LES ALGORITHMES ARITHMETIQUES

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1 LES ALGORITHMES ARITHMETIQUES I- Introduction Dans ce chapitre nous allons étudier quelques algorithmes relatifs à l arithmétique qui est une branche des mathématiques qui étudie les relations entre les nombres. C est aussi l étude des nombres et des opérations entre eux. II- Calcul du PGCD (Solution récursive) : 1. Activité 1: Proposer une analyse, puis déduisez l algorithme d une fonction permettant de calculer le PGCD (Le Plus Grand Commun Diviseur) de deux entiers positifs non nuls a et b, en utilisant la méthode des différences. 2. Méthode 1 n > m n = n m n < m m = m n n = m PGCD = m (ou n) m = m n Exemple 1 : M = 35 ; n = 20 M N PGCD = 5 Exemple 2 : M = 8 ; n = 8 PGCD(8,8) = 8 a. Solution itérative Analyse de la fonction PGCD : Résultat = PGCD PGCD a Tant que a b Faire Si a > b alors a a b b b - a la plus grande valeur sera remplacée par la différence jusqu à a=b Algorithme de la fonction PGCD : 0- Début fonction PGCD (a, b : entier) : entier 1- Tant que a b Faire Si a > b alors a a b b b - a Fin Si Fin Tant que 2- PGCD a 3- Fin PGCD page-1/9-

2 b. Solution récursive Algorithme Récursif de la fonction PGCD : 0- Début fonction PGCD (a, b : entier) : entier 1- Si a = b alors PGCD a Si a > b Alors PGCD FN PGCD (a-b, b) PGCD FN PGCD (a, b-a) Fin Si Fin Si 2- Fin PGCD 3. Méthode 2 PGCD (m, n) = PGCD (n, m mod n) jusqu à n =0 d où PGCD = m Exemple 1: M = 35 ; n = 20 PGCD (35, 20) = PGCD (20, 15) = PGCD (15, 5) = PGCD (5, 0) = 5 Exemple 2 : M = 8 ; n = 8 PGCD (8, 8) = PGCD (8, 0) = 8 a. Solution itérative : b. Solution récursive 0. Début fonction Calcul_PGCD (m, n: entier) : entier 1. Répéter R M mod N M N N R Jusqu à (N = 0) 2. Calcul_PGCD M 3. Fin Calcul_PGCD function pgcd(m, n: integer): Integer; begin if (n=0) then pgcd := m else pgcd := pgcd (n, m mod n) ; end; Image2 1. Présentation Arrangement de P éléments parmi N : C est le nombre de permutations ordonnées possibles de P éléments parmi N. Exemple avec {a, b, c} : A(2,3) = 6 {a, b}, {b, a}, {a, c}, {c, a}, {b, c}, {c, b} page-2/9-

3 Combinaison de P éléments parmi N : C est le nombre de permutations sans ordre possibles de P éléments parmi N. Exemple avec {a, b, c} : C(2,3) = 3 {a, b}, {a, c}, {b, c} 2. Calcul de l arrangement Un arrangement de P éléments d un ensemble E à N éléments est un p-uplet d éléments distincts de E. Le nombre d arrangements de P éléments de l ensemble E est représenté par la notation suivante : Image1 N et P sont des entiers qui vérifient la condition suivante : 1 P N Activité : Proposez une analyse, puis déduisez les algorithmes correspondants au problème permettant de chercher puis d afficher l arrangement de deux entiers donnés N et P, avec (1 P N). Analyse du PP Résultat = Ecrire (" A ( ", n, ",", p, ")=", FN Arrange (n, p)) La fonction arrange permet de rechercher l arrangement. La saisie de n et p sera la tache de la procédure saisie. Analyse de la fonction Arrange: Résultat =Arrange Arrange a [a 1] Pour i de n à (n-p+1) (pas = -1) faire a a * i Fin pour Algorithme du PP 0- Début arrangement 1- Proc saisie (n, p) 2- Ecrire (" A ( ", n,",", p,")=", FN Arrange (n, p)); 3- Fin Arrangement Algorithme de la fonction Arrange : 0- Début fonction arrange (n, p : entier) : entier 1- a 1 Pour I de n à (n-p+1) (pas = -1) faire a a * i 2- Arrange a 3- Fin arrange page-3/9-

4 3. Calcul de la combinaison Une combinaison de P éléments d un ensemble E de N éléments est une partie de E formée par P éléments. Le nombre de combinaison de P éléments de l ensemble E est représenté par la notation suivante : image3 Activité : N et P sont des entiers qui vérifient la condition suivante : 0 P N Proposez une analyse, puis déduisez les algorithmes correspondants au problème permettant de chercher puis d afficher la combinaison de deux entiers donnés n et p, avec (0 P N). Solution Itérative Analyse du PP Algorithme du PP Résultat = Ecrire (" C ( ", n,",", p,")=", FN Comb (n, p)) La fonction Comb permet de rechercher la combinaison de n et p. La saisie de n et p sera la tache de la procédure saisie. Analyse de la fonction Comb: Résultat = Comb Comb FN Fact(n) / (FN Fact(p) * FN Fact(n-p)) 0- Début Combinaison 1- Proc saisie (n, p) 2- Ecrire (" C ( ", n,",", p,")=", FN Comb (n, p)); 3- Fin Combinaison Algorithme de la fonction Comb : 0- Début fonction Comb (n, p : entier) : réel 1- Comb FN Fact(n) / (FN Fact(p) * FN Fact(n-p)) 2- Fin Comb Solution Récursive D après vos connaissances en Mathématiques, vous pouvez dégager la relation suivante : Image4 Analyse de la fonction Comb: Algorithme de la fonction Comb : Résultat = Comb Si (p=0) ou (p = n) alors Comb 1 Comb Fn Comb (n-1, p) + Fn Comb (n-1, p) 0- Début fonction Comb (n, p : entier) : réel 1- Si (p=0) ou (p = n) alors Comb 1 Comb Fn Comb (n-1, p) + Fn Comb (n-1, p) Finsi 2- Fin Comb page-4/9-

5 IV- Quelques règles de divisibilité : nul. 1. Définition: Un entier n est divisible par un entier m, si le reste de la division euclidienne de n par m est Une règle de divisibilité est une séquence d opérations simples qui permet de reconnaître rapidement si un entier est divisible par un autre sans qu il soit nécessaire d effectuer des divisions. Ces règles sont généralement appliquées à des grands nombres. 2. Divisibilité par 3 : Règle : Un entier est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3. Activité : Ecrire une analyse modulaire permettant de vérifier si un entier n est divisible par 3 et déduire les algorithmes correspondants. Analyse du PP Résultat = Ecrire (n, FN Div_3(n)) La fonction Div_3 permet de savoir si un entier n est divisible par 3. La saisie de n sera faite dans le PP. Analyse de la fonction Div_3: Résultat = Div_3 Parcourir la chaîne qui contient le nombre n et rechercher la somme des chiffres qui le compose puis tester si cette somme est divisible par 3 Algorithme du PP 0. Début Divisibilite_3 1. Ecrire ("Entrer n :") Lire (n) 2. Ecrire ("L'entier ",n,div_3(n)) 3. Fin Divisibilite_3 Algorithme de la fonction Div_3 : 0. Début fonction Div_3 (n : entier) : Chaine 1. Convch (n, ch); 2. Répéter S 0 Pour i de 1 à long (ch) faire Valeur (ch[i], nb, e) S S + nb Fin pour Convch(s, ch) Jusqu à long (ch)=1 Si S dans [3, 6, 9] Alors div_3 " est divisible par 3" div_3 " n est pas divisible par 3" 3- Fin Div_3 3. Divisibilité par 4 : Un entier est divisible par 4 si le nombre composé des deux derniers chiffres est divisible par 4. Exemple : 5243 n est pas divisible par 4 car 43 n est pas divisible par est divisible par 4 car 24 est divisible par 4. page-5/9-

6 Activité : Ecrire une analyse modulaire permettant de vérifier si un entier n est divisible par 4 en utilisant la règle de divisibilité précédente et déduire les algorithmes correspondants. Analyse du PP Résultat = Ecrire (n, FN Div_4(n)) La fonction Div_4 permet de déterminer si un entier n est divisible par 4. La saisie de n sera faite dans le PP. Analyse de la fonction Div_4: Résultat = Div_4 Si d mod 4 = 0 Alors div_4 "est divisible par 4" div_4 " n'est pas divisible par 4" Valeur (ch1, d, er) ch1 sous chaine (ch, long (ch)-1,2) Convch(n,ch); Algorithme du PP 0. Début Divpar4 1. Ecrire ("Entrer n :") Lire (n) 2. Ecrire ("L'entier ", n, Div_4(n)) 3. Fin Divpar4 Algorithme de la fonction Div_4 : 0. Début fonction Div_4 (n : entier) : Chaine 1. Convch(n,ch); 2. ch1 sous chaine (ch, long (ch)-1,2) 3. Valeur (ch1, d, er) 4. Si d mod 4 = 0 Alors div_4 "est divisible par 4" div_4 " n'est pas divisible par 4" 5. Fin Div_4 4. Divisibilité par 5: Un entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est égal à 0 ou à 5. Exemple : 5243 n est pas divisible par 5 car 3 Є {0,5} est divisible par 5 car 0 Є {0,5} Activité : Ecrire une analyse modulaire permettant de vérifier si un entier n est divisible par 5 en utilisant la règle de divisibilité précédente et déduire les algorithmes. Algorithme de la fonction Div_5 0. Début Fonction div_5 (n : entier) : chaîne 1. Convch(n,ch) 2. ch1 "'' 3. Ch1 sous chaine (ch,long(ch),1) 4. Valeur (ch1, u, er) 5. Si u dans [0,5] Alors div_5 " est divisible par 5" div_5 " n'est pas divisible par 5" 6. Fin Div_5 page-6/9-

7 5. Autre règles de divisibilité : Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est divisible par 2. Un entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Un entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est égal à 0. Un entier est divisible par 25 si le nombre composé des deux derniers chiffres est divisible par 25. V- Conversion entre bases de numération : 1. Définition: Un système de numération est une méthode de comptage fondé sur une base de numération qui est un entier supérieur ou égal à deux. Soit N une base de numération, le système sera doté de N chiffres allant de [0 à N-1]. 2. Exemples de bases de Numération: Base 2 : Alphabet de la base 2 : {0,1} Base 8 : Alphabet de la base 2 : {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7} Base 10 : Alphabet de la base 2 : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Base 16 : Alphabet de la base 2 : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} 3. Conversion d un nombre décimal en base b: Activité : Ecrire une analyse modulaire puis les algorithmes permettant de convertir un nombre décimal en binaire Image 5 Solution avec Tableau Algorithme de la Procédure conv_10_2 0. Procedure Conv_10_2 (N :entier ; var T :tab ; var i : entier ) 1. i 0 Répéter Inc(i) T[i] N mod 2 N N div 2 Jusqu à (N = 0) 2. Fin Conv_10_2 Solution avec Chaine Algorithme de la fonction conv_10_2 0. Fonction Conv_10_2 (N : entier) : entier 1. Ch "" Répéter R Nd mod 2 Convch ( R, Ch1) Ch Ch1 + Ch Nd Nd div 2 Jusqu à (Nd = 0) 2. valeur (ch, n, er) 3. Conv_10_2 n 4. Fin Conv_10_2 4. Conversion d un nombre Hexadécimal en Binaire : Image6 Activité Ecrire une analyse modulaire puis les algorithmes permettant de convertir un nombre hexadécimal en binaire. page-7/9-

8 Solution Algorithmique Algorithme PP Algorithme de la fonction Binaire 0. Début Hexa_Binaire 1. Proc Saisie (ch) 2. Ecrire ("(", ch,") 16= (", binaire (ch),") 2") 3. Fin Algorithme de saisie 0. Procédure saisie (var ch: chaine) 1. Repeter Ecrire ("Donner un nombre en Hexadécimal: ") Lire (ch) I 1, b Vrai Repeter Si ch[i] dans ["0".."9","A".."F"] Alors I I+1 B faux Finsi Jusqu à (b=faux) ou (i>long (ch)) Jusqu à b; 2. Fin saisie 0. Fonction Binaire (Ch: chaine):chaine 1. chb "" Pour I de 1 à long (ch) Faire Chb chb+bin_chiffre (ch[i]) 2. Tant que chb [1] =" 0" Faire Efface (chb, 1,1) Fin Tantque 3. Binaire chb 4. Fin Binaire Algorithme Binaire Chiffre 0. fonction bin_chiffre(c:caractère):chaine 1. Si c dans ["0".."9"] Alors valeur (ch, n, er) N ord(c)-55 Finsi 2. ch "0000", i 4 repeter R n mod 2 Convch(R,ch1) ch[i] ch1[1] N N div 2 I i-1 Jusqu à n=0 3. bin_chiffre ch 4. Fin bin_chiffre 5. Conversion d un nombre octal en décimal: Activité Ecrire une analyse modulaire puis les algorithmes permettant de convertir un nombre de la base 8 en base 10. Image7 page-8/9-

9 Solution Algorithmique Algorithme PP 0. Début Octal_Decimal 1. Proc Saisie(N) 2. Ecrire ("(", N,") 8= (", Fn Decimal(N),")10") 3. Fin Octal_Decimal. Algorithme de la procedure saisie 0. Procédure saisie (var N:entier long) 1. Répéter Ecrire ("Donner un nombre en binaire: ") Lire(N) Convch(N, ch) I 1, b Vrai Répéter Si ch[i] dans ["0".."7"] Alors I I+1 B faux Jusqu à (b=faux) ou (i>long (ch)) Jusqu à b 2. Fin saisie Algorithme de la procedure saisie 0. fonction Décimal (N:entier long):entier long 1. Convch(N,ch) 2. s 0 Pour I de 1 à long (ch) Faire valeur (ch[i],nb,er) S S+Nb*puissance(long(ch)-i) 3. Decimal S 4. Fin Decimal Algorithme de la procedure saisie 0. fonction puissance (x:entier): entier long 1. p 1 pour i de 1 à x Faire p p*8 2. puissance p 3. Fin puissance 6. Conversion d un nombre Binaire en Octal : Activité Ecrire une analyse modulaire puis les algorithmes permettant de convertir un nombre de la base 2 en base 8. Image8 Solution Algorithmique Algorithme PP 0. Debut Octal_decimal 1. Proc Saisie (ch) 2. Ecrire ("(", ch, ") 2= (", Octal (ch), ") 8") 3. Fin Octal_decimal Algorithme Procedure saisie 0. Procedure saisie(var ch : chaine) 1. Répéter Ecrire ("Donner un nombre en binaire: ") Lire (ch) 2. I 1 b true Repeter Si ch[i] dans ["0","1"] Alors i i+1 b faux Jusqu à (non(b)) ou (i>long (ch)) Jusqu à b 3. Fin saisie Algorithme fonction Octal 0. fonction Octal (ch: chaîne):entier long 1. Tant que long (ch) mod 3 <> 0 Faire ch "0"+ch Fin Tantque 2. ch2 ''; l long (ch) 3. repeter ch1 sous-chaine(ch,l-2,3) s 0 Pour I de 1 to long(ch1) faire Valeur (ch1[i],nb,er) S S+Nb*puissance(long(ch1)-i) Convch(S, ch1) ch2 ch1+ch2 l l-3 Jusqu à (l = 0) 4. valeur (ch2, S, er) 5. Octal S 6. Fin Octal page-9/9-