REPRESENTATIONS GRAPHIQUES

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2 CDR AGRIMEDIA REPRESENTATIONS GRAPHIQUES Apprentissage et Evaluation Objectif : - Représenter graphiquement une série de données statistiques. Contenu : - Explications concernant la construction : * de diagrammes en bâtons * d histogrammes * de diagrammes cumulatifs * de diagrammes circulaires - Exercices d application avec corrections. Pré-requis : - Connaître la règle de trois - Connaître le langage statistique (dossier 1) - Etre capable d utiliser un repère - Etre capable d utiliser un rapporteur. Matériel nécessaire : - compas ; rapporteur ; calculatrice. Public concerné : - Toute personne désirant maîtriser les représentations graphiques de données statistiques. 2

3 REPRESENTATIONS GRAPHIQUES LES DIAGRAMMES I - DIAGRAMME EN BATONS Exemple : On a relevé la marque de 1 tracteurs dans des exploitations agricoles du Pas-de-Calais. Les résultats sont les suivants : Marque des tracteurs FENDT RENAULT MASSEY. FERGUSON JOHN DEERE FORD CASE IH FIAT Nombre de tracteurs a) Construisons le «repère» : - l axe des abscisses en indiquant sa légende «Marque des tracteurs» (variable x i ) - l axe des ordonnées en indiquant sa légende «Effectifs» (n i ) et ses graduations. nombre de tracteurs 32 (n i ) FENDT RENAULT MASSEY.F J.D FORD CASE IH FIAT marque des tracteurs (x i ) 3

4 b) Construction du diagramme (marque des tracteurs) : Pour chaque marque de tracteurs on trace un trait vertical (appelé bâton) partant de l axe des abscisses jusqu à la hauteur de la graduation correspondante sur l axe des ordonnées. Exemple : tracteur FENDT : l effectif est de 6 Pour chaque marque de tracteur, nous effectuons la même démarche, ce qui donne le schéma suivant : 3 nombre de tracteurs FENDT RENAULT M.F. J.D. FORD CASE IH FIAT marque des tracteurs A RETENIR Cette représentation graphique s appelle : un DIAGRAMME EN BATONS.

5 EXERCICE Parmi les petites exploitations de la région Nord - Pas-de-Calais, on a recensé la surface plantée en pommiers. Le résultat de l enquête est donné dans le tableau suivant : Surface en ha (x i ) Nombre d exploitations Construire le diagramme en bâtons de cette série. Nombre d exploitations (n i ) Surface en ha (x i )

6 REPONSE Nombre d exploitations (n i ) Surface en ha (x i ) 6

7 II - HISTOGRAMME A partir d un exemple construisons un histogramme. Exemple n 1 : d après le tableau reprenant la fabrication de camemberts (dossier N 1 p ), nous allons faire la représentation graphique correspondante : Poids des camemberts (g) [26 ; 27[ [27 ; 2[ [2 ; 29[ [29 ; 3[ [3 ; 31[ [31 ; 32[ [32 ; 33[ [33 ; 3[ Nombre de camemberts a) Construction du «repère» Nombre de camemberts (n i ) Poids des camemberts (x i ) b) Construction des rectangles. 7

8 Pour chaque classe nous construisons un rectangle dont la hauteur correspond à l effectif de la classe. Exemple : pour la classe [2 ; 29[ l effectif est de. Nombre de camemberts (n i ) Poids des camemberts (x i ) A RETENIR Cette représentation graphique s appelle un HISTOGRAMME. Un histogramme est constitué de plusieurs rectangles.

9 EXERCICE La série suivante donne le pourcentage en matières grasses (% M.G) dans la fabrication de fromage. Pourcentage de M.G. [36 ; 37[ [37 ; 3[ [3 ; 39[ [39 ; [ [ ; 1[ [1 ; 2[ [2 ; 3[ [3 ; [ Nombre de fromages Construire l histogramme de cette série Nombre de fromages Pourcentage de M.G. 9

10 REPONSE Nombre de fromages Pourcentage de M.G. 1

11 Exemple n 2 : le tableau ci-dessous représente le nombre d enfants en fonction de leurs poids (kg). Poids (kg) [3 ; [ [ ; [ [ ; [ [ ; 6[ [6 ; [ Nombre 6 1 d enfants Remarque : toutes les classes n ont pas les mêmes amplitudes (voir dossier stat N 1 p ), il faut en tenir compte pour tracer l histogramme de cette série. De nouvelles classes sont créées ; ce qui donne le tableau suivant : Poids (kg) Amplitude Nombre d enfants [3 ; [ [ ; [ [ ; [ [ ; [ [ ; 6[ [6 ; 6[ [6 ; 7[ [7 ; 7[ [7 ; [ = = EXPLICATION Ce nouveau tableau permet de construire un histogramme dont les surfaces de chaque rectangle sont proportionnelles aux effectifs. Pour tracer l histogramme de cette série, il faut tenir compte de l amplitude de chaque classe. La classe [3 ; [ d amplitude 1 sera décomposée en 2 nouvelles classes [3 ; [ et [ ; [ d amplitudes. Ces 2 nouvelles classes doivent conserver un effectif total de (effectif du départ). Cet effectif est réparti de façon égale dans les 2 classes. On fait de même pour la classe [6 ; [ d effectif... 11

12 Construction de l histogramme. Nombre d enfants n i Poids (kg) x i

13 EXERCICE On a relevé le poids en kg de 1 porcs Poids en kg [11 ; [ [ ; 13[ [13 ; 1[ [1 ; 1[ [1 ; 1[ [1 ; 1[ [1 ; [ [ ; 17[ Nombre de porcs Construire l histogramme de cette série. Nombre de porcs (n i Poids en kg (x i ) 13

14 REPONSE Nouveau tableau avec des classes d amplitudes égales. Poids en kg Nombre de porcs Nouvelles amplitudes [11 ; [ [ ; [ [ ; 13[ [13 ; 13[ [13 ; 1[ [1 ; 1[ [1 ; 1[ [1 ; 1[ [1 ; [ [ ; [ [ ; 17[ Total Nombre de porcs (n i Poids kg (x i ) 1

15 III - DIAGRAMME EN SECTEURS Exercice : Etude de la répartition des camemberts suivant leur poids Reprenons le tableau sur les camemberts Poids des camemberts (g) [26 ; 27[ [27 ; 2[ [2 ; 29[ [29 ; 3[ [3 ; 31[ [31 ; 32[ [32 ; 33[ [33 ; 3[ Nombre de camemberts a) Construction d un cercle : b) Correspondance entre les effectifs et les angles : Rappel : un cercle complet représente L effectif total de est représenté par 36. Un effectif de 1 est représenté par 36 = 9 Chaque classe sera représentée par une partie du disque appelée : «SECTEUR». 1

16 c) Complétons le tableau : Poids des camemberts (g) Nombre de camemberts Angle Degrés cumulés* (somme des angles) [26 ; 27[ 1 9 x 1 = 9 [27 ; 2[ 1 9 x 1 = 9 [2 ; 29[ 9 x = 36 [29 ; 3[ 3 9 x 3 = 27 [3 ; 31[ 9 x = 72 [31 ; 32[ 9 x = 1 [32 ; 33[ 7 9 x 7 = 63 [33 ; 3[ 9 x = 36 TOTAL * Pour faciliter la représentation graphique on peut utiliser les degrés cumulés. d) Construisons le diagramme en secteurs : A l aide d un rapporteur, on trace chaque secteur Cette représentation graphique s appelle : - diagramme circulaire - ou diagramme à secteurs - ou diagramme en «camembert» (même si on travaille avec d autres exemples : tracteurs, tailles...) EXERCICE

17 Etude de la clientèle d un libre-service agricole selon la catégorie socioprofessionnelle des clients. Sans profession 21 % Cadres moyens 13 % Employés 6 % Agriculteurs 3 % Ouvriers 9 % Retraités 11 % Professions libérales 6 % Total 1 % Faites un diagramme en «camembert» pour représenter cette clientèle. Remarque : La position du premier secteur importe peu, vous pouvez démarrer comme vous le souhaitez. On vous propose : 17

18 REPONSE a) Correspondance entre les pourcentages et les degrés : l effectif total de 1 % est représenté par 36 un effectif de 1 % est représenté par 36/1 = 3,6 Sans profession 21 % 7,6 Cadres moyens 13 % 6, Employés 6 % 21,6 Agriculteurs 3 % 2, Ouvriers 9 % 32, Retraités 11 % 39,6 Professions libérales 6 % 21,6 Total 1 % 36, b) Construction du diagramme en secteurs : Ouvriers Retraités Professions libérales Sans profession Agriculteurs Employés Cadres moyens 1

19 IV - LES DIAGRAMMES POLAIRES (ou en ETOILE) Exemple : on a relevé la température moyenne par mois durant une année. Janvier Février Mars Avril Mai Juin Juillet Août Septembre Octobre Novembre Décembre, C,1 C 9, C 7, C 1,7 C 1, C 1, C 1, C, C 13,2 C,9 C,2 C Pour représenter cette série chronologique on peut utiliser la représentation graphique suivante : Novembre Octobre Décembre Janvier Février Mars Avril Septembre Mai Août Juin Juillet Cette représentation graphique s appelle un DIAGRAMME POLAIRE - On trace un axe par valeur de caractère (ici : le mois) - L angle entre 2 axes est constant (ici : 36 en mois : 36 = 3 ) - Sur chaque axe on choisit une même graduation. 19

20 Avec ce type de diagramme il est possible de représenter les données pendant plusieurs années. Il faut joindre la dernière valeur de Décembre avec la première valeur de Janvier de l année suivante. Pour plus de clarté il est conseillé de changer de couleur en changeant d année et d indiquer la légende. EXERCICE Une entreprise a enregistré mensuellement son chiffre d affaires (en milliers de francs) pendant 2 années consécutives. MOIS Année Année Tracer le diagramme polaire correspondant à l évolution mensuelle du chiffre d affaires. 2

21 REPONSES 1) On trace un premier axe gradué en fonction des données ; ici le chiffre d affaires mensuel. Dans ce cas on prendra 3 cm pour milliers de francs. 2) On fait de même pour les autres axes qui seront espacés de 3 ( 36 = 3 ) Tous les axes auront la même graduation. 3) Diagramme Novembre Octobre Décembre Janvier Février Mars Avril Septembre Mai Août Juin Année 1 Année 2 Juillet Chiffres d Affaires Année 1 et Année 2. 21

22 V - COURBES CUMULATIVES Les courbes cumulatives sont construites à partir des effectifs cumulés ou des fréquences cumulées. Reprenons l exemple des camemberts : (voir dossier I p ) Poids des camemberts (g) Effectifs cumulés croissants Comme nous l avons vu, ce tableau permet de répondre aux questions du style : combien de camemberts pèsent moins de 29 grammes? La réponse est : 6 fromages. Par contre, si la question est : combien de camemberts pèsent moins de 2 grammes? Le tableau ne suffit plus car la valeur 2 n'y est pas, il faut passer à la représentation graphique. 1) Courbes des Effectifs Cumulés Croissants (E.C.C.) a) Construction d un repère : On place sur l axe des abscisses les valeurs du caractère (ici poids des camemberts) et sur l axe des ordonnées les Effectifs Cumulés Croissants. Effectifs Cumulés Croissants Poids en grammes b) Construction de la courbe : 22

23 A l aide du tableau on place les valeurs des effectifs cumulés sur le graphique. Ensuite on relie les points entre eux. Effectifs cumulés Poids (g) Cette représentation graphique 2 s appelle : COURBE DES EFFECTIFS CUMULES CROISSANTS A partir de cette courbe, on peut répondre à la question qu'on s'était posée : combien de camemberts pèsent moins de 2 grammes? Il suffit de chercher l'ordonnée (E.C.C.) correspondant à l'abscisse (poids) : 2 g. On trouve : camemberts. 23

24 2) Courbe des Effectifs Cumulés Décroissants (ECD) A partir de l exemple précédent nous obtenons le tableau suivant :(dossier 1 page ) Poids des camemberts (g) Effectifs Cumulés Décroissants a) Construction du repère : Effectifs Cumulés Décroissants Poids en gramme 2

25 b) Construction de la courbe des ECD : A l aide du tableau on place les valeurs des effectifs cumulés décroissants sur le graphique. Ensuite on relie les points entre eux. Effectif Cumulés Décroissants Poids en gramme Cette représentation graphique s appelle : COURBE DES EFFECTIFS CUMULES DECROISSANTS Elle permet de répondre à toutes les questions du type : combien de fromages pèsent au moins...? Remarque : Il est possible de tracer les courbes ECC et ECD dans le même repère. 2

26 3) Courbe des fréquences Comme pour les effectifs cumulés croissants ou décroissants, on peut construire les courbes des fréquences cumulées croissantes ou décroissantes. On portera toujours sur l axe des abscisses les valeurs du caractère tandis que sur l axe des ordonnées on portera soit : - les Fréquences Cumulées Croissantes (FCC) - les Fréquences Cumulées Décroissantes (FCD) Exemple : Mesure de la taille des élèves d un lycée. 1) A partir du tableau ci-dessous tracer les courbes : FCC, FCD, Tailles en cm Nombre d élèves Fréquences [1 ; 2[ [2 ; 6[ [6 ; 17[ [17 ; 17[ [17 ; 17[ ,,1,,3,1 Total 1, Tailles en cm ECC ECD FCC FCD ,,,1,,9 1, 1,,9,,,1, 2) A partir des courbes répondez aux questions suivantes : a) Quel est le pourcentage d élèves dont la taille est inférieure à 6 cm? b) Quel est le pourcentage d élèves dont la taille est supérieure à 172 cm? 26

27 REPONSE Fréquence 1 FCC,9,,7,6,,,3,2,1 FCD Tailles en cm Courbes des fréquences cumulées a) A partir de la courbe des FCC on lit directement sur l axe des ordonnées la réponse à la question car on demande une valeur INFERIEURE à une taille. Dans ce cas il faut lire :,1 soit 1% des élèves ont une taille inférieure à 6 cm. b) Pour des valeurs SUPERIEURES, on lit à partir de la courbe des FCD sur l axe des ordonnées la réponse à la question. Dans ce cas il faut lire :,27 soit 27%. Donc 27% des élèves ont une taille supérieure à 172 cm. VI - Exemples d autres représentations graphiques. 27

28 Diagramme en bandes Principe : on partage un rectangle en bandes dont les aires sont proportionnelles aux effectifs ou aux fréquences des valeurs du caractère. Exemple 1 : enquête : nombre d enfants par famille. enfant 1 enfant 2 enfants 3 enfants enfants enfants 6 enfants En disposant côte à côte des diagrammes en bandes cela permet une comparaison rapide de deux séries statistiques. Exemple 2 : Représentation graphique de la répartition des charges de mécanisation. Nom de l agriculteur Capital Répartition Carburant Tiers REPARTITION GROUPE DURAN DUPONT MECA TRACFORT LEPETIT LEMEILLEUR % 1% 2% 3% % % 6% 7% % 9% 1% FIN 2