e année Module 2 Approfondissons les multiplications, les divisions et les fractions! Les mathématiques... un peu, beaucoup, à la folie!

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1 6 e année Les mathématiques... un peu, beaucoup, à la folie! Numération et sens du nombre/mesure ACTIVITÉS DU GUIDE PÉDAGOGIQUE en format PDF Module Approfondissons les multiplications, les divisions et les fractions! CENTRE FRANCO-ONTARIEN DE RESSOURCES PÉDAGOGIQUES Extrait de la publication

2 Tiré du guide pédagogique Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! Numération et sens du nombre/mesure Module, 6 e année,, 008. (ISBN : ), 0 5, rue Donald, Ottawa ON KK X5 Commandes : Tél. : Téléc. : Site Web : Courriel : commandes@librairieducentre.com Tous droits réservés. Cette publication ne peut être reproduite, entreposée dans un système de récupération ou transmise, sous quelque forme ou par quelque moyen que ce soit, sans le consentement préalable, par écrit, de l éditeur ou, dans le cas d une photocopie ou de toute autre reprographie, d une licence d Access Copyright, The Canadian Copyright Licensing Agency,, rue Yonge, bureau 800, Toronto (Ontario) M5E E5. ISBN Dépôt légal quatrième trimestre 0 Bibliothèque et Archives Canada Imprimé au Canada Printed in Canada

3 Table des matières Série : Stratégies de calcul pour multiplier et diviser s : Priorité des opérations : Une réponse gagnante 59 : Des rectangles pour multiplier 68 : À l aéroport 8 5 : À l aéroport (suite) 9 6 : Le carnaval de l école 0 7 : Au centre commercial 8 : s à la carte 0 Série : Représentations de fractions et opérations s 99 : Démêlons les fractions! 0 : Ordonnons les fractions! 09 : Représentations de fractions 0 : Jeux et équivalences 6 5 : Addition et soustraction de fractions 8 6 : Sommes, différences et fractions 6 7 : Multiplications de fractions 7 8 : Divisions de fractions par des nombres naturels 88 9 : s à la carte 97

4 Évaluation s Série Stratégies de calcul pour multiplier pour multiplier et diviser et diviser

5 Priorité des opérations Au cours de cette activité, l élève résout des problèmes comprenant deux ou trois opérations telles que des additions, des soustractions, des multiplications, des divisions ainsi que des parenthèses. Pistes d observation L élève : détermine l ordre de priorité des opérations en fonction de divers contextes; établit un lien entre diverses représentations d une même situation (dessins, mots et égalités); évalue des expressions à plusieurs opérations en utilisant diverses représentations. Matériel requis crayons-feutres à encre effaçable rétroprojecteur feuilles Méli-mélo d opérations (une copie par élève) transparents des feuilles Méli-mélo d opérations feuilles À qui la priorité? (une copie par élève) fiche Des opérations en ordre (une copie par élève) Déroulement La priorité des opérations Au cours de cette activité, l enseignant ou l enseignante questionne les élèves en vue de les amener à évaluer des expressions numériques contenant plusieurs opérations. Relocalisation des opérations Dans les expressions numériques contenant des additions et des soustractions ou des multiplications et des divisions, il est possible de relocaliser les opérations, puisque cela ne change pas les résultats. On peut donc déplacer une étape de calcul dans la mesure où l opération qui se trouve devant le nombre est relocalisée avec le nombre. Ex. : + 6 = = + 6 = 7 = = 7 9 = 8 Alors, + 6 = + 6. Alors, = = 8 = 8 Priorité des opérations Dans les expressions numériques contenant des additions, des soustractions, des multiplications, des divisions, des parenthèses et des exposants, on doit respecter la priorité des opérations. Priorité des opérations P E MD ou DM AS Parenthèses Exposants Multiplications Divisions Additions Soustractions On ne peut pas relocaliser les opérations, car cela change le résultat. Numération et sens du nombre/mesure Module Série

6 Étape Poser aux élèves la question suivante : «Avez-vous déjà participé à un concours où, pour gagner, il fallait résoudre une équation telle que ( )?» Écrire l expression au tableau et permettre aux élèves d y répondre. Expliquer aux élèves que l on trouve régulièrement ce type de question dans des concours qu organisent différents organismes. Leur demander de dire la réponse qu elles et ils auraient donnée, et l écrire au tableau. Poser la question suivante : «Est-il possible d obtenir des réponses différentes pour cette expression?» Faire ressortir que les réponses peuvent varier si l on effectue les opérations dans un ordre différent. Je calcule de gauche à droite ( ) = 9 + ( ) = ( ) = = Je ne calcule pas de gauche à droite ( ) = 9 + = = 5 Expliquer aux élèves qu au cours des prochaines activités elles et ils étudieront l ordre des opérations dans différentes expressions mathématiques. Grouper les élèves en équipes de deux. Remettre à chaque élève les feuilles Méli-mélo d opérations et demander aux élèves de répondre aux questions et. Donner aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions. Exemples de questions : Comment as-tu représenté ce problème à l aide de dessins? Comment as-tu déterminé la réponse? Quelle égalité as-tu écrite pour représenter ce dessin? Quelles opérations y a-t-il dans cette égalité? Lorsque les élèves ont terminé, projeter les transparents des feuilles Méli-mélo d opérations et animer un échange mathématique en vue de discuter de chacun des problèmes. Voici la suite de l activité sous la forme d un scénario d apprentissage :. Le commis range 5 cahiers sur le rayon. Un client en achète 7. Le commis en ajoute 6. Combien de cahiers y a-t-il maintenant? Questions à poser Comment as-tu représenté ce problème à l aide de dessins? J ai dessiné 5 cahiers. J en ai biffé 7 et j en ai ajouté 6. Éléments à écrire sur le transparent Représentation à l aide de dessins Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! Extrait de la publication 6 e année

