MASTER GESTION DES ORGANISATIONS

Transcription

1 MASTER GESTION DES ORGANISATIONS COURS DE GESTION FINANCIERE CHOIX DE PROJETS ET CHOIX D INVESTISSEMENT ANALYSE CLASSIQUE ET RÉCENTS DÉVELOPPEMENTS VOLUME I THEME 1 : LES FACTEURS D'ACTUALISATION ET DE CAPITALISATION Les mathématiques fnancières rendent compte de la valeur des fux en fonction de leur apparition au cours du temps. Le taux d'intérêt et les concepts d'actualisation et de capitalisation sont à l'origine des outils et des techniques de mathématiques fnancières.

2 1. Les facteurs d'actualisation et de capitalisation Cette section présente les fondements du calcul fnancier en illustrant les techniques de base des mathématiques fnancières. Ces techniques qui débouchent sur l'élaboration des tables fnancières sont illustrées par plusieurs exemples L'intérêt simple Les notations suivantes sont conservées : I : le montant déboursé ou reçu à l'instant initial, F : la valeur d'un fux futur correspondant à un placement I, ou encore la valeur acquise, A : le montant déboursé ou reçu à chaque période, (une annuité), r: le taux d'intérêt périodique, quotidien, mensuel, trimestriel ou annuel, n : le nombre de périodes, Lorsqu'un taux d'intérêt, r, est appliqué à un capital initial I, placé ou emprunté sur une certaine période de temps, l'intérêt est dit simple. Le montant de l'intérêt est égal à : Intérêt = I (r) n La valeur de (n) s'exprime en termes annuel. Par exemple, 1 an, 2 ans,..., ou en fraction d'année du type 2/360 ou 2/365 jours pour une période de deux jours. Lorsque le montant de l'intérêt est calculé sur la base de l'année commerciale, l'année comporte 360 jours. Si l'année civile est utilisée, le nombre de jours est de 365 jours. L'année civile est souvent utilisée pour le calcul de l'intérêt sur les instruments du marché obligataire et du marché monétaire. L'intérêt simple peut être précompté ou post compté selon la nature de l'opération. L'intérêt est précompté lorsqu'il est payé en début de période. Il est également dit intérêt terme à échoir. L'intérêt est post compté lorsqu'il est versé en fn de période. Il est dit intérêt terme échu. L'intérêt est souvent post compté pour les prêts interbancaires et les bons du Trésor à taux fxe et intérêt annuel. L'intérêt post compté exige que l'emprunteur verse l'intérêt le jour de la réception du capital prêté. Exemple Si I = 100, r = 10%, n = 1 an, l'application de la formule précédente donne le montant de l'intérêt correspondant à une opération d'une année : 10, soit 100(0,1)(1) L'intérêt composé, la capitalisation et l'actualisation L'intérêt est composé lorsque le taux est appliqué à un capital sur plus d'une période. Les mathématiques fnancières sont fondées sur la notion d'intérêt composé ou encore d'intérêt gagné sur le placement de l'intérêt reçu. En plaçant un montant I à l'instant initial, la valeur future de ce fux dans un an est: F 1 = I + ri ou encore: F 1 = I(1+r) Lorsque le montant F 1 est replacé dans un an, il génère une valeur future F 2 à la fn de l'année 2 soit : F 2 = F 1 + F 1 r ou encore: F 2 = I(1+r) + I(1+r)r = I(1 + r + r + r2) = I(1 + 2r + r2) D'où : F 2 = I(1 + r)2 2

3 Ce raisonnement s'applique pour la fn de l'année 3, 4, etc. Ainsi, dans n années, le montant placé devient: Fn = I(1 + r)n (1) La valeur future F n, souvent désignée par F est appelée la valeur acquise ou la valeur d'un fux futur. La quantité (1+r) n est appelée le facteur de capitalisation d'un seul fux, Single Payment Compound Amount Factor, (SPCAF). En utilisant la formule (2), l'investissement initial I est : I = F [1/(1+r)n] (2) Cette expression rapporte la valeur d'un fux futur à l'instant initial : c'est l'actualisation. Le facteur d'actualisation, [1/(1+r) n ] donne la valeur présente d'un seul versement dans l'avenir, ou encore Single Payment Present Worth Factor, (SPPWF), autrement dit la valeur présente I d'un montant F payable dans n années au taux d'intérêt r La valeur présente d'une série uniforme et le facteur de récupération du capital En recevant un montant constant A à la fn de chaque période, la valeur présente d'une telle série sur n périodes s'écrit : I = A[1/(1 + r)] + A[1/(1 + r)2] + A[1/(1 + r)3] A[1/(1 + r)n] ou encore : I = A[1/(1 + r)+ 1/(1+r)2 + 1/(1 + r) /(1 + r)n] = A 1/(1 + r)i En multipliant les deux côtés de cette égalité par (1/1+r), il vient : I/(1+r) = A[1/(1 + r)2 + 1/(1 + r)3 + 1/(1 + r) /(1 + r)n+1] En soustrayant cette égalité de la précédente et en factorisant par I, nous obtenons : I (1/1+ r - 1) = A[1/(1 + r)n+1-1/(1 + r)] Soit encore : I(-r/1+r) = A[(1/(1+r)n) - 1] (1/1+r) En divisant par -r/(1+r) pour r différent de zéro, il vient : I = A [((1 + r)n - 1)/r(1 + r)n] = A 1/(1+r)i (3) Le facteur d'actualisation 1/(1 + r) i = [((1 + r) n - 1)/r(1 + r) n ] est appelé le facteur de la valeur présente d'une séquence de fux standard, une annuité, ou encore Uniform Series Present Worth Factor, (USPWF). Ce facteur donne la valeur présente I d'une série standard équivalente A qui débute à la fn de l'année 1 et qui s'étend sur n périodes. L'expression (3) s'écrit aussi: A = I [r(1 + r)n/((1 + r)n - 1)] = I i (4) Le terme [r(1 + r) n /((1 + r) n - 1)] correspond au facteur de récupération du capital, Capital Recovery Factor, (CRF) qui donne pour un investissement initial I, l'annuité constante équivalente A sur n années Le facteur d'amortissement du capital 3

4 La valeur présente d'un montant F placé pendant n périodes est : I = F [1/(1+r)n]. En remplaçant I par sa valeur dans (4), il vient: A = F [1/(1 + r)n] [r(1 + r)n /((1 + r)n - 1)] Soit : A = F [r/((1+r)n -1)] = F i /(1+r)n (5) Le facteur d'actualisation [r/((1+r)n -1)] constitue le facteur d'amortissement du capital ou encore, Sinking Fund Factor, (SFF). L'égalité (5) est utilisée pour le calcul de la valeur d'une séquence de fux standard ou encore de l'annuité équivalente à la valeur future F. En écrivant la valeur future F en fonction de A, il vient: F = A [((1+r)n - 1)/r] = A (1+r)n / i (6) Le terme entre crochets correspond au facteur de capitalisation d'une séquence de fux standard avec intérêt composé ou encore, Uniform Series Compound Amount Factor, (USCAF). La valeur future F apparaît à la même date que le dernier versement A Applications aux tables fnancières Désignons par (a/b,r,n) les formules de (1) à (6) où (a) représente la valeur recherchée, (b) une valeur donnée, r le taux d'intérêt et n le nombre de périodes. Le tableau 1 donne la procédure d'élaboration des tables fnancières et des calculs fnanciers usuels. Tableau 1 LES PRINCIPALES FORMULES D'ACTUALISATION Montant (recherché, donné) Facteur approprié Facteur approprié Formule d'évaluation de (1) à (6) I, F Actualisation simple ; [1/(1+r)n] F, I Capitalisation simple (1+r)n (I/F,r,n) : SPPWF Le facteur de la valeur présente d'un seul versement dans l'avenir,: Single Payment Present Worth Factor, (SPPWF), (F/I,r,n) : SPCAF Le facteur de capitalisation d'un seul fux, Single Payment Compound Amount Factor Formule (1) : I = F [1/(1+r)n] Formule (2): F = I(1+r)n 4

5 I, A Facteur donnant I en fonction d'une annuité équivalente. Ce facteur est parfois noté : A= 1/(1+r)i A, I Facteur d'une annuité équivalente à I i A, F Facteur d'amortisseme nt du capital i /(1+r)n F, A Le facteur donnant la valeur future d'une annuité constante (1+r)n / i 1.6. Applications (I/A,r,n) : USPWF Le facteur de la valeur présente d'une séquence de fux standard, une annuité : Uniform Series Present Worth Factor, (USPWF). (A/I,r,n) : CRF Le facteur de récupération du capital : Capital Recovery Factor, (A/F,r,n):SFF Le facteur d'amortissement du capital : Sinking Fund Factor (F/A,r,n) : USCAF Le facteur de capitalisation d'une séquence de fux standard avec intérêt composé : Uniform Series Compound Amount Factor Formule (3) : I = A [((1+r)n - 1) /r(1+r)n] Formule (4): A = I [r(1+r)n/((1+r)n -1)] Formule (5): A = F [r/((1+r)n -1)] Formule (6): F = A [((1+r)n - 1)/r] Application de la formule (1) La recherche de la valeur présente I d'un fux futur, F, s'obtient à partir de la formule (1). Lorsque le taux d'intérêt est de 8% et la période de placement est de 8 ans, l'application de la formule (1) donne: (I/F,6%,8) = 1/(1,06)8 = 0, Si F = 1000 alors I = 627,4126. Application de la formule (3) La recherche de la valeur présente I d'une séquence de fux constant, A, lorsque le taux d'intérêt est de 6%, (8%), (11%) et la période de placement est respectivement de 11 ans (20 ans) et (14 ans), s'effectue par l'application de la formule (3), qui donne les facteurs suivants : - (I/A,6%,11) = (1+0,06)11-1 /0,06(1+0,06)11 = 7, (I/A,8%,20) = (1,08)20-1 / 0,08(1,08)20 = 9, (I/A,11%,14) = (1,11)14-1 / 0,11(1,11)14 = 6,

6 Application des formules (4), (5) et (6) : En appliquant un raisonnement similaire, il vient : - (A/I,6%,5) = 0,06(1,06)5/(1,06)5-1 = 0, , - (A/F,6%,5) = 0,06/(1,06)5-1 = 0, , - (F/A,6%,5) = (1,06)5-1 /0,06 = 5, Ces calculs sont donnés dans les tables fnancières. 2. Les formules des séquences de fux et des rentes Les formules des chroniques des fux monétaires sont élaborées par référence aux formules (1) à (6) et aux défnitions des suites arithmétiques et des suites géométriques. Rappelons que dans une suite arithmétique chaque élément se déduit du précédent en ajoutant un nombre constant G qui s'appelle la raison de la suite. Si l'on désigne par U n le dernier terme d'une suite de rang n, ce terme s'écrit : Un = U0 + n G (7) Dans une suite géométrique, chaque élément s'obtient en multipliant le précédent par un nombre "q" appelé également la raison de la suite. Si l'on désigne par U n le dernier terme d'une suite géométrique de rang n, il s'écrit : Un = U0 qn. La somme des n premiers termes d'une suite géométrique est : q1 + q qn = qi = q(1 - qn)/(1 - q) (8) 2.1. Les valeurs présente, future et l'annuité pour une croissance lineaire arithmétique Une chronique de fux peut croître ou décroître d'une façon linéaire. Le montant de la hausse (de la baisse) demeure constant dans chaque période. Par exemple, en effectuant une dépense initiale de euros à la fn de l'année 1 et des dépenses subséquentes de l'année 2, l'année 3, l'année 4,... et (n-1) 50 l'année n, la raison de la séquence, G, (50 euros), apparaît entre l'année 1 et 2, 2 et 3,... et (n-1) et n. Le montant de base est de euros. Cette suite arithmétique est représentée par le schéma 1. Échéancier des fux Schéma 1 Échéancier des fux Année n-1 n G 2G 3G (n-2)g (n-1)g Il convient de noter que la raison de la suite démarre l'année 2 alors que la valeur présente est calculée l'année 0. Dans la mesure où la valeur présente est égale à la somme des valeurs présentes de chaque montant G, il vient : I = G[1/(1+r)2 + 2/(1+r)3 + 3/(1+r) (n-2)/(1+r)n-1 + (n-1)/(1+r)n] (9) En multipliant les deux membres de l'égalité (9) par (1+r), il vient: 6

