3.1 La relation de Pythagore

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1 3.1 La relation de Pythagore Découvrons Pythagore Pythagore est un philosophe, mathématicien et scientifique qui serait né aux environs de 580 av. J.-C. à Samos, une île de la mer Égée au Sud-Est de la ville d'athènes ; on établit sa mort vers 495 av. J.-C., à l'âge de 85 ans. Grand voyageur, Pythagore décide, à 40 ans, de quitter son île qui était sous la domination d un tyran (Polycrate). Il s installe à Crotone, une colonie grecque de l Italie du sud, où il fonde une secte religieuse philosophique et scientifique à vocation politique qui eut de nombreux adeptes, hommes et femmes provenant de tous les milieux sociaux. Les pythagoriciens préconisaient un genre de vie austère où le silence, l abstinence de nourriture, la simplicité vestimentaire, le courage et la discipline collective étaient de mise. De plus, ils partageaient leurs biens matériels et mettaient en commun leurs découvertes scientifiques. Il est donc difficile de distinguer les travaux de Pythagore de ceux de ses élèves. Problème : détermine la longueur de l échelle ci-dessous sachant qu elle atteint 7 m lorsque son pied est à 2 m du mur. Commençons par se rappeler quelques informations importantes : Le plus long côté d un triangle rectangle est appelé. (Elle est toujours opposée à.) Les deux côtés formant l angle droit sont appelés. Les lettres identifiant les sommets sont toujours. Les lettres identifiant les côtés sont toujours et sont associées au sommet. Exemple : Identifie les cathètes et l hypoténuse de chaque triangle rectangle. A P C B N M hypoténuse : cathètes : 104 hypoténuse : cathètes :

2 Une relation existe entre les mesures des cathètes d un triangle rectangle et son hypoténuse. Pour faciliter la recherche de cette relation, on vous fournit les figures suivantes : Figure 1 Figure 2 A 3 A C 4 2 B C 15 B 2 a) Calcule l aire de chacun des carrés pour chacune des figures. Figure 1 Figure 2 b) Que remarques-tu? c) À partir de ce triangle, détermine la relation de Pythagore qui établit la relation entre les trois côtés d un triangle rectangle. A b c où a et b sont les et c est. C a B 105

3 On peut donc utiliser la relation de Pythagore pour trouver la mesure d un côté d un triangle rectangle si on connaît les deux autres. Pour trouver la mesure de l hypoténuse Pour trouver la mesure d une cathète Exemple 1 : Trouve la mesure de l hypoténuse d un triangle rectangle si ses deux cathètes mesurent 7 cm et 9 cm. Exemple 2 : Trouve la mesure de la cathète manquante d un triangle rectangle si l autre cathète mesure 5 cm et l hypoténuse mesure 8,60 cm. Prouve que cette relation s applique seulement aux triangles rectangles. Pour ce faire, mesure les trois côtés du triangle non rectangle suivant et vérifie si la relation de Pythagore est respectée. C A B 106

4 On peut donc utiliser la relation de Pythagore pour prouver qu un triangle est rectangle. Exemple : Un triangle ayant des côtés mesurant 5, 6 et 7 cm est-il rectangle? EXERCICES 1. Trouve la mesure manquante des triangles rectangles suivants. Arrondis tes réponses au centième près. a) a b) 2,5 mm 7 mm c 422 cm 211 cm c) d) 11 cm 300 c m 65 cm c 61 cm b e) f) 0,3 m 0,5 m e f 1150 dm 16 dm 107

5 2. Parmi les triangles suivants, lesquels sont des triangles rectangles? a) b) c) 25 m 11 m 7,8 cm 4 cm 5 cm 5 cm 3 cm 22 m 6 cm 3. Un terrain de baseball est de forme carrée. La distance entre le premier but et le deuxième but est de 25 m. Quelle est la distance qui sépare le deuxième but du marbre? Arrondis ta réponse au dixième près. 2 e but 3 e but 1 er but Marbre 4. Voici une tuile de la céramique de la salle de bain de Paula. En sachant que le triangle est isocèle et que la mesure des côtés de la céramique est de 20 cm, détermine le périmètre de la région grise. Arrondis ta réponse au centième près. 5. Antoine et Benoît sont moniteurs dans un camp de jour. Aujourd hui, c est jour d Olympiades et une des épreuves consiste à traverser le terrain de soccer comme dans l illustration ci-contre. Antoine, qui court à une vitesse de 100 m/min, dit à Benoît qu il peut réaliser l épreuve en une minute. Benoît lui répond que c est impossible. Qui a raison? Arrivée x 45 m Départ 90 m 108