7 Quelle égalité as-tu écrite pour représenter ce dessin? J ai écrit =. Quelles opérations y a-t-il dans cette égalité? Il y a une soustraction et une addition dans cette égalité = = Quelle opération as-tu faite en premier? 5 7, c est 8, et 8 + 6, c est = = Peut-on changer l ordre des opérations? Peut-on dire que = ? Oui, on peut le dire, car 5 plus 6 moins 7, c est aussi. On peut changer l ordre des opérations, et obtenir le même résultat. 5 7 = = 7 = Comment peux-tu expliquer que l on peut changer l ordre des opérations d addition et de soustraction? On peut vendre 7 cahiers et en ajouter 6 ou on peut ajouter 6 cahiers et en vendre 7. Les actions restent les mêmes, la réponse est donc la même ou S il y a des additions et des soustractions dans une expression, y a-t-il un ordre d opérations à respecter? Il n y a pas vraiment d ordre à respecter lorsqu on ne fait qu ajouter des quantités au nombre 5 et en enlever. Cependant, si l on déplace un nombre, il faut s assurer que l opération devant le nombre est déplacée également = Kathy achète 5 paquets de boîtes de jus. Elle veut les partager également avec ses amies au cours de leur fin de semaine de camping. Combien de boîtes de jus chaque personne aura-t-elle? Questions à poser Comment as-tu représenté ce problème à l aide de dessins? J ai dessiné 5 paquets de boîtes de jus et je les ai partagés entre 5 personnes. Chaque personne aura donc 9 boîtes de jus. Éléments à écrire sur le transparent Représentation à l aide de dessins 5 J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J Numération et sens du nombre/mesure Module Série 5

8 Quelle égalité as-tu écrite pour représenter ce dessin? J ai écrit 5 5 = 9. Quelles opérations y a-t-il dans cette égalité? Il y a une multiplication et une division dans cette égalité. Quelle opération as-tu faite en premier? 5, c est 5, et 5 5 est égal à = = = 5 5 = 9 Peut-on changer l ordre des opérations? Peut-on dire que 5 5 = 5 5? Oui, on peut changer l ordre, car 5 divisé par 5 fois, c est 9. On peut changer l ordre des opérations et obtenir le même résultat. Comment peux-tu expliquer que l on peut changer l ordre des opérations de multiplication et de division? On peut diviser 5 paquets par 5 et l on peut multiplier les boîtes de jus par le nombre de paquets. La réponse est la même. S il y a des multiplications et des divisions dans une expression, y a-t-il un ordre d opérations à respecter? Il n y a pas vraiment d ordre à respecter, mais il faut multiplier 5 par et le diviser par 5, ou le diviser par 5 et le multiplier par. 5 5 = 5 5 = = 9 5 J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J 5 5 = 5 5 Remplir avec les élèves la section Conclusion des feuilles Méli-mélo d opérations et tirer des conclusions quant à l ordre des opérations d expressions contenant seulement des additions et des soustractions ou des multiplications et des divisions. Voici un exemple de conclusion possible : Conclusion Dans une expression mathématique, s il y a seulement des additions et des soustractions, on peut changer l ordre des opérations. Cependant, si l on déplace un nombre, il faut s assurer que l opération devant le nombre est aussi déplacée. Dans une expression mathématique, s il y a seulement des multiplications et des divisions, on peut changer l ordre des opérations. Cependant, si l on déplace un nombre, il faut s assurer que l opération devant le nombre est aussi déplacée = = 5 5 Demander aux élèves de répondre aux questions et. Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions. Exemples de questions : Comment as-tu représenté ce problème à l aide de dessins? Comment as-tu déterminé la réponse? Quelle égalité as-tu écrite pour représenter ce dessin? Quelles opérations y a-t-il dans cette égalité? 6 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! Extrait de la publication 6 e année

9 Lorsque les élèves ont terminé, projeter de nouveau les transparents des feuilles Méli-mélo d opérations et animer un échange mathématique en vue de discuter de chacun des problèmes. Voici la suite de l activité sous la forme d un scénario d apprentissage :. Adam a 0 crayons-feutres. Il achète boîtes contenant chacune 6 crayons-feutres. Combien de crayons-feutres Adam a-t-il maintenant? Questions à poser Comment as-tu représenté ce problème à l aide de dessins? J ai dessiné 0 crayons et boîtes contenant chacune 6 crayons. Quelle égalité as-tu écrite pour représenter ce dessin? J ai écrit =. Quelles opérations y a-t-il dans cette égalité? Il n y a que des additions. Y a-t-il une autre façon de représenter cette opération? Oui, on peut écrire =. Il y a une addition et une multiplication. Éléments à écrire sur le transparent Représentation à l aide de dessins = = = = Quelle opération as-tu faite en premier? J ai compté d abord boîtes de 6 crayons, puis j ai ajouté 0 crayons. J ai effectué la multiplication avant l addition = 0 + = Peut-on changer l ordre des opérations? Peut-on dire que = 0 6 +? Non, car 0 plus fois 6, c est 6 = 8. Dans le dessin, on voit 0 crayons plus boîtes de 6 crayons. La réponse n est pas la même si l on change l ordre des opérations. S il y a des multiplications et des additions dans une équation, y a-t-il un ordre d opérations à respecter? Oui, il faut effectuer la multiplication avant de faire l addition = 6 = = 0 + =. Zoé partage également 8 biscuits entre elle et ses deux amies. Ensuite, elle donne de ses biscuits à son petit frère. Combien de biscuits Zoé a-t-elle maintenant? Questions à poser Comment as-tu représenté ce problème à l aide de dessins? J ai dessiné 8 biscuits séparés en groupes égaux. J ai fait un X sur deux des biscuits pour illustrer les biscuits donnés au petit frère. Éléments à écrire sur le transparent Représentation à l aide de dessins Amie Amie Zoé Numération et sens du nombre/mesure Module Série 7

10 Quelle égalité as-tu écrite pour représenter ce dessin? J ai écrit 8 =. Quelles opérations y a-t-il dans cette égalité? Il y a une division et une soustraction dans cette égalité. Quelle opération as-tu faite en premier? 8, c est 6, et 6, c est 8 = 8 = 8 = 6 = Peut-on faire la soustraction en premier? Non, car 8, c est 8. Dans le dessin, on voit 8 biscuits divisés en groupes et biscuits de moins dans le groupe de Zoé. 8 = 8 = 8 Amie Amie Zoé S il y a des divisions et des soustractions dans une expression, y a-t-il un ordre d opérations à respecter? Oui, il faut effectuer la division avant de faire la soustraction. 8 = 6 = Remplir avec les élèves la section Conclusion des feuilles Méli-mélo d opérations et tirer des conclusions quant à l ordre des opérations d expressions contenant une addition ou une soustraction et une multiplication ou une division. Voici un exemple de conclusion possible : Conclusion Dans une expression mathématique, s il y a une addition ou une soustraction et une multiplication ou une division, on doit effectuer la multiplication ou la division avant l addition ou la soustraction = 0 + = ou 8 = 6 = Demander aux élèves de répondre à la question 5. Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions. Exemples de questions : Comment as-tu représenté ce problème à l aide de dessins? Comment as-tu déterminé la réponse? Quelle égalité as-tu écrite pour représenter ce dessin? Quelles opérations y a-t-il dans cette égalité? Lorsque les élèves ont terminé, projeter de nouveau les transparents des feuilles Méli-mélo d opérations et animer un échange mathématique en vue de discuter du problème. 8 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! Extrait de la publication 6 e année

11 5. Il y a 5 photos dans l enveloppe. Martine met 5 photos sur la première page de l album. Elle partage également le reste des photos sur les 0 autres pages. Combien de photos y a-t-il sur chacune des 0 pages? Questions à poser Comment as-tu représenté ce problème à l aide de dessins? J ai dessiné 5 photos sur une page de l album. J ai illustré les 0 photos sur les 0 autres pages de l album. Il y avait photos par page. 5 Éléments à écrire sur le transparent Représentation à l aide de dessins 0 5 Quelle égalité as-tu écrite pour représenter ce dessin? J ai écrit = = Quelles opérations y a-t-il dans cette égalité? Il y a une soustraction et une division dans cette égalité. Quelle opération as-tu faite en premier? J ai effectué la soustraction en premier : 5 moins 5, c est 0, et 0 0, c est. Représentation à l aide d une égalité = = 0 0 = Faire remarquer aux élèves que, dans le problème de Zoé, la division s effectuait avant la soustraction. Dans les cas où l on doit effectuer une addition ou une soustraction avant de multiplier ou de diviser, il faut mettre entre parenthèses l opération à mettre en priorité. Questions à poser Quelle opération doit-on mettre entre parenthèses si l on désire faire la soustraction en premier? On doit mettre 5 5 entre parenthèses. Éléments à écrire sur le transparent Représentation à l aide d une égalité (5 5) 0 = (5 5) 0 = 0 0 = Peut-on changer l ordre de ces opérations et faire la division en premier? Non, car 5 0,5, c est,5. Ce n est pas logique. Dans le dessin, je vois qu il faut soustraire 5 photos de 5 avant de répartir le reste des photos également sur les dix autres pages de l album = 5 0,5 =, S il y a des parenthèses dans les équations, y a-t-il un ordre d opérations à respecter? Oui, il faut effectuer l opération entre parenthèses avant de faire les autres opérations. (5 5) 0 = 0 0 = Remplir avec les élèves la section Conclusion des feuilles Méli-mélo d opérations et tirer des conclusions quant à l ordre des opérations d expressions contenant une addition ou une soustraction et une multiplication ou une division. Numération et sens du nombre/mesure Module Série 9

12 Voici un exemple de conclusion possible : Conclusion Dans une expression mathématique, s il y a des parenthèses, les opérations à l intérieur de ces dernières doivent être effectuées en premier. (5 5) 0 = 0 0 = Tracer, au tableau, le tableau ci-dessous pour illustrer la priorité des opérations. Priorité des opérations P MD ou DM AS Parenthèses Multiplications Additions Divisions Soustractions Revenir sur le problème présenté au début de l activité. Demander aux élèves de déterminer la valeur de l expression ( ) en tenant compte de l ordre des opérations ( ) = = = 5 Remettre à chaque élève les feuilles Grouper les élèves en équipes de deux. Étape À qui la priorité?. Dire aux élèves de résoudre les problèmes en suivant la même démarche qu à l étape, mais que, cette fois-ci, elles et ils devront écrire les opérations à effectuer, selon la priorité des opérations, et montrer tous leurs calculs. Donner aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. Faire une mise en commun des solutions en vue de faire ressortir l ordre des opérations de chacun des problèmes. Consulter les feuilles À qui la priorité? Corrigé. Remettre à chaque élève la fiche Des opérations en ordre et choisir les exercices à réaliser individuellement. Lien jeux Au moment opportun, présenter aux élèves un jeu de multiplication de la partie de la section Jeux. Permettre aux élèves d y jouer avec un ou des partenaires. Ces jeux peuvent servir pendant des temps libres, des temps de travail autonome, des fins de période et des fins de journée ou en centres d apprentissage. Les élèves peuvent aussi jouer à ces jeux à la maison avec des membres de leur famille. 50 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 6 e année

13 Méli-mélo d opérations Nom : Résous les problèmes suivants.. Le commis range 5 cahiers sur le rayon. Un client en achète 7. Le commis en ajoute 6. Combien de cahiers y a-t-il maintenant? Représentation à l aide de dessins. Kathy achète 5 paquets de boîtes de jus. Elle veut les partager également avec ses amies au cours de leur fin de semaine de camping. Combien de boîtes de jus chaque personne aura-t-elle? Représentation à l aide de dessins Conclusion. Adam a 0 crayons-feutres. Il achète boîtes contenant chacune 6 crayons-feutres. Combien de crayons-feutres Adam a-t-il maintenant? Représentation à l aide de dessins Numération et sens du nombre/mesure Module Série 5

