Equation de continuité

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1 DYNAMIQUE DES FLUIDES 1/5 g =9,81 m/s² pour tous les exercices Equation de continuité Exercice 1 Lors de l étude d un canal d irrigation on mesure, dans une partie horizontale, ces différentes grandeurs : vitesse de l eau 1,2 m/s largeur du canal b = 1,5 m hauteur d eau h = 0,2 m Un peu plus loin, dans une partie en pente, la hauteur n est plus que de h = 0,12m. 1. Quel est le débit en volume et en masse dans le canal? 2. Quelle est la vitesse de l eau dans la partie en pente? Exercice 2 Dans le cylindre d un moteur diesel on injecte 0,5 cm3 de gazole durant 1/240 e de seconde. Le piston de la pompe d injection a un diamètre d 1 = 14 mm. Le passage du gazole, de l injecteur vers le cylindre, est réalisé par 5 trous de diamètre d 2 = 0,4 mm. 1. Quelle est la durée de l injection? 2. Quelle est la surface du pison? 3. Calculer le débit en volume de cette pompe. 4. Calculer la vitesse supposée uniforme du piston. 5. Quelle est la vitesse du gazole à la sortie des trous d injecteur? Théorème de Bernoulli Exercice 3 Le niveau de l eau dans un château d eau est à l altitude z 1 = 325 m. Le point le plus bas du réseau de distribution est situé à l altitude z 2 = 240 m. Le robinet situé en z 2 a un diamètre intérieur d = 15 mm. Remarque : le jet de l eau en sortie du robinet est entouré d air à la pression atmosphérique. 1. Faire un dessin de l installation et préciser la position des points 1 et Calculer la vitesse de l eau à la sortie du robinet, commenter votre résultat. 3. Quel est le débit en volume et en masse de l eau à la sortie du robinet? Exercice 4 On considère le tuyau d alimentation d une lance à incendie à la sortie de la pompe (point 1) et la lance elle-même (sortie, point 2).On néglige la différence d altitude entre le point 1 et le point 2. A la sortie de la pompe la vitesse de l eau est de v 1 = 10 m/s et à la sotie de la lance la vitesse est de v 2 = 100 m/s. 1. Donner la raison pour laquelle la vitesse de l eau est différente à la sortie de la pompe et à la sortie du tuyau. 2. Faire un petit schéma de l installation, en précisant les points 1 et 2 ainsi que les valeurs 3. Calculer la pression de l eau nécessaire à la sortie de la pompe pour obtenir la vitesse v 2.

2 DYNAMIQUE DES FLUIDES 2/5 Exercice 5 Une pompe aspire l eau d un puits. La pression (absolue) de l eau dans la conduite d aspiration à l entrée de la pompe installée à la sortie du puits doit être au moins égale à Pa. La vitesse de l eau dans la conduite d aspiration est de v = 3 m/s. 2. Déterminer la différence d altitude entre la surface de l eau dans le puits et l entrée de la pompe. Exercice 6 Une conduite forcée va d un barrage réservoir (altitude 850 m) vers une turbine (altitude 650 m) transformant l énergie hydraulique en énergie électrique. Le débit maximal est q v = 0,4 m 3 /s. Et la vitesse de l eau dans la conduite doit être inférieure à v = 6 m/s. 2. Déterminer le diamètre de la conduite. 3. Déterminer la pression effective maximale à laquelle est soumise la paroi de la conduite. Exercice 7 L appareil représenté ci-contre est un capteur de débit utilisant le principe du Venturi. Un tronçon AB de la conduite, de section S 1, est remplacé par un Venturi essentiellement constitué par un convergent-divergent. Le rapport des sections S 1 et S 2 est connu. Dans les sections 1 et 2 des trous sont aménagés pour permettre de placer deux capteurs de pression reliés à un rack électronique. Ce rack permet d afficher soit p 1 - p 2 (en bar) soit la vitesse de u 1 (en m/s) du fluide dans la conduite soit directement le débit q v (en l/s). Les pertes de charge dans le Venturi sont négligées. Le fluide qui parcourt la conduite est de l eau. Les caractéristiques du Venturi sont les suivantes : S1 = 7854 mm 2 et s 1 /s 2 = 1,5. Le rack affiche p 1 - p 2 = 0,12 bar. 1. En utilisant l équation de continuité, déterminer algébriquement U 2 en fonction de U Calculer la vitesse de l eau dans la conduite, en appliquant Bernoulli et en utilisant la relation déterminer au Déterminer le débit volumique. En déduire U 2. Bernoulli avec transfert d énergie Exercice 8 On considère une pompe entre sa bride d entrée (point 1) et sa bride de sortie (point 2) et on relève les grandeurs suivantes : p 1 = Pa p 2 = Pa c 1 = 4 m/s c 2 = 8 m/s q pompe = 12 dm 3 /s z 2 - z 1 = 1,2 m