6 6. Trouve la valeur de x. Arrondis tes réponses au centième près. a) b) x 4 3 x 7,5 12 c) 6 d) 6 x 4 5 x

7 7. Trouve les mesures manquantes dans le triangle ci-dessous. D 6 cm? 8. Trouve la valeur de x. E? F a) x 180 2x b) 6 m 9 m x 7 m 9. Noémie affirme avoir trouvé cette flèche dans cette boîte fermée. Dit-elle la vérité? Prouve ta réponse. 16 m 23 cm 65 cm 81 cm 110

8 10. Pour décrire la dimension d un téléviseur, on utilise souvent la longueur de la diagonale de l écran. Un téléviseur de 14 po a donc une diagonale mesurant 14 po ou 35,6 cm. Trouve la hauteur de cet écran si la base mesure 28,5 cm. 11. Marc et Ghislain s exercent au lancer du ballon de football dans un gymnase de forme rectangulaire dont les dimensions sont de 100 m sur 80 m. Les deux amis se sont placés dans des coins opposés pour être à une distance maximale l un de l autre. Trouve la distance qui les sépare. 12. Nadia mesure 1,75 m. Quand elle s'apprête à faire le grand écart et que ses jambes forment un angle de 90, sa taille diminue de 20 cm. Quelle est la longueur d'une jambe de Nadia si la distance entre ses deux pieds est de 1,2 m quand elle est dans cette position? 13. Véronique court à 10 km/h vers le nord pendant 30 minutes, à 8 km/h vers l'est pendant 45 minutes, puis à 12 km/h vers le sud pendant 20 minutes. À quelle distance se trouve-t-elle alors de son point de départ? 111

9 14. Détermine la valeur de t. 15. Voici une règle flexible formée de 5 sections isométriques. Quelle est la distance entre les 2 extrémités de cette règle lorsqu'elle est pliée de façon à former 3 angles droits si elle mesure 1 mètre lorsqu'elle est à plat? 16. Sans calculatrice, calcule la distance entre l'endroit où le fil touche le sol et la base de ce poteau de téléphone 17. Mario est arpenteur-géomètre. Il doit établir de façon précise la limite entre deux terrains. À quelle distance son collègue doit-il planter son piquet pour que Mario puisse lire 19,52 m dans son viseur? 112

10 18. Sur cet escalier, les marches mesurent 32 cm et les contremarches mesurent 25 cm. Quelle est la longueur de la rampe si elle commence vis-à-vis du centre de la première marche est se termine vis-à-vis du centre de la dernière marche? 19. Donald et Isabelle étaient à 65 m de la maison lorsqu'ils ont décidé de se partager les courses à faire avant de rentrer. Voici les trajectoires qu'ils ont empruntées. Isabelle a marché 60 m pour aller à la fruiterie et elle a parcouru en tout une distance de 85 m. La distance entre le point de départ de Donald et la boulangerie et celle entre la boulangerie et la maison sont les mêmes. Les trajectoires d'isabelle et de Donald ont la même longueur. a) Isabelle a-t-elle tourné à angle droit pour rentrer à la maison? b) Donald a-t-il tourné à angle droit pour rentrer à la maison? 113

11 3.2 Pythagore dans l espace La présence de triangles rectangles est aussi courante dans des figures en trois dimensions. Exemples : 1) Voici un prisme droit dans lequel on cherche à déterminer la mesure du segment AG. - Triangle rectangle EHG. Trouvons m EG. - Triangle rectangle AEG. Trouvons m AG. 114

12 2) La boîte ci-contre à la forme d un prisme rectangulaire droit. B Quelle est la longueur du segment BH? 120 cm 40 cm H 30 cm 3) Si la hauteur de la pyramide à base carrée est de 15 cm et un côté de la base mesure 18 cm, détermine la mesure de l apothème. h a 18 cm 115