7 I(1+r)=G[1/(1+r)+2/(1+r)2+3/(1+r)3+...+(n-2)/(1+r)n-2+(n-1)/(1+r)n-1] (10) En faisant soustraire l'égalité (10) de l'égalité (9), il vient: I(1 + r)-i = G[1/(1 +r ) +(2-1)/(1+r)2 + (3-2)/(1+r)3+...+((n-1)-(n-2))/(1+r)n-1 - (n-1)/ (1+r)n] ou encore : I(1 + r ) - I = G[1/(1+r) +(1)/(1+r)2+(1)/(1+r)3+...+(1)/(1+r)n-1 + (1 - n)/ (1+r)n] (11) En factorisant I et en divisant les deux membres de l'égalité par r, il vient: I = G/r[1/(1+r)+1/(1+r)2+1/(1+r) /(1+r)n-1 +1/(1+r)n] - n G/r(1+r)n (12) Dans la mesure où le terme entre crochets est donné par la formule (3), il vient : I = G/r[((1+r)n - 1)/r(1+r)n] - n G/r(1+r)n (13) ou encore : I = G (1/r)[((1+r)n - 1)/r(1+r)n - (n/(1+r)n )] (14) Le terme factorisant G est le facteur permettant le passage d'une séquence de fux suivant une évolution arithmétique vers sa valeur présente à l'instant initial. Le facteur d'actualisation approprié est : (I/G,r,n) = (1/r) [(((1+r)n -1)/r(1+r)n )- (n/(1+r)n )] (15) Ce terme permet le passage du schéma 1 au schéma 2. Schéma 2 Échéancier des fux I? n-1 n Le montant de l'annuité A équivalente à cette séquence de fux est donné par le produit de G(I/G,r,n) par (A/I,r,n), soit : A = G(A/G, r, n) = G [(1/r) - (n/((1+r)n -1))] (16) L'expression [(1/r) - (n/((1+r)n -1))] correspond au facteur d'actualisation donnant l'annuité équivalente à la série des fux suivant une évolution arithmétique. Ce facteur permet le passage du schéma 1 au schéma 3. Schéma 3 ÉCHÉANCIER DES FLUX A? n-1 n

8 Le facteur de la valeur future de la séquence de fux, (F/G,r,n) est donné par la multiplication de (I/G,r,n) et (F/I,r,n), soit : F = G(1/r)[(((1+r)n -1)/r) - n] (17) Dans le calcul de I et du montant de l'annuité équivalente à la séquence de fux du schéma (1), les formules utilisées sont : I = G (I/G, r, n), (18) A = G (A/G, r, n) (19) APPLICATIONS Quel est le facteur d'actualisation approprié qui permet le passage de la série arithmétique du schéma (1) vers le montant annuel équivalent A pour des taux d'intérêt respectifs de 6%, (10%, 4%, 8%) et des échéances respectives de 10 ans (15, 12 et 20 ans). Le facteur est calculé à partir de la formule A = G (A/G,6%,10). Le facteur est de 4,021993, soit [1/0,06-10/(1,06)10-1]. Pour (A/G,10%,15), le facteur est de 5,278935, Pour (A/G,4%,12), le facteur est 5, Enfn, pour (A/G,8%,20), le facteur est de 7, La valeur présente pour une croissance géométrique Lorsque la séquence des fux de trésorerie ne change pas d'un montant constant mais d'un pourcentage donné, il s'agit d'une évolution géométrique. En désignant par M le montant de l'année 1 et par g, le facteur de croissance de la séquence des fux monétaires, l'échéancier est donné par le schéma 4. Schéma 4 Échéancier des fux Année I? n M M(1+g) M(1+g) 2 M(1+g) n-1 La valeur présente de cette série croissante de fux est : I = M/(1+r)+M(1+g)/(1+r)2+M(1+g)2/(1+r) M(1+g)n-1/(1+r)n (20) ou encore : I= M[1/(1+r) + (1+g)/(1+r)2 +(1+g)2/(1+r) (1+g)n-1/(1+r)n] (21) En multipliant les deux membres de l'égalité (21) par (1+g)/(1+r) et en faisant la soustraction, il vient : I((1+g/1+r) - 1) = M [((1+g)n/(1+r)n+1) - (1/(1+r))] (22) D'où, la valeur présente de cette série croissante de fux pour g différent de r : I = M [((1+ g)n/(1+r)n - 1)/(g - r)] (23) 8

9 Utilisons le théorème de l'hôpital au point g = r, en dérivant I par rapport à g : di/dm = M [n(1+g)n-1/(1+r)-n] = M [n/(1+g)(1-n)(1+r)n] D'où la valeur de I au point g = r à partir de (23): I = M (n/(1+ g)) (24) 2.3. Les séquences infnies et les rentes Dans la mesure où le temps de calcul est parfois important pour obtenir la "valeur temps" de l'argent, les formules simplifées pour l'actualisation des fux surmontent cette contrainte. Tel est le cas pour une rente perpétuelle d'un fux reçu (versé) jusqu'à l'infni La rente et les fux constants La rente perpétuelle correspond à un fux A, constant dont l'échéance est infnie. Tel est le cas par exemple des obligations donnant le droit au porteur de recevoir chaque année un intérêt versé jusqu'à l'infnie. La valeur présente de cet actif est donnée par la formule suivante: I = A/(1+r) + A/(1+r)2 + A/(1+r)3 +...= A 1/(1+r)i (25) Cette formule représente la somme des termes d'une série géométrique. En désignant par C = A/(1+r) et par B = 1/(1+r), la formule de la valeur présente I s'écrit : I = C (1 + B + B2 + B Bn ) ou encore en multipliant par B: B (I) = C B + C B2 + C B C Bn +... La soustraction des deux dernières égalités donne: I (1+B) = C En remplaçant C et B par leurs valeurs, il vient: I = A/r (26) Exemple Une rente payant 100 euros par an jusqu'à l'infni à un taux de 10%, vaut 1000 euros, soit (100/0,1) euros. Si le taux d'intérêt baisse à 8%, la valeur de la rente passe à 1250 euros, soit (100/0,08)euros La rente et les fux croissants Considérons un fux perpétuel qui croît au taux de g% par an. La valeur présente de cette rente croissante est : I = A/(1+r) + A(1+g)/(1+r) A(1+g)n-1/(1+r)n +... (27) En désignant par C = A/(1+r) et par B = (1+g)/(1+r), la valeur présente s'écrit: I = C (1 + B + B2 + B Bn...) En utilisant comme précédemment les propriétés de la série géométrique, il vient: I = A/(r - g) (28) Exemple Si r = 15%, g = 5% et A = 100 euros, la valeur présente est de 1 000, soit: I = 100/(0,15-0,05) = 100/0,1 = 1000 euros. 9

10 * *** QUESTIONS Qu'est-ce qu'un taux d'intérêt simple? Qu'est-ce qu'un taux d'intérêt composé? Quelle est la relation entre les deux types de taux? Qu'est-ce que l'actualisation? Qu'est-ce que la capitalisation? Qu'est-ce qu'une valeur présente? Qu'est-ce qu'une valeur future ou une valeur acquise? Qu'est-ce qu'un échéancier de fux? Qu'est-ce qu'une séquence de fux standard? Qu'est-ce qu'un facteur de récupération du capital? Comment peut-on élaborer les tables fnancières? Appliquez sur des exemples les formules (1) à (6) proposées dans ce chapitre. Qu'est-ce qu'une suite arithmétique? Qu'est-ce qu'une suite géométrique? Qu'est-ce qu'un facteur de récupération du capital? Qu'est-ce qu'une rente? Quelles sont les formules de rentes? THÈME 2 LES PASSAGES DES SÉQUENCES DE FLUX NON STANDARDS VERS DES ANNUITÉS ET DES VALEURS PRÉSENTES Les séquences de flux relatives à un échéancier donné ne sont pas toujours standards. La diversité des configurations conduit à utiliser des formules d'actualisation simplifiées, des formules de séries et des combinaisons des facteurs d'actualisation. 1. Les taux d'intérêt équivalent, effectif et le calcul en continu Les différences entre un taux annuel équivalent à un taux périodique et un taux effectif constituent un point de départ pour l'introduction de l'actualisation en temps continu Les taux équivalent et effectif La relation entre le taux d'intérêt simple et le taux d'intérêt composé, (qui tient compte de l'intérêt sur l'intérêt de la période précédente) peut être affinée davantage pour rendre compte des différences entre le taux d'intérêt nominal et le taux d'intérêt effectif. Le taux d'intérêt nominal est un taux apparent alors que le taux d'intérêt effectif correspond au taux qui détermine le résultat réel d'une opération financière. La différence entre ces deux taux provient de la période adoptée pour le calcul des taux d'intérêt. Le taux d'intérêt nominal correspond au taux périodique multiplié par le nombre de périodes. Par exemple, un taux d'intérêt de 3% par mois correspond à un taux d'intérêt nominal de 9% par trimestre, 3% (3). Cette relation linéaire qui définit les taux proportionnels n'est vérifiée que dans le contexte de l'intérêt simple. Ce type de calcul ignore la valeur temps de l'argent placé ou emprunté. D'où la nécessité de prendre en compte un taux d'intérêt effectif qui rend compte de la notion de l'intérêt sur l'intérêt, ou encore de l'intérêt composé. En effet, lorsqu'il s'agit d'intérêt composés, la relation n'est 10

11 plus linéaire et il s'impose de calculer un taux équivalent permettant la comparaison du taux d'emprunt sur des échéances différentes. Exemple En plaçant euros sur un an au taux annuel de 12%, la valeur future ou acquise est de euros, soit: F = I(1+r) n = 1000(1,12) 1 = Si la banque verse un intérêt composé semestriel, la valeur acquise doit prendre en compte l'intérêt sur l'intérêt gagné pendant le premier semestre. En prenant en compte l'intérêt sur l'intérêt, le taux effectif semestriel est de 6 %, soit (12%/2) et la valeur acquise du placement est : F = 1 000(1 + 0,06) 2 = 1 123,6 euros. Dans ce cas l'intérêt annuel effectif doit prendre en compte le fait de gagner 123,6 euros au lieu de 120 euros; soit un taux d'intérêt effectif annuel de 12,36% au lieu de 12%. L'égalité donnant le taux d'intérêt effectif r en fonction du taux d'intérêt nominal par période i m pour un nombre de périodes m est : r = (1 + im) m - 1 (1) soit : r = (1 + (12%/2)) 2-1 = 12,36 %. Si r est un taux annuel et im est le taux périodique, alors r est dit le taux annuel équivalent au taux période i. Parfois, un développement limité d'ordre un est utilisé pour simplifier la relation (1) comme suit : r' + 1 = (1 + m (im)) ou encore : r' = m (im) (2) Cette approximation du taux r par un taux r' donne le taux effectif global r' qui est un taux annuel proportionnel au taux période im Le taux d'intérêt effectif et le calcul en continu Lorsque le nombre de périodes de calcul (m) augmente, pour devenir infini, le taux d'intérêt devient un taux continu. Pour comprendre ce passage, rappelons que la définition du nombre 2,718282, ou encore exponentiel noté e, correspond à la limite vers l'infini de l'expression suivante: Limh (1 + 1/h) h = e (3) En posant im =(i/m) = (1/h), (m = hi) dans l'égalité (1), il vient: Limm r = limm (1 + i/m) m - 1= limh [(1 + 1/h) h ] i - 1 Comme le terme entre crochets est équivalent à (3), il vient : r = e i - 1 (4) Exemple Si i = 20% par an, le taux effectif continu est : r = e 0,2-1 = 22,1408 %. 11

12 1.3. L'actualisation lorsque la période de versement est supérieure a la période de calcul des intérêts Lorsque la période de versement (par exemple l'année) est supérieure ou égale à la période de calcul des intérêts (par exemple le mois), l'actualisation de la séquence des flux exige d'utiliser les facteurs simples et les formules des séries L'utilisation des facteurs simples L'exemple suivant illustre l'utilisation des facteurs classiques d'actualisation. Exemple Si une personne dépose initialement dans un compte rémunéré à 10% par an (l'intérêt calculé avec une fréquence semestrielle) un montant de euros, euros dans 3 ans et euros dans 6 ans, combien reçoit-elle dans 10 ans? En utilisant un taux annuel effectif de 10,2498%, (1+ 0,1/2) 2-1, la valeur future F est euros, soit : F = (1 + 10,2498%) (1 + 10,2498%) (1 + 10,2498%) 4 En utilisant un taux effectif semestriel de 5%, le montant recherché est de , soit : F = 1 000(1,05) (1,06) (1,06) L'utilisation des séquences standards de flux L'exemple suivant illustre l'application des facteurs d'actualisation à des séquences de flux standard. Exemple Si une personne dépose 1000 euros tous les 6 mois pendant 7 ans, combien reçoit-elle après son dernier versement lorsque le taux d'intérêt annuel est de 20% (composé trimestriellement)? Cette situation est représentée par l'échéancier des flux du schéma 1. Schéma 1 L'échéancier des flux F? A = Dans la mesure où la période de calcul des intérêts (trimestre) est inférieure à la période de versement (6 mois), la valeur future s'obtient par la relation suivante : F = (F/A,r,14). Comme n correspond au nombre de semestres, un taux semestriel effectif est utilisé, soit : r6 mois = (1 + 0,1/2) 2-1 = 0,

