Séquence 3. Expressions algébriques Équations et inéquations. Sommaire

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Séquence 3. Expressions algébriques Équations et inéquations. Sommaire"

Transcription

1 Séquence 3 Expressions algébriques Équations et inéquations Sommaire 1. Prérequis. Expressions algébriques 3. Équations : résolution graphique et algébrique 4. Inéquations : résolution graphique et algébrique 5. Algorithmique 6. Synthèse de la séquence 7. Exercices d approfondissement Séquence 3 MA0 1

2 1 Prérequis A Expressions algébriques ; somme et produit Une expression algébrique est composée de nombres, de lettres, de parenthèses, Exemples d opérations et de fonctions qui les relient. Par exemple, ( x + 5x 4)( xy + 9) est une expression algébrique. Si les expressions algébriques nous sont maintenant familières, il a fallu attendre le XVI e siècle et le mathématicien français François Viète ( ) pour avoir l idée de remplacer des inconnues ou des paramètres par des lettres. Il est important dans les expressions algébriques de savoir distinguer les sommes des produits. Une expression algébrique est une somme si la dernière opération avant d obtenir le résultat est une addition et une expression algébrique est un produit si cette dernière opération est une multiplication. A= a+ b, B = x +, C = x + 1, D = ( n+ 1) ( n + 1) + n, E = 5x 4 45x sont des exemples de somme. F = ab, G = 3x, H = x( x + ), I = ( x + )( x ), J = ( a+ b+ c)( a b c) sont des exemples de produit. B À propos des solutions d une équation ou d une inéquation Équations Définition 1 Une solution d une équation est une valeur de l inconnue x pour laquelle l égalité est vraie. Par exemple, 3 est solution de l équation x 3 3= x + x car 3 3 3= 3 + 3( = 4). Définition Résoudre une équation, c est trouver l ensemble de ses solutions. Nous n avons pas résolu l équation 3 x 3= x + x car nous ne savons pas si cette équation admet d autres solutions. Séquence 3 MA0 3

3 Exemple Équation du premier degré Vous avez appris en troisième à résoudre des équations du premier degré. Revoyons en un exemple. Résoudre l équation 3x 5 = 7x + 4 On peut rajouter 5 aux deux membres de l équation soit : 3x 5+ 5= 7x soit 3x = 7x + 9 Ensuite, on peut retrancher 7x aux deux membres de l équation, soit : 3x 7x = 7x + 9 7x soit 4x = 9 et en multipliant les deux membres par 1 (ce qui revient au même que diviser 4 par 4 ), il vient x = 9 4. On écrit alors habituellement que l ensemble des solutions de cette équation est 9 sous la forme : = 4 { 9 4 }. Inéquations Soit l inéquation x 6x 4. Remplaçons x par 6 ; on obtient , ce qui est faux. On dit que le nombre réel 6 n est pas solution de l inéquation x 6x 4. Remplaçons maintenant x par 5 ; on obtient , ce qui est vrai. On dit que le nombre réel 5 est solution de l inéquation x 6x 4. 1 On verrait de même que 0 n est pas solution, ni mais que et 3 sont solutions. Définition 1 Une solution d une inéquation est une valeur de l inconnue x pour laquelle l inégalité est vraie. Définition Résoudre une inéquation, c est déterminer l ensemble de ses solutions, c est-àdire toutes les valeurs de l inconnue x pour laquelle l inégalité est vraie. Exemple Nous n avons pas résolu l inéquation x 6x 4 car nous nen avons pas déterminé toutes les solutions. Inéquation du premier degré Vous avez appris en troisième à résoudre une inéquation du premier degré. Revoyons en un exemple. Résoudre dans R l inéquation 3x 5 x. On sait que l on peut rajouter 5 aux deux membres de l inéquation soit : 3x 5+ 5 x + 5 soit 3x x + 3 On peut ensuite retrancher x aux deux membres de l inéquation soit : 3x x x + 3 x soit x 3. 4 Séquence 3 MA0

4 On peut ensuite multiplier chaque membre de l inéquation par 1 (ce qui revient au même que diviser par ) car le réel 1 est strictement positif. Il vient x 3. 3 L ensemble des solutions de cette inéquation est donc l intervalle[, + [, ce que 3 l on peut encore noter : = [ ; + [. On peut multiplier les deux membres d une inéquation par un nombre strictement négatif à condition de changer le sens de l inégalité. Par exemple, l inéquation x 1 est équivalente à : 1 1 ( x ) 1 soit x 1. Séquence 3 MA0 5

5 Expressions algébriques A Activités Activité 1 Différentes expressions pour une aire x D x H G x C Soit un carré ABCD de côté 5. On dessine aux quatre coins des carrés de côté x et on s intéresse à l aire coloriée Ax ( ) formée de la réunion de ces quatre carrés et du carré intérieur EFGH. Montrer par un raisonnement géométrique que Ax ( ) peut s écrire sous l une des formes suivantes : Ax ( ) = 4x + ( 5 x) ou Ax ( ) = 5 4 x ( 5 x ). x A E F Montrer que l on aussi : Ax ( ) = 8x 0x+ 5. En utilisant la forme la plus adaptée, calculer A( 5, ) et A( 3). B a) Montrer que Ax ( ) = 8 5 x, b) En déduire que l aire minimale est obtenue pour x = 5 4 et donner cette aire minimale. a) Montrer que Ax ( ) = ( x 1)( 4x 8) b) Déterminer les valeurs de x tels que Ax ( ) = 17. Activité Forme développée et factorisée Soit f( x) = ( x ) 3( x ) pour tout nombre réel x. Montrer que, pour tout nombre réel x, f( x) = x 7x Montrer que, pour tout nombre réel x, f( x) = ( x )( x 5). On dispose maintenant de trois formes pour f( x): Forme initiale Forme développée Forme factorisée f( x) = ( x ) 3( x ) f( x)= x 7x + 10 f( x) = ( x )( x 5) 6 Séquence 3 MA0

