CINEMATIQUE DU SOLIDE EN ROTATION

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Mireille Gilbert
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1 I LE MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME 1 Expérience Une barre et 2 petites masselottes sont entraînées dans un mouvement circulaire par la chute d'un objet de masse m = 400 g. Un chronomètre commandé par une cellule photoélectrique permet de mesurer la durée d'un tour de la barre en mouvement, dés lors que l'objet a atteint le sol. 2 Fréquence de rotation CINEMATIQUE DU SOLIDE EN ROTATION 3 Vitesse angulaire Tous les points de la barre ne parcourent pas la même distance, mais ils balaient le même angle. On dit qu'ils ont la même vitesse angulaire ω (rad/s ) 4 Relation entre ω, v et R 5 Mesures n : nombre de tours effectués à partir de la date t = 0 (premier passage devant la cellule, l objet ayant atteint le sol ). : angle parcouru ( radian). t : temps mis a le parcourir (seconde). ω = / t vitesse angulaire en radian / seconde n t 2,1 4,2 6,35 8,4 10,5 12,2 14,75 16,8 ω 6 Représentations graphiques a) Graphe = f(t) Echelle : abscisse : 1 cm/ 1 s - ordonnée : 1 cm / 4π rad t

2 Fréquence de rotation CINEMATIQUE DU SOLIDE EN ROTATION 3 Vitesse angulaire Tous les points de la barre ne parcourent pas la même distance, mais ils balaient le même angle.

2 b) Graphe ω = f(t) Echelle : abscisse : 1 cm/ 1 s - ordonnée : 1 cm / 1 rad/s 7 Interprétation des résultats 8 Définition 9 Equation horaire Si au temps t = 0, la position du mobile est 0 par rapport au repère des espaces, les équations du mouvement s'écrivent alors : Il TRANSFORMATION DE MOUVEMENTS 1 Par poulies et courroies Déterminer la valeur de v d un point M de la courroie. En déduire la relation liant les fréquences de rotation ou vitesses et les rayons ou diamètres 2 Par roues dentées 3 Par engrenage Relation liant les fréquences ou vitesses de rotation, le nombre de dents des pignons et leurs rayons

poulies et courroies Déterminer la valeur de v d un point M de la courroie.

3 4 Par vis sans fin et roue dentée Relation liant les fréquences ou vitesses de rotation, le nombre de dents de la roue dentée et le nombre de filets de la vis III LE MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORMEMENT VARIE 1 Expérience Une barre métallique et 2 masselottes, sont entraînées dans un mouvement circulaire par la chute d un objet de Poids P. Un chronomètre et une cellule photoélectrique permettent de mesurer la durée. De même avec 2 cellules on pourra déterminer les vitesses angulaires instantanées. t de n tours de la barre t du parcours AB qui représente un angle en radian La vitesse instantanée sera alors ω = 4 cm t 2 Mesures n: nombre de tours O ' angle formé par l'axe et les 2 cellules (radian) 34 cm angle décrit par l extrémité de la barre t : durée du parcours de l angle t : durée du parcours de l angle ' à chaque tour ω : vitesse angulaire instantanée en rad/s m : :masse de l objet suspendu : 100 g n t(s) 8,26 11,68 14,31 16,52 18,48 20,24 21,86 t (s) 0,077 0,055 0, 043 0, 040 0,035 0,030 0,027 ω 3 représentations graphiques a) Graphe = f(t) Echelle : abscisse : 1 cm/ 2 s - ordonnée 1 cm / 2π

Un chronomètre et une cellule photoélectrique permettent de mesurer la durée. De même avec 2 cellules on pourra déterminer les vitesses angulaires instantanées.

4 b) Graphe ω = f(f) Echelle abscisse : 1 cm/ 2 s - ordonnée : 1 cm / 1 rad./s 4 Interprétation des résultats t(s) 5 Vitesse angulaire instantanée 6 Accélération angulaire a) définition b) Détermination expérimentale de l accélération Déterminer la valeur de " par rapport à l étude expérimentale de la fonction ω = f(t). 7 Définition d'un mouvement circulaire uniformément varié 8 Equation horaire Si au temps t = 0, la vitesse angulaire est ω 0 et si l angle parcouru est 0, alors l angle parcouru au temps t sera : 9 Lois des vitesses Si la vitesse angulaire au temps t o est ω 0 alors l expression de la vitesse angulaire instantanée devient 10 Relation liant ω 0, ω, et

Déterminer la valeur de " par rapport à l étude expérimentale de la fonction ω = f(t).

