Activité 1 : Simuler une expérience avec la loi binomiale

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1 Activité 1 : Simuler une expérience avec la loi binomiale Enoncé On étudie la fiabilité du système de sécurité d un musée : ce système est constitué de n dispositifs d alarmes. Chaque alarme se déclenche dès qu une intrusion dans le musée est détectée et ces dispositifs sont indépendants. Chaque alarme n est malheureusement pas complètement sûre et dans 5% des situations d intrusion, elle ne se déclenche pas. Le conservateur du musée souhaite évaluer la probabilité d une défaillance du système, c est-à-dire la probabilité qu aucune des alarmes ne se déclenche lors d une intrusion. Il voudrait également prévoir, en fonction des résultats, le nombre d alarmes à installer. 1 Par Simulation : Dans la feuille de calcul ci-dessous, on simule le fonctionnement de quatre alarmes A, B, C et D. Pour chaque intrusion, on note les alarmes qui se déclenchent (représentées par 1) et leur nombre. On répète 1000 fois l expérience et on affiche la fréquence des défaillances : Pour faire ce tableau : Pour éviter de taper dans la colonne A : 1, 2, 3,, 1000 : Méthode 1 : Rentrer 1 dans A2 puis 2 dans A3 sélectionner les deux cellules, puis étirer vers le bas jusqu à la cellule A1001. Méthode 2 : Rentrer en A3, la formule : =A2+1 puis dans la fenêtre de saisie («zone nom) taper A3 :A1001 (entrée) puis Edition/ Remplissage/ En bas. Compléter maintenant les cases B2 à E1001 : Rentrer en B2 la formule suivante : = SI (ALEA.ENTRE.BORNES(1 100) < 6 0 1) Expliquer ce que fait cette formule : Etirer la formule jusqu à E1001. Pour la colonne somme, rentrer dans la cellule F2 : =SOMME(B2 : E2) puis recopier vers le bas. Enfin en déduire la fréquence des défaillances dans le cas de 4 alarmes à l aide de la formule : =NB.SI(F2 : F1001 «0»)/1000 Qu observe-t-on pour la fréquence des défaillances?. Diminuer le nombre d alarmes à deux. Observez. Appeler le professeur pour vérification

2 2 Avec la loi binomiale : On note X la variable aléatoire qui compte le nombre d alarmes qui se déclenchent au cours d une intrusion. a)déterminer la loi de probabilité de X : b) Afficher la loi de probabilité de X pour n = 4 dans une feuille de calcul : Formule pour calculer P(X = k) sur excel : = LOI.BINOMIALE( nb de succès k nb de tirages n probabilité de succès FAUX) Remarque : FAUX correspond au calcul de la probabilité P(X=k) si on souhaitait calculer P(X k) (appelé cumulative sur excel) on mettrait en dernier critère VRAI. b) Quel(s) commentaire(s) pouvez-vous faire?. 3 Nombre d alarmes à installer : a) «Le système ne connaît aucune défaillance» est l évènement {X = 0}. Exprimer la probabilité de cet évènement en fonction de n :. b) Expliquer les calculs effectués : Activité 2 : Représenter la distribution de probabilité d une variable aléatoire suivant une loi binomiale Une urne contient 4 boules noires et 1 boule blanche. On tire successivement au hasard et avec remise 10 boules de l urne. On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de boules blanches tirées. 1) Justifier que X suit une loi binomiale dont vous préciserez les paramètres : 2) Dans une feuille de calcul Excel, afficher la loi de probabilité de X ainsi que sa représentation graphique.

3 Activité 3 : Reconnaître la distribution de probabilité d une variable aléatoire suivant une loi binomiale On a représenté ci-dessous la distribution de probabilité de quatre variables aléatoires suivant les lois binomiales B (30 0,1), B (30 0,5), B (30 0,9), B (29 0,5). Associer chaque loi à son graphique : Activité 4 : Prise de décision à partir d une fréquence Une société propose deux types de bois de construction pour deck : - du Pin dans une proportion de 60% - du bois exotique dans une proportion de 40% M. Wood a commandé quelques planches. Il n a aucune raison de douter de l offre de la société, mais il souhaite tout de même vérifier les proportions annoncées par celle-ci. Il prélève au hasard 50 planches (le lot commandé est assez important pour que l on puisse l assimiler à un tirage avec remise). On se propose de déterminer pour quelle valeur de la fréquence de Pin dans l échantillon, il peut estimer que les proportions indiquées par la société sont correctes. 1. Etude d une variable aléatoire On se place dans l hypothèse où la proportion de Pin dans les lots vendus par la société est p = 0,6. a) Expliquer pourquoi la variable aléatoire X, qui compte le nombre de planches de Pin dans un échantillon de 50 planches, sui une loi binomiale dont vous préciserez les paramètres : b) Réaliser la feuille de calcul (dont un extrait est présenté ci-dessous) qui donne pour chacune des valeurs k prise par X, la probabilité de l évènement ( X k). Formule sur excel : = LOI.BINOMIALE( nb de succès k nb de tirages n probabilité de succès VRAI) Remarque : FAUX correspond au calcul de la probabilité P(X=k). Ici, on souhaite calculer P(X k) (appelée cumulative sur excel) on met donc le critère VRAI.