3 DYNAMIQUE DES FLUIDES 3/5 2. Déterminer le travail (ou l énergie) reçu(e) par chaque kilogramme de liquide traversant la pompe. 3. Déterminer la puissance absorbée par la pompe. Exercice 9 La figure ci-contre représente l installation générale d une turbine hydraulique pour une hauteur de chute faible, traversée par un débit de 100m 3 par heure. 1. Déterminer l énergie cédée par chaque m 3 d eau traversant la turbine 2. Si la turbine à un rendement de 0,9 ; déterminer la puissance reçue par cette turbine. Exercice 10 Une pompe de refoulement située au fond d un puits de mine refoule 80 l.s -1 d'eau de l'altitude m jusqu'à la surface. L'eau est pompée dans un bac et arrive dans un autre bac. La vitesse de l'eau à la sortie est de 6 m.s Déterminer l'énergie apportée par la pompe. 2. Déterminer la puissance de la pompe. Exercice 11 Les prises de pression en 1 (entrée de la pompe) et en 2 (sortie de la pompe) sont des prises de pression absolue. Le rack électronique permet d'intégrer les informations d'un certain nombre de capteurs et par exemple d'afficher p l -p 2. Le fluide pompé est de l'eau, la tubulure d'aspiration a un diamètre d 1 = 150 mm, la tubulure de refoulement a un diamètre d 2 =100 mm. Le débit volumique, de la pompe est q v = m 3.s -1. Pour cette valeur, le capteur de pression différentiel indique : p 2 p 1 = 9, Pa. Le rendement de la pompe est évalué à η = 0,7. 1. Calculer la vitesse de l'eau en 1 et en Dans la pompe, on néglige les pertes de charge de charge singulières ; calculer le travail fourni par la pompe (z 1 = z 2 ) 3. Calculer la puissance utile et la puissance absorbée 4. On évalue maintenant les pertes de charge singulières dans la pompe à 2,74 J/kg ; calculer successivement, le travail échangé, la puissance utile et la puissance absorbée. 1 2

4 DYNAMIQUE DES FLUIDES 4/5 Exercice 12 La pompe de circulation d'eau d'un moteur automobile débite 8 m3/h à travers un circuit fermé moteur radiateur. La perte de charge totale de ce circuit est évaluée à 6 m de hauteur d'eau. Nota : Considérer les points 1 et 2 quelconques, mais confondus, du circuit. 5. Faire un petit schéma du problème en précisant les points 1 et 2 ainsi que les valeurs 6. Quelle est la puissance fournie par la pompe pour vaincre cette perte de charge. Exercice 13 Le jet d'eau d'une fontaine publique est obtenu grâce à une pompe immergée. Le débit d'eau est de2o l.s -1 et la hauteur du jet est de 10 m. 7. Calculer la vitesse de l eau au point C (z A = z C et on rappelle que la vitesse de l'eau en D est nulle). 8. Calculer le diamètre intérieur du conduit en C. 9. Calculer la pression sachant que le diamètre intérieur de la conduite en B est de 0,1 m. 10. Calculer la puissance de la pompe si son rendement est de 0,85. Exercice 14 L installation proposée fait partie d un parc d attractions. La pompe aspire de l eau depuis une piscine et la refoule en D, haut d un toboggan, à la vitesse de 3,5 m.s -1. Les pertes de charge sont évaluées à 30 J.kg -1 entre A et B, à 25 J.kg -1 entre C et D. 1. Calculer la puissance de la pompe nécessaire à l installation si son rendement est égal à 0,9. Bernoulli généralisé Exercice 15 La pompe de circulation d eau d un moteur automobile débite 8 m 3 /h à travers un circuit fermé moteur radiateur. La perte de charge totale de ce circuit est évaluée à 6m de hauteur d eau. Nota : Considérer les points 1 et 2 quelconques, mais confondus, du circuit. 2. Quelle est la puissance fournie par la pompe pour vaincre cette perte de charge. Exercice 16 De l essence à 20 C (680 kg.m -3 ) est transporté du port à une cuve de stockage, au moyen d une canalisation de 150 mm de diamètre et de 8km de longueur. Le débit est de 180 m 3.h -1. La pompe agit à l entrée et fournit une pression de 30 bar. La sortie est à la pression atmosphérique (P atm = 1,013 bar) 180 m plus haut. ε = 0,15 mm ; ν = 1 cst.