5 IV EXERCICES 1 Déterminer la vitesse angulaire de la rotation de la Terre autour de son axe en admettant que la Terre effectue un tour en 24 heures. Déduire la vitesse d un point situé à l équateur si la circonférence de la Terre mesure km. 2 Une meule à tronçonner travaille à une vitesse périphérique de 20 m/s. En déduire la vitesse de rotation de la meule lorsqu'elle a les diamètres suivants : 25 mm, 40 mm. 3 Une petite sphère M, attachée à un fil de longueur 1 = 1 m, tourne à vitesse constante autour d un axe vertical fixe. Lorsque la sphère effectue 32 tours par minute, l inclinaison du fil sur la verticale est de 30. a) Calculer la vitesse angulaire de la sphère b) sa vitesse v 4 Un moteur électrique tournant à 1500 tr/min doit entraîner une machine par courroie à la vitesse de 600 tr/min. Sachant que la poulie calée sur le moteur a un diamètre de D l = 200 mm, calculer le diamètre D 2 de la poulie de la machine et la vitesse d un point de la courroie. 5 Un moteur électrique met 2 secondes pour atteindre sa vitesse de régime (1500 tr/min). Si on suppose le mouvement uniformément accéléré : a) Calculer l accélération angulaire du mouvement. b) déterminer le nombre de tours effectués pendant la durée du démarrage. c) Déterminer la vitesse d un point de la périphérie du rotor (R = 100 mm) à régime normal (1500 tr/min) 6 Un arbre de transmission démarre d un mouvement uniformément accéléré, il fait 12,5 tours pendant les 5 premières secondes. a) Déterminer l accélération angulaire du mouvement. b) Déterminer la vitesse de rotation en régime normal après démarrage puis sa fréquence de rotation. c) Déterminer la vitesse d un point de la périphérie de l arbre (R = 60 mm) à régime normal. 7 Dés l instant où le moteur est coupé une hélice d avion qui tournait à la vitesse de 1200 tr/min effectue 80 tours avant l'arrêt complet. Si on suppose le mouvement uniformément décéléré a) l accélération angulaire b) Calculer la durée du mouvement. c) Calculer la vitesse et l accélération d'un point de l extrémité de l hélice (R = 1000 mm) dans les 2 cas : a) 60 tours avant l arrêt complet b) en régime normal à 1200 tr/min. 8 Une roue, immobile au départ, est accélérée de telle sorte que sa vitesse angulaire croit régulièrement jusqu'à 120 tr/min en une minute. Après avoir tournée pendant un certain temps à cette vitesse, la roue est freinée régulièrement et il faut 5 minutes pour l arrêter. Le nombre total de tours étant de 1560, calculer la durée de la rotation. b) Déterminer la vitesse d'usinage, c'est à dire la vitesse linéaire d'un point de la circonférence de l'outil. 9 L arbre d'un moteur est directement accouplé à l'axe de la roue entraînant un tapis roulant. Le diamètre de la roue est 1,20 m. Quelle doit être la fréquence de rotation du moteur pour qu'un objet situé sur le tapis avance avec une vitesse constante de 100 m/min? 10 Soit le réducteur de vitesse schématisé ci-dessous ; il est constitué de 2 poulies de diamètres différents reliées par une courroie rigide. La poulie (1) tourne à une fréquence de rotation n 1 = 1100 tr/min ; son diamètre D 1 = 5 cm. a) Calculer sa vitesse angulaire ω 1 En déduire la vitesse linéaire d'un point de la courroie M 1. b) Quelle est la vitesse linéaire d'un point de la courroie M 2? En déduire la vitesse angulaire ω 2 de la poulie 2 sachant que son diamètre D 2 = 22 cm. c) Calculer la fréquence de rotation n 2 de la poulie 2. d) Quel diamètre faut il choisir pour la poulie 2 si l'on veut qu'elle tourne à 700 tr/min?

En déduire la vitesse de rotation de la meule lorsqu'elle a les diamètres suivants : 25 mm, 40 mm.

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