13 3.3 Pythagore et le plan cartésien a) Détermine la mesure du segment AB. b) Soit les points A(-4, 6) et B(2, -10), détermine la mesure du segment AB. EXERCICES 20. Soit un cube de 10 cm d arête. Quel est le périmètre du triangle ABC? A B C 21. Sans le plan cartésien, quelle est la distance entre les points: a) A(-7, 6) et B(6, 4)? c) c) E(-1, -3) et F(5, 5)? b) C(1, 3) et D(13, 8)? d) d) G(2, 4) et H(3, 6)? 116

14 22. Calcule l'aire de ce pentagone régulier. 23. Quel est le périmètre de la partie ombrée du prisme ci-dessous? Les sommets du triangle ombré sont les points milieu des côtés de l hexagone. A Hexagone = 94,5 mm 2 C B 6,3 mm A 15 mm 24. Pour son devoir de mathématique, Ulrich doit construire une pyramide à base pentagonale comme celle de l illustration ci-dessous. Il se demande quelle est la hauteur de la pyramide. Aire latérale = 615 cm 2 x 6,9 cm 10 cm 25. Question subtile Le plafond est-il assez haut pour que Monsieur Bricoltou mette en place son meuble? 117

15 3.4 Les conjectures Synonymes: hypothèse, idée, supposition, affirmation,... En mathématiques, une conjecture est une proposition que l'on pense juste mais que personne n'a encore démontrée ou réfutée. Réfuter une conjecture, c'est prouver qu'elle est fausse. Démontrer une conjecture, c'est prouver qu'elle est vraie. 1) CONJECTURE: La suite dans les triangles rectangles On s intéresse à une suite formée de triangles rectangles isocèles ayant des entiers pour mesure des côtés des angles droits. On a représenté ci-dessous les quatre premiers triangles de cette suite. 3 cm 4 cm 2 cm 1 cm 1 cm 2 cm 3 cm N.B. Les figures ne sont pas à l échelle. Notes : - Conservez le plus de décimales possibles pour chacun de vos calculs. - Arrondissez au dixième près dans l énoncé de votre conjecture. - Il faut justifier la conjecture avec au moins 3 exemples. Formulez une conjecture comparant les différences entre la mesure de l hypoténuse d un triangle de cette suite et la mesure de l hypoténuse du triangle qui le précède dans cette suite. 4 cm Conjecture: 118

16 2) CONJECTURE: L'exposition de miniatures Gabriel loue un local dans le but d y exposer des miniatures d édifices. Le profit de Gabriel est représenté par la fonction suivante : f(x) = ax 100 où f(x) : profit de Gabriel en dollars x : nombre de visiteurs a : coût d entrée en dollars Gabriel s intéresse au nombre de visiteurs nécessaires pour que son profit soit nul, c est-à-dire 0. Formulez une conjecture décrivant la modification que subit le nombre de visiteurs nécessaire pour que Gabriel obtienne un profit nul lorsqu il double le coût d entrée. As-tu utilisé 3 exemples??? Conjecture: 119

17 Le sens spatial 3.5 Les projections orthogonales Une projection orthogonale permet de représenter un objet selon des vues qui sont perpendiculaires entre elles. Ex. 1: Les six projections orthogonales (à droite) d'un objet à trois dimensions (à gauche). Ex. 2 : 26. Représente les PROJECTIONS ORTHOGONALES des différents objets. a) Vue du dessus Vue de face Vue de droite 120

18 b) Vue du dessus Vue de face Vue de droite c) Droite Dessus d) Arrière Gauche e) Droite Dessous 121

19 27. Voici deux représentations de cubes. Les chiffres indiquent le nombre de cubes superposés. Figure 1 Figure Dessine toutes les vues de chacune des représentations. Figure 1 Face Arrière Droite Gauche Dessus Dessous Figure 2 Face Arrière Droite Gauche Dessus Dessous 122

20 28. Indique le nombre de dés qu'il y a dans chaque arrangement. a) b) 29. Dessine les vues de face, du dessus et de droite de chaque arrangement de la question 3. Assure-toi de reproduire le bon nombre de points sur chaque dé. a) Face Dessus Droite b) Face Dessus Droite 30. Jean-François a empilé des cubes avec sa petite sœur. Il a ensuite dessiné ce plan "codé" de leur construction, vue du dessus. Les chiffres désignent le nombre de cubes empilés. a) Par rapport aux projections orthogonales, quel avantage y a-t-il à écrire le nombre de cubes sur la vue du dessus? b) Dessine les vues de face et des 2 côtés de la construction de cubes. Comme Jean-François, inscris le nombre de cubes sur chaque face. Face Droite Gauche 123