14 . Zoé partage également 8 biscuits entre elle et ses deux amies. Ensuite, elle donne de ses biscuits à son petit frère. Combien de biscuits Zoé a-t-elle maintenant? Représentation à l aide de dessins Conclusion 5. Il y a 5 photos dans l enveloppe. Martine met 5 photos sur la première page de l album. Elle partage également le reste des photos sur les 0 autres pages. Combien de photos y a-t-il sur chacune des 0 pages? Représentation à l aide de dessins Conclusion 5 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! Extrait de la publication 6 e année

15 À qui la priorité? Nom :. Frédéric a un sac contenant 5 bonbons et un autre contenant 9 bonbons. Il partage également les bonbons dans six petits sacs. Combien de bonbons y a-t-il dans chaque sac? Représentation à l aide de dessins Représentation à l aide de mots. Maryse achète douzaines d œufs. Elle utilise 8 œufs pour faire une omelette. Combien d œufs lui reste-t-il? Représentation à l aide de dessins Représentation à l aide de mots Numération et sens du nombre/mesure Module Série 5

16 . Mylène a 8 pièces de deux dollars qu elle partage également entre elle, son frère et sa sœur. Combien d argent chaque personne a-t-elle? Représentation à l aide de dessins Représentation à l aide de mots. Claude a 6 billes dans sa collection. Il en perd. Son ami Marco lui en donne 5. Combien de billes Claude a-t-il dans sa collection? Représentation à l aide de dessins Représentation à l aide de mots 5 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! Extrait de la publication 6e année CORRIGÉ

17 À qui la priorité? Corrigé. Frédéric a un sac contenant 5 bonbons et un autre contenant 9 bonbons. Il partage également les bonbons dans six petits sacs. Combien de bonbons y a-t-il dans chaque sac? Représentation à l aide de dessins 5 9 (5 + 9) 6 =? Représentation à l aide de mots 5 plus 9 (un groupe de ) divisé en 6 (5 + 9) 6 = 6 = Faire ressortir que l utilisation des parenthèses est nécessaire, puisque l addition doit être effectuée avant la division.. Maryse achète douzaines d œufs. Elle utilise 8 œufs pour faire une omelette. Combien d œufs lui reste-t-il? Représentation à l aide de dessins 8 =? Représentation à l aide de mots groupes de ( fois ) moins 8 8 = 8 = 6 Faire ressortir que la multiplication doit être effectuée avant la soustraction.. Mylène a 8 pièces de deux dollars qu elle partage également entre elle, son frère et sa sœur. Combien d argent chaque personne a-t-elle? Représentation à l aide de dessins M : $ F : $ S : $ 8 =? Représentation à l aide de mots 8 divisé en groupes fois ou 8 fois divisé en groupes 8 = 6 = 8 = 6 = Faire ressortir qu il n y a pas d ordre à respecter lorsqu il n y a que des multiplications et des divisions. Numération et sens du nombre/mesure Module Série 55

18 . Claude a 6 billes dans sa collection. Il en perd. Son ami Marco lui en donne 5. Combien de billes Claude a-t-il dans sa collection? Représentation à l aide de dessins =? 6 moins plus 5 Représentation à l aide de mots 6 plus 5 moins = + 5 = = = 7 Faire ressortir qu il n y a pas d ordre à respecter lorsqu il n y a que des additions et des soustractions. 56 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! Extrait de la publication 6 e année

19 Des opérations en ordre Nom :. Résous le problème suivant. Lucas a 8 bandes dessinées. Son ami Chase en a. Chase décide de partager également ses bandes dessinées entre lui et son ami Lucas. Combien de bandes dessinées Lucas a-t-il maintenant? Représentation à l aide de dessins Représentation à l aide de mots. Résous les problèmes suivants. a) Un groupe-classe est composé de élèves. L école achète, pour chaque élève de ce groupe-classe, un manuel de mathématiques de $ et un roman de 8 $. Combien coûtent en tout les manuels et les romans? Représentation à l aide de mots b) Un rayon de bibliothèque mesure 6 cm. Je dépose, sur ce rayon, livres de cm d épaisseur. Combien d espace reste-t-il sur ce rayon? Représentation à l aide de mots. Évalue les expressions suivantes. a) b) c) d) e) f) (8 + ) 5 Numération et sens du nombre/mesure Module Série 57 CORRIGÉ

20 . Résous le problème suivant. Des opérations en ordre Corrigé Lucas a 8 bandes dessinées. Son ami Chase en a. Chase décide de partager également ses bandes dessinées entre lui et son ami Lucas. Combien de bandes dessinées Lucas a-t-il maintenant? Représentation à l aide de dessins Lucas 8 + =? 8 plus divisé par Chase Représentation à l aide de mots 8 + = =. Résous les problèmes suivants. a) Un groupe-classe est composé de élèves. L école achète, pour chaque élève de ce groupe-classe, un manuel de mathématiques de $ et un roman de 8 $. Combien coûtent en tout les manuels et les romans? Représentation à l aide de mots groupes de plus groupes de 8 ou groupes de = = = 80 ou ( + 8) = 0 = 80 Les manuels et les romans coûtent en tout 80 $. b) Un rayon de bibliothèque mesure 6 cm. Je dépose, sur ce rayon, livres de cm d épaisseur. Combien d espace reste-t-il sur ce rayon? Représentation à l aide de mots 6 moins groupes de 6 = 6 96 = 0 Il reste 0 cm sur le rayon.. Évalue les expressions suivantes. a) = 0 8 = d) = 50 0 = 5 b) = = e) = + = c) = + 7 = 8 f) (8 + ) 5 = 0 5 = 58 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 6 e année

21 Une réponse gagnante Au cours de cette activité, l élève applique la priorité des opérations dans des expressions comprenant des additions, des soustractions, des multiplications, des divisions ainsi que des parenthèses. Pistes d observation L élève : établit un lien entre les diverses représentations d une même expression (dessins, mots et symboles); détermine la valeur d une expression en respectant la priorité des opérations. Matériel requis feuille Réponse gagnante (une copie par élève) fiche Opérations prioritaires (une copie par élève) Déroulement Minileçon 0 minutes Réaliser la minileçon de la section Minileçons de cette série. Revoir avec les élèves l ordre des opérations dans des expressions mathématiques. Priorité des opérations P MD ou DM AS Parenthèses Multiplications Divisions Additions Soustractions Expliquer aux élèves qu au cours de cette activité elles et ils devront déterminer la valeur de différentes expressions mathématiques en tenant compte de l ordre des opérations. Grouper les élèves en équipes de deux et remettre à chaque élève une copie de la feuille Réponse gagnante. Lire la mise en situation et demander aux élèves de remplir la feuille. Allouer aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant les questions suivantes. Quelles opérations trouve-t-on dans cette équation? Quelle opération est prioritaire? Pourquoi? Peux-tu déplacer certains nombres en vue de faciliter tes calculs? Pourquoi cette personne ne peut-elle pas gagner de prix? Quelle erreur a-t-elle commise? Faire une mise en commun des solutions en consultant les feuilles Réponse gagnante Corrigé. Numération et sens du nombre/mesure Module Série 59 Extrait de la publication

22 Faire ressortir : que l on peut représenter une équation à l aide de dessins ou de mots en vue de déterminer plus facilement l ordre des opérations; que, pour résoudre une équation, on doit respecter la priorité des opérations, c est-à-dire les conventions qui déterminent l ordre selon lequel on doit effectuer des opérations. Remettre à chaque élève la fiche Opérations prioritaires et choisir les exercices à réaliser individuellement. Note : On trouvera des exercices et des problèmes supplémentaires portant sur l ordre des opérations dans les fiches des prochaines activités et dans le centre d apprentissage Défis de l activité Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 6 e année

23 Réponse gagnante Nom : Un grand tirage organisé à l occasion d une collecte de fonds a fait plusieurs gagnants et gagnantes. Pour obtenir leur prix, les personnes doivent avoir répondu correctement à la question d habileté mathématique écrite sur le coupon de participation. a) Réponds à chaque question d habileté mathématique. b) Examine les réponses des personnes et trouve celles qui n auront pas de prix. Question A Nom : Nom : = = 7 =6 Gilles Nom : Geneviève = 0 0 = 0 Question B Nom : Nom : = = 0 =7 Maxim Nom : Mathieu = 9 = 5 Question C Nom : Nom : 6 + = 6 + = 6 + = 9 Charlotte Nom : Cédric 6 + = 8 = Question D Nom : Nom : = = 8 + = 6 + = 9 Yuri Nom : Yvonne = =0+ = Question E Nom : Nom : 50 (5 + 0) = 50 (5 + 0) = = 0 Bernadette Numération et sens du nombre/mesure Nom : Benoît 50 (5 + 0) = 50 5 = Module Série 6 Extrait de la publication CORRIGÉ

24 Réponse gagnante Corrigé Un grand tirage organisé à l occasion d une collecte de fonds a fait plusieurs gagnants et gagnantes. Pour obtenir leur prix, les personnes doivent avoir répondu correctement à la question d habileté mathématique écrite sur le coupon de participation. a) Réponds à chaque question d habileté mathématique. b) Examine les réponses des personnes et trouve celles qui n auront pas de prix. Question A Nom : Pascale = 7 = 6 Nom : Gilles = 7 = 6 Nom : Geneviève = 0 0 = La réponse est fausse. Geneviève n aura pas de prix On doit soustraire 7 et 7 de 0. Geneviève a soustrait 7 de 7 et, par conséquent, a soustrait une plus petite quantité de 0. Question B Nom : Pascale = + = 5 Nom : Maxim = 0 = 7 Nom : Mathieu = 9 = 5 9 La réponse est fausse. Maxim n aura pas de prix En additionnant 9 et, Maxim a soustrait de 0. C est trop. Le problème demande de soustraire 9, puis d additionner. 5 0 Question C Nom : Pascale 6 + = 6 + = = 9 Nom : Charlotte 6 + = 6 + = = 9 Nom : Cédric 6 + = 8 = La réponse est fausse. Cédric n aura pas de prix. C est qui est divisé en, et non 8. On doit effectuer la division avant l addition. 6 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 6 e année

25 Question D Nom : Pascale = = Nom : Yuri = 8 + = 6 + = 9 Nom : Yvonne = = 0 + = La réponse est fausse. Yuri n aura pas de prix. Les opérations ont été effectuées dans l ordre qu elles apparaissent. La multiplication doit être effectuée en premier, car on doit enlever 8 groupes de à 6. Question E Nom : Pascale Nom : Bernadette Nom : Benoît 50 (5 + 0) = 50 5 = 50 (5 + 0) = = 0 50 (5 + 0) = 50 5 = 50 objets à diviser entre groupe formé de 5 plus 0 personnes La réponse est fausse. Bernadette n aura pas de prix. Les opérations ont été effectuées dans l ordre qu elles apparaissent en ignorant les parenthèses. 50 objets à diviser entre groupe formé de 5 plus 0 personnes Numération et sens du nombre/mesure Module Série 6

26 Opérations prioritaires Nom :. Nina achète boîtes contenant chacune 8 stylos rouges et 5 boîtes contenant chacune stylos bleus. Combien de stylos Nina a-t-elle achetés? Dessins Mots Égalité. Il y a 0 bouteilles d eau sur une tablette. Morgan y ajoute paquets contenant chacun 6 bouteilles d eau. Elle boit bouteilles d eau au cours de la journée. Combien de bouteilles d eau reste-t-il sur la tablette? Dessins Mots Égalité. Dans les énoncés ci-dessous, certaines données ont été effacées. Chaque énoncé est représenté par une égalité. Complète les énoncés en insérant les données manquantes aux endroits appropriés. Énoncés François achète des billets en vue d un tirage. La facture Égalités = 80 s élève à dollars. Il achète billets au coût de dollars chacun et deux billets au coût de dollars chacun. Lorraine est allée magasiner après avoir gagné une somme de = 6 dollars. Elle achète colliers à douze dollars chacun, une paire de souliers à dollars et deux chandails à dollars chacun. Il lui reste encore dollars à dépenser. 6 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 6 e année