4 2. Partage de l intervalle [ 0 50 ] : a) Lire dans la feuille de calcul le plus entier a tel que P (X a) > 0, 025 et le plus entier b tel que P(X b) 0, 975. b) Dire si les inégalités suivantes sont vraies ou fausses : P(X 22) 0, 025 P(23 X 37) 0, 95. P(X 38) 0, c) Compléter le schéma suivant : 3. Conclusion de M. Wood : M. Wood a observé une fréquence f = 0,48 de Pin dans son échantillon. Avec l étude précédente, doit-il remettre en cause les proportions indiquées par la société?. Ce qu il faut retenir! Echantillonnage et loi binomiale 1) Définition - Echantillon : Lorsque dans une population, on prélève au hasard, successivement et avec remise n individus, on obtient un échantillon de taille n. 2) Nature du problème : Il s agit de vérifier une information donnée sur une population d effectif important à partir de l étude d un échantillon de quelques dizaines d unités. Ce type de situation se rencontre fréquemment dans le monde industriel, car le plus souvent il n est pas possible d étudier la population entière. Considérons une population où l on suppose qu une proportion p d individus présente un certain caractère. La méthode consiste à observer sur un échantillon de taille n issu de cette population la proportion f d individus présentant le caractère donné. On considère que l échantillon prélevé est représentatif de la population. Dans ce cas si la proportion observée dans l échantillon est trop éloignée de l hypothèse, on considère que l hypothèse de départ n est pas correcte et on la rejette. Si la proportion observée dans l échantillon est proche de l hypothèse, on ne peut pas la rejeter. Le but est donc de définir les valeurs limites permettant de prendre la décision. 3) Intervalle de fluctuation à 95% : Lorsqu on observe un individu de l échantillon, soit cet individu présente le caractère recherché (succès) soit il ne le présente pas (échec). L observation d un individu est donc une épreuve de Bernoulli. L hypothèse de départ étant à priori considérée comme bonne, la probabilité du succès correspond à la proportion p d individus présentant le caractère dans la population.

5 On répète cette épreuve n fois. Les épreuves sont identiques et indépendantes. On est donc dans le cas d un schéma de Bernoulli et la loi de probabilité est donc la loi binomiale B(n,p). a b L intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence observée f est l intervalle n n, où n est l effectif de l échantillon a est le plus petit entier tel que P (X a) > 2,5 % b est le plus petit entier tel que P(X b) 97,5% On a donc P ( a X b) 95% d où le nom d intervalle de fluctuation à 95%. Cela signifie que si l hypothèse de départ est correcte, on a une probabilité de 95% que la proportion f a b d individus présentant le caractère dans l échantillon tiré au hasard soit dans l intervalle n n. 4) Règle de décision : a b Si f n n, on ne peut pas rejeter l hypothèse de départ selon laquelle la proportion d individus présentant le caractère donnée dans la population est p. a b Si f n n, on rejette l hypothèse de départ selon laquelle la proportion d individus présentant le caractère donnée dans la population est p. On dit qu on rejette l hypothèse au risque de 5% car il se pourrait que l échantillon ne soit pas représentatif et que l hypothèse soit en fait bonne. On prend donc le risque de 5% de se tromper. Remarque : Lorsque n > 25 (n étant l effectif de l échantillon) et 0,2 < p < 0,8 (p étant la proportion, dans la 1 1 population, du caractère étudié) l intervalle de fluctuation est proche de p p + (intervalle de n n fluctuation vu en Seconde). Exemple : En 2000, dans le village de Xicun, en Chine, il est né 20 enfants, parmi lesquels 16 garçons. (Source : Washington Post du 29 mai 2001.) Peut-on considérer que cette répartition est seulement due hasard?

6 On veut rejeter ou non l'hypothèse que la distribution des sexes des enfants nés en 2000 à Xicun est due au seul fruit du hasard. On considère que la variable aléatoire "sexe à la naissance" prend les deux valeurs fille et garçon avec la même probabilité 0,5. Si la distribution des sexes des enfants nés en 2000 à Xicun est due au seul hasard, les 20 enfants sont assimilés à un échantillon d'enfants choisis au hasard dans la population. La distribution des sexes dans un tel échantillon suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,5. L'intervalle de fluctuation de la fréquence de garçons dans l'échantillon au niveau de probabilité de 95 % est alors [0,3 0,7]. (à vérifier sur excel ou à l aide de votre calculatrice) La fréquence de garçons observée à Xicun est 0,8 qui n'appartient pas à [0,3 0,7]. On considère que la différence entre 0,8 et la valeur attendue 0,5 est significative et on rejette l'hypothèse que la répartition des sexes des enfants est due au seul hasard. On a pu, par la suite, établir un lien avec l acquisition en 1999, dans ce village d une machine à ultra-sons bon marché, permettant aux médecins de déterminer le sexe du fœtus. Activité 5 : Autre exemple à compléter Dans la réserve indienne d Aamjiwnaag, située au Canada à proximité d industries chimiques, il est né entre 1999 et 2003, 132 enfants dont 46 garçons. (Sources : Science et Vie février 2006 Environmental Health Perspectives octobre 2005). Peut-on considérer que cette répartition est le fruit du seul hasard? On veut rejeter ou non l'hypothèse que la distribution des sexes des enfants nés entre 1999 et 2003 à Aamjiwnaag est due au seul hasard. On considère que la variable aléatoire "sexe à la naissance" prend les deux valeurs fille et garçon avec la même probabilité Si la distribution des sexes des enfants nés entre 1999 et 2003 à Aamjiwnaag est due au seul hasard, les 132 enfants sont assimilés à un échantillon d'enfants choisis au hasard dans la population. La distribution des sexes dans un tel échantillon suit la loi binomiale de paramètres et. L'intervalle de fluctuation de la fréquence de garçons dans l'échantillon au niveau de probabilité de 95 % est approché par [ ]. La fréquence de garçons observée à Aamjiwnaag est environ.. Conclusion : Exercices : 5, 8, 9, 21, 22, 24 pages