UN PROJET TYPE SUR LA NUMERATION EN ASDP AU CE2 LES OBJECTIFS D UN PROJET TYPE SUR LA NUMERATION AU CE2.

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1 UN PROJET TYPE SUR LA NUMERATION EN ASDP AU CE2 LES OBJECTIFS D UN PROJET TYPE SUR LA NUMERATION AU CE2. Les difficultés rencontrées par les élèves dans le domaine de la numération, en début d année de CE2, mettent en avant la nécessité de redonner du sens à certaines notions utilisées parfois de manière formelle ou automatisée, dans un domaine numérique s étendant jusqu à mille. Plus précisément, les objectifs mathématiques poursuivis peuvent être les suivants : - utiliser le comptage de 100 en 100, 10 en 10, de 1 en 1 pour dénombrer des collections ; - reconstruire la signification de chaque chiffre composant l écriture d un nombre à trois chiffres (interpréter les centaines comme des paquets de cent, les dizaines comme des paquets de dix ) ; - faire la distinction entre nombre de dizaines et chiffre des dizaines ; - utiliser les connaissances en numération pour faire fonctionner des stratégies de calcul d additions ; Un projet de réalisation peut être proposé pour valoriser le travail réalisé avec le groupe d aide : Objectif d'activité : fabriquer un jeu de cartes de type familles de nombres. Par ailleurs, les comportements souvent observés chez les élèves en difficulté dans les activités mathématiques conduisent à privilégier des situations qui peuvent être de deux types : Résolution de problèmes afin de : - donner du sens aux connaissances à reconstruire ; - s investir réellement dans une tâche ; - de formuler les stratégies mises en place et de tirer profit du conflit socio cognitif ; Jeux, activités ludiques afin de : - faire fonctionner les connaissances reconstruites ; - redonner un attrait aux mathématiques ; De manière générale, les activités proposées visent à : - reconstruire et stabiliser certains savoirs et savoir faire fondamentaux dans le domaine de la numération; - développer des attitudes de recherche et faire évoluer le rapport aux mathématiques ; I. ACTIVITES UTILISANT DU MATERIEL DE NUMERATION Contexte évoqué pour la mise en place de certaines situations décrites ci-après : des milliardaires transportent des pierres précieuses bien rangées dans des valises. Lors d un voyage, ils se font cambrioler à l aéroport, mais les voleurs se font vite arrêter par les douaniers. Ces derniers retrouvent les pierres précieuses toutes mélangées dans un grand sac. Il va falloir rendre à chaque milliardaire son trésor, en s aidant des photos prises par le rayon x au moment du contrôle des bagages. Matériel de référence : - des pierres précieuses (cubes) qui peuvent être fournies à l unité, par paquets de dix ou ou par paquets de cent. - des photos prises au rayon x des valises contenant des pierres précieuse bien rangées. 1 Document rédigé par P. URRUTY

2 Objectif : reconstruire le sens de la numération sur les nombres à trois chiffres (affermir les liens entre collections organisées par paquets de10 et 100, écriture chiffrée, décomposition canonique). Situation 1 : autour de la signification de chaque chiffre. A partir d une photo prise au rayon x, il faut écrire un message au douanier pour récupérer la quantité de pierres précieuses correcte (les pierres précieuses sont disponibles en vrac ). Chaque élève est tour à tour émetteur puis récepteur. Lorsque les commandes sont reçues, on la valide par superposition des pierres précieuses sur la photo de la valise. Au fur et à mesure des essais successifs, on prend conscience des messages pertinents dans cette situation. Les temps de mise en commun permettent de faire le lien entre différentes écritures, de faire évoluer certains messages, d expliciter et de comparer les stratégies proposées. Exemples de messages : - 100/100/10/10/10/4 -> pouvant évoluer vers puis dessin de 2 carrés, 3 barres, 4 points -> pouvant évoluer vers 2 C, 3 D, 4 U > pouvant être obtenu de deux façons : après dénombrement de la collection (de 100 en 100 pour les plaques, puis de 10 en 10 pour les barres et de 1 en 1 pour les pierres isolées). Situation 1 : autour de la signification de chaque