1 exception Arbre_vide. 1 val vide : a t 2 3 val cree : a -> a t -> a t -> a t

Transcription

1 Implantation Opérations primitives En OCaml : une implantation non mutable, qui suit la définition précédente type a t = Vide Noeud of a * a t * a t une implantation mutable, c est-à-dire qui permet de modifier les sous-arbres d un nœud type a arbre = Vide Cons of a noeud and a noeud = { 3 etiquette : a; mutable gauche : a arbre; 5 mutable droit : a arbre 6 } Un implantation en C sera vue en PdC. exception Arbre_vide Les constructeurs : val vide : a t 3 val cree : a -> a t -> a t -> a t Les sélecteurs : val racine : a t -> a 3 val gauche : a t -> a t 5 val droit : a t -> a t déclenchent l exception :Arbre_vide Un prédicat : val est_vide : a t -> bool Université Lille, Info 0 - ASD, Licence Informatique S Structures arborescentes 9/50 Université Lille, Info 0 - ASD, Licence Informatique S Structures arborescentes 0/50 Parcours en profondeur Exemple On traite récursivement les nœuds de l arbre. Trois sens de parcours : préfixé : traiter la racine, puis le sous-arbre gauche, puis le sous-arbre droit ; postfixé : traiter le sous-arbre gauche, puis le sous-arbre droit, puis la racine ; infixé : traiter le sous-arbre gauche, puis la racine, puis le sous-arbre droit. b g d a h e c f infixé postfixé préfixé b, g, d, h, a, e, c, f g, h, d, b, e, f, c, a a, b, d, g, h, c, e, f Parcours en profondeur - récursif procedure AffichagePrefixe(a) si a n est pas vide alors (* traitement de la racine *) a cher l étiquette de la racine (* traitement des fils gauche et droit *) AffichagePrefixe(Gauche(a)) AffichagePrefixe(Droit(a)) Note : pour changer le type de parcours il su instructions du if. Comment dérécursiver le parcours? t d échanger les trois Université Lille, Info 0 - ASD, Licence Informatique S Structures arborescentes /50 Université Lille, Info 0 - ASD, Licence Informatique S Structures arborescentes /50

2 Parcours en profondeur - itératif avec pile Parcours en largeur procedure AffichagePrefixe(a) soit p une pile d arbres empiler a dans p tant que p n est pas vide faire (* on traite l arbre au sommet de la pile *) s sommet de p dépiler p si s n est pas vide alors a cher l étiquette de la racine de s empiler le Droit(s) dansp empiler le Gauche(s) dansp fin tant que On traite les nœuds, des moins profonds aux plus profonds, par strates. Exemple b g d a h e c f a,b,c,d,e,f,g,h Comment réaliser un tel parcours? Il ne faut pas se tromper et bien empiler le sous-arbre droit avant le sous-arbre gauche car la pile est une structure LIFO. Université Lille, Info 0 - ASD, Licence Informatique S Structures arborescentes 3/50 Université Lille, Info 0 - ASD, Licence Informatique S Structures arborescentes /50 Parcours en largeur - itératif avec file Calcul de la taille d un arbre binaire procedure AffichageEnLargeur(a) soit f une file d arbres enfile a dans f tant que f n est pas vide faire s tête de f défiler f si s n est pas vide alors a cher la racine de s enfiler le Gauche(s) dansf enfiler le Droit(s) dansf fin tant que procedure Taille(a) renvoyer 0 t g Taille(Gauche(a)) t d Taille(Droit(a)) renvoyer +t g + t d Université Lille, Info 0 - ASD, Licence Informatique S Structures arborescentes 5/50 Université Lille, Info 0 - ASD, Licence Informatique S Structures arborescentes 6/50

3 Calcul de la hauteur d un arbre binaire Par convention, on aura h( ) =. procedure Hauteur(a) renvoyer h g Hauteur(Gauche(a)) h d Hauteur(Droit(a)) renvoyer +max(h g, h d) Construction d arbres binaires A partir d une liste d étiquettes, comment construire un arbre? Exemple pour 3 étiquettes Structures possibles pour 3 étiquettes : Pouvant être étiquetés de 3! = 6 manières di érentes chacun, pour 3 étiquettes di érentes. Un arbre est équilibré s il est vide, ou bien si ses deux sous-arbres sont équilibrés ; et les tailles de ses deux sous-arbres ne di è r e n t q u e d a u plus Université Lille, Info 0 - ASD, Licence Informatique S Structures arborescentes 7/50 Université Lille, Info 0 - ASD, Licence Informatique S Structures arborescentes 8/50 Construction d un arbre équilibré à partir d une liste Définition des arbres binaires de recherche procedure CreerArbreEquilibre(l) si l est vide alors renvoyer soient x la tête de l, etl 0 son reste soit (l, l )lecoupledelistesobtenuenséparantl en deux listes de longueurs égales (à près) g CreerArbreEquilibre(l ) d CreerArbreEquilibre(l ) renvoyer creer(x, g, d) Definition Un arbre binaire de recherche (ou ordonné) est un arbre vide, ou un arbre binaire satisfaisant les trois conditions suivantes l élément étiquetant la racine de l arbre est supérieur ou égal à tous les éléments étiquetant les nœuds du sous-arbre gauche ; l élément étiquetant la racine de l arbre est inférieur à tous les éléments étiquetant les nœuds du sous-arbre droit ; 3 les deux sous-arbres sont eux-mêmes des arbres binaires de recherche. Université Lille, Info 0 - ASD, Licence Informatique S Structures arborescentes 9/50 Université Lille, Info 0 - ASD, Licence Informatique S Structures arborescentes 0/50

4 Exemple Université Lille, Info 0 - ASD, Licence Informatique S Structures arborescentes /50 Est-ce un arbre binaire de recherche? Entrée : un arbre binaire a Sortie : Vrai si a est un ABR, Faux renvoyer Vrai si le sous-arbre gauche de a n est pas un ABR alors si le sous-arbre droit de a n est pas un ABR alors si la racine de a n est pas supérieure à tous les éléments du sous-arbre gauche alors si la racine de a n est pas inférieure à tous les éléments du sous-arbre droit alors renvoyer Vrai Université Lille, Info 0 - ASD, Licence Informatique S Structures arborescentes /50 Propriétés d un ABR la plus petite étiquette se trouve dans le nœud le plus à gauche de l arbre la plus grande étiquette se trouve dans le nœud le plus à droite de l arbre La recherche de la plus grande ou de la plus petite étiquette se fait en O(h). Si l arbre est équilibré alors c est en (log(n)). le parcours préfixé d un ABR aboutit à une liste croissante des valeurs stockées aux nœuds de l ABR. le parcours postfixé d un ABR aboutit à une liste croissante des valeurs stockées aux nœuds de l ABR.? Question Où se trouve la valeur médiane dans un ABR? Université Lille, Info 0 - ASD, Licence Informatique S Structures arborescentes 3/50 Université Lille, Info 0 - ASD, Licence Informatique S Structures arborescentes /50

5 Recherche dans un ABR procedure Rechercher(e, a) Sortie : un sous-arbre de a dont la racine est étiquetée par e s il en existe, l arbre vide renvoyer r Racine(a) si e = r alors renvoyer a si e < r alors renvoyer Rechercher(e,Gauche(a)) renvoyer Rechercher(e,Droit(a)) Université Lille, Info 0 - ASD, Licence Informatique S Structures arborescentes 5/50