6 Répondre à chacune des questions suivantes, sans calculatrice, en veillant à choisir judicieusement à chaque fois la forme de f( x) que vous utiliserez : a) Calculer f ( 0) et f ( ). b) Calculer f ( ) et f ( 5). c) Résoudre l équation f( x) = 0. d) Résoudre l équation f( x) = 10. B Cours Transformation d une expression algébrique Une expression algébrique peut s écrire de plusieurs façons et il faut savoir la transformer afin d utiliser la forme la plus adaptée au travail à effectuer. Réduire une somme, c est écrire cette somme sous la forme la plus condensée possible en regroupant les termes de même nature. Exemple 3 Soit Ax ( )= 4x + 6x 5+ x x 3x+ 4 3 Ax ( ) est une somme qui se réduit sous la forme : Ax ( )= x + 3x 1+ x, que l on ordonne sous la forme : 3 Ax ( ) = x + x + 3x 1. Développer signifie transformer une expression algébrique en une somme. Exemple Bx ( ) = ( x 5)( x 3) 3( x ) Bx ( ) est : Bx ( )= x 3x 10x x + 6 qui après réduction donne : Bx ( ) = x 16x+ 1. Factoriser signifie transformer une expression algébrique en un produit. Exemple Cx ( ) = x + 4x= xx ( + 4) Le produit xx ( + 4 ) est la forme factorisée de x + 4x. Séquence 3 MA0 7

7 Réduire au même dénominateur avec des x. Exemple 1 Exemple Soit la fonction f définie sur l intervalle ]0 ;+ [ par f ( 3) = + = + = f( x) = +. x f ( 7) = + = + = Pour ajouter deux fractions, nous les avons mises au même dénominateur. Si l expression comporte des x au dénominateur, nous allons utiliser une technique similaire. 1 x x f( x) = + = =. x x x x Avec cette nouvelle expression def( x), on retrouve bien que : 3 1 f ( 3) = = 3 et f ( ) = + = 7 7. Soit la fonction g définie pour x différent de 0 et de 1 par gx ( ) = 1 x + x g( 4) = + = = = et, nous avons réduit ces fractions au même dénominateur Nous allons utiliser une technique similaire pour ajouter 1 x et x ( x ) x x gx ( ) = + = 1 x x x ( x ) + ( x ) x = 1 x x x( x ) + xx ( ) = xx ( 1). Avec cette nouvelle expression, on retrouve bien que g( 4) =. 4 ( 4 1) = 1 a) k(a+b)=ka+kb L écriture ka + kb est le développement de ka ( + b). ka ( + b) est l écriture factorisée de ka + kb. Si le passage à l écriture développée est mécanique et présente peu de difficultés, le passage à l écriture factorisée nécessite de reconnaître un facteur commun et s avère moins immédiate. 8 Séquence 3 MA0

8 Exemple 1 Exemple Exemple 3 1 4x = x = 4( 3 x). On applique la formule ka ( + b) = ka+ kb avec k = 4, a= 3 et b = x. 43 ( x ) est l écriture factorisée de 1 4x. 3x + x. Les deux termes de la somme sont 3x et x et ils ont un facteur commun qui est x. 3x + x = 3x x + x = x( 3x + ). x( 3x + ) est l écriture factorisée de 3x + x. a+ ab. Les deux termes de la somme sont a et ab et ils ont un facteur commun qui est a. a On peur alors écrire a+ ab = a 1+ a b = a( 1+ b). Dans le cas particulier où un des termes se confond avec le facteur commun, il faut considérer qu il est multiplié par 1 avant de le mettre en facteur. C est ce qui est fait dans l exemple 3. b) Les identités remarquables Développons d abord les expressions suivantes : ( a+ b) = ( a+ b)( a+ b) = a + ab+ ba+ b = a + ab+ b. ( a b) = ( a b)( a b) = a ab ba+ b = a ab+ b. ( a b)( a+ b) = a + ab ba b = a b. Ces trois identités remarquables doivent être apprises par cœur. Résumons les ci dessous. Forme développée (somme) a + ab+ b = ( a+ b) a ab+ b = (a b) Forme factorisée (produit). a b = ( a b)( a+ b) Exemples x + 1x + 36 = ( x + 6). On applique la formule ( a+ b) = a + ab+ b avec a= x et b = 6. x 4x + 4= ( x ). On applique la formule ( a b) = a ab+ b avec a= x et b =. x 9= ( x 3)( x + 3). On applique la formule a b = ( a b)( a+ b) avec a= x et b = 3. Séquence 3 MA0 9

9 Exercices résolus Exercice 1 Développer les expressions suivantes : ( ) = ( ) = + ( ) = ( + ) ( )( ) A= 3 x + ; B x x 1 ; C 1 3 x ; D x 3 ; E = x + 3 x ; ( )( ) ( )( + ) = ( )( + ) F = x 1 x 1 ; G = x x ; H 3 x x. Réponse : A= 3x + 6 B = x x C = 1+ 3x 6 d où C = 3x 5. Attention, la multiplication est prioritaire sur l addition ; D = x + 6x + 9. Ici on utilise la formule a+ b ( ) avec a x et b = = 3. E = x( x )+ 3( x )= x x + 3x 6 et ainsi E = x + x 6. F = x x x + 1 F = x 3x + 1. On peut remarquer que dans le cas de E, E on a fait le développement en deux étapes et que pour F on a agit de manière plus directe. G = x ( ) en appliquant la formule a b avec a= x et b =. D où G = x. L expression H est une somme dont le deuxième terme est un produit. Commençons donc par développer ce produit : ( ) + x ( x )= x = x 4 en appliquant la formule a b avec a= x et b =. On en déduit que H = 3 ( x 4) (il ne faut pas oublier la parenthèse) et donc que H = 3 x + 4, H = 7 x. Exercice Factoriser les expressions suivantes : ( ) + + = ( ) ( + ) 3 3 A= 4x 7x ; B = x + x ; C = x + 1 x 1; D x 8x +16 ; E = x 5 ; F = 3x + x 1. Réponse : Recherchons un facteur commun : A= 4xx 7x. Il est clair que x est un ( ) facteur commun donc A= 4x 7 x. 10 Séquence 3 MA0

10 ( ) De la même manière : B = xx + 1x d où B = x + 1 x. Dans l expression C, on voit d abord une somme de 3 termes dont on ne sait que faire. Mais on peut aussi écrire C = x + 1 x 1 où on a alors une somme ( ) + ( + ) de deux termes contenant un facteur commun : C = ( x + 1 )( x + 1 )+ 1 ( x + 1 )=( x + 1 ) ( x + 1 )+ 1 et ainsi ( )( + ) C = x + 1 x. Pour D = x 8x + 16 il n y a pas de facteur commun apparent mais on reconnaît le développement de a b ( ) D = x 4. ( ) avec a x et b E est de la forme a b avec a= x et b = 5. ( )( + ) Ainsi E = x 5 x 5. = = 4 et donc C est la même chose pour F : cette fois a= 3x + et b = x + 1. F = ( 3x + ) ( x + 1) ( 3x + )+ ( x + 1 ). Supprimons les parenthèses à l intérieur des crochets : On a donc F = 3x + x 1 3x + + x + 1 et donc ( )( + ) F = x + 1 4x 3. Exercice 3 Connaissant 0 calculer mentalement 1 de deux manières différentes : avec ( ) avec 1 0 Réponse : nous savons que 0 = ( ) est bien égal à 1 mais aussi à = donc 1 = = ( 1 0) ( 1+ 0)= 41 donc 1 = et ainsi 1 = 441. Exercice 4 Comment calculer mentalement le carré d un nombre entier qui se termine par 5? Réponse : Observons d abord qu un nombre se terminant par 5 est égal à 10n n + 5 où n est son nombre de dizaines. Par exemple, 75 = car 7 est le chiffre des dizaines. Séquence 3 MA0 11

