comme nous le verrons par la suite, pour définir un corps opaque, on a besoin de pouvoir représenter sa réflectivité, son absorptivité et son émissivité. Les bsdf permettent de représenter le comportement de la lumière partant d une surface, S 2 dans l exemple (rayons réfléchi r, absorbé a). En association avec la définition du spectre d éclairement monochromatique (ou radiance) (les emitter area) d un autre objet S 1, on caractérisera le rayon incident i (figure 6). S 1 i r a S 2 Figure 6 Rayons incident i, réfléchi r et absorbé r d une surface S 1 vers une surface S 2 Dans le cas du rayonnement thermique, ne sont prises en compte que les transformations d énergie interne en énergie radiative (phénomène d émission) ou inversement (phénomène d absorption) Les matériaux dans Mitsuba Dans Mitsuba on peut représenter les comportements lumineux des matériaux par leur indice de réfraction à partir du plugin bsdf conductor (figure 7). Les fichiers spd fournis dans Mitsuba contiennent les informations des indices de réfraction dans le visible, il conviendra d élargir ceux-ci au spectre du thermique 16. <shape type="..."> <bsdf type="conductor"> <spectrum name="eta" filename="conductorior.eta.spd"/> <spectrum name="k" filename="conductorior.k.spd"/> </bsdf> <shape> Figure 7 Spécifier le spectre des indices de réfraction d un matériau, parties réelles et imaginaires dans deux fichiers distincts Pour représenter correctement le comportement des matériaux simulés à différentes températures il faudra probablement réaliser des mesures expérimentales, car nos premières recherches de données générales relatives à tout le spectre thermique se sont avérées infructueuses. 16. Notamment à partir du site http :// qui recueille, entre autre, les valeurs d indices de réfractions connu de très nombreux matériaux 13

14 3.3 Les modifications apportées à Mitsuba Comme évoqué précédemment, les capteurs simulés dans Mitsuba sont destinés à réaliser des calculs photométriques, c est-à-dire limités au domaine du spectre électromagnétique visible et intégrant les courbes de réponse perceptuelles définies par la CIE. Il a donc été nécessaire de modifier le code source de Mitsuba pour pouvoir simuler, au travers de grandeurs radiométriques, le comportement radiatif d objets en muti-spectral Prise en charge du rendu multi-spectral Pour ajouter le support du rendu multi-spectral (i.e. pour avoir une simulation valable dans tout le spectre thermique) nous avons modifié les sources de mitsuba/libcore et plus précément le fichier spectrum.cpp. Dans un premier temps, nous avons ajouté la possibilité de définir les bornes inférieure et supérieure du spectre 17. Initialement, les limites du spectre étaient fixées respectivement à 360 nm et 830 nm. Mitsuba nous fournit un capteur d irradiance prévu pour le visible (il utilise d ailleurs les courbes normalisées de la CIE pour le calcul de la luminance). Ce dernier ne fournit donc pas directement les valeurs radiométriques des flux échangés entre deux surfaces. Ainsi, dans un second temps, nous avons modifié la méthode d intégration 18 pour que le capteur d irradiance fournisse les valeurs d irradiance énergétique et non pas de luminance. Float Spectrum::getLuminance() const { Float luminance = 0.0f; for (size_t i=0; i<spectrum_samples; ++i) luminance += CIE_Y[i] * s[i]; return luminance * CIE_normalization; } Figure 8 Fonction de calcul de la luminance par défaut dans Mitsuba. SPEC- TRUM_SAMPLES désigne le nombre d échantillons considérés. Il faut souligner que les fonctions d intégration proposées ci-dessous sont simplement des calculs numériques approchés de l intégrale permettant d estimer l irradiance totale E à partir d un ensemble de valeurs de l irradiance monochromatique calculées sur chaque intervalle du spectre échantillonné. Le pas d intégration λ est défini par l équation (5), dans laquelle λ inf désigne la borne inférieure du spectre, λ sup sa borne supérieure et N le nombre de bandes spectrales considérées. f( ) désigne la fonction définie sur [λ inf, λ sup ] qui représente l irradiance monochromatique reçue par un élément de surface. λ i = λ inf + i.h désigne la longueur d onde minimale de la bande spectrale de numéro i. λ = λ sup λ inf N (5) 17. Voir les constantes SPECTRUM_MIN_WAVELENGTH et SPEC- TRUM_MAX_WAVELENGTH dans le fichier config.py et leur utilisation dans le fichier spectrum.cpp 18. méthode getluminance() dans spectrum.cpp 14

15 3.3.2 Modification de la méthode d intégration La méthode des rectangles où l intégrale approchée par E r, résulte d une approximation de f( ) par une fonction en escalier constante sur chaque bande de largeur λ. L irradiance totale est ainsi donnée par l équation (6). N 1 E r = λ f(x i ) (6) E r est calculée par le code suivant dans la version modifiée de Mitsuba. Float Spectrum::getLuminance() const { Float luminance = 0.0f; for (size_t i=0; i<spectrum_samples; ++i) luminance += s[i]; return luminance * SPECTRUM_RANGE / (SPECTRUM_SAMPLES - 1); } i=0 Figure 9 Fonction de calcul de l irradiance selon la méthode des rectangles. La méthode des trapèzes où E t est une approximation de l irradiance totale calculée en considérant que l irradiance monochromatique f( ) est approchée par un ensemble de fonctions linéaires par morceaux prenant les mêmes valeurs que cette dernière aux points de subdivision du spectre. le graphe de la fonction approchante est donc une succession de trapèzes. L irradiance totale est ainsi donnée par l équation (7). E t = λ [ ] N 1 f(λ inf ) + f(λ sup ) + f(x i ) 2 i=0 (7) E t est calculée par le code suivant dans la version modifiée de Mitsuba. Float Spectrum::getLuminance() const { Float luminance = 0.5 * (s[0] + s[spectrum_samples - 1]); for (size_t i=0; i<spectrum_samples - 1; ++i) luminance += s[i]; return luminance * SPECTRUM_RANGE / (SPECTRUM_SAMPLES - 1); } Figure 10 Fonction de calcul de l irradiance selon la méthode des trapèzes. La méthode de Simpson où E s est une approximation de l irradiance totale calculée en approchant l irradiance monochromatique f( ) par un ensemble de fonctions quadratiques prenant les mêmes valeurs que cette dernière aux points de subdivision du spectre. 15

16 Le graphe de la fonction approchante est donc une succession d arcs de paraboles. L irradiance totale est ainsi donnée par l équation (8) ou par l équation (9), supposant toutes deux que le nombre N de bandes spectrales est pair. E s = λ 3 E s = λ 48 f(λ inf ) + 2 N/2 1 i=1 N/2 f(x 2i ) + 4 f(x 2i 1 ) + f(λ sup ) (8) i=1 [ 17[f(x0 ) + f(x N )] + 59[f(x 1 ) + f(x N 1 )]+ 43[f(x 2 ) + f(x N 2 )] + 49[f(x 3 ) + f(x N 3 )] + 48 N 4 i=4 f(x i) E s se traduit par le code suivant dans la version modifiée de Mitsuba. Float Spectrum::getLuminance() const { Float luminance = * (s[0] + s[spectrum_samples - 1]) * (s[1] + s[spectrum_samples - 2]) * (s[2] + s[spectrum_samples - 3]) * (s[3] + s[spectrum_samples - 4]); for (size_t i=4; i<spectrum_samples - 4; ++i) luminance += s[i]; return luminance * SPECTRUM_RANGE / (SPECTRUM_SAMPLES - 1); } ] (9) Figure 11 Fonction de calcul de l irradiance selon la méthode de Simpson. L initialisation de luminance est obtenue par une factorisation où 17/48 = , 59/48 = , etc... 4 Validations et simulations 4.1 Définition de la méthode de validation Afin de valider les modifications apportées à Mitsuba, on veux évaluer les mesures d irradiances fournit par le capteur irradiancemeter. Pour cela on cherche à comparer les valeurs de flux reçu obtenus dans des configurations élémentaires (un capteur et un émetteur de type blackbody) : on veux les valeurs de flux reçu d une surface diffuse (avec capteur d irradiance) d un corps noirs à différentes températures Validation de la représentation d un corps noir Tout d abord, on veut être sur que les corps noirs sont représenté correctement au sein de Mitsuba. Mitsuba nous fournit ainsi le type de sensor capable de capturer les informations de radiance reçues par un corps (radiancemeter) sur toutes les longueurs d ondes considérées. On place donc ce capteur à une certaine distance d une sphère imitant un corps noir afin d en mesurer la radiance. <s e n s o r type=" radiancemeter "> <transform name="toworld"> 16

17 <l o o k a t o r i g i n=" 0,0,5 " t a r g e t=" 0,0,0 "/> </transform> <f i l m type=" mfilm "> <s t r i n g name=" f i l e F o r m a t " value=" csv "/> </film > <sampler type=" independent "> <i n t e g e r name="samplecount" value=" 1024 "/> </sampler> </sensor > Listing 2 Capteur de radiance dans Mitsuba Le spectre des corps noirs est calculé au sein de la classe BlackBodySpectrum définie dans spectrum.h et reprend la formule de la loi de Planck. On considère par la suite que les corps noirs serviront à définir la température de surface de nos objets. Figure 12 A droite : Courbes issues de la loi de Planck (planck.r). A gauche : Courbes issues de Mitsuba. On remarque que les courbes obtenues par simulation avec Mitsuba correspondent parfaitement aux courbes théoriques (voir les deux courbes de la figure 12) Notion de facteurs de formes On va évaluer les échanges radiatifs grâce à une expression analytique appelé facteur de forme. Le facteur de forme, noté F 12, est la fraction d énergie quittant la surface 1 (par emission ou reflection) opaques, isothermales et diffuse qui est reçu par la surface 2. Les facteurs de forment dépendent uniquement de la géométrie des surfaces et peuvent être exprimés à partir de l équation générale 10. Où da 1 et da 2 sont deux surfaces infiniment petites avec une position et une orientation arbitraire. df 12 d2 Φ 12 M 1 da 1 = L 1dΩ 12 da 1 cos(β 1 ) = cos(β 1) M 1 da 1 π dω 12 = cos(β 1) da 2 cos(β 2 ) π r12 2 (10) 17

18 da 2 β 2 β 1 da 1 Figure 13 La quantité de flux inpactant la surface da 2, vennant de la surface da 1, est le produit de sa radiance L 1 = M 1 par la surface perpandiculaire da π 1, par l angle solide dω 12 induit par da 2. On a d 2 Φ 12 = L 1 da 1 dω 12 = L 1 (da 1 cos(β 1 )da 2 cos(β 2 ))/r12 2 A partir de la figure 13 on peut déduire l expression suivante (équation 11) : df 12 = cos(β 1)cos(β 2 ) da πr = 1 ( ) cos(β 1 )cos(β 2 ) da A 1 A 1 A 2 πr da 1 (11) Facteurs de formes C 11 et C 14 Dans le cas qui nous concerne, à savoir l enceinte d un four on peut évaluer la densité de flux net à partir des facteurs de formes trouvable dans le Catalog of Radiation Heat Transfert Configuration Factors 19 [3]. Un four pouvant être simplifié en un parallélépipède (figure??), on utilise le facteur de forme C 11 (figure 15a, équation 12) pour deux surfaces opposées de même taille centrées l une en face de l autre et le facteur de forme C 14 (figure 15b, équation 13) pour deux rectangles ayant une arête en commun et formant un angle de 90. a b d e c f h g Figure 14 Four simplifié en parallélépipède. Pour comparer les valeurs d irradiances obtenues par simulation et les valeurs d irradiance obtenues théoriquement, on calcule, à partir des facteurs de formes, les échanges thermiques entre les surfaces A 14 [abfe] et B 14 [aehd] pour le facteur de forme C 14 et A 11 [abcd] et B 11 [efgh] pour le facteur de forme C 11 Les facteurs de formes s évaluent en fonction des dimensions des faces et de leurs distances avec les formules suivantes, où l on considère a = b = w = l et où x = 1 + w 2, y = tan 1 w x tan 1 w, h 1 = 1 + h 2 et h 2 = h4 1 h 2 (2+h 2 ) : 19. http :// et voir également Radiative View Factor de Isidoro Martinez d où sont tirer les formules présenter dans ce document 18

19 a h b h w l (a) Facteur de forme C 11 (b) Facteur de forme C 14 Figure 15 Facteurs de formes intervenant dans le calcul des échanges radiatifs dans l enceinte d un four idéalisé sous forme de parallélépipède. On suppose dans nos simulations que a = b = 1 pour la configuration C 11 et que w = l = 1 pour la configuration C 14. Seul les paramètres h dans les deux configurations seront des paramètres variables ; Dans c 11, h est la distance entre capteur et émetteur, dans C 14, h est la longueur de la surface émettrice. ( ) 1 x 4 c 11 = ln πw w + 4wy 2 c 14 = (h tan 1 1h ) π h 1tan 1 1h1 h2 4 ln h 2 (12) (13) Facteurs de forme et maximum d émittance monochromatique d un corps noir On peut combiner ces courbes, exprimant un pourcentage de flux absorbé, avec la loi de Stefan-Boltzmann qui donne l émittance maximum M d un corps noir (équation 14). Où σ = 5, K.m 2.K 4 est la constante de Stefan-Boltzmann. On obtient ainsi des courbes d absorptions de référence en fonction de la température T et de h (le paramètre de distance dans C 11 ou de longueur dans C 14 ). M = σ T 4 (W.m 2 ) (14) Ainsi pour les deux facteurs de forme on construit un fichier de comparaison 20 sur le même modèle que les simulations à savoir une matrice à deux dimensions température x distance qui fera intervenir à la fois la loi de Stefan-Boltzmann et les formules des facteurs de forme C 11 et C 14. La figure 17 présente les courbes correspondant aux évaluations des facteurs de formes associés à la loi de Stefen-Botzmann pour trois températures voir le script R factors.r 21. Les fichiers facteur-c11.csv et facteur-c14.csv contiennent les valeurs qui ont servit à construire ces courbes. 19

20 Pourcentage de flux perçu Pourcentage de flux perçu Distance Longueur Figure 16 Variation de l intensité d énergie perçu par les deux facteurs de formes. Le seul paramètre variable est h. Courbe du facteur de forme C 11 (à gauche) pour une distance à l émetteur variant de 0 à 2 mètres, le maximum est de Et courbe du facteur de forme C 14 (à droite) pour une longueur de l émetteur variant de 0 à 2 mètres, le maximum est de Flux perçu à différentes températures Flux perçu à différentes températures Distance Longueur 300 Kelvin 400 Kelvin 500 Kelvin Figure 17 Facteurs de formes intervenant dans le calcul des échanges radiatifs dans l enceinte d un four idéalisé sous forme de parallélépipède pour trois températures. A gauche, expression du facteur de forme C 11 ; à droite, expression du facteur de forme C