13 D'où une valeur future de euros, soit : F = [(1 + 0,1024) 14-1 / 0,1024]. Si la séquence de flux de trésorerie impose d'utiliser les formules simples ou les séries, la première étape du calcul consiste à déterminer la relation entre la période de composition des intérêts et la période de versement. Deux cas sont envisagés. Cas 1. Lorsque la période de composition est égale à la période de versement, il est nécessaire de calculer le nombre de périodes de versements (n) et le taux d'intérêt effectif sur la même période. Cette situation correspond à l'exemple présenté ci-dessus. Cas 2. Lorsque la période de versement est inférieure à la période de calcul, deux situations sont étudiées. Situation 1 La première situation correspond à l'absence d'intérêt sur le montant placé entre les périodes de composition. Le montant placé (retiré) entre les périodes de calcul est rémunéré à un taux d'intérêt simple. Il est considéré comme étant déposé au début de la prochaine période de composition ou retiré à la fin de la dernière période de calcul. Si la période de calcul est le trimestre, les deux représentations du schéma 2 se traitent d'une façon identique. Schéma 2 L'échéancier des flux mois mois Dans cette situation, le taux d'intérêt nominal annuel est divisé par 4 et le facteur d'actualisation 1/ (1+r) n est utilisé. Situation 2. Comme tout montant déposé entre les périodes de calcul rapporte un intérêt simple, le montant d'intérêt sur les versements interpériodique est multiplié par (M/N)r où N représente le nombre de périodes dans la composition de l'intérêt, M le nombre de périodes précédant la fin de la période de composition et r le taux d'intérêt par période. Exemple. Lorsqu'une banque rémunère les placements à un taux de 6% (annuel) composé tous les 6 mois et verse un intérêt simple sur les dépôts interpériodiques, combien recevez-vous dans un an si vous effectuez les dépôts de l'échéancier reproduit au schéma 3. 13

14 Schéma 3 L'échéancier des flux mois Le montant accumulé dans chaque période de calcul (6 mois) en utilisant un taux effectif semestriel de 3% est de 228,4, soit : F1 = [ (5/6)0,03] + [ (3/6)0,03] Le montant accumulé pendant la deuxième période de calcul est de 188,75, soit: F 2 = [ (5/6)0,03] + [ (4/6)0,03]. Ainsi, la valeur de F en fin d'année est de 424, soit : F = 228,4 [1+0,03] + 188, L'utilisation des facteurs multiples Cette section applique les concepts d'actualisation et de capitalisation à des séquences de flux standards sans référence aux formules des suites arithmétique et géométrique Le valeur présente d'une séquence standard débutant après la période 1 Désignons respectivement par : IA : la valeur présente d'une séquence de flux débutant à la période 0, IAA : la valeur présente d'une séquence à un autre moment, IT : la valeur présente globale à l'instant 0. La question est de déterminer les valeurs de IA et IT dans le schéma 4. Schéma 4 L'échéancier des flux A = 100 I T? IAA? Année 8 I A? n I 1 = Exemple Vous achetez un bien en payant initialement 1000 euros et ensuite 100 euros à partir de l'année 3 pendant 6 ans. Quelle est la valeur présente de l'investissement à un taux annuel de 8%? La valeur présente l'année 2 est de 462,288, soit: I AA = 100 (I/A, 8%, 6) = 100 [((1,08) 6-1)/0,08(1,08) 6 ]. 14

15 Comme IAA apparaît l'année 2, il s'impose d'actualiser ce montant à l'année zéro pour obtenir 1 396,338, soit: I A = I AA (I/F, 8%, 2) = I AA [1/(1,08) 2 ] La valeur présente d'une séquence de flux non standard Considérons la situation du schéma 5 d'un investisseur qui place dans 1 an et pendant 20 ans un montant de 100 millions de euros au taux de 10%. Il décide de replacer en outre 50 millions de euros l'année 6 et 75 millions de euros l'année 16. Quelle est la valeur présente de son placement? Schéma 5 L'échéancier des flux A = Année fl I? La valeur présente du placement est de 659 millions de euros, soit : I = 100(I/A, 10, 20) + 50(I/F, 10, 6) + 75(I/F, 10, 16) = 100 ((1,1 10-1)/(0,1(1,1) 10 )) + 50 (1/1,1 6 ) +75 (1/1,1 16 ) Si l'investisseur décide d'effectuer son premier placement dans 3 ans, pour la séquence standard sur 20 ans, comme le montre le schéma 6, quelle est la valeur présente de son placement? Schéma 6 L'échéancier des flux A = Année I T? I AA? La valeur présente à la fin de l'année 2 est : I AA = 100 (I/A, 10%, 20). D'où une valeur présente à l'instant initial égale à 748,146 millions de euros, soit : I T = I AA (I/F, 10%, 2) + 50(I/F, 10%, 6) + 75(I/F, 10%, 16) I T = 100[(1,1 20-1)/(0,1(1,1) 2 ][1/1,1 2 ] + 50(1/1,1 6 ) + 75(1/1,1 16 ) L'annuité équivalente à une séquence de flux non standard 15

16 La détermination de l'annuité équivalente à une séquence de flux est illustrée par le recours aux données de l'échéancier 5. L'échéancier correspondant est donné par le schéma 7. Schéma 7 L'échéancier des flux A =? Année L'échéancier (5) montre que la séquence standard des flux de 100 millions de euros est répartit sur 20 ans. Dès lors, il s'impose de convertir les flux en un flux annuel équivalent et d'ajouter la valeur obtenue au 100 millions de euros. Le calcul est facilité par le recours à la valeur présente ou à la valeur acquise. Lorsque la méthode de la valeur présente est appliquée, le montant de l'annuité équivalente à la séquence de flux est 105,2323 millions de euros, soit : A = (I/F,10%,6)(A/I,10%,20)+ 75(I/F,10%,16)(A/I,10%,20) Soit : A = 100 [50(I/F,10%,6) + 75(I/F,10%,16)] (A/I,10%,20) ou : A = [50(1/1,1 6 ) + 75(1/1,1 16 )] (0,1(1,1) 20 /(1,1) 20-1) Lorsque la méthode de la valeur future est appliquée, le résultat est identique : A = (F/I,10%,14)(A/F,10%,20) + 75(F/I,10%,4) (A/F,10%,20) ou encore: A= [50(F/I, 10%, 14) + 75 (F/I,10%,4)] (A/F,10%,20) D'où : A = [50 (1,1 14 ) + 75 (1,1 4 )] (0,1/(1,1) 20-1) = 105,2323 millions de euros La valeur présente et l'annuité équivalente en présence de séries non standards déplacées La détermination de la valeur présente et de l'annuité équivalente à une séquence de flux non standard est facilitée par le recours aux séries arithmétiques et géométriques Le cas de la série arithmétique La valeur présente de la séquence standard de flux présentée plus avant concerne l'année 0 pour une série débutant entre les périodes 1 et 2. Comment effectuer les calculs pour des échéanciers différents lorsque les échéances sont déplacées? Calculez la valeur présente et l'annuité équivalente à la séquence de flux du schéma 8. Schéma 8 16

17 L'échéancier des flux A =? Année La recherche de l'annuité équivalente est facilitée par le recours au schéma 9. I 0? I G? Schéma 9 L'échéancier des flux Année Année La séquence de flux montre une série arithmétique ayant un montant de base de 100 millions de euros. La valeur présente de la série I G qui apparaît l'année 2 est: I G = 30(I/G,r,6) = 30/r [((1+r) 6-1/r(1+r) 6 ) - 6/(1+r) 6 ] La valeur présente de la série l'année 0 est : I 0 = I G (I/F,r,2) = I G (1/(1+r) 2 ) La valeur de l'annuité équivalente à la série de l'année 0 à l'année 8 est : A = I 0 (A/I, r, 8) = I 0 [r(1+r) 8 /(1+r) 8-1] En ajoutant le montant de base, 100, la valeur de l'annuité équivalente A s'écrit : A = (30/r) [((1+r) 6-1/r(1+r) 6 ) - (6/(1+r) 6 )][1/(1+r) 2 ] D'où : A = [r(1+r) 8 /((1+r) 8-1)] Lorsqu'il s'agit d'une séquence de flux correspondant à une série géométrique, qui débute à un instant autre que les périodes 1 et 2, un raisonnement identique est appliqué Le cas de la série géométrique croissante Le schéma 10 illustre le passage d'une séquence de flux à une valeur présente en présence d'une série géométrique. Exemple 17

18 Calculez la valeur présente d'une dépense (recette) instantanée de 100 millions de euros équivalente à une séquence de flux de 20 millions de euros par an pendant 5 ans. La séquence débute l'année 1 et augmente à un taux de 14% par an pendant 8 ans. Le taux d'intérêt annuel est de 17 %. Schéma 10 L'échéancier des flux I? I M? Année fi Série (1,14) =22,8 augmentation de 14%/an, 20(1,14) 8 = 57, Comme la valeur présente de la série géométrique est : I M = M [((1+ g) n / (1+r) n -1)/g - r ] la valeur à l'instant initial est de 229 millions de euros, soit : I= (I/A,17%,4) + 20((1,14/1,17) 9-1/(0,14-0,17)) (I/F,17%,4), soit: I = ((1,17) 4-1/0,17(1,17) 4 ) + 138,9757(1/1,17 4 ) Le cas de la série décroissante Lorsqu'il s'agit d'une séquence de flux décroissante, le montant de base de la série correspond au plus grand montant dans la suite et la "raison" de la suite vient amputer le montant de référence. La valeur présente de la série est calculée toujours deux périodes avant l'apparition de la "raison". L'exemple suivant illustre la procédure de calcul. Exemple On se propose de calculer la valeur présente et les annuités qui correspondent aux séquences de flux rapportés dans les échéanciers suivants pour un taux d'intérêt annuel de 8%. Schéma 11 L'échéancier des flux Année Cet échéancier des flux s'analyse par référence aux échéanciers donnés dans les schémas 11a, 11b et 11c. 18

19 Schéma 11 a L'échéancier des flux Année I T Schéma 11 b L'échéancier des flux A = fl I A? Schéma 11 c L'échéancier des flux G = fl I G? (11 a) = (11 b) - (11 c) La valeur présente qui correspond à la séquence de flux de l'échéancier (11a) est calculée comme suit : I T = I A - I G = (I/A,8%,6) (I/G,8%,6) Soit : I T = 1 500[((1,08) 6-1)/0,08(1,08 6 )] - (100/0,8)[((1,08) 6-1/ 0,08(1,08) 6 ) - 6/(1,08) 6 ] = 6 943, ,331 = 5881,991 millions de euros. L'annuité équivalente à la série présentant un montant de base (1 500) amputé du montant de la "raison" est : A = A1 - A6 Soit 1272,365 millions de euros : A = (A/G,8%,6) = [1/0,08 - (6/(1,08) 6-1)] * *** Ce thème offre un support approprié pour appliquer les outils de référence des mathématiques financières proposés dans le chapitre précédent. L'analyse des différences entre les taux nominaux, les taux proportionnels équivalents et les taux effectifs soulève la question de la conversion d'un taux d'intérêt en temps discret vers un taux en temps continu. Elle permet d'aborder les problèmes d'actualisation lorsque la période de versement ou de retrait est différente de la période de calcul des intérêts. Les procédures de calcul des valeurs présentes et des annuités équivalentes à des échéanciers de flux standard et non standard sont illustrées par plusieurs exemples. L'analyse concerne également les applications des techniques des séries arithmétiques et géométriques pour l'actualisation et le calcul des annuités. 19

20 Les conversions d'une séquence de flux non standard en une séquence de flux standard facilite considérablement la recherche de solutions pour les problèmes qui se posent lors de l'actualisation des échéanciers de flux de trésorerie. La pluralité des méthodes et la complexité des échéanciers sont simplifiées dans le traitement des problèmes d'actualisation par le recours à un raisonnement par analogie ou encore une décomposition de la série non standard en plusieurs sous séquences standards. QUESTIONS Qu'est-ce qu'un taux d'intérêt équivalent? Qu'est-ce qu'un taux d'intérêt effectif? Qu'est-ce qu'un taux d'intérêt proportionnel? Comment s'effectue le passage d'un taux d'intérêt effectif à un taux d'intérêt en temps continu? Qu'est-ce qu'une séquence de flux non standard? Comment s'effectue l'actualisation lorsque la séquence de flux est non standard? Comment calculer l'annuité équivalente et la valeur présente dans ce contexte? THÈME 3 : LA SÉLECTION DES PROJETS : LA VALEUR PRÉSENTE, LA VALEUR ACTUALISÉ NETTE ET LE COÛT ANNUEL ÉQUIVALENT La première section présente les concepts de la VAN et de la valeur présente pour des échéanciers de fux relatifs à des recettes et à des coûts. Lorsque la durée de vie des projets est différente, les méthodes de correspondance du cycle de vie et de choix d'une période de planifcation sont proposées pour permettre les comparaisons entre plusieurs propositions d'investissements. L'étude est prolongée pour analyser les propositions d'investissement qui présentent une échéance infnie. La deuxième section traite de l'évaluation des projets par la méthode du coût annuel équivalent. La méthode permet le passage d'un échéancier de fux standard (ou non) vers un échéancier qui donne à chaque période le coût ou la valeur annuelle équivalente. En l'absence d'une valeur de liquidation, la détermination du coût annuel équivalent ne pose pas de diffcultés particulières. Lorsque la valeur de liquidation ou terminale est prise en compte, plusieurs techniques sont proposées pour effectuer le passage d'une séquence non standard de fux vers un échéancier avec des valeurs annuelles équivalentes. 1. Les applications des concepts de la valeur présente et de la valeur actualisée nette à la sélection des projets Le concept de la valeur présente d'une séquence standard (ou non) de fux ignore le montant de l'investissement initial. Lorsque ce montant est pris en considération, ce concept se transforme en celui de la valeur actualisée nette,van. Le concept de la VAN constitue un critère de référence en matière de choix des investissements et de sélection des projets. Ce concept s'applique à une séquence de fux certaine ou aléatoire et utilise un taux d'actualisation constant. Ce taux est différent du taux d'intérêt et répond à des considérations de rentabilité et de risque relatives aux caractéristiques des sociétés qui mettent en oeuvre le projet. Il s'agit du concept du coût de capital. Cette section présente et applique ces critères à des propositions d'investissement dans différents contextes La comparaison de deux projets pour une durée identique L'analyse classique par la VAN suppose une certaine répartition des cash-fows au cours d'un intervalle de temps. Ces fux sont élaborés dans le cadre de l'échéancier des fux de trésorerie et actualisés à un certain taux, qui prend en considération le risque. L'acceptation (le rejet) d'un projet est fonction du 20

21 signe de la VAN. Le projet est accepté (rejeté) lorsqu'elle est positive (négative). Ainsi la VAN traite les projets dans un contexte où la décision du dirigeant est irrévocable, c'est à dire, le projet est adopté et aucune décision n'est prise ultérieurement, même si les cash-fows anticipés s'écartent signifcativement des cash-fows réels. La méthode de la VAN compare le coût d'un investissement et la valeur présente ou actuelle de l'échéancier des fux monétaires correspondant. Dans sa forme standard, la VAN d'une proposition d'investissement s'écrit : VAN = CF i /(1+r) i - I (1) avec : CF i : l'échéancier des fux monétaires ou cash-fow, r : le taux d'actualisation approprié, I : le montant de l'investissement initial. La formule (1) indique que la VAN est d'autant plus faible, que le taux d'actualisation est élevé. Les deux applications suivantes montrent l'utilisation du critère de la VAN dans le choix entre deux propositions par référence à la séquence de fux et des coûts Le choix en fonction des fux de trésorerie Le dirigeant d'une entreprise dispose de l'opportunité d'investir 100 millions de euros dans un projet qui secrète deux fux monétaires d'un montant de 60 millions de euros. L'entreprise opère dans un secteur d'activité en présence de deux classes de projets qui correspondent à deux niveaux de risque. Le taux de rentabilité exigé sur les projets de la classe A est de 10%. Le taux de rentabilité exigé sur les projets de la classe B est de 13%. Ce différentiel de rentabilité est justifé par les différences de risque entre les deux classes de projets. Quel projet faut-il choisir? La séquence de fux est du même signe, sauf pour la dépense initiale. Dans ce cas, le calcul de la VAN de chaque projet s'effectue comme suit : VANA = (60/1,1) + [60/(1,1)2] = 4,123, VANB = (60/1,13) + [60/(1,13)2] = 0 Dans la mesure où la VAN de A est supérieure à celle de B, la décision à priori est de choisir le projet qui donne la VAN la plus élevée Le choix en fonction des coûts Considérons la décision de choisir entre deux machines A et B dont les caractéristiques de coût sont rapportées au tableau 1. Tableau 1 Les caractéristiques de coût Machine A Machine B Durée de vie en années Valeur d'achat Dépense annuelle d'entretien Valeur de liquidation

22 La séquence de fux indique que le dernier fux est de signe opposé. Dans ce cas, il est plus commode de calculer la VAN des coûts. En utilisant un taux d'actualisation des fux de 10%, la VAN A est de ,26 et celle de B est ,31 millions de euros, soit : VANA = (I/A,10%,10) - 700(I/F, 10%, 10) = ( [(1,1)10-1/0,1(1,1)10] - 700(1/1,110) VANB = (I/A, 10%,10) (I/F,10%,10) Dans la mesure où les coûts associés à la machine B sont inférieurs, la décision est de choisir B La comparaison de deux projets avec différentes durées En présence de deux investissements ayant différentes durées de vie, la comparaison s'effectue par référence à la méthode de correspondance des cycles de vie sur une période de temps donnée en utilisant le plus petit commun multiple des durées de vie. La comparaison est réalisée également par référence à une période déterminée qui ignore la durée de vie de chaque possibilité. La comparaison est possible aussi par rapport à une certaine période de planifcation correspondant à une utilisation effective du bien ou du service. La première méthode duplique les fux de trésorerie pour différents cycles de comparaison. Elle suppose d'une part, l'utilisation du projet sur la période considérée et d'autre part, que le coût demeure identique sur différents cycles de comparaison. En choisissant entre deux possibilités dont l'une présente une durée de vie de deux ans et l'autre de trois ans, la comparaison s'effectue sur la base de six ans La correspondance des cycles de vie Considérons les données du tableau 2. Tableau 2 Les caractéristiques de coût Machine A Machine B Durée de vie en 6 9 années Valeur d'achat Dépense annuelle d'entretien Valeur de liquidation Comme la durée de vie de la machine A est de six ans et celle de la machine B est de neuf ans, la comparaison s'effectue sur 18 ans, avec trois cycles de six ans et ou deux cycles de neuf ans. Les échéanciers des fux de A et B sur 18 ans sont donnés dans les schémas 1 et 2. Schéma 1 Échéancier des fux de la machine A : cycles de 6 ans

23 années Schéma 2 Échéancier des fux de la machine B : cycles de 9 ans années La valeur présente des dépenses générées par la machine A est de millions de euros : VPA = (I/F,10%,6) - 700(I/F,10%,6) (I/F,10%,12) - 700(I/F,10%,12) - 700(I/F,10%,18) (I/A,10%,18) Soit : VPA = (1/1,16) - 700(1/1,16) [ 1/1,112] - 700(1/1,112) - 700(1/1,118) [ 1,118-1/0,1(1,1)18] La valeur présente des coûts de la machine B est de millions de euros, soit : VPB = (I/F,10%,9) (I/F,10%,9) (I/F,10%,18) (I/A,10%,18) La décision est de choisir la machine B puisque la valeur présente des coûts est inférieure à celle de A La méthode de planifcation La méthode est plus simple puisqu'elle compare les fux par référence à une période supposée relative à l'utilisation de la machine. La période peut-être longue ou courte selon l'horizon de planifcation adopté. Si la période de planifcation est de 5 ans, les valeurs présentes des fux associés aux machines A et B sont respectivement de et millions de euros, soit : PVA = (I/A, 10%, 9) (I/F, 10%, 5) PVB = (I/A, 10%, 5) (I/F, 10%, 5) En considérant uniquement les fux pendant les cinq premières années, la machine B est toujours préférée à la machine A en termes de coûts La valeur présente d'un projet d'échéance infnie Les constructions des lignes de chemin de fer, des barrages et des centrales nucléaires constituent des exemples de projets qui présentent une durée de vie pratiquement infnie. La valeur présente est calculée par référence au coût annuel équivalent et au taux d'intérêt de capitalisation d'une rente : VP = A/r Application Considérons un projet qui nécessite un coût initial de 100 millions de euros et un investissement additionnel de 30 millions de euros dans 10 ans. Le coût annuel d'exploitation est de 3 millions de euros pour les 4 premières années et de 5 millions de euros les années suivantes. Ce projet nécessite 23

24 également une dépense de 10 millions de euros tous les 12 ans. Si le taux d'intérêt est de 10%, calculez le coût initial de mise en oeuvre du projet. L'échéancier des fux correspondant au projet est donné au schéma 3. Schéma 3 Échéancier des fux du projet années Dans la mesure où le projet nécessite deux coûts non récurrents l'année 0 et l'année 10, la valeur présente de ces coûts est de 111,563 millions de euros, soit: I1 = (I/F, 10%,10) = (1/1,110) Les coûts récurrents de 10 millions de euros tous les 12 ans permettent de calculer un coût annuel équivalent de 0,46733 millions de euros, soit : A1 = 10 (A/F, 10%, 12) = 10 [ 0,1/(1,1)12-1 ] Le coût initial de la séquence annuelle des coûts peut être calculé en adoptant deux démarches. La première considère la série de 3 millions de euros de l'année 1 jusqu'à l'infni et calcule la valeur présente de 2 millions de euros, (5-3) de l'année 5 jusqu'à l'infni. La deuxième démarche calcule la valeur présente des 3 millions de euros pendant 4 ans et la valeur présente de 5 millions de euros de l'année 5 jusqu'à l'infni. En utilisant la première démarche, le coût annuel A 2 est de 3 millions de euros et la valeur présente de l'année 5 jusqu'à l'infni, I 2 est de ,27 millions de euros: I2 = (2000/0,1) (1/1,14) La conversion des deux coûts annuels équivalents A1 et A2 en un coût "capitalisé" I3 donne 34,6761 millions de euros soit : I3 = (A1 + A 2)/r Soit, I3 = (0, )/0,1. Le coût total à l'instant initial, IT, est la somme des trois coûts I1, I2 et I3, soit ,51 millions de euros : IT = I1 + I2 + I3 = 111, , , Les applications du concept du coût annuel équivalent à la sélection des projets La méthode du coût annuel équivalent permet de choisir entre deux ou plusieurs alternatives risquées sur la base de la comparaison de la valeur ou du coût annuel équivalent Le principe de la méthode en l'absence d'une valeur de liquidation 24

25 La méthode transforme la séquence de fux sur une certaine période en un montant annuel équivalent à fn de chaque sous- période. La méthode est particulièrement utile dans la problématique de choix entre deux propositions d'investissement ayant différentes durées de vie. Dans ce cas, la méthode donne la valeur annuelle équivalente pour chaque échéancier de fux. La règle de décision lors de l'utilisation de la méthode du montant annuel équivalent dans la comparaison entre deux ou plusieurs propositions d'investissements est de choisir celle qui présente le coût le plus faible. Application Considérons un projet pour lequel l'échéancier des fux monétaires montre deux "cycles" de 3 ans, nécessitant chacun une dépense initiale de 100 millions de euros et des dépenses annuelles d'entretien de 20 millions de euros. Cette situation est rapportée dans l'échéancier 4. Schéma 4 Échéancier des fux du projet (Année) La valeur annuelle équivalente relative au premier cycle de 3 ans pour un taux d'actualisation de 10% est de 60,21 millions de euros, soit: A = 100 (A/I,10%,3) + 20 = 100 [0,1(1,1)3/(1,1)3-1] + 20 La valeur annuelle équivalente pour deux cycles est de 60,21 millions de euros, soit : A = 100[0,1(1,16)/(1,1)6-1]+ 100 [0,1(1,16)/(1,1)6-1] [1/(1.1)3] + 20 = 22, , L'observation de ces deux résultats indique que le montant annuel équivalent demeure identique indépendamment du nombre de cycles. Ce résultat est toujours vérifé en présence d'une valeur de liquidation nulle. Lorsque l'actif présente une valeur de liquidation non nulle, plusieurs méthodes sont utilisées pour le calcul du montant annuel équivalent La méthode d'amortissement de la valeur de liquidation et la valeur annuelle équivalente Selon cette méthode, le montant annuel équivalent est donné par la formule suivante: A = I(A/I,r,n) - VL(A/F,r,n) (2 ) où VL indique la valeur de liquidation. Cette expression s'écrit aussi : A = I [r(1+r)n / (1+r)n - 1] - VL [ r/(1+r)n - 1 ] ( 3) Le facteur (A/F) constitue le facteur d'actualisation correspondant au facteur d'amortissement du capital appliqué à la valeur de la liquidation. Application Quel est le coût annuel équivalent à la séquence des fux relative à une machine ayant les caractéristiques suivantes : - la valeur d'achat = 100 millions de euros, - la valeur de liquidation dans 10 ans, VL = 20 millions de euros, - les dépenses annuelles d'entretien = 15 millions de euros, - le taux d'actualisation = 12%. 25

26 La situation est reproduite au schéma 5. Schéma 5 Échéancier des fux VL = 20 Année CF A? Année L'échéancier permet de calculer le coût annuel A1 équivalent à l'investissement initial, diminué de la valeur de liquidation. La valeur de A1 obtenue à partir de la formule (3) est de 15,01963, soit : A1 = 100 [0,1(1,110)/(1,1)10-1 ] - 20 [0,1/(1,1)10-1]. Le montant A2 est égal à 15 millions de euros. D'où un coût annuel équivalent de 30,019 millions de euros, soit : A = A1 + A2 = 30,01963 millions de euros La méthode de la valeur présente du prix de liquidation et la valeur annuelle équivalente Cette méthode calcule la valeur annuelle équivalente en utilisant la formule suivante: A = I - VL(I/F,r,n )(A/I, r, n ) (4 ) Soit: A = I - VL [1/(1 + r)n ][r(1 + r)n/(1 + r)n - 1] ( 5) La méthode soustrait la valeur de liquidation du montant de l'investissement initial et actualise la différence sur la durée de vie de l'investissement par le facteur A/I. Le résultat obtenu est augmenté du montant annuel équivalent. Application Calculez la valeur annuelle équivalente par référence à l'échéancier 6. Schéma 6 Échéancier des fux VL = 20 Année Dépenses