11 Calculons ( 10n + 5) ; ( 10n+ 5) = ( 10n) + 10n 5 + 5d où ( 10n+ 5) = 100n + 100n+ 5. Les deux premiers termes de cette somme ont un facteur commun : 100n. n Ainsi 100n + 100n= 100n( n+ 1) et ( 10n+ 5) = 100n( n+ 1)+ 5. Appliquons ceci à 75 : n ( ) = +. (n+1 est le nombre entier qui suit n). n Le calcul donne : 7 8= 56 et multiplier ce nombre par 100 revient à adjoindre 00 et ajouter 5 à ce nombre revient à remplacer 00 par 5. Conclusion : 75 = Autre exemple : pour 105 on prend le nombre des dizaines : 10, on le multiplie par son suivant qui est 11 ce qui donne 110 et on accole 5 à ce résultat. Donc 105 = (Il est conseillé de s entraîner avec 5, 35,...) Exercice 5 Montrer que, pour tout nombre réel x de ], + [, 4x x = + x. Réponse : Pour montrer une égalité, on n est pas obligé de partir du côté gauche de l égalité. Il est ici préférable de partir du côté droit de l égalité, car on peut 7 réduire l expression 4 + au même dénominateur. x Pour tout nombre réel x de ],+ [, 7 4( x ) 7 4x x = + = =. x x x x x C Synthèse développer expression algébrique somme factoriser ex pression algébrique produit Deux méthodes pour factoriser : Facteur commun et la formule k(a+b)=ka+kb Les identités remarquables : (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a + b)(a b) = a b. 1 Séquence 3 MA0

12 D Exercice 1 Exercices d apprentissage Dans un jardin carré de côté x (en m), on réalise un parterre carré en laissant sur deux des côtés une bordure de largeur 1,5m. Parmi les expressions suivantes, indiquer celle(s) qui donnent l aire de la bordure : a) ( x + 15, ) x b) 3x c) 3x, 5 d) x ( x 15, ) e) xx ( 15, ) Exercice Pour quelle valeur de x l aire du parterre est elle égale à 16 m? Les longueurs sont exprimées en cm. On désire imprimer une carte carrée de côté x avec x compris entre 5 cm et 10 cm. On souhaite cependant laisser une marge de cm en haut et en bas de la carte et de 1 cm à gauche et à droite. x 1 On appelle f( x), l aire en cm de la surface imprimable. En calculant cette aire de deux façons différentes, montrer que f( x)= x 6x + 8 et f( x) = ( x )( x 4). Montrer que f( x) = ( x 3) 1. Déterminer les dimensions de la feuille telles que l aire de la surface imprimable soit égale à 8 cm puis à 15 cm. x Exercice 3 Exercice 4 Soit la fonction f définie sur R par f( x)= x 8x + 7 Montrer que : f( x) = ( x 4) 9. En déduire une forme factorisée def( x). Utiliser la forme la plus adaptée de f( x) pour répondre aux questions suivantes a) Calculer f ( 3). b) Résoudre l équation f( x) = 0. c) Calculer f ( 4) et montrer que, pour tout nombre réel x, f( x) 9. En déduire que f admet un minimum sur R. x 4 Soit g la fonction définie sur R par : gx ( ) =. x + 4 Montrer que gx ( ) peut s écrire sous les formes suivantes : 8 x gx ( ) = 1 = 1. x + 4 x + 4 Séquence 3 MA0 13

13 Utiliser l une ou l autre de ces formes pour répondre aux questions suivantes : a) Résoudre gx ( ) = 0. b) Montrer que, pour tout réel x, gx ( ) < 1. c) Montrer que, pour tout réel x, gx ( ) 1. Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7 Exercice 8 Exercice 9 Exercice 10 Soit f la fonction définie sur ]1 ;+ [ par f( x) = 1. x 1 Montrer que f( x) peut aussi s écrire : x 3 f( x)= x 1 ou f x x x ( ) = + 3. x 1 En utilisant la forme la plus adaptée : a) Résoudre l équation f( x) = 0. b) Montrer que f( x)< pour tout réel x de ]1 ;+ [. c) Montrer que f( x)< x +3 pour tout réel x de ]1 ;+ [. Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes : A= 6x 3( x + 1) ; B = 3x( x 4) ; C = ( x 7) ( 3 5x) ; 1 D = ( x ) ( x + ) E = x x ; = x ; F ; G = ( x 3 1) 3x 3+ ( 3 x)( x 3 1). ( ) ( )( ) = ( + )( ( 4) ( 3 5 ) ( + 4) ; = 9( 3) + ( 4 + 3) ; A= 3x 7 3x 7 x 1 ; B x 3 5x 1 x 3) ; C = x + x x D x x x x E = ( x) x F = G x 4 = 1 ; ; ( 3 ) 3; H = 9x + 1x + 4. Réduire au même dénominateur les expressions : A = 1 + x 1 5 ;B = x + 3 4x 1 ; C = +. 3 x 3 x 4 3 Développer et réduire : A= ( x 1)( x + x + x + x + 1). En déduire un moyen simple pour calculer la somme : S = x, y, z ( x + y + z ) = x + y + z + xy + yz + xz. On considère trois nombres A, B et C non nuls dont la somme des inverses est nulle. Démontrer que : a) AB + BC + CA =0. b)le carré de la somme de ces trois nombres est égal à la somme de leurs carrés. 14 Séquence 3 MA0