27 a b c 9 a b c a b+c. Remplis le tableau ci-dessous et évalue chaque expression. (a + b) c 5. Évalue les expressions suivantes. a) 9 7 = b) = c) 6 0 = d) 6 ( + ) = 6. Les résultats des calculs ci-dessous sont justes, mais des parenthèses ont été effacées. Écris les égalités en ajoutant les parenthèses aux endroits appropriés. a) = 55 b) 9 + = 6 c) 5 8 = 56 d) + 7 = 7. Calcule l aire du rectangle ci-dessous en utilisant une égalité. Utilise les variables pour écrire la formule de l aire. a= b=5 c= a b Numération et sens du nombre/mesure c Module Série 65 CORRIGÉ

28 Opérations prioritaires Corrigé. Nina achète boîtes contenant chacune 8 stylos rouges et 5 boîtes contenant chacune stylos bleus. Combien de stylos Nina a-t-elle achetés? Dessins Mots Égalité groupes de 8 plus 5 groupes de = + 0 =. Il y a 0 bouteilles d eau sur une tablette. Morgan y ajoute paquets contenant chacun 6 bouteilles d eau. Elle boit bouteilles d eau au cours de la journée. Combien de bouteilles d eau reste-t-il sur la tablette? Dessins Mots Égalité 0 plus groupes de 6 moins = 0 + = = 9 ou = 0 + = = 9. Dans les énoncés ci-dessous, certaines données ont été effacées. Chaque énoncé est représenté par une égalité. Complète les énoncés en insérant les données manquantes aux endroits appropriés. Énoncés François achète des billets en vue d un tirage. La facture s élève à 80 dollars. Il achète billets au coût de 5 dollars chacun et deux billets au coût de 0 dollars chacun. Lorraine est allée magasiner après avoir gagné une somme de 00 dollars. Elle achète colliers à douze dollars chacun, une paire de souliers à 8 dollars et deux chandails à 5 dollars chacun. Il lui reste encore 6 dollars à dépenser. Égalités = = 6. Remplis le tableau ci-dessous et évalue chaque expression. a b c a b c a b + c (a + b) c 9 9 = 9 6 = 9 + = + = 5 (9 + ) = = = = 0 + = + = 6 ( + ) = 6 = 8 66 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 6 e année

29 5. Évalue les expressions suivantes. a) 9 7 = 9 6 = c) 6 0 = 60 = 0 ou 6 0 = 6 0 = 0 = 0 b) = + = 5 ou = = 50 5 = 5 d) 6 ( + ) = 6 6 = 6 = ou 6 ( + ) = 6 6 = 6 = 6. Les résultats des calculs ci-dessous sont justes, mais des parenthèses ont été effacées. Écris les égalités en ajoutant les parenthèses aux endroits appropriés. a) 5 ( + 8) = 55 b) (9 + ) = 6 c) ( 5) 8 = 56 d) ( + ) 7 = 7. Calcule l aire du rectangle ci-dessous en utilisant une égalité. Utilise les variables pour écrire la formule de l aire. a = b = 5 c = A = b a + c a = 5 + = = 6 a b c Numération et sens du nombre/mesure Module Série 67

30 7 Multiplications de fractions Au cours de cette activité, l élève multiplie un nombre naturel par une fraction et une fraction par un nombre naturel en utilisant des représentations variées. Pistes d observation L élève : choisit une représentation visuelle, des mots et des calculs pour résoudre un problème de multiplication; associe l expression «groupe de» à l opération de multiplication; multiplie un nombre naturel par une fraction; multiplie une fraction par un nombre naturel. Matériel requis crayons-feutres à encre effaçable rétroprojecteur feuilles Groupes (une copie par élève) transparents des feuilles Groupes feuille Multiplications (une copie par élève) fiche Tableaux (une copie par élève) Déroulement Minileçon 0 minutes Réaliser avec les élèves la série A de la minileçon de la section Minileçons de cette série. Étape Présenter la mise en situation suivante. J ai reçu trois amis à souper. Nous avons mangé pizza chacun. Quelle quantité de pizzas avonsnous mangées en tout? Dire aux élèves qu aujourd hui elles et ils vont résoudre ce problème en représentant la situation à l aide d une représentation visuelle, d une représentation en mots et de calculs. Grouper les élèves en équipes de deux. Remettre à chaque élève une copie des feuilles Groupes et dire aux élèves de répondre à la question. Donner aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions en vue de les amener à verbaliser leur compréhension et à représenter la situation de différentes façons. 7 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 6 e année

31 Une fois le travail terminé, demander à quelques élèves de faire part de leur solution et les noter sur le transparent des feuilles Groupes. Voici un exemple de solution possible : J ai reçu trois amis à souper. Nous avons mangé pizza chacun. Quelle quantité de pizzas avons-nous mangées en tout? Représentation visuelle Représentation en mots 7 demi-pizzas, c est égal à pizzas = ou pizzas pizzas Poser aux élèves la question suivante : «Quelle opération as-tu utilisée pour résoudre ce problème?» J ai fait une addition. Relire le problème avec les élèves et leur faire remarquer que, dans ce problème, on cherche la quantité de pizzas qui équivaut à groupes de, puisque personnes mangent chacune pizza. Poser aux élèves les questions suivantes. Quelle autre opération aurait-on pu utiliser? Lorsqu on compte des groupes d objets, on utilise la multiplication. Alors, au lieu d additionner + + +, on peut multiplier. Si groupes de, c est égal à, alors fois, c est égal à. Le résultat sera-t-il le même si l on fait au lieu de + + +? Oui, car ce sont les mêmes actions. Oui, car l addition répétée peut être exprimée au moyen d une multiplication lorsque les groupes d objets sont égaux. 0 Peux-tu le montrer en utilisant des nombres naturels? Oui. Par exemple, = 0 et 5 = 0. pizzas = 5 Numération et sens du nombre/mesure Module Série 75 Extrait de la publication

32 7 Écrire, sur le transparent des feuilles Groupes, les mots et la multiplication tels qu ils sont illustrés ci-dessous. Représentation visuelle Représentation en mots pizzas demi-pizzas, c est égal à pizzas groupes de, c est égal à fois, c est égal à = ou pizzas = = Faire ressortir : que l on peut résoudre le problème en utilisant plus d une représentation; qu il y a plus d une stratégie de calcul possible (addition et multiplication); que, lorsqu on reconnaît une situation de groupement («groupe de»), on peut penser à utiliser la multiplication (p. ex., = ). Note : La représentation symbolique de la multiplication comportant une fraction est secondaire à la compréhension du sens de l opération. En 6 e année, il est important de miser sur les représentations visuelles auxquelles l élève associe la représentation symbolique de ce qu elle ou il vient de faire, sans avoir recours à une série d opérations arithmétiques. En 8 e année, l élève explorera une variété de stratégies de calcul qui lui permettront de déterminer le produit d une multiplication comportant une ou deux fractions. Remplir, avec les élèves, le tableau de la question des feuille Groupes. Souligner le lien entre l expression «groupe de» et l opération de multiplication. Voici des exemples de solutions possibles : Représentation en mots Représentation visuelle groupes de + + = = groupes de = = ou groupes de = = 6 7 groupes de + + = 9 ou = 9 ou 76 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 6 e année

33 7 groupes de 5 groupe de = 0 ou 5 groupe de 5 5 = 0 ou 5 Lire, avec les élèves, le problème de la question des feuilles Groupes. Leur demander de le résoudre en utilisant une représentation visuelle, une représentation en mots et des calculs. Donner aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions en vue de les amener à verbaliser leur compréhension et à représenter la situation de différentes façons. Une fois le travail terminé, demander à quelques élèves de faire part de leur solution et noter les solutions sur le transparent des feuilles Groupes. Poser les questions ci-dessous et laisser des traces, sur le transparent, dans les colonnes Représentation en mots et. Qu as-tu fait pour déterminer le nombre d élèves qui portent une tuque? J ai divisé les élèves en deux groupes : ceux qui portent une tuque et ceux qui n en portent pas. Que cherchais-tu en divisant par? Je cherchais la moitié de. Peut-on dire que tu cherchais «la moitié d un groupe de»? Oui, la moitié de ou la moitié d un groupe de, cela veut dire la même chose. L expression «groupe de» correspond à quelle opération? L expression «groupe de» correspond à la multiplication, puisqu on utilise la multiplication lorsqu on compte des groupes d objets égaux. Comment peut-on écrire, de façon symbolique, «la moitié de»? La moitié, c est. Représentation visuelle Représentation en mots La moitié de, c est égal à. = de élèves = élèves d un groupe de La moitié d un groupe de, c est égal à. = Qu as-tu fait pour déterminer le nombre d élèves qui portent un foulard? J ai divisé les élèves en trois groupes, puisqu un tiers des élèves seulement portent un foulard. Alors, = 8, donc 8 élèves portent un foulard. Comment peut-on noter symboliquement «le tiers d un groupe de est égal à 8»? On peut écrire un tiers en fraction et exprimer «groupe de» à l aide du symbole de la multiplication. Numération et sens du nombre/mesure Module Série 77

34 7 Représentation visuelle Représentation en mots Le tiers de, c est égal à 8. = 8 de élèves = 8 élèves Il y a élèves qui portent une tuque et 8 élèves qui portent un foulard. d un groupe de Le tiers d un groupe de, c est égal à 8. = 8 Faire ressortir : que l on peut résoudre le problème en utilisant plus d une représentation; qu il y a plus d une stratégie de calcul possible; que, dans le langage courant, on dit «un tiers de» et que cette expression veut aussi dire «un tiers d un groupe de». que, lorsqu on reconnaît une situation de groupement («groupe de»), on peut penser à utiliser la multiplication (p. ex., = 8). Remplir, avec les élèves, le tableau de la question des feuilles Groupes en soulignant le lien entre l expression «groupe de» et l opération de multiplication. Voici des exemples de solutions possibles : Représentation en mots Représentation visuelle d un groupe de 6 6 = 6 = d un groupe de 6 6 = 6 = d un groupe de 6 6 = et = ou + = 6 = d un groupe de d un groupe de 9 = = = et = 9 ou + + = 9 = 9 78 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 6 e année

35 Dire aux élèves de remplir le tableau de la question 5 des feuilles Groupes en représentant les situations à l aide d une multiplication. groupes de groupes de d un groupe de d un groupe de 9 7 = = = 9 = 6 Remettre à chaque élève la feuille Étape Multiplications. Donner aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions en vue de les amener à verbaliser leur compréhension et à représenter les situations de différentes façons. Lorsque les élèves ont terminé, faire une mise en commun des résultats en consultant la feuille Multiplications Corrigé. Remettre à chaque élève la fiche Tableaux et sélectionner les exercices à réaliser individuellement. Numération et sens du nombre/mesure Module Série 79

36 7 Groupes Nom :. Résous le problème suivant. J ai reçu trois amis à souper. Nous avons mangé pizza chacun. Quelle quantité de pizzas avons-nous mangées en tout? Représentation visuelle Représentation en mots. Remplis le tableau suivant. Représentation en mots Représentation visuelle groupes de groupes de groupes de 7 groupes de groupes de 5 80 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! Extrait de la publication 6 e année

37 . Résous le problème suivant. Dans une salle de classe de 6 e année, des élèves portent une tuque et des élèves portent un foulard. S il y a élèves dans la salle de classe, combien d élèves portent une tuque et combien d élèves portent un foulard? 7 Représentation visuelle Représentation en mots. Remplis le tableau suivant. Représentation en mots Représentation visuelle d un groupe de 6 d un groupe de 6 d un groupe de 6 d un groupe de d un groupe de 5. Souligne l expression «groupe de» dans chaque énoncé. Exprime les situations sous la forme d une multiplication et détermine le produit. groupes de groupes de d un groupe de d un groupe de 9 Numération et sens du nombre/mesure Module Série 8 Extrait de la publication

38 7 Multiplications Nom : Remplis le tableau suivant. Opérations Représentation en mots 6 d un groupe de 6 ou la moitié de 6 9 Représentation visuelle 6= ou 6 = d un groupe de 9 groupes de 5 d un groupe de groupes de Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 6e année CORRIGÉ

39 Remplis le tableau suivant. Multiplications Corrigé 7 Opérations Représentation en mots 6 d un groupe de 6 ou la moitié de 6 Représentation visuelle 6 = ou 6 = 9 d un groupe de 9 9 = 9 = groupes de + = = 5 groupes de = = 5 groupes de + + = 6 ou = 6 ou 8 d un groupe de 8 8 = 6 8 = et = d un groupe de = 6 8 = 6 8 = groupes de 8 ou = 6 8 = 6 8 = 6 8 = 0 groupes de = = groupes de 5 5 = 8 5 ou 5 0 d un groupe de 0 ou la moitié de 0 0 = 0 0 = 0 Numération et sens du nombre/mesure Module Série 8

40 7 Tableaux Nom :. Résous les problèmes suivants. a) Martine a fichiers, à l ordinateur, dans son dossier de travaux : des fichiers sont des travaux scolaires des fichiers sont des photos des fichiers sont des illustrations 6 Combien y a-t-il de fichiers dans chaque catégorie? Travaux scolaires Photos Illustrations b) Pour l anniversaire de son frère, Yvon doit faire des hamburgers. Les boulettes de viande doivent peser de kg chacune. 8 S il doit préparer 8 boulettes, quelle quantité de viande doit-il acheter? 8 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! Extrait de la publication 6 e année

41 7 Opération Représentation en mots Représentation visuelle. Remplis le tableau suivant Remplis le tableau suivant. Énoncé élèves et d un groupe de 0 élèves une séance de heures et 0 séances de d heure Représentation visuelle Opération Numération et sens du nombre/mesure Module Série 85 CORRIGÉ

42 7. Résous les problèmes suivants. Tableaux Corrigé a) Martine a fichiers, à l ordinateur, dans son dossier de travaux : des fichiers sont des travaux scolaires des fichiers sont des photos des fichiers sont des illustrations 6 Combien y a-t-il de fichiers dans chaque catégorie? Travaux scolaires Photos Illustrations de = ou = Il y a fichiers de travaux scolaires. de = ou = Il y a fichiers de photos. de 6 = 7 ou 6 = 7 6 Il y a 7 fichiers d illustrations. b) Pour l anniversaire de son frère, Yvon doit faire des hamburgers. Les boulettes de viande doivent peser de kg chacune. 8 S il doit préparer 8 boulettes, quelle quantité de viande doit-il acheter? Voici des exemples de solutions possibles : Exemple Exemple 8 groupes de 8 = 8 8 = 8 8 ou Il doit acheter kg de viande Yvon doit acheter 8 8 de kg de viande.. Remplis le tableau suivant. Opération Représentation en mots Représentation visuelle d un groupe de = = 86 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! Extrait de la publication 6 e année

43 7 groupes de = 5 5 d un groupe de = 9 ou 5 5 = 9 groupes de = 8 ou. Remplis le tableau suivant. Énoncé élèves et d un groupe de 0 élèves une séance de heures et 0 séances de d heure heures et 0 fois 5 minutes : Représentation visuelle h + Opération = = 8 Il y a 8 élèves en tout. 0 = = 8 La durée est de 8 heures en tout. Numération et sens du nombre/mesure Module Série 87

44 9 Horizontalement. =? Verticalement. =? 5.? = =? =? 00. d un gramme 000 =? =? Pour une même fraction, la grosseur des parties dépend du _?_. 5 =? 0. est plus _?_ que =? =? 7. =? =? ? = =? 9.? = 6 9. est plus _?_ que m =? cm. 6 =? ? = =? 0. mm = cm?. =? est une fraction _?_ 6. Plus le dénominateur a est grand, plus la fraction est a _?_. 8.? = 9. =? =? =?. 56 =? 8. 6 =?.? = 500. =?. Le plus petit dénominateur _?_ de et de est 6. Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! Extrait de la publication? = 9 6e année CORRIGÉ

45 Défi Corrigé Horizontalement :. onze 5. vingt-huit 9. vingt-cinq. grand 5. neuvièmes 6. un 7. tiers 9. petit. septième. quinze. cent 6. petite 9. douze 0. quart. huit. six 9 Verticalement :. demi. vingt-quatre. mg 6. un 7. trois 8. vingt 9. vingt et un 0. cinquante. neuf. dixième. impropre 8. cinq 0. huit. sept. mille. commun 5. deux 7. tout 8. zéro 9. dix 8 V I N G T 8 C I N Q H D N Z E M 9 V I I R A N D G T 9 P E T I T U S U I N Z E O 6 P U E I 7 T O U T I V I N N G T Q U P T E S T A T R E P I 9 D I X 5 V 0 C I N Q U 5 6 I I E N N N Q E U V F M G A N T I È M E 5 D E I L L O U Z E X 7 T T D I X I È M P I E R S O 0 H P U R I C E N T È M E 0 Q H O M M U N 6 U N 8 I Z E A R O 7 T R O I E S T Numération et sens du nombre/mesure Module Série Extrait de la publication