chiffre (écritures mathématiques). Si les séances successives menées à partir de la situation précédente ne permettent pas d obtenir des messages diversifiés, on peut reprendre le travail avec des bons de commande de format imposé, par exemple : Il me faut...pierres précieuses.... sacs de cent pierres.... sacs de dix pierres.... pierres seules. Etape 1 : la commande est passée à partir de la photo prise au rayon x visible. Etape 2 : la commande est passée à partir du nombre total de pierres indiqué au verso de la photo. La photo ne sera retournée que pour valider le résultat. On peut aussi préparer des étiquettes messages de formes variées et trouver à quelle valise ils correspondent. Exemples de messages : ; - (2x100)+(3x10)+4 ; - 2 C, 3 D, 4 U ; ; Situation 2 : reconstruire la notion de nombre de dizaines. A partir d une photo prise au rayon x, il faut écrire un message au douanier pour récupérer la quantité de pierres précieuses correcte. Ne sachant pas comment ranger les pierres précieuses, les douaniers les ont seulement organisées par paquets de dix. La commande doit donc prendre une forme imposée : Il me faut...pierres en tout :...sacs de dix pierres....pierres seules. 2 Document rédigé par P. URRUTY

3 Etape 1 : la commande est passée à partir de la photo prise au rayon x visible. Cette étape est nécessaire pour entrer dans le problème et disposer d une stratégie élémentaire basée sur la compréhension de la situation. Les moments d explicitation des procédures vont permettre de rappeler l équivalence fondamentale entre une centaine et dix dizaines. Etape 2 : la commande est passée à partir du nombre total de pierres indiqué au verso de la photo. La photo ne sera retournée que pour valider le résultat. Les procédures de résolution sont ici basées sur l évocation de la situation précédente, qui peut déboucher sur une schématisation, une décomposition canonique, une interprétation directement liée à l ééquivalence entre une centaine et dix dizaines, etc... L observation des bons de commande lors des temps collectifs va permettre de percevoir que le nombre de dizaines se lit directement sur le nombre total (on aura alors reconstruit la sens de cet automatisme, qui fonctionne souvent à vide ). Objectif : utiliser les connaissances en numération pour reconstruire le sens puis faire fonctionner des stratégies de calcul d additions. Situation 1 : une valise pour deux lots de pierres précieuses. Les élèves reçoivent deux collections de pierres précieuses correctement organisées (chaque collection est d une couleur différente), qui sont toutes les deux tombées d une même valise. Il faut prévoir le nombre total de pierres que contenait la valise. On valide par superposition après avoir récupéré auprès du maître la photo prise au rayon x de la valise correspondante. Etape 1 : les pierres précieuses peuvent être manipulées. Etape 2 : les pierres précieuses seront manipulées seulement pour la phase de validation, il faut donc raisonner seulement à partir du nombre d éléments des deux collections. Lors des moments d explicitation, on éclaire certains automatismes : - on regroupe, on rassemble des collections, et on additionne des nombres ; - on fabrique une nouvelle dizaine ou une nouvelle centaine avec le matériel (très visible car bicolore!), ce qui correspond à une retenue dans l addition posée. Situation 2 : jeu de la boîte. Le maître met dans une boîte du matériel de numération, de manière très structurée, par centaines, dizaines ou unités. Il s agit de prévoir le nombre de cubes total dans la boîte. La validation se fera par dénombrement du matériel. Les mises en commun permettent de confronter les stratégies mises en place et d attirer l attention sur la présence de retenues (fabrication de nouvelles dizaines). Exemple : 6 C, 5 D, 3 U, 1 C, 7 D, 1 U Une première mise en ordre débouche sur 7 C, 12 D, 4 U. On peut alors : - calculer percevoir l échange 10 D contre 1 C pour obtenir 8 C, 2 D, 4 U. - obtenir 7124 en faisant fonctionner à maucais escient un automatisme classique, qu il faudra remettre en cause (en réflechissant par exemple à la signification de chaque chiffre dans 7124). Une deuxième mise en ordre peut déboucher sur , qui conduit à l utilisation de la technique opératoire de l addition. 3 Document rédigé par P. URRUTY

4 Quelles que soient les procédures de calcul utilisées, il est intéressant, avant de regarder la boîte pour compter les cubes, d expliquer le paradoxe entre le nombre de centaines mis dans la boîte (seulement 7) et le nombre de centaines qu on doit obtenir au final (8 si les calculs sont corrects). On est ainsi conduit à évoquer la fabrication d une nouvelle centaine (principe de la retenue dans l addition). Situation 3 : vers la fabrication d un jeu de cartes. Pour se fixer un objectif opérationnel qui permettra de réinvestir les connaissances reconstruites tout au long des activités précédentes, on peut fabriquer un jeu des quatre familles. Le jeu : - il est composé de 16 cartes, chaque carte correspond à une écriture d un nombre. - le jeu comporte quatre familles de quatre cartes, c est-à-dire qu un même nombre se retrouve écrit sur quatre cartes, sous différentes formes. Règle du jeu : - après avoir distribué les cartes, à tour de rôle on passe une carte à son voisin. - le vainqueur est celui qui réussit le premier à reconstituer une famille de quatre cartes. Etape 1 : définir les différents types d écritures pour les cartes à jouer. Tout au long des activités précédentes, on aura pris soin de remplir une affiche qui rend compte des différentes écritures rencontrées pour un même nombre. Exemple : le nombre dessin de 4 plaques, 3 barres, 2 cubes. - dessin de 3 plaques, 13 barres, 2 cubes quatre cent trente-deux. - 3 D, 4 C, 2 U. - 3 C, 13 D, 4 U. - etc... On prend appui sur cette affiche pour rédiger la carte d identité des quatre nombres du jeu. Etape 2 : fabrication du jeu et écriture de la règle. Les écritures sont tapées à l ordinateur, imprimées, découpées et collées sur des cartes vierges préparées par le maître. Le jeu est mis en place dans le groupe, la règle est explicitée et reformulée. Les erreurs éventuelles sont identifiées et corrigées. La règle du jeu est rédigée sur une affiche pour toute la classe. Le jeu sera proposé lors de temps de travail en atelier, ou bien à toute la classe après reproduction des cartes en plusieurs exemplaires. 4 Document rédigé par P. URRUTY

5 II COMPARAISON AVEC DES ACTIVITES CLASSIQUES. Les situations décrites dans le paragraphe précédent constituent des adaptations de problèmes qu on peut retrouver sous différentes formes dans ERMEL CE1 et CE2 ou CAP Maths CE1 et CE2. Les adaptations satisfont les exigences suivantes liées aux caractéristiques des élèves en difficulté. a) Les problèmes donnent directement du sens aux notions visées. Exemple : dans le problème les craies (ERMEL CE2) les élèves ne peuvent pas commander des craies à l unité (il faut donc arrondir à la dizaine supérieure le nombre de craies à commander). Ici au contraire la commande respecte le sens de la numération (centaines, dizaines, unités). Exemple : dans la situation les bons de commande (ERMEL CE1), les élèves doivent passer une commande de graines pour deux grilles à remplir. Lorsqu il y a une retenue, celle-ci ni visible, ni fabriquée par les élèves à aucun stade de la manipulation. Ici au contraire, le calcul d addition prend son sens (il correspond à une réorganisation des collections) et la retenue est fabriquée et visible (bicolore!). b) Une phase de manipulation précède toujours la situation problème. De manière générale la phase de manipulation est utile pour se représenter le problème proposé et pour élaborer une stratégie de base qui nécessite peu de connaissances mathématiques. Exemple : dans la situation les craies (ERMEL CE2), lorsque seuls les étuis de dix sont disponibles, les élèves ne disposent pas du matériel pour s aider à réaliser la commande. Ici au contraire, on peut dans un premier temps prendre appui sur la photo prise au rayon x pour évaluer le nombre de dizaines, avant de raisonner seulement sur le nombre écrit en chiffres. c) les élèves peuvent savoir par eux-mêmes si la solution apportée est correcte ou pas. Par superposition des pierres précieuses sur la photo prise au rayon x les élèves émetteurs et récepteurs peuvent vérifier par eux-mêmes le résultat produit. Cette autovalidation est intéressante à plus d un titre : - elle permet de faire jouer un rôle positif à l erreur : en effet, comme on sait par soi-même si on a réussi ou pas, on peut essayer, recommencer, modifier sa stratégie, etc...donc entrer dans un processus où l erreur est seulement un essai qui nous permet d avancer. - elle favorise le conflit socio-cognitif entre les élèves du groupe : en effet, on est conduit à chercher l origine des erreurs produites (est-ce l émetteur? le récepteur?), à expliciter les procédures mises en oeuvre et à se mettre d accord sur celles qui semblent performantes ou sur la manière de les faire évoluer. - elle conduit les élèves à adopter un rapport autonome au savoir : en effet, le maître est en retrait durant la phase de recherche donc la solution n est pas à chercher dans son discours. De même lors de la validation, les élèves sont capables par eux-mêmes de dire s ils ont résolu leur problème. - elle favorise la construction de compétences méthodologiques liées à la résolution de problèmes : en effet, les élèves sont mis en situation de développer des attitudes de recherche : oser s engager dans une procédure de résolution, essayer et recommencer, vérifier la validité d un résultat. 5 Document rédigé par P. URRUTY

6 d) L élève redécouvre, par une voie détournée un savoir rencontré régulièrement en classe. Les élèves en difficulté font souvent fonctionner en classe des automatismes vides de sens. Ils peuvent par exemple identifier dans un nombre le chiffre des unités et le chiffre des dizaines, sans être capables de leur attribuer une signification réelle. A partir d un problème résolu dans un contexte particulier ils redécouvrent ici le sens de la numération. Exemple : la lecture du nombre de dizaines n est pas seulement une technique formelle ( je prends le chiffre des dizaines et tout ce qu il a avant )... c est avant tout un outil qui permet de savoir combien on peut faire de paquets de dix avec un nombre donné d objets (ce qui explique la terminologie nombre de bien entendu!). e) Le matériel utilisé est facile d accès pour des élèves en difficulté. Les cubes emboîtables sont intéressants à plus d un titre : - ils facilitent la perception du principe d équivalence dix contre un : en effet, une barre de dix évoque une nouvelle unité de comptage en même temps qu elle donne à voir dix unités. Une plaque de cent cubes reconstituée à partir de barres de dix (de différentes couleurs) évoque une nouvelle unité de comptage mais donne à voir dix dizaines et cent unités. - ils facilitent la mise en oeuvre de procédures de base pour entrer dans les situations : en effet, le dénombrement un à un par exemple est toujours possible sur les petites collections. A contrario, dans le problème le caissier (ERMEL CE1) les billets de dix euros et les pièces de un euro sont plus difficiles à utiliser ; en effet pour évaluer par exemple une somme d argent constituée à partir de 3 billets de 10 euros et 5 pièces de 1 euro on constate que : - la prégance du nombre 10 écrit sur chaque billet n incite pas à raisonner en termes de dizaines et d unités, mais induit le comptage des euros (de dix en dix puis compléter de un en un). - la nature des billets empêche de revenir à un comptage de un en un si la comptine de dix en dix n est pas bien maîtrisée. On peut faire les mêmes remarques sur les supports utilisés dans plusieurs activités du ERMEL CE2 : le jeu de quilles, le jeu de la cible (où la valeur de chaque objet est symbolisée par l écriture chiffrée 10, 100, 1000 etc...). Néanmoins, un jeu comme le caissier, faisant intervenir un matériel riche de sens, les euros, dont la valeur sociale est reconnue par tous les élèves, semble très intéressant à adapter en ASDP en CE1 ou CE2. Compte tenu des remarques faites précédemment, on pourra le faire intervenir au sein du projet dans un deuxième temps, pour réinvestir avec ce matériel nouveau les notions de numération qui auront été reconstruites au préalable avec du matériel de numération. 6 Document rédigé par P. URRUTY