27 En utilisant la formule 5, le montant annuel équivalent est de 30,01963, soit : A = [100-20(1/(1,1)10][0,1(1,1)10/(1,1)10-1] La méthode de la récupération du capital et de l'intérêt et la valeur annuelle équivalente La formule générale dans cette méthode de calcul du montant annuel équivalent s'écrit : A = (I - VL) (A/I, r, n) + VL(r) ( 6) La soustraction de la valeur de liquidation de l'investissement initial avant l'actualisation par le facteur (A/I) suppose que cette valeur est reçue initialement. Comme la valeur de liquidation n'est pas récupérée avant n années, il s'impose de prendre en compte "l'intérêt" sur son placement. Application. En considérant l'échéancier des fux du schéma (6), le coût annuel équivalent selon cette méthode est aussi égal à 30,01963 millions de euros, soit: A = (100-20) [0,1 (1,110)/(1,1)10-1] + 20(0,1) La méthode de la rente et la valeur annuelle équivalente Le montant annuel équivalent en présence d'une rente ou d'un investissement perpétuel est donné par le produit de l'investissement par le taux d'intérêt, soit : A = I(r). En effet, lorsque le coût annuel équivalent est donné par le produit entre la valeur de l'investissement initial, I, et le facteur de récupération du capital, (A/I), il vient : A = I [ r (1 + r)n/ (1 + r)n - 1 ] (7 ) ou encore: A = I [r/1 - (1/(1 + r)n) ] ( 8) Lorsque n tend vers l'infni, le dénominateur tend vers 1, et l'expression devient: A = I(r) (9 ) * *** QUESTIONS Qu'est-ce qu'une valeur présente et une valeur actualisée nette? Comment peut-on comparer deux projets qui présentent une durée de vie identique et différentes durées de vie? Quelle est la valeur d'un projet ayant une échéance infnie? Qu'est-ce qu'un coût annuel équivalent à une série de fux? Qu'est-ce qu'une valeur de liquidation? Quelle est la relation entre la méthode du coût annuel équivalent et la méthode d'amortissement de la valeur de liquidation? Quelle est la relation entre la méthode du coût annuel équivalent et la valeur présente du prix de liquidation? Quelle est la relation entre la méthode du coût annuel équivalent et la méthode de récupération du capital? 27

28 THÈME 4 : EXTENSIONS DES CRITÈRES DE CHOIX D INVESTISSEMENT ET OPTIONS RÉELLES : La fexibilité et la décision d'investissement L'analyse classique de la décision d'investissement ignore la fexibilité offerte au décideur de réviser son choix et ses décisions initiales. Elle néglige la question du choix du moment opportun pour effectuer un investissement. Les critères classiques de décision en matière de choix des investissements montrent qu'un projet est accepté lorsque sa valeur actualisée nette (VAN) est positive. Ce critère permet de calculer la valeur actuelle du projet en ajustant pour le risque, mais, la règle de décision demeure toujours identique. Cette règle est mal spécifée en présence de contraintes budgétaires, d'incertitude sur les taux d'intérêt et d'interdépendances entre différents projets. La question qui s'impose à ce niveau est la suivante : Les critères classiques d'évaluation des projets s'appliquent-ils dans ce contexte? La réponse à cette question est affrmative lorsque les taux d'intérêt sont connus avec certitude et le projet ne comporte "aucune forme" de fexibilité. La prise en compte de la fexibilité dans la décision d'investissement offre une nouvelle approche des concepts et des critères d'évaluation des projets. Ce thème présente des réponses aux limites des critères classiques d'évaluation des projets et propose de nouveaux concepts en matière de choix des investissements. La première section montre les limites du critère de la valeur actualisée nette, en présence d'une incertitude sur les taux d'intérêt. Cette analyse permet d'étudier la question du choix du moment opportun pour réaliser l'investissement. Elle identife également les différents choix offerts au décideur à des options réelles. La deuxième section analyse la fexibilité offerte au décideur de différer ou de déclasser l'investissement. La fexibilité identifée s'apparente à une option d'achat ou une option de vente sur actions. La prise en compte de la valeur de cette option, peut augmenter la VAN d'un projet. La troisième section analyse les effets de l'interaction entre les projets en étudiant les considérations stratégiques dans la sélection des propositions d'investissements. Elle propose une nouvelle classifcation des projets et analyse les implications des considérations stratégiques et de la fexibilité sur le choix des investissements. 1. L'incertitude et le choix du moment pour investir L'analyse des critères de décision en matière de sélection des propositions d'investissement montre l'acceptation d'un projet qui présente une VAN positive et son rejet dans le cas contraire. Cette règle de décision s'applique dans un contexte de certitude sur les taux d'intérêt. Elle ignore la possibilité offerte au dirigeant de retarder l'exécution d'un projet dans le temps. La valeur d'un projet dépend de l'échéancier des fux et de la fréquence de leur apparition La valeur actuelle nette et l'incertitude sur les taux d'intérêt L'effet d'une incertitude sur les taux d'intérêt peut produire des valeurs du projet plus élevées pendant des périodes de baisse des taux d'intérêt puisque le taux d'actualisation des fux dépend du niveau du taux d'intérêt réel. Cette incertitude présente des implications sur le retardement optimal de la mise en oeuvre du projet. Ainsi, chaque projet peut monter une certaine fexibilité qui permet au décideur de retarder la date de son démarrage et de choisir le moment opportun pour investir. L'application suivante montre que la valeur d'un projet est plus importante lorsqu'il est retardé dans le temps dans le contexte d'une baisse des taux d'intérêt. Application. 28

29 Lorsqu'un projet nécessite un investissement initial de 100 millions de euros et génère un fux de 112 millions de euros dans un an pour un taux d'intérêt sans risque à un an de 10%, faut-il investir dans ce projet? La réponse nécessite plus d'informations sur l'évolution des taux d'intérêt. Supposons que la courbe des taux d'intérêt est descendante et que le taux d'intérêt à un an, dans un an est de 7%. La VAN du projet pour un investissement immédiat est de 1,82 millions de euros, soit : VAN = (112/1,1) = 1,82 million de euros. Au lieu d'investir immédiatement, il est possible d'attendre et d'investir dans un an. Dans ce cas, la VAN est de 4,25 millions de euros, soit: VAN = [(112/1,07-100)](1/1,1) = 4,25 millions de euros. En mettant immédiatement en oeuvre le projet, le décideur perd l'opportunité de l'entreprendre dans l'avenir. Ce résultat montre que la valeur d'un projet varie en fonction du temps. Le retardement d'un projet produit des décalages dans l'échéancier des fux de trésorerie puisqu'il diffère l'encaissement de sa VAN. Mais, d'un autre coté, la mise en oeuvre immédiate est préférable. Ce paradoxe disparaît lorsque la structure à terme des taux est plate. Dans ce cas, il est préférable d'entreprendre le projet immédiatement. De ce fait, l'effet de l'incertitude des taux d'intérêt sur le choix du moment opportun pour investir peut être signifcatif. La logique de cette analyse est illustrée par l'exemple suivant. Application. Considérons un second projet qui secrète un fux de 109 millions de euros dans un an. La structure à terme des taux est plate et le taux d'intérêt est de 10 %. Si les taux d'intérêt demeurent infniment à 10%, le projet ne présente aucune valeur puisque sa VAN est négative. En revanche, si le taux d'intérêt dans un an baisse à 9%, ce projet présente une valeur positive. En fait, plus l'incertitude sur les taux d'intérêt dans l'avenir est importante, plus les chances que le taux d'intérêt dépasse 9% sont élevées. Autrement dit, même si le projet ne présente aucune caractéristique optionnelle, l'incertitude sur les taux d'intérêt lui confère un facteur optionnel. Plusieurs études ont analysé l'effet de la décision de retarder la mise en oeuvre d'un projet sur la valeur des propositions d'investissements. À titre d'exemples, l'analyse de Marglin (1967) de la décision de retarder le projet montre que la règle de décision optimale consiste à investir à un instant qui maximise la VAN. L'analyse de Mac Donald et Siegel (1986) considère les investissements irréversibles et suppose que les cash-fows suivent des processus aléatoires. En appliquent les techniques d'évaluation des options, ils montrent que le projet est mis en oeuvre uniquement lorsque sa VAN est assez élevée. Bernanke (1983) modélise le fux d'information sur les cash-fows pour la recherche de la politique de retardement optimale du projet. Brennan et Schwartz (1985) étudient les projets comportant explicitement une option d'entreprendre l'investissement après la résolution de l'incertitude sur le prix du pétrole. L'étude de Ingersoll et Ross (1992) montre que l'incertitude sur les taux d'intérêt présente un effet signifcatif sur l'investissement, même dans un contexte de certitude sur les cash-fows du projet. Ingersoll et Ross (1992) développent différents modèles pour l'évolution stochastique des taux et mesurent l'effet de l'incertitude sur le choix du moment opportun pour investir. Ils décrivent également les conditions générales pour le retardement d'un projet. Cette analyse est remarquable puisqu'elle présente des implications concernant la prise de décision et le choix des investissements. Lorsque les taux d'intérêt sont aléatoires, un investissement est adopté quand son taux de rentabilité espéré est largement supérieur à son taux de rentabilité minimum. En somme, si les résultats de ces travaux sont validés, cette analyse pourrait modifer les règles de la prise de décision et les critères classiques d'évaluation des projets La valeur actuelle nette et la fexibilité 29

30 Le concept de la VAN espérée d'un projet donne la valeur à l'instant initial en actualisant la séquence des cash-fows anticipés, amputée d'une dépense initiale. Ce concept ignore les aspects concernant la concurrence et les stratégies des autres sociétés lors de la sélection d'un projet. Il suppose que les décisions prises à antériori, sont irréversibles. Tout se passe comme si les dirigeants ne disposent d'aucune fexibilité pour réviser un échéancier initiale en fonction d'une divergence des résultats par rapport aux cash-fows anticipés. En réalité les cash-fows observés diffèrent souvent des cash-fows anticipés en raison de l'incertitude sur l'avenir. L'arrivée de nouvelles informations réduit l'incertitude sur les cash-fows possibles et modife les décisions initiales. Dans ce contexte, les décideurs peuvent retarder l'investissement, augmenter la taille du projet et l'abandonner, ou modifer leur stratégie d'exploitation à différents niveaux au cours du déroulement du projet. Cette fexibilité offerte aux dirigeants en fonction du contexte économique, introduit une asymétrie dans la distribution de probabilité des résultats, en augmentant l'opportunité de proft tout en limitant les possibilités de perte, par rapport aux anticipations initiales. L'asymétrie induite par la fexibilité permet de prolonger le critère de la VAN pour prendre en compte une prime correspondant à la valeur de chaque opportunité. Cette prime s'identife à une option réelle. Dans ce nouveau contexte d'analyse, la valeur actuelle nette augmentée s'écrit : VAN augmentée = VAN classique + prime d'une option 1.3. L'identifcation de la fexibilité Les techniques classiques d'actualisation des cash-fows d'un investissement ignorent la fexibilité. Les différents aspects de la fexibilité sont identifables et assimilables à des opportunités d'investissement ou à des options sur des actifs physiques ou réels. Avant d'identifer cette fexibilité, un détour est indispensable pour défnir les options. Une option d'achat (de vente) est un actif contingent qui donne le droit à son porteur d'acheter (de vendre) l'actif sous-jacent de l'option à un certain prix appelé le prix d'exercice, pendant une période de temps fxée appelée l'échéance. À ce niveau, une précision s'impose. Il ne faut pas confondre l'option avec son actif support ou avec son prix d'exercice. Par exemple, une option d'achat sur Peugeot donne le droit à son acheteur d'acquérir le titre Peugeot pendant une certaine période à un prix fxé aujourd'hui. La période pendant laquelle l'achat est possible est la période d'échéance et le prix auquel l'achat de l'actif support s'effectue dans l'avenir est le prix d'exercice. Le prix d'exercice et la période d'échéance sont fxés par les autorités du marché au moment de l'émission du contrat d'options. Le droit d'acheter ( de vendre ) l'actif support ne vaut plus rien après la date d'échéance fxé dans le contrat d'options. Le prix d'exercice demeure fxe au cours de l'échéance de l'option. Le prix d'une option est sa valeur au moment où le contrat est acheté. Lorsque le contrat d'option est émis, l'acheteur paie un prix qui est différent du prix d'exercice et du prix du support. L'exercice d'une option d'achat signife que son porteur achète l'actif support en payant le prix d'exercice. L'exercice d'une option de vente veut dire que le porteur de l'option vends l'actif support en recevant le prix d'exercice. Dans la mesure où l'option présente une certaine valeur à l'instant initial et une autre valeur à la date d'échéance, son prix est susceptible d'évoluer à tout instant (en fonction des caractéristiques du contrat et des modifcations des conditions du marché) pour prendre plusieurs valeurs. C'est en fonction du prix d'exercice et de la date d'échéance que se détermine à chaque instant le prix du contrat d'option. Lorsque le prix d'exercice choisi est inférieur au prix du support, on dit que l'option d'achat (de vente) est dans les cours ( en dehors des cours). Lorsque le prix d'exercice est supérieur au prix du support, on dit que l'option d'achat (de vente) est en dehors des cours (dans les cours). Lorsque le prix d'exercice est égal au prix du support, on dit que les options d'achat et de vente sont à parité ou à la monnaie. 30