5 DYNAMIQUE DES FLUIDES 5/5 2. Déterminer le type d écoulement. 3. Déterminer le frottement f entre le fluide et la canalisation. En déduire l énergie perdue (les pertes de charge linéaire ou régulière) dans la conduite en J/m 3 et en J/kg. 4. Déterminer l énergie apportée et la puissance de la pompe (rendement = 0,85) nécessaire au transfert de l essence. Exercice 17 La canalisation proposée transporte du pétrole. Elle se compose d une conduite de diamètre d 1 = 30 cm, R 1 = 0,005 cm pour la rugosité, longueur 150 m et d une canalisation d 2 = 15 cm, rugosité R 2 = 0,004 cm, longueur 90 m. Le débit est de 0,06 m 3.s -1. ρ = 870 kg.m -3 ; µ = 1, Ns.m Calculer la valeur des pertes de charge singulières. 2. Calculer la valeur des pertes de charge régulières ou linéaires. 3. Calculer la différence de pression P 1 - P 2 en tenant compte des pertes de charge. Exercice 18 Une station d alimentation d un château d eau utilise une pompe de puissance nette p n = 12 kw capable de débiter 24 l/s à une vitesse de 4 m/s. La conduite de refoulement provoque une perte de charge régulière de 0,12 mètre d eau par mètre. On donne p = p 0 = cte. La conduite est verticale et on pose l = z 2 - z 1. La sortie se fait à l air libre. 1. Calculer le travail échangé W 12 entre les sections 1 (canal d altitude z 1 ) et 2 (château d eau d altitude z 2 ). La pompe est au niveau du canal. 2. Exprimer la perte de charge régulière J 12 en fonction de la longueur (z 2 - z 1 ) de la conduite de refoulement (les pertes de charge singulières sont négligées). 3. Quelle différence d altitude (z 2 - z 1 ) peut être atteinte au maximum par cette station? Exercice 19 On utilise de nouveau l exercice de la conduite forcée qui va d un barrage réservoir (altitude 800 m) vers une turbine (altitude 300 m) transformant l énergie hydraulique en énergie électrique. Pour cet exercice, on connaît le diamètre de la conduite d 1 = 200 mm de rugosité moyenne ε = 0,15 mm. La longueur de tuyauterie est l = 1000 m et la tuyère, par laquelle s échappe l eau (dont la température est de 5 C) et arrive sur la turbine, à un diamètre d 2 = 40 mm. Les pertes de charges sont supposées nulles. 2. Calculer la vitesse à la sortie de la tuyère. 3. Calculer la vitesse de l eau dans la tuyauterie. Compte tenu des pertes de charge, nous savons que la vitesse de l eau dans cette conduite est inférieure au résultat trouvé en 3. Nous allons donc l évaluer approximativement à 3,5 m/s. Les pertes de charge singulières seront négligées. 4. Déterminer le type d écoulement dans la tuyauterie. 5. Déterminer la valeur des pertes de charge. 6. Calculer la vitesse de l eau à la sortie de la tuyère. 7. Calculer la vitesse de l eau dans la tuyauterie. Reprendre le calcul de la conduite avec la vitesse supposée de 3,6 m/s. 8. Calculer les nouvelles valeurs des pertes de charge, de la vitesse à la sortie de la tuyère, du débit et de la vitesse dans la conduite.