14 3 A Équations : résolution graphique et algébrique Activités Activité 1 A D J Se ramener à une équation du premier degré E B C I Γ ABCD est un carré de côté 4 cm et I est le milieu de [BC]. J est un point quelconque du segment [AB]. On pose AJ = x (en cm). est le cercle de centre J qui passe par A. Γ est le cercle de diamètre [BC]. L objet de l activité est de déterminer s il existe un point J tel que et Γ soient tangents en un point E. Exprimer JI² en fonction de x puis vérifier que et Γ sont tangents lorsque : ( x + ) = ( 4 x) +. Résoudre cette équation En déduire la position du point J sur [AB] pour que et Γ soient tangents. Activité Résolution graphique et algébrique d une équation On a dessiné ci-dessous la courbe (C) représentative de la fonction f définie sur R par f( x) = x. Dessiner dans le même repère sur le graphique suivant la courbe représentative d de la fonction affine g définie par gx ( ) = x+ 3. Quel lien peut-on faire entre les points d intersection de (C) et de d et l équation x = x + 3? Quelles semblent être, par lecture graphique, les abscisses de ces deux points. Vérifier que x x 3= ( x 1)( x + 3). Séquence 3 MA0 15

15 En déduire la résolution algébrique de l équation x = x + 3. y x B Cours Utilisation d une calculatrice Pour résoudre graphiquement une équation du typef( x)= k, où k désigne un nombre réel, (ouf( x) = g( x) ), il peut être intéressant de savoir représenter sur sa calculatrice la courbe d équation y = f( x) (et celle d équation y = g( x)) et de savoir obtenir un tableau de valeurs de la fonction f. Nous donnons ici les principales manipulations qu il faut connaître sur l exemple de la fonction f définie sur l intervalle [ 8 ;6] par f( x)= x + 4x 8 sur une TI8stats.fr et sur une casio5+ qui sont les deux modèles les plus fréquemment utilisés au lycée actuellement. L utilisation d une autre TI ou casio est très voisine de celles-ci. Nous nous appuierons sur des travaux réalisés par l IREM de Lyon, figurant sur internet, et que vous pouvez consulter pour des compléments d informations. 16 Séquence 3 MA0

16 A. Utilisation d une TI8stats.fr Définir une fonction Touche f (x) Introduire la fonction par exemple en Y1. Pour la variable X, utiliser la touche x, t, θ, n. Valider avec la touche entrer. Tracer la courbe représentative Touche graphe L écran ci-contre n est qu un exemple, il est possible que celui affiché sur votre calculatrice soit différent. Pour obtenir cet affichage : touche zoom 6:ZStandard Régler la fenêtre d affichage Touche fenêtre. Régler les paramètres comme sur l écran cicontre. Touches et pour passer d une ligne à l autre. Puis touche graphe. Régler les paramètres du tableau de valeurs Instruction déf table (touches nde fenêtre ). Régler les paramètres comme sur l écran cicontre. DébTable : valeur initiale (1 re valeur du tableau). PasTable : pas du tableau (écart entre deux valeurs successives). Séquence 3 MA0 17

17 Afficher le tableau de valeurs Instruction table (touches nde graphe ). Si l écran n affiche pas toutes les valeurs souhaitées, on peut se déplacer dans la table à l aide des flèches. Parcourir une courbe Touche trace. Touches ÿ et pour se déplacer sur la courbe. L expression de la fonction ainsi que les coordonnées du point où est situé le curseur sont affichées. Calculer une image Instruction quitter (touches nde mode ) pour revenir à l écran de calcul. Touche var option V VAR-Y= à l aide de la flèche ÿ. Puis option 1 1:Fonction et valider avec entrer. Choisir la fonction désirée (pour notre exemple 1:Y1 ). Puis compléter comme sur l écran ci-contre pour, par exemple, obtenir l image de Séquence 3 MA0

18 Ajouter une fonction Touche f (x) Introduire la nouvelle fonction par exemple en Y Puis graphe ou table. Choisir les représentations graphiques à tracer Touche f (x) Avec les touches de déplacement placer le curseur sur le signe = de la fonction que vous ne souhaitez plus afficher. Ce signe doit alors clignoter. Touche entrer pour modifier le statut de la fonction sélectionnée. Le signe doit alors être = et non plus. Pour réafficher une fonction, procéder de la même façon. Le signe doit alors être de nouveau = = au lieu de =. Ensuite graphe ou table. Seules les fonctions sélectionnées sont affichées. (Pour l exemple Y1 a été désélectionnée). Effacer une fonction Touche f (x) Sélectionner la fonction à effacer, par exemple Y1. Puis touche annul. Séquence 3 MA0 19

19 Régler la fenêtre d affichage La fenêtre d affichage est la partie du plan délimitée par les valeurs Xmin, Xmax, Ymin et Ymax. La distance entre les graduations est définie par Xgrad pour l axe horizontal et par Ygrad pour l axe vertical. Xrés définit la résolution de l affichage (de 1 à 8). Problèmes possibles Problème rencontré ERR : SYNTAXE 1 :Quitter :Voir ERR : VAL FENETRE 1 :Quitter Comment y remédier L expression de la fonction est mal saisie. Par exemple : -X ² doit être saisi en utilisant (-) et non pas. fenêtre La fenêtre graphique est mal définie. (Par exemple on a saisit des valeurs telles que : Xmin Xmax) Une série statistique est représentée il faut la désactiver : Effacer tous les graphiques statistique : nde f (x). (graph stats)4 4 :graphoff. ou Effacer le graphique problématique : f (x). sélectionner le graphique activé et appuyer sur entrer. ERR : DIM INVALIDE 1 :QUIT Une série statistique est saisie mais de façon incorrecte. nde f (x). (graph stats) 4 4 :graphoff. 0 Séquence 3 MA0

20 B. Utilisation d une casio graph5+ Définir une fonction Icône Introduire la fonction par exemple en Y1. Valider avec la touche EXE. Utiliser la touche X,T pour la variable X. Tracer la courbe représentative Instruction DRAW (touche F4 ). L écran ci-contre n est qu un exemple, il est possible que celui affiché sur votre calculatrice soit différent. Régler la fenêtre d affichage Instruction V-Window (touches SHIFT F3 ). Régler les paramètres comme sur l écran ci-contre. Touches et pour changer de ligne. Touche EXE puis instruction DRAW. Régler les paramètres du tableau de valeurs Icône puis instruction RANG (touche F3 ). Régler les paramètres comme sur l écran ci-contre. Strt : valeur initiale (1 ère valeur du tableau). End : valeur finale (dernière valeur du tableau). Ptch : pas du tableau (écart entre deux valeurs successives). Touche EXIT pour revenir à l écran précédent. Afficher le tableau de valeurs Instruction TABL (touche F4 ). Si l écran n affiche pas toutes les valeurs souhaitées, on peut se déplacer dans la table à l aide des flèches. Séquence 3 MA0 1