31 En se référant à la défnition d'une option, il est possible de défnir et de délimiter la zone à l'intérieur de laquelle le prix d'une option d'achat, call, ou celui d'une option de vente, put est susceptible d'évoluer. Dans la mesure où une option d'achat confère à son acheteur le droit et non l'obligation d'acheter un actif support à un prix fxé, pendant ou avant une certaine date, il s'en suit que : - la vie de l'option est limitée; - l'option est exercée à un prix donné; - il appartient au porteur de l'abandonner ou de l'exercer au cours de la vie du contrat. De ce fait, le prix d'une option d'achat ne peut être supérieur au prix de l'actif support puisqu'on ne paie pas plus cher pour l'achat d'une option sur un actif par comparaison à un achat direct de l'actif. Ce raisonnement s'applique d'une façon identique pour l'option de vente puisque personne ne paie pour l'option un prix supérieur au prix auquel il peut vendre directement l'actif, qui est le prix d'exercice. Dans la mesure où le porteur d'une option, qu'il s'agisse d'une option d'achat ou d'une option de vente, peut l'abandonner, le prix de cette option ne peut être négatif. La valeur minimale d'une option dépend du fait que celle-ci est européenne ou américaine. Si l'option est européenne, elle ne peut être exercée avant sa date d'échéance. Si l'option est américaine, son acheteur peut l'exercer à n'importe quel moment à partir de la date d'achat jusqu'à l'échéance. L'analogie est évidente entre les options d'achat sur actions et les opportunités d'investissement appelées aussi les options réelles. Le tableau 1 présente l'analogie conceptuelle entre les options d'achat sur actions et les options réelles. Tableau 1 L'analogie entre les opportunités d'investissement et les options Option d'achat Opportunité d'investissement (option réelle) La valeur présente du support La valeur actualisée des cash-fows bruts Le prix d'exercice Le coût de l'investissement La date d'échéance à maturité Le temps jusqu'à la disparition de l'opportunité d'investissement L'incertitude sur le prix de l'action L'incertitude sur la valeur du projet Le taux d'intérêt sans risque Le taux d'intérêt sans risque Par analogie à une option américaine d'achat sur un actif fnancier, donnant le droit au porteur d'acheter l'actif support à un prix fxé dès le départ (prix d'exercice) au cours d'une période donnée, le détenteur d'une option réelle dispose du même droit, qu'il exerce lorsque l'exercice lui est proftable. Ainsi, en présence d'une opportunité d'investissement, il dispose du droit - et non de l'obligation - d'obtenir la valeur actualisée des cash-fows espérés en effectuant une dépense d'investissement initiale. La fexibilité offerte au décideur d'effectuer immédiatement l'investissement ou de le différer dans le temps, lui confère le droit d'attendre et d'exercer son option lorsque l'exercice est rentable. L'existence d'autres opportunités d'investissement est considérée comme une option d'achat sur un portefeuille qui comprend la valeur du projet, V, et d'autres options d'achat et (ou) de vente. Dans un environnement incertain, les dirigeants préfèrent parfois augmenter la capacité de la production pour accroître le rythme de production. Aussi, la réduction de l'incertitude économique peut 31

32 contribuer à la réalisation d'un chiffre d'affaires plus important que prévu. Cette possibilité explique l'apparition de plusieurs options au cours du déroulement d'un projet. Les dirigeants peuvent justifer par exemple, un coût de construction plus faible et une dépense de maintenance plus élevée pour obtenir la fexibilité de réduire les dépenses d'entretien, si le succès du projet s'avère moins probable par rapport aux anticipations initiales. Ils disposent aussi de la fexibilité de suspendre temporairement la production pour une année si les recettes ne couvrent pas le coût variable d'exploitation. Cette possibilité constitue une option d'achat sur les recettes de l'année dont le prix d'exercice est donné par le coût variable d'exploitation. Cette option a été évaluée par Mc Donald et Siegel (1985). Les dirigeants disposent parfois de la possibilité d'achever le projet avant la date prévue. Dans ce cas, ils peuvent vendre les actifs sur un marché "secondaire" à une certaine valeur de liquidation, comme ils peuvent utiliser le projet pour faire autre chose. Il peut, par exemple, changer le processus de production des entrées et des sorties: c'est l'option d'échange, switch option. Le décideur est conduit lors de la construction d'une usine au choix suivant : construire une usine utilisant un seul input et produisant un seul output avec une dépense faible, ou construire une usine identique donnant la fexibilité de choisir entre différents inputs et produisant plusieurs outputs. La valeur de revente et les coûts de la construction sont plus élevés pour la deuxième usine. Même si la VAN correspondant à la première usine est plus élevée, les dirigeants peuvent préférer la deuxième solution en raison de la fexibilité qu'elle offre. En effet, il est possible que les conditions du marché se modifent, rendant la deuxième possibilité plus avantageuse. L'option de changer de technologie est assimilée à une option de vente sur la valeur de cette opportunité dont le prix d'exercice correspond à la valeur de la meilleure alternative possible. Les dirigeants peuvent disposer aussi de l'opportunité d'abandonner un projet en cours de réalisation, si au cours d'une période donnée, l'investissement n'est plus rentable. Cette option d'abandon peut être assimilée à une option d'achat composée (sur l'opportunité d'investir) dont les prix d'exercice correspondent aux dépenses d'investissement à différentes dates. Elle est assimilée à une option de vente (sur l'opportunité d'investir) dont le prix d'exercice est donné par la valeur cumulée des gains obtenus grâce à une réduction des coûts. Cette option est analysée par Robichek et Van Horne (1967) et Myers et Majd (1984). Lorsqu'il existe de nombreuses fenêtres, c'est à dire plusieurs opportunités assimilées à des options d'achat et de vente, la valeur totale de l'investissement est considérée comme un portefeuille d'options. La raison est simple puisqu'un actif réel ou fnancier est caractérisé et valorisé en fonction de son échéancier de fux. En utilisant cette analogie entre les options réelles et les opportunités d'investissement, on peut identifer une infnité d'options. Par exemple, la décision d'augmenter la taille d'un projet d'un pourcentage donné, e%, en effectuant un investissement additionnel I', s'analyse comme une option d'achat sur e% de la valeur du projet. Le prix d'exercice de cette option est I'. Aussi, la décision de contracter la taille du projet ou de réduire l'investissement de e% afn de réduire des dépenses prévues pour la maintenance et la publicité d'un montant égal à I", peut être analysée comme une option de vente de e% de la valeur du projet. Son prix d'exercice est I". 2. Les options réelles de différer et de déclasser l'investissement L'incertitude de l'environnement économique et fnancier rend la valeur d'un projet aléatoire et incertaine. De ce fait, la question se pose pour les dirigeants de savoir s'il faut investir immédiatement ou attendre? La question du choix du moment opportun pour effectuer un investissement s'impose d'une façon naturelle. Dans la mesure où le dirigeant dispose de la possibilité d'investir immédiatement ou d'attendre, l'opportunité de différer la mise en oeuvre du projet jusqu'à ce que l'environnement devienne moins incertain, ou plus favorable, peut être assimilée à une option. Ainsi, l'opportunité 32

33 offerte au décideur de retarder l'investissement dans le temps présente une certaine valeur par rapport à une situation dans laquelle l'investissement doit s'opérer immédiatement L'opportunité de différer En désignant par V, la valeur du projet et par I le montant de l'investissement initial, on peut facilement établir l'analogie entre l'opportunité de différer et une option d'achat. En effet, l'opportunité de différer est assimilée à une option d'achat ayant pour actif support V et pour prix d'exercice la dépense initiale I. La valeur actuelle nette du projet n'est plus égale à la VAN classique, mais plutôt à la VAN augmentée de la prime de l'option d'investir. De ce fait, il est important d'opérer une première classifcation des projets en distinguant entre les projets en fonction de cette opportunité. Lorsque la décision est imminente et le dirigeant se trouve dans l'obligation d'accepter ou de rejeter le projet immédiatement, la valeur de l'option de différer est nulle. Toutefois, le décideur conserve la possibilité d'abandonner ultérieurement le projet pour une certaine valeur de liquidation, avant une certaine date, correspondant à la fn de la durée de vie probable. En pratique, cette situation est fréquente lorsque le projet s'avère moins rentable que prévu et les dirigeants décident d'abandonner l'activité pour une autre plus rentable. La valeur de liquidation ou la valeur correspondant à une meilleure utilisation alternative du projet peut être estimée à partir des cash-fows espérés. Cette analyse conduit à introduire l'option d'abandonner, à défnir ses principaux déterminants et à proposer les conditions nécessaires à son évaluation L'opportunité d'abandonner L'opportunité d'abandonner un projet en cours de réalisation, peut être assimilée à une option de vendre le projet à une valeur donnée, à une certaine date. La valeur de l'opportunité d'abandonner le projet dépend de ses cash-fows sécrétés, de sa durée de vie et de sa valeur de liquidation. Il existe une analogie conceptuelle entre l'opportunité d'abandonner le projet et la valeur d'une option américaine de vente en présence de détachement des dividendes. Le support de l'option est la valeur du projet. Les dividendes correspondent aux cash-fows générés par le projet. Le prix d'exercice est donné par la valeur de liquidation. L'option est américaine puisque l'exercice peut intervenir à n'importe quel moment au cours du déroulement du projet. Pour rendre compte de cette analogie et du contexte d'évaluation de cette opportunité implicite dans des projets d'investissements, il s'impose au préalable de défnir les cash fows, les ratios de distribution, la durée de vie et la valeur de liquidation Le cash-fow et le ratio de distribution Le calcul de la valeur présente d'un projet en présence d'incertitude suppose une dynamique sur le processus d'évolution des cash fows. Sous certaines hypothèses, la valeur d'un projet décroît en général avec le passage du temps. Le ratio de distribution des cash-fows, donné par le rapport entre les fux et la valeur du projet tend à augmenter. Dans tous les cas, les erreurs dans la prévision des fux entraînent une révision des anticipations sur les cash-fows futurs et la valeur du projet. Cette révision permet de modifer les ratios de distribution par rapport à la valeur du projet. L'hypothèse d'indépendance entre la valeur du projet et les ratios de distribution est souvent utilisée dans la sélection des projets puisque l'actualisation s'effectue en fonction d'un taux unique, (Le lecteur peut consulter à ce sujet, par exemple l'article de Myers et Turnbull (1977)). Cette hypothèse facilite considérablement la question d'évaluation La durée de vie et la valeur de liquidation 33

34 Il convient de distinguer la durée de vie physique et la durée de vie économique d'un actif ou d'un bien d'équipement. La durée de vie physique d'un actif dépend du temps nécessaire à son remplacement ou à sa mise hors usage (déclassement). La durée de vie économique d'un actif indique le temps d'utilisation de l'actif. Ainsi, même si le projet est achevé et l'actif est affecté à une autre utilisation, sa durée de vie économique continue. La durée de vie d'un projet n'est pas à priori fxée et elle dépend de la décision du dirigeant de l'abandonner. Lorsque le projet n'est pas déclassé avant la fn de la durée de vie physique de ses actifs, sa durée de vie est égale à sa durée de vie économique et physique. En général, la durée de vie d'un projet est inférieure à sa durée de vie économique, laquelle est inférieure à sa vie physique. La valeur de liquidation d'un actif est donnée par sa valeur de marché dans la meilleure alternative possible. Cette valeur est amputée des coûts nécessaires pour la conversion de l'actif à un autre usage, augmentée de la valeur de l'option d'abandonner. D'un point de vue conceptuel, il convient de préciser que certains actifs à usage multiples sont déclassés plusieurs fois au cours de leur durée de vie physique. Par exemple, un terrain peut avoir plusieurs utilisations possibles et une durée de vie infnie. Dans ce cas l'option de déclassement et de conversion d'un usage à un autre est similaire à une option sur option, une option composée, compound option. Si le projet est déclassé avant la fn de sa durée de vie économique, sa valeur de liquidation inclue sa valeur d'abandon et aussi l'option d'abandon pour le prochain utilisateur L'analyse de l'option de déclassement Dans la mesure où le déclassement d'un bien peut apparaître plusieurs fois au cours de sa durée de vie physique, l'affectation de l'actif à un projet ou à un autre, est souvent envisagée par les dirigeants. De ce fait, l'option d'abandon est une option sur une séquence d'options. La formule d'évaluation de cette option est davantage compliquée lorsque la valeur de liquidation est aléatoire. En défnitive, la valeur de l'option d'abandon d'un projet peut être assimilée à une option américaine de vente pour laquelle l'exercice apparaît à chaque instant. La procédure développée par Myers et Majd (1990) permet son évaluation. La méthode d'évaluation est fondée sur les techniques de l'analyse numérique parce que ce type de problème n'admet pas encore de solutions analytiques. La solution proposée montre clairement la relation entre la valeur de l'option d'abandon à un moment donné et sa valeur à un moment ultérieur. Pour une étude des options composées, le lecteur peut consulter les travaux de Bellalah (1990, 1991, 1996, 1997). 3. La fexibilité et les aspects stratégiques des critères d'évaluation des projets La prise en compte de la fexibilité dans la décision d'investissement permet une nouvelle approche des concepts et des critères d'évaluation des projets. Cette section analyse les effets de l'interaction et de la dépendance entre les projets en insistant sur la fexibilité. Elle étudie les effets de l'interaction des projets d'une société avec les projets des concurrents en analysant les options réelles associées et présente les considérations stratégiques dans la sélection des projets. Elle propose enfn une nouvelle classifcation des projets et étudie les implications des considérations stratégiques et de la fexibilité en matière de choix des investissements L'interaction intra-projet et inter-projets Le dirigeant peut décider d'échelonner le montant à investir, I, sur différentes périodes au cours de la durée de vie du projet. Lors de la construction ou de l'acquisition d'un bien d'équipement, d'une usine ou d'une machine, il peut dépenser un montant initial et effectuer ultérieurement d'autres dépenses pour 34

35 la maintenance et l'entretien. Dans ce cas, la dépendance entre les différentes dépenses d'investissement s'apparente à une série d'options composées. Chaque dépense représente le prix d'exercice exigé pour l'obtention d'une seconde option, qui est nécessaire au fonctionnement du projet, avant que la prochaine dépense ne devienne nécessaire, et ainsi de suite : c'est l'interaction intra-projet. En utilisant la notion de fexibilité, l'interaction intra-projet fait apparaître une série de points dans le temps entre lesquels la décision d'arrêter les dépenses est possible. Cette situation est évidente lorsque le projet s'avère non rentable à un instant donné. Le critère de la VAN aborde la question de l'interaction intra-projet en actualisant les cash-fows différentiels espérés et en ignorant la fexibilité. Cette technique sous-évalue clairement la valeur des investissements conditionnels, assimilables à des options sur options, d'où la nécessité de prolonger et d'améliorer ces techniques. L'interaction intraprojet est illustrée par le schéma 1. Schéma 1 Interaction intra-projet projet A I 2A I A I 1A L'interaction inter-projets est illustrée par le schéma 2. Schéma 2 Interaction inter-projets projet B projet C projet D I B I C I D Dans ce cas, chaque décision d'investissement exige une dépense initiale I. La présence de projets contingents nécessite le démarrage du premier projet B, pour le lancement du deuxième C, et le démarrage de C pour la mise en oeuvre du troisième D. Chaque nouvelle dépense peut être analysée dans le même contexte que l'interaction intra-projet. La seule différence étant que la nouvelle dépense s'effectue pour un projet différent. Cette situation s'apparente à une série d'options sur options L'interaction avec des projets concurrents L'interaction avec les décisions d'investissement des concurrents constitue une dimension spécifque à l'évaluation des opportunités d'investissement. Cette interaction peut revêtir deux formes. Si l'impact des entreprises concurrentes sur la valeur du projet d'une société est exogène, les dirigeants confrontent un problème d'optimisation particulier, dans lequel, la décision de choix d'un projet doit prendre explicitement en considération l'effet des décisions des concurrents sur la valeur du projet. La décision prise par le dirigeant n'infuence pas les décisions des concurrents. En revanche, si la décision de chacun infuence les décisions des autres, cette situation conduit à un problème plus compliqué dans lequel la théorie des jeux est appliquée. Ainsi, la présence (l'absence) d'interaction entre les décisions des concurrents permet une autre classifcation des projets selon les stratégies des concurrents et les 35

36 enseignements de la théorie des jeux. De ce fait, il est possible d'opérer une autre classifcation des projets en se référant aux questions stratégiques. Schéma 3 Les questions stratégiques dans la sélection des projets Interaction avec les concurrents +fi exclusivité du produit (valeur d'abandon) ou exclusivité du produit fiopportunité partagée +fi simple Interaction inter et intra-projet fi composée +fi expire Urgence de la décision --+ +fi différée dans le temps 3.3. Les considérations stratégiques dans la sélection des projets La première dimension spécifque au processus d'évaluation et de sélection des projets concerne l'exclusivité de l'opportunité d'investissement et les effets des entreprises concurrentes sur la capacité de la société à s'approprier et à conserver cette option. Lorsque la société se réserve l'exclusivité de l'opportunité d'investir, il s'agit d'une option de propriété. Tel est le cas en présence des barrières à l'entrée dans un secteur d'activité donné, dans lequel, le savoir faire est unique et la duplication de la technologie exige un temps relativement long, au point où les concurrents potentiels renoncent à l'entrée du marché. Dans ce contexte, les dirigeants disposent de l'opportunité de déclasser le projet avant la fn de sa durée de vie probable pour une certaine valeur d'abandon. Ils disposent également de la possibilité d'interrompre momentanément la production dans une période "non rentable". En revanche, si les concurrents peuvent pénétrer le marché en prenant une part importante, l'option offerte aux dirigeants n'est plus exclusive, mais plutôt partagée. Les options partagées entre les concurrents sont exercées par n'importe quelle entreprise dans la compétition. Ces options sont représentées par exemple, par l'introduction d'un produit non protégé 36

37 facilement substituable ou encore la pénétration dans un marché sur un autre territoire en l'absence de barrières à l'entrée. La perte de la part de marché dans ce contexte est appelée une perte concurrentielle. La deuxième dimension spécifque au processus de sélection des projets concerne l'interaction inter et intra-projet. La question est de savoir si l'opportunité d'investissement, est importante en soit, ou parce qu'elle est nécessaire pour des investissements ultérieurs. Les dépenses effectuées en matière de recherche et de développement et la décision de se lancer dans un projet d'acquisition d'une autre société, constituent des options composées. Ces projets sont réalisés non seulement en raison de leurs cash-fows anticipés, mais aussi, et surtout, à cause des nouvelles opportunités qu'elles offrent à l'entreprise. Si l'opportunité d'investissement donne naissance au moment de l'exercice à une autre opportunité d'investissement dont le paiement correspond à une option, cette option est dite composée. Ces options sur options peuvent avoir un impact stratégique important sur la valeur de la société. En revanche, si le projet est évalué indépendamment des autres, il s'agit d'une option simple. À l'exercice d'une telle option, la valeur du projet est limitée à sa valeur intrinsèque. La dernière dimension spécifque au processus de sélection des projets concerne l'urgence de la décision à prendre. Les dirigeants doivent distinguer entre les projets qui exigent immédiatement une décision d'acceptation (de rejet) et les projets dont l'exécution est susceptible d'être retardée. La fexibilité offerte au dirigeant de retarder l'exécution du projet constitue la valeur de l'option de différer. L'analyse de la valeur des projets différés exige une étude du timing optimal de l'investissement. En effet, le dirigeant d'une entreprise est conduit à comparer la valeur actuelle nette du projet à différents moments entre l'instant initial de sa mise en oeuvre et la fn de sa durée de vie probable. Il s'impose au dirigeant d'analyser les bénéfces et les coûts de l'attente par rapport aux considérations stratégiques, et en l'occurrence, la menace des concurrents de pénétrer le marché. Les diffcultés d'analyse de la complexité des décisions en matière de choix et de sélection des projets sont considérablement minimisées lorsqu'une analogie est réalisée avec la théorie des options. L'analyse de ces différents aspects par Kester (1986) et Trigeorgis (1988) est présentée au schéma 4. Cette représentation reproduit la plupart des opportunités d'investissement et les différents aspects stratégiques lors du processus d'analyse, d'évaluation et de sélection des projets. Par exemple, la modernisation d'une usine s'analyse comme une option simple, de propriété, différable dans le temps. L'introduction sur le marché d'un produit ayant des substituts proches s'analyse comme une option partagée, simple, différable dans le temps. Les dépenses en matière de recherche et de développement pour la conception et la mise en oeuvre sur le marché d'un produit unique, s'analysent comme une option de propriété, composée, différable, etc. La propriété fait référence à l'exclusivité. Schéma 4 La classifcation des opportunités d'investissement fidifférée,p.c.d. +-Composée+ fiexpire,p.c.e. +--Partagée--+ fidifférée, P.S.D. +-Simple+ 37

38 fiexpire,p.s.e. Opportunité d'investissement -- fi (une option réelle) fidifférée,e.c.d. ficomposée+ fiexpire,e.c.e. +-Exclusive-fi fidifférée, E.S.D. fisimple-+ fiexpire, E.S.E. Le schéma (4) montre que le critère de la VAN constitue un cas particulier de cette représentation (la branche en bas) dans la mesure où ces investissements sont considérés comme exclusifs, (propriété de la société), indépendants (simples) et immédiats (expirant immédiatement) Les nouveaux critères de sélection des projets La représentation précédente permet de comprendre le prolongement du critère de la VAN et de la stratégie adoptée par les dirigeants des entreprises. La stratégie opérationnelle classique en l'absence de fexibilité, consiste : - à effectuer un investissement initial à l'instant t 0, (représenté par ); - à opérer d'une façon continue (-) ; - à déclasser l'investissement à la fn de sa durée de vie probable T, que l'on représente par ( ). La valeur de l'opportunité d'investir dans ce contexte est donnée par la valeur actuelle nette. Dans une opportunité d'investissement simple, exclusive, expirant à une date T, il est parfois préférable d'abandonner le projet à une date T'< T. La valeur de l'opportunité d'investir est donnée par la VAN classique augmentée de la valeur de l'opportunité de déclassement. Dans une opportunité d'investissement partagée, simple, expirant à une date T, le projet est adopté immédiatement sauf que l'entrée des concurrents sur le marché (représentée par ) peut réduire la valeur du projet. La prime de l'option peut être négative pour la société initiatrice du projet. Dans une opportunité simple, exclusive, différable, la prime de l'option résulte de la fexibilité accordée aux dirigeants de différer le projet jusqu'à une date T i et de le déclasser en cas de nécessité. Dans une opportunité d'investissement partagée, simple, différable, la valeur de l'option réelle est donnée par la VAN classique, augmentée de la valeur de différer, amputée de la perte concurrentielle. Tableau 2 Les extensions du critère de la valeur actuelle nette Classifcation des opportunités d'investissement Stratégie d'exploitation Valeur de l'option réelle 38

39 La VAN statique (classique)' Opportunité exclusive, simple, expire Opportunité partagé, simple, expire Opportunité exclusive, simple, différée Opportunité partagée, simple, différée VAN (On utilise les techniques d'actualisation des cashfows) VAN + Valeur d'abandon VAN - Perte concurrentielle VAN + valeur différée VAN + valeur différée + Valeur d'abandon Van + valeur différée - Perte concurrentielle 3.5. Les implications pour la sélection des projets En considérant les opportunités d'investissement comme un portefeuille d'options sur des actifs physiques, les dirigeants des entreprises peuvent utiliser cette nouvelle méthode dans la sélection des projets. Les implications pour le processus de choix et de sélection des projets sont les suivantes La valeur actuelle nette augmentée La valeur actuelle nette augmentée considère la fexibilité dans les stratégies d'exploitation. L'opportunité d'investir est donnée par la somme de la VAN classique et de la prime d'une option qui refète la fexibilité offerte au décideur. L'investissement est proftable si : VAN augmentée = VAN classique + prime d'une option > 0 Cette analyse permet de justifer l'acceptation d'un projet ayant une VAN classique négative. Tel n'est pas le cas pour les critères classiques d'évaluation des projets. L'analyse prend aussi en compte l'évaluation des investissements supplémentaires effectués tout au long de la durée de vie du projet La sélection des projets et les options L'analyse précédente montre que la valeur de la fexibilité ou de la prime d'une option est : - plus élevée dans un contexte d'incertitude, - plus importante lorsque les taux d'intérêt réels sont élevés, - plus élevée lorsque l'horizon d'investissement est plus long Les stratégies d'action des concurrents Les stratégies des concurrents peuvent réduire la valeur de l'option réelle et dans ce cas, seul un investissement additionnel peut permettre d'éliminer la "perte concurrentielle". Cette situation s'apparente à celle d'une option d'achat payant un dividende qui peut provoquer l'exercice prématuré. 39

40 En général, les dirigeants de l'entreprise peuvent décider d'exercer prématurément l'option, dans les trois situations suivantes : - lorsque l'option est partagée avec des concurrents et la perte anticipée à l'arrivée d'autres concurrents est élevée, - lorsque la pression exercée par la concurrence est forte - lorsque "la perte de compétitivité" est supérieure à la valeur de différer le projet, ou aussi, lorsque la valeur de l'option est faible par rapport à sa VAN. La valeur de l'option augmente avec l'incertitude, le taux d'intérêt et le temps alors que la VAN classique diminue avec ces trois facteurs. Le signe de la VAN augmentée est obtenue à partir des signes des deux, soit: Signe VAN augmentée = signe VAN classique + signe prime d'une option Dans la mesure où l'incertitude sur les taux d'intérêt peut avoir un effet sur la date de mise en oeuvre d'un investissement, un projet peut être en concurrence avec lui-même au cours du temps. De ce fait, nous avons analysé l'effet de l'incertitude des taux d'intérêt sur le choix du moment opportun pour réaliser l'investissement. En établissant l'analogie conceptuelle entre la fexibilité offerte par un projet et les options réelles, plusieurs options sont identifées. En particulier, les options de différer et d'abandonner un investissement avant ou au cours de son exécution. Cette analyse suggère une formulation des critères classiques d'évaluation des projets. La nouvelle méthode doit prendre en compte la valeur de la fexibilité dans chaque projet d'investissement. Cette fexibilité peut augmenter la valeur actuelle nette, et par conséquent implique l'acceptation d'un projet initialement rejeté. Dans la mesure où une certaine dépendance pourrait apparaître entre les projets de la société et les projets de ses concurrents, elle peut avoir des effets sur la valeur actuelle des projets. L'étude de l'interaction inter-projets, intra-projet et avec les décisions d'investissement des concurrents permet d'établir une nouvelle classifcation des projets en fonction de la situation spécifque à chaque projet. La nouvelle classifcation des opportunités d'investissement en fonction d'un certain nombre de critères de sélection, et en particulier l'analogie entre l'opportunité d'investir et l'option réelle permet de prolonger la méthode de la VAN classique pour prendre en compte la fexibilité sous ses différentes formes. En conséquence, un projet ayant initialement une VAN négative peut être sélectionné si la VAN augmentée (VAN + la prime d'une option) est positive. QUESTIONS Quel est l'effet d'une structure plate des taux d'intérêt sur le calcul de la valeur actuelle nette? Quel est l'effet d'une variation des taux d'intérêt sur le calcul de la valeur actuelle nette? Expliquez comment un projet peut-être en concurrence avec lui-même au cours du temps. Comment peut-on identifer la fexibilité d'un projet d'investissement? Qu'est-ce qu'une option? Quelles sont les limites du critère de la valeur actuelle nette dans l'évaluation des projets? Comment peut-on établir une analogie entre une option d'achat sur action et une opportunité d'investissement? Qu'est-ce qu'une option réelle? Analysez l'opportunité de différer et l'opportunité de déclasser ou d'abandonner un projet. Qu'est-ce qu'une interaction intra-projet et inter-projet? Quels sont les effets sur le projet de la société? Comment peut-on formuler les interactions inter-projets, intra-projets et les interactions avec les projets des concurrents en termes d'options réelles? Comment peut-on classer les opportunités d'investissement? Quelle est la nouvelle classifcation des opportunités d'investissement et des critères de sélection des projets? 40

41 Qu'est-ce qu'une valeur actuelle nette étendue? Comment peut-on sélectionner les projets en utilisant les défnitions des options réelles? THEME 5 : L'APPORT DE LA THÉORIE DES OPTIONS À L'ÉVALUATION DES PROJETS ET DES SOCIÉTÉS 1. Le modèle d'options et l'évaluation des sociétés L'application des apports de la théorie des options à l'évaluation des fonds propres, de la dette fnancière et de la valeur de la société est possible à partir d'une lecture fnancière du bilan. Pour rendre compte du caractère opérationnel de la théorie des options, considérons le bilan de la société EEE aux instants t = 0 et t = 1. Tableau 1 Bilan de la société EEE en millions de euros en t = 0 Actif Passif Actif économique : 18 Fonds propres : 3,38 Dettes fnancières : 14,62 Total actif =18 Total passif = 18 Tableau 2 Bilan de la société EEE en millions de euros en t = 1 Actif Passif Actif économique :? Fonds propres :? Dettes fnancières : 15 Total actif =? Total passif =? Lorsque le taux de la dette est de 10 %, la valeur de la dette à l'instant t =1, dans 3 mois est de 15, soit 14,62 e 0,1(0,25). Si à cette date la valeur de l'entreprise est supérieure à 15, la valeur des fonds propres est donnée par la différence entre cette valeur et celle de la dette. En revanche, si la valeur de l'entreprise est inférieure à 15, la valeur des fonds propres est nulle. Ce profl de résultat est équivalent à celui d'une option d'achat. Dans ce cas, il est possible d'utiliser le bilan en valeur de marché et le modèle de Black et Scholes pour calculer la valeur initiale de la société. Le modèle d'évaluation des options proposé par Black et Scholes (1973) est appliqué par Galai et Masulis pour l'évaluation des fonds propres et la dette d'une société Le modèle de Black et Scholes Le modèle de Black et Scholes (1973) est conçu au départ pour évaluer des options européennes sur action en l'absence de distribution de dividendes sur l'actif support. La principale caractéristique de ce modèle est qu'il propose des formules analytiques simples et attrayantes. Désignons respectivement par : 41

42 S : le prix de l'actif support, c : le prix d'une option européenne d'achat, E : le prix d'exercice de l'option européenne ou américaine, r : le taux d'intérêt sans risque, : la volatilité de l'actif support, t : la date d'échéance de l'option, N(): la fonction de répartition de la loi normale. La valeur d'une option d'achat à la date d'échéance est : c(s,t) = Max[0, S - E] (1) Le prix d'une option d'achat présenté par Black et Scholes est : c = S N(d 1 ) - E e-rt N(d 2 ) avec : d1 = [Ln(S/E) + (r + 0,5 t ]/ t (2) d 2 = d 1 - t En utilisant la condition suivante pour une option européenne de vente : p(s,t) = Max[0, E - S] (3) le prix d'une option de vente est : p = - S N (-d 1 ) + E e-rt N(-d 2 ) (4) Dans la mesure où le terme le plus important dans l'expression de d 1 est Ln(S/E), la valeur de d 1 peut s'interpréter comme étant la probabilité qu'à la date d'échéance, le prix du support se trouve au-dessus du prix d'exercice, c'est-à-dire que l'option d'achat fnit dans la monnaie. La valeur de d 2 représente la probabilité qu'une option de vente se trouve dans les cours à la date d'échéance. Ce raisonnement laisse à penser que le prix d'une option dans le modèle de Black et Scholes (1973) est égal à une certaine valeur probable du support, diminuée (augmentée) de la valeur actualisée du prix d'exercice pondérée par la probabilité de payer ce prix à cette date. Dans la mesure où une option européenne présente la même valeur qu'une option américaine (exerçable à tout moment) en l'absence de possibilités d'exercice prématuré, le modèle s'applique également pour l'évaluation de ces options. La formule de Black et Scholes peut être programmée sur des calculateurs de poche. Pour ce faire, il sufft d'avoir l'approximation de la loi normale que nous fournissons en annexe. Le lecteur peut consulter les travaux de Bellalah (1991), Bellalah et al (1998), Simon et Bellalah (1999) pour une étude plus approfondie des ce modèle et de ses extensions Applications Considérons les données suivantes relatives à la société MMM pour l'évaluation des fonds propres comme une option d'achat Le prix d'une option d'achat et la valeur des fonds propres Considérons les données suivantes relatives au bilan de la société MMM : - la valeur de l'actif économique à l'instant initial : S = 18, - la valeur de la dette à l'échéance : le prix d'exercice : E = 15, 42

43 - le taux d'intérêt : r = 10 %, - l'échéance T = 0,25 années, soit 3 mois, - la volatilité = 15 %. Quelle est la valeur des fonds propres? Calculons d'abord la valeur actualisée du prix d'exercice : Ee rt 15 e 0,1(0,25) 14, 6296 Calculons ensuite les valeurs d1 et d2: d1 In(18 /15) (0,1 (0,15)2 (0, 5))0, 25 0,15 0, 25 0, , 075 2, 8017 d2 d1 0,15 0,25 2, 7267 La formule de l'option d'achat est: c = 18 N(2,8017) - 15 e- 0,1 (0,25) N(2,7267) Il sufft à présent d'utiliser l'annexe ou de lire sur la table de la loi normale les valeurs de N(.) au points 2,8017 et 2,7267. Ces valeurs sont respectivement égales à 0,997 et 0,996. Ainsi, la valeur des fonds propres est de 3,3659, soit (18 (0,997) - 14,6296 (0,996)). Le tableau 3 calcule la valeur des fonds propres en fonction de différentes valeurs attribuées aux paramètres d'évaluation. Tableau 3 Simulations de la valeur des fonds propres pour les paramètres suivants : E = 100, r = 0,08, t = 0,25, = 20 % Actif économique N(d1) N(d2) Valeur des fonds propres 70 0,246 0,257 0, ,087 0,093 0, ,212 0,186 0, ,5987 0,5596 5, Le prix d'une option de vente et du risque de défaut En reprenant les données précédentes, calculons le prix d'une option de vente dans les mêmes conditions. Cette valeur permet d'apprécier le risque de défaut associé à l'endettement puisque la valeur de la dette risquée est assimilée à la différence entre la valeur d'une dette sans risque et l'option de défaut. Sachant que les valeurs de : d1 = 2,8017, d2 = 2,7268, N(d1)= 0,997 et N(d2)= 0,996, le prix de l'option de défaut s'écrit : p = 14,629(1-0,996) - 18(1-0,997 ) Soit : p = 14,629(0,004) - 18(0,003) = 0,0045 Le tableau 4 simule les prix d'une option de défaut en fonction de différents paramètres d'évaluation. Tableau 4 43

44 Simulations du prix du risque de défaut : E = 100, r = 0,08, t = 0,25, = 20 % S N(-d1) N(-d2) P 70 0,9148 0, , ,8169 0, , ,6280 0, , ,4207 0,5006 6, L'application du modèle de Galai Et Masulis L'approche de Galai et Masulis (1976) et de Galai et Crouhy (1997) est une transposition du modèle de Black et Scholes à l'évaluation des fonds propres et de la dette L'évaluation des fonds propres et de la dette Lorsque la valeur de la société est indépendante de sa structure du capital, Galai et Masulis (1976), proposent la formule 5 pour l'évaluation d'une option d'achat sur les fonds propres d'une société : S = V N(d 1 ) - E e -rt N(d 2 ) (5) d 1 = [ln(v/e) + (r + 1/2 2 )T]/ T d 2 = d1 - T avec : S : la valeur actuelle des fonds propres, V : la valeur économique de l'actif ou encore la valeur de marché de la société, 2 : la variance instantané des variations de la valeur de marché de la société, E : le prix d'exercice de l'option, c'est aussi la valeur nominale de la dette, r : le taux d'intérêt sans risque, T : la durée de vie probable de la société. En utilisant la formule 5, la valeur actuelle de la dette au taux d'intérêt sans risque s'écrit : D = V - S (6) ce qui permet d'écrire : D = V N(-d 1 ) + E e -rt N(d 2 ) (7 Questions et exercices : Exercice La valeur d'une option est plus élevée lorsque le risque de l'actif sous-jacent est plus important. Commentez cette phrase. Réponse L'accroissement du risque augmente la valeur d'une option. Comme la valeur de l'option à la date d'échéance s'écrit : max(st - E), la probabilité que ST > E dépend de la volatilité de l'actif sous-jacent. En outre, le résultat de l'option n'est pas symétrique, c'est-à-dire qu'il est nul quand S T < E (peu importe le montant de cette différence négative) et qu'il augmente avec le prix du support lorsque S T > E. Exercice 44

45 Le titre de la société IBS est coté euros. Une option de vente européenne sur IBS vaut 160. L'échéance est de 52 semaines. Le prix d'exercice est de 800. Le taux d'intérêt sans risque est de 6,6 %. Une option d'achat européenne est négociée à 440 euros dans les mêmes conditions. 1. Peut-on mettre en oeuvre une stratégie d'arbitrage sans risque? Analysez les caractéristiques de cette stratégie. 2. Démontrez que l'investisseur réalise un proft d'arbitrage sans risque. Réponse 1. Le principe est d'utiliser la relation de parité entre les options européennes : p = c - S + Ee -rt Cette relation s'écrit : c = S - Ee -rt + p Ainsi, le prix de l'option d'achat est de 410, soit : c = (800/1,066) = 410 Comme le prix coté est de 440, cette option est surévaluée. Dans ce cas, l'investisseur peut mettre en oeuvre la stratégie d'arbitrage suivante : Vente de l'option d'achat à 440, Achat du support à , Emprunt d'un montant de 750, Achat d'une option de vente à 160. Le proft de cette stratégie est de L'investisseur réalise un proft d'arbitrage sans risque sur la mise en oeuvre de cette stratégie. Le tableau suivant résume les différents résultats en fonction du prix du support à la date d'échéance (par référence au prix d'exercice). Tableau 6 État/ cash-fow à - c + S T - E + p résultat l'échéance S T < S T (1,066) = 31,98 S T S T = S T > S T S T (1,066) = 31, (1,066) = 31,98 Exercice Considérons un investisseur qui dispose de la possibilité d'acheter des options d'achat (de vente) à et 475. Le prix du support est de , le prix d'exercice est de et l'échéance est dans une année. Doit-il investir dans les options ou acheter un actif sans risque qui rapporte 10 % par an sachant qu'il est imposable à 25 % sur le revenu des obligations. Il n'est pas imposable sur les autres produits fnanciers. Réponse 45

46 Le principe est d'utiliser la relation de parité des options européennes. En effet, l'achat d'une option de vente, la vente d'une option d'achat et l'achat de l'actif sous-jacent est une stratégie qui doit rapporter le taux d'intérêt sans risque. La relation s'écrit : p = c - S + Ee -rt Tableau 7 S T < S T > p = S T 0 + c= ( S T ) 0 - S = S T S T Investissement initial : Le placement de génère un rendement équivalent au taux sans risque. Comme l'investisseur n'est pas imposable au titre des produits dérivés, il est préférable d'adopter la stratégie d'investissement dans ces produits plutôt que d'investir dans des obligations sans risque. Exercice Considérons un investisseur qui dispose de la possibilité de choisir entre les deux stratégies suivantes. La stratégie A consiste à acheter 300 options d'achat européennes sur Thomson ayant un prix d'exercice de 100 et une échéance de 3 mois. La stratégie B consiste à acheter d'abord 200 options d'achat européennes sur le même actif sous-jacent pour un prix d'exercice de 125 et une échéance identique. L'investisseur achète ensuite 100 options d'achat européennes sur le même actif pour un prix d'exercice de 50 et une échéance identique. Quelle est la stratégie la plus coûteuse? Réponse La méthode la plus simple consiste à comparer les résultats de chaque stratégie à la date de l'échéance T par référence aux prix d'exercice et aux cours de Thomson. La comparaison s'effectue par référence aux intervalles suivants : 50 < ST < 100, 100 < ST < 125, 125 < ST, Or, quand le cours du titre est inférieur à 50, les options d'achat valent zéro. Le lecteur peut continuer le raisonnement! 46