21 3.6 Les projections parallèles et centrales Une projection est une transformation de l espace. Elle permet de représenter en deux dimensions un objet à trois dimensions. Il existe plusieurs types de projections. Les projections parallèles Dans une projection parallèle, toutes les arêtes de l objet qui sont parallèles dans la réalité sont représentées par des arêtes parallèles. Il y a deux types de projections parallèles : la perspective cavalière et la perspective axonométrique. 1) Une face de l objet. La perspective cavalière La perspective axonométrique 1) Une arête verticale de l objet. 2) Les arêtes obliques (appelées «les fuyantes») sont toutes du même côté de cette face et sont parallèles entre elles. L angle de profondeur est d environ 45. 3) La mesure des fuyantes est réduite environ de moitié. 2) Les fuyantes de part et d autre de cette arête sont parallèles entre elles. L angle de profondeur est d environ 30. 3) La mesure des fuyantes n est pas réduite. Remarque : Le papier quadrillé ou le papier pointé est très utile pour représenter un objet avec cette perspective. Remarque : Le papier pointé est très utile pour représenter un objet avec cette perspective. Caractéristiques de la cavalière: Caractéristiques de l'axonométrique: 124

22 31. Complète les figures ci-dessous afin d obtenir une perspective cavalière du cube. a) b) 32. Dans les trois figures ci-dessous, on a tracé trois arêtes d un prisme à base rectangulaire. Complète ces figures afin de donner la représentation du prime en perspective cavalière. 33. Trace les figures en perspective cavalière

23 34. À l aide du papier pointé ci-dessous, complète la perspective axonométrique du cube dont les arêtes sont données. 35. Trace les figures en perspective axonométrique. Figure 1 Figure Complète les perspectives suivantes en tenant compte du nom du solide, du type de perspective demandée et des arêtes tracées. a) Prisme droit à base triangulaire. b) Prisme droit à base pentagonale. c) Prisme régulier à base carrée. Perspective cavalière Perspective cavalière Perspective axonométrique 126

24 Les projections centrales Dans une projection centrale, certaines arêtes de l objet qui sont parallèles dans la réalité ne sont pas représentées par des arêtes parallèles. Il y a plusieurs types de projections centrales, dont la perspective à un point de fuite et la perspective à deux points de fuite. La perspective à un point de fuite La perspective à deux points de fuite 1) Une face de l objet se trouve dans le même plan que la feuille sur laquelle l objet est représenté. 2) Les fuyantes convergent toutes vers le point de fuite pouvant être placé n importe où. 1) Une arête verticale de l objet se trouve dans le même plan que la feuille sur laquelle l objet est représenté. 2) Les fuyantes convergent toutes vers les deux points de fuite pouvant être placés n importe où. 3) La mesure des fuyantes est réduite. 3) La mesure des fuyantes est réduite. Remarque : Dans une perspective à un point de fuite, les arêtes horizontales et les arêtes verticales sont parallèles entre elles. Remarque : Dans une perspective à deux points de fuite, seules les arêtes verticales sont parallèles entre elles. En résumé Identifie quel type de perspective a été utilisé pour dessiner ce réfrigérateur. 127

25 Exercices 37. Représente à l'aide de la projection à un point de fuite un prisme droit dont la face avant et le point de fuite sont donnés. a) b) 38. Dessine les deux projections centrales d un prisme à base rectangulaire. a) Projection à un point de fuite b) Projection à deux points de fuite 39. De quelle perspective s agit-il? a) Un cabanon b) Le cube de Necker c) La cité idéale de Piero della Francesca 128

26 d) e) 40. Associe chaque type de perspective au dessin correspondant. 41. Voici des arrangements de dés. a) Quel arrangement est représenté en perspective cavalière? b) Quel arrangement est représenté en perspective à un point de fuite? c) Quel arrangement est représenté en perspective à deux points de fuite? 42. Dessine les projections orthogonales des arrangements de cubes suivants. a) Face Dessus Droite 129

27 b) Face Dessus Droite c) Face Dessus Droite 43. Où se trouve, approximativement, le point de fuite de ces photos? a) b) Voici quelques sites intéressants pour travailler les perspectives: Dessiner perspective axonométrique : ( Explique aussi orthogonale) Projection orthogonale : 130