21 Parcourir une courbe Retour au graphique : touche MENU icône puis instruction DRAW. Instruction TRACE (touches SHIFT F1 ). Un point apparait sur la courbe et ses coordonnées sont affichées. Touches ÿ et pour déplacer ce point. Calculer une image Mode calcul : touche MENU et icône. Touche VARS et instruction GRPH. pour cela : Touche (à droite de F4 ) puis F. Mettre la valeur dont on veut l image dans la mémoire X, par exemple pour l image de 3 : Touches 3 X,θ,T puis. correspond à la touche de mise en mémoire. Instruction Y (Touche F1 ) suivie du numéro de la fonction à utiliser (pour notre exemple Y1). Valider avec EXE. Ajouter une fonction Mode graphique : touche MENU et icône. Introduire la nouvelle fonction par exemple en Y Puis DRAW. Le tableau de valeur est lui aussi mis à jour : Touche MENU et icône Puis TABL. Utiliser les flèches ÿ et pour se déplacer. Séquence 3 MA0

22 Choisir les fonctions affichées Mode graphique : touche MENU et icône. Avec les flèches, sélectionner la fonction que vous ne souhaitez plus afficher. Instruction SEL (touche F1 ) pour valider votre choix. Le signe = doit alors être = et non plus =. Instruction DRAW pour tracer les courbes choisies. Pour réafficher une fonction, procéder de la même façon. Le signe = doit de nouveau être = au lieu de =. On peut faire la même chose dans le mode table : touche MENU et icône. Sélectionner les fonctions à afficher puis TABL. Effacer une fonction Sélectionner la fonction à effacer, par exemple Y1. Puis instruction DEL (touche F ), et enfin choisir YES (touche F1 ) Régler la fenêtre d affichage La fenêtre d affichage est la partie du plan délimitée par les valeurs Xmin, Xmax, Ymin et Ymax. La distance entre les graduations est définie par Xsacle pour l axe horizontal et par Yscale pour l axe vertical. Problèmes possibles Problème rencontré Syn ERROR Ma ERROR Comment y remédier L expression de la fonction est mal saisie. Par exemple erreur de variable. Appuyer sur AC/On Vérifier la fenêtre d affichage. Séquence 3 MA0 3

23 Résolution graphique d une équation Vous pourrez être amené à résoudre graphiquement des équations du type f( x)= k où k est un nombre réel ou du type f( x) = g( x). Les fonctions f et g sont représentées par les courbes C et C. Exemple f (x) = k Résoudre l équation f( x) = 3. y 4 Exemple y f (x) = g(x) 3 y = 3 C 1 1 C 0 0,6 1, x x 0, ,5 1 Les solutions sont 0,5 et 3,5. Cas général On cherche les points de C d ordonnée k (ce travail peut être facilité par le tracé de la droite d équation y = k ). Les abscisses de ces points sont les solutions de l équation f( x) = k. C Les solutions sont approximativement 0,6 et,. Cas général On repère les poins communs à C et C. Les solutions sont les abscisses des points communs. Résolution algébrique Définition Deux équations sont dites équivalentes quand elles ont les mêmes solutions. Résoudre l une revient donc à résoudre l autre. Exemple 3x + 6= 0 est équivalent à x =. L expression est équivalente est synonyme de l expression «si et seulement si». 4 Séquence 3 MA0

24 Notation Vous pourrez rencontrer le symbole pour remplacer l expression est équivalent. On écrira par exemple : 3x 6= 0 x =. Ne pas confondre le symbole avec celui de l égalité = Vous devez toujours pouvoir remplacer le symbole par l expression «si et seulement si». Propriété 1 : Équations équivalentes On transforme une équation en une équation équivalente : en développant ou factorisant certains termes ; en ajoutant ou retranchant un même terme à chaque membre en multipliant ou divisant chaque membre par un même nombre non nul. Pour résoudre une équation qui ne se ramène pas par développement à une équation du 1 er degré, on la transforme en une équation équivalente dont un membre et nul et on applique les propriétés suivantes : Propriété : Règle du produit nul Un produit est nul si et seulement si l un des facteurs est nul. A B = 0 équivaut à A=0 ou B=0. Propriété 3 : Règle du quotient nul Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul. A = 0 équivaut à A = 0et B 0. B Exercices résolus Exercice 1 Résoudre les équations suivantes : 3 7x ( 1 x)= ( x + 1). ( ) =. ( x + )( x )+( x + ) x + x 1 4x 1 1 1( 3 7)= 0. ( ) = ( ). x + 3 x 4 Séquence 3 MA0 5

25 Réponse : Réduisons chacun des membres : 3 7x 1+ x = x +, d où 6x + = x +. On retranche x + à chaque membre : 8x = 0. Il ne reste qu à diviser par 8 et on obtient x = 0. S = {} 0. Mettons en facteur dans le membre de droite et retranchons ce terme aux deux membres : ( x 1) ( x 1)= 0. Nous pouvons mettre x 1 ( x 1) ( x 3)= 0. ( ) =, soit ( ) en facteur : ( x 1) x 1 0 Nous savons qu un produit est nul si et seulement si l un des facteurs est nul : x 1= 0 ou x 3 = 0. Donc S = 1 3,. ( ) en facteur : Nous pouvons mettre x + 1 ( x + 1) ( x 1+ 3x + 7)= 0. c est-à-dire ( x + 1) ( 4x + 6)= 0. On obtient x + 1= 0 ou 4x + 6= 0. Donc S = 1 3,. Exercice Exercice 3 Déterminer 5 nombres entiers consécutifs dont la somme est 405. Réponse : Le plus simple est de noter x le nombre du milieu ; les deux précédents sont alors x et x 1 et les deux suivants x + 1et x +. Le nombre x doit alors vérifier ( x )+ ( x 1)+ x + ( x + 1)+ ( x + )= 405, 5x = 405 d où x = 81. Les 5 nombres cherchés sont donc 79, 80, 81, 8, 83. Il est aisé de vérifier que ces 5 nombres répondent bien au problème. Un arbre de 9 m de haut dont le pied est en A s est cassé en B. La cime est tombée en C à 3,5 m de A. Calculer la distance AB. Réponse : Le triangle ABC est rectangle en A ; on peut donc appliquer la propriété de Pythagore : BC = AB + AC. Nous savons que AC = 35, ; notons x la distance AB, il en résulte que BC = 9 x. On peut alors écrire B ( 9 x) = x + 3, 5. Pour résoudre cette équation, on développe le premier membre : 81 18x + x = x + 1, 5. On retranche le deuxième au premier, ce qui donne : 68, 75 68, 75 18x = 0 d où x = soit L arbre s est donc cassé à environ 3,8 m du sol. A C 6 Séquence 3 MA0

26 Exercice 4 Résoudre les équations suivantes x 5 x + 1 = 0 x 1 0 x + 1 =. = 3. x x + 5 Réponse : Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul. x 5 x + 1 = 0 équivaut à x 5= 0 et x soit : x = 5 et x 1 soit : x =5. On a donc = {5}. x 1 0 x + 1 = équivaut à : x 1= 0 et x x 1= 0 équivaut à x 1 = 0 soit ( x + 1)( x 1) = 0. ( x + 1)( x 1) = 0 x + 1= 0 ou x 1= 0 soit : x = 1 ou x = 1. Par suite x 1 = 0 équivaut à x = 1 ou x = 1et x 1. x + 1 L équation n a donc qu une solution : = {1}. 3 x = x + 5 équivaut à 3 5 = 0. x x + Mettons l expression 3 au même dénominateur. x x ( x + 5) 3 x x 10 = = + x x + 5 xx ( + 5) ( x + 5) x xx ( + 5). x + 10 = 0 équivaut à x + 10 = 0 et xx ( + 5) 0. xx ( + 5) soit x = 10 et x 0 et x 5. On en déduit ={10}. Remarque La négation de la proposition logique x = 0 ou x = 5 est : x 0 et x 5. Plus généralement, considérons deux propositions P et Q. La négation de «P est vraie ou Q est vraie» et «P est faux et Q est faux». Par exemple, la négation de la proposition : «L interrupteur A est ouvert ou l interrupteur B est ouvert» est «L interrupteur A est fermé et l interrupteur B est fermé» Séquence 3 MA0 7

27 Exercice 5 Donner à l aide de votre calculatrice sur l intervalle [ 3 ; 3] le nombre de solutions de l équation xx ( 1 ) = x. Résoudre algébriquement sur l intervalle [ 3 ; 3] l équation xx ( 1 ) = x. Réponse : Soit f( x) = x( x 1) et gx ( ) = x. Graphiquement, on constate que les courbes représentatives des fonctions f et g sur ont deux points communs. Sur [ 3; 3], on lit donc graphiquement que l équation xx ( 1) = xadmet deux solutions (qui semblent être voisines 0 et ). L équation xx ( 1 ) = x est équival ente à xx ( 1) x= 0 soit après factorisation par x, x soit xx ( ) = 0. xx ( 1 1) = 0 Cette dernière équation équivaut à x = 0 ou x =. On a donc = {0 ;}. Ce serait une erreur de simplifier par x dans l expression x ( x 1 ) = x pour obtenir x 1 = 1 soit x =. Les équations xx ( 1 ) = x et x 1 = 1 ne sont pas équivalentes car elles n ont pas le même ensemble de solutions. C Synthèse Résolution graphique d équations y Équation f( x ) = k 4 Soit f une fonction de courbe représentative C. 3 y = k Les solutions de l équation f( x)= k sont les abscisses des points d intersection de C et de la droite d équation y = k. 1 a C 3 b x 8 Séquence 3 MA0

Algorithmes (2) Premiers programmes sur calculatrice. Programmation sur calculatrice TI. codage

Algorithmes (2) Premiers programmes sur calculatrice. Programmation sur calculatrice TI. codage Objectifs : lgorithmes () Premiers programmes sur calculatrice - passer de la notion d algorithme à la notion de programme - aborder la notion de langage de programmation - s initier à la programmation

Plus en détail

Cours d algorithmique pour la classe de 2nde

Cours d algorithmique pour la classe de 2nde Cours d algorithmique pour la classe de 2nde F.Gaudon 10 août 2009 Table des matières 1 Avant la programmation 2 1.1 Qu est ce qu un algorithme?................................. 2 1.2 Qu est ce qu un langage

Plus en détail

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée. ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle

Plus en détail

2 de AP1 : utilisation de la calculatrice en mode «Programme» CORRECTION

2 de AP1 : utilisation de la calculatrice en mode «Programme» CORRECTION 2 de AP1 : utilisation de la calculatrice en mode «Programme» CORRECTION Algorithmes et programmes : Un algorithme est un ensemble d'instructions structuré de manière à atteindre un but. Ces instructions

Plus en détail

Utilisation de la calculatrice Fiche 1. Prise en main de la calculatrice

Utilisation de la calculatrice Fiche 1. Prise en main de la calculatrice Utilisation de la calculatrice Fiche 1 Prise en main de la calculatrice Première étape : Maîtriser l affichage des nombres : Avec la TI Entrer dans les réglages par la touche MODE L écran suivant apparaît

Plus en détail

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.

Plus en détail

Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007

Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007 Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007 page 1 / 10 abscisse addition additionner ajouter appliquer

Plus en détail

Devoir commun Décembre 2014 3 ème LV2

Devoir commun Décembre 2014 3 ème LV2 Devoir commun Décembre 2014 3 ème LV2 Collège OASIS Corrigé de l Epreuve de Mathématiques L usage de la calculatrice est autorisé, mais tout échange de matériel est interdit Les exercices sont indépendants

Plus en détail

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction. Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et

Plus en détail

TRIGONOMETRIE Algorithme : mesure principale

TRIGONOMETRIE Algorithme : mesure principale TRIGONOMETRIE Algorithme : mesure principale Déterminer la mesure principale d un angle orienté de mesure! 115" Problèmatique : Appelons θ la mesure principale, θ et! 115" sont deux mesures du même angle,

Plus en détail

Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4

Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4 Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4 Exercice 1 Ecrire un programme de construction de la figure suivante. On utilisera seulement deux mesures : le rayon du cercle est 8 cm, la largeur d

Plus en détail

Il faut connecter le câble fourni avec la calculatrice, sur la prise USB de son ordinateur et sur

Il faut connecter le câble fourni avec la calculatrice, sur la prise USB de son ordinateur et sur 1) Pour travailler avec une calculatrice virtuelle sur l ordinateur Il faut télécharger et installer le logiciel TIEmu3 à l adresse suivante : http://lpg.ticalc.org/prj_tiemu/win32.html (le fichier tiemu-3.01-win32-setup)

Plus en détail

Découverte de la calculatrice TI-nspire CX / TI-nspire CX CAS

Découverte de la calculatrice TI-nspire CX / TI-nspire CX CAS Découverte de la calculatrice TI-nspire CX / TI-nspire CX CAS Ce document a été réalisé avec la version 3.02 de la calculatrice TI-Nspire CX CAS. Il peut être traité en une ou plusieurs séances (la procédure

Plus en détail

Thème 12: Généralités sur les fonctions

Thème 12: Généralités sur les fonctions GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 69 Thème 12: Généralités sur les fonctions 12.1 Introduction Qu est-ce qu une fonction? Une fonction est une sorte de "machine". On choisit dans un ensemble de départ A un

Plus en détail

Découverte du logiciel ordinateur TI-n spire / TI-n spire CAS

Découverte du logiciel ordinateur TI-n spire / TI-n spire CAS Découverte du logiciel ordinateur TI-n spire / TI-n spire CAS Mémento Ouvrir TI-Nspire CAS. Voici la barre d outils : L insertion d une page, d une activité, d une page où l application est choisie, pourra

Plus en détail

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Concours de recrutement interne PLP 2009

Concours de recrutement interne PLP 2009 Concours de recrutement interne PLP 2009 Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants. Le premier exercice, de nature pédagogique au niveau du baccalauréat professionnel, porte sur le flocon

Plus en détail

212 année 2013/2014 DM de synthèse 2

212 année 2013/2014 DM de synthèse 2 22 année 20/204 DM de synthèse 2 Exercice Soit f la fonction représentée cicontre.. Donner l'ensemble de définition de la fonction f. 2. Donner l'image de 4 par f.. a. Donner un nombre qui n'a qu'un seul

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader Terminale STMG O. Lader Table des matières 1 Information chiffrée (4s) 4 1.1 Taux d évolution....................................... 6 1.2 indices............................................. 6 1.3 Racine

Plus en détail

PRATIQUE DE LA GÉOMÉTRIE AU LYCÉE ET AU COLLÈGE AVEC UNE CALCULATRICE GRAPHIQUE INCLUANT CABRI JUNIOR Jean-Jacques DAHAN jjdahan@wanadoo.

PRATIQUE DE LA GÉOMÉTRIE AU LYCÉE ET AU COLLÈGE AVEC UNE CALCULATRICE GRAPHIQUE INCLUANT CABRI JUNIOR Jean-Jacques DAHAN jjdahan@wanadoo. PRATIQUE DE LA GÉOMÉTRIE AU LYCÉE ET AU COLLÈGE AVEC UNE CALCULATRICE GRAPHIQUE INCLUANT CABRI JUNIOR Jean-Jacques DAHAN jjdahan@wanadoo.fr I.A.M. de Grenoble et I.R.E.M. de Toulouse 1. UN ACCÈS RAPIDE

Plus en détail

Priorités de calcul :

Priorités de calcul : EXERCICES DE REVISION POUR LE PASSAGE EN QUATRIEME : Priorités de calcul : Exercice 1 : Calcule en détaillant : A = 4 + 5 6 + 7 B = 6 3 + 5 C = 35 5 3 D = 6 7 + 8 E = 38 6 3 + 7 Exercice : Calcule en détaillant

Plus en détail

Les suites numériques

Les suites numériques Chapitre 3 Term. STMG Les suites numériques Ce que dit le programme : Suites arithmétiques et géométriques CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Suites arithmétiques et géométriques Expression du terme

Plus en détail

Statistiques à une variable

Statistiques à une variable Statistiques à une variable Calcul des paramètres statistiques TI-82stats.fr? Déterminer les paramètres de la série statistique : Valeurs 0 2 3 5 8 Effectifs 16 12 28 32 21? Accès au mode statistique Touche

Plus en détail

3 Chasse aux bulles. A = 2x(x 3) = B = (5x 2) 4x = C = (x 1)(4 x) = D = (x 2)(3x 1) = 4 Distributivité A = 11 4. A = 22x² 55 2 x

3 Chasse aux bulles. A = 2x(x 3) = B = (5x 2) 4x = C = (x 1)(4 x) = D = (x 2)(3x 1) = 4 Distributivité A = 11 4. A = 22x² 55 2 x Développer et réduire 3 Chasse aux bulles 1 Vrai ou faux? x 2 3x 2x 2 4 7x Justifie tes réponses. x 2 est toujours égal à 2x. Faux, par exemple, si x = 3, alors x² = 9, mais 2x = 6 (5x) 2 est toujours

Plus en détail

315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux

315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT

Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes préparatoires,

Plus en détail

Brevet Amérique du sud novembre 2011

Brevet Amérique du sud novembre 2011 ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 POINTS) Exercice 1 Cet exercice est un exercice à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapportera 1 point. L absence

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau

Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau i Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau Bonjour, bienvenue dans votre début d étude du cours de mathématiques de l année de remise à niveau en vue du D.A.E.U. B Au cours

Plus en détail

Séquence 1. Matrices - Applications

Séquence 1. Matrices - Applications Séquence 1 Matrices - Applications Sommaire 1. Pré-requis 2. Notion de matrice Addition-Multiplication par un réel 3. Multiplication de matrices 4. Applications 5. Synthèse de la séquence 6. Exercices

Plus en détail

Collège Henri Meck lundi 4 mai 2009 Molsheim BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES N 2. ( Extraits d'épreuves du brevet de 2007 et 2008 ) PRESENTATION 4 pts

Collège Henri Meck lundi 4 mai 2009 Molsheim BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES N 2. ( Extraits d'épreuves du brevet de 2007 et 2008 ) PRESENTATION 4 pts Collège Henri Meck lundi 4 mai 2009 Molsheim BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES N 2 ( Extraits d'épreuves du brevet de 2007 et 2008 ) PRESENTATION 4 pts Rappel : Présenter les parties de l'épreuve sur feuilles

Plus en détail

Que faire en algorithmique en classe de seconde? ElHassan FADILI Lycée Salvador Allende

Que faire en algorithmique en classe de seconde? ElHassan FADILI Lycée Salvador Allende Que faire en algorithmique en classe de seconde? BEGIN Que dit le programme? Algorithmique (objectifs pour le lycée) La démarche algorithmique est, depuis les origines, une composante essentielle de l

Plus en détail

Chapitre 11. Premières Notions sur les fonctions

Chapitre 11. Premières Notions sur les fonctions Chapitre 11 Premières Notions sur les fonctions 1. Exemples Exemple 1 La distance parcourue par une automobile en un temps donné varie en fonction de sa vitesse. Faire deux phrases utilisant les mots suivants.

Plus en détail

F7n COUP DE BOURSE, NOMBRE DÉRIVÉ

F7n COUP DE BOURSE, NOMBRE DÉRIVÉ Auteur : S.& S. Etienne F7n COUP DE BOURSE, NOMBRE DÉRIVÉ TI-Nspire CAS Mots-clés : représentation graphique, fonction dérivée, nombre dérivé, pente, tableau de valeurs, maximum, minimum. Fichiers associés

Plus en détail

Fonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme

Fonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme Fonctions linéaires et affines 3eme 1 Fonctions linéaires 1.1 Vocabulaire Définition 1 Soit a un nombre quelconque «fixe». Une fonction linéaire associe à un nombre x quelconque le nombre a x. a s appelle

Plus en détail

GUIDE Excel (version débutante) Version 2013

GUIDE Excel (version débutante) Version 2013 Table des matières GUIDE Excel (version débutante) Version 2013 1. Créer un nouveau document Excel... 3 2. Modifier un document Excel... 3 3. La fenêtre Excel... 4 4. Les rubans... 4 5. Saisir du texte

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H

Plus en détail

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe

Plus en détail

Thème 17: Optimisation

Thème 17: Optimisation OPTIMISATION 45 Thème 17: Optimisation Introduction : Dans la plupart des applications, les grandeurs physiques ou géométriques sont exprimées à l aide d une formule contenant une fonction. Il peut s agir

Plus en détail

Note de cours. Introduction à Excel 2007

Note de cours. Introduction à Excel 2007 Note de cours Introduction à Excel 2007 par Armande Pinette Cégep du Vieux Montréal Excel 2007 Page: 2 de 47 Table des matières Comment aller chercher un document sur CVMVirtuel?... 8 Souris... 8 Clavier

Plus en détail

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données

Plus en détail

Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine.

Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. TABLE DES MATIÈRES 1 Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. Paul Milan LMA Seconde le 12 décembre 2011 Table des matières 1 Fonction numérique 2 1.1 Introduction.................................

Plus en détail

Manuel d utilisation 26 juin 2011. 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2

Manuel d utilisation 26 juin 2011. 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2 éducalgo Manuel d utilisation 26 juin 2011 Table des matières 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2 2 Comment écrire un algorithme? 3 2.1 Avec quoi écrit-on? Avec les boutons d écriture........

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

RÉVISION DE CALCUL NUMÉRIQUE

RÉVISION DE CALCUL NUMÉRIQUE RÉVISION DE CALCUL NUMÉRIQUE. Les ensembles numériques. Propriétés des nombres réels. Ordre des opérations. Nombres premiers. Opérations sur les fractions 7. Puissances entières 0.7 Notation scientifique.8

Plus en détail

Fonction inverse Fonctions homographiques

Fonction inverse Fonctions homographiques Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Unité A Fonctions quadratiques

Unité A Fonctions quadratiques Unité A Fonctions quadratiques FONCTIONS QUADRATIQUES Dans cette unité, les élèves : tracent et décrivent des données de forme quadratique; déterminent le sommet, le domaine et l'image, l'axe de symétrie

Plus en détail

Représentation d un entier en base b

Représentation d un entier en base b Représentation d un entier en base b 13 octobre 2012 1 Prérequis Les bases de la programmation en langage sont supposées avoir été travaillées L écriture en base b d un entier est ainsi défini à partir

Plus en détail

Rappels sur les suites - Algorithme

Rappels sur les suites - Algorithme DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................

Plus en détail

Lecture graphique. Table des matières

Lecture graphique. Table des matières Lecture graphique Table des matières 1 Lecture d une courbe 2 1.1 Définition d une fonction.......................... 2 1.2 Exemple d une courbe........................... 2 1.3 Coût, recette et bénéfice...........................

Plus en détail

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque FNCTINS I Généralités sur les fonctions Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR. n définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel de D, un réel et un seul noté f() et que l'on appelle

Plus en détail

SINE QUA NON. Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases

SINE QUA NON. Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases SINE QUA NON Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases Sine qua non est un logiciel «traceur de courbes planes» mais il possède aussi bien d autres fonctionnalités que nous verrons tout

Plus en détail

La question est : dans 450 combien de fois 23. L opération est donc la division. Le diviseur. Le quotient

La question est : dans 450 combien de fois 23. L opération est donc la division. Le diviseur. Le quotient par un nombre entier I La division euclidienne : le quotient est entier Faire l activité division. Exemple Sur une étagère de 4mm de large, combien peut on ranger de livres de mm d épaisseur? La question

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.

Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail

Les fonctions au collège. Sommaire

Les fonctions au collège. Sommaire Les fonctions au collège Sommaire I. Comment aborder la not ion de fonction au collège? II. Quelles activités pour mettre en place la notion de «fonction»? Activité n 1.- Émissions de CO2 en France métropolitaine

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé.

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. TES Spé Maths Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Vous apporterez un grand soin à la présentation et à la

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

avec des nombres entiers

avec des nombres entiers Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0

Plus en détail

Découverte du tableur CellSheet

Découverte du tableur CellSheet Découverte du tableur CellSheet l application pour TI-83 Plus et TI-84 Plus. Réalisé par Guy Juge Professeur de mathématiques et formateur IUFM de l académie de Caen Pour l équipe des formateurs T 3 Teachers

Plus en détail

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements 3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme Qu est-ce qu une somme? Qu est-ce qu un produit?

Plus en détail

Débuter avec Excel. Excel 2007-2010

Débuter avec Excel. Excel 2007-2010 Débuter avec Excel Excel 2007-2010 Fabienne ROUX Conseils & Formation 10/04/2010 TABLE DES MATIÈRES LE RUBAN 4 LE CLASSEUR 4 RENOMMER LES FEUILLES DU CLASSEUR 4 SUPPRIMER DES FEUILLES D UN CLASSEUR 4 AJOUTER

Plus en détail

Cours de mathématiques - Alternance Gea

Cours de mathématiques - Alternance Gea Cours de mathématiques - Alternance Gea Anne Fredet 11 décembre 005 1 Calcul matriciel Une matrice n m est un tableau de nombres à n lignes( et m colonnes. 1 0 Par exemple, avec n = et m =, on peut considérer

Plus en détail

VOCABULAIRE LIÉ AUX ORDINATEURS ET À INTERNET

VOCABULAIRE LIÉ AUX ORDINATEURS ET À INTERNET VOCABULAIRE LIÉ AUX ORDINATEURS ET À INTERNET Brancher / débrancher l ordinateur de la prise Allumer / éteindre l ordinateur : pour allumer ou éteindre l ordinateur vous devez appuyer sur le bouton On/off

Plus en détail

PRISE EN MAIN D UN TABLEUR. Version OPEN OFFICE

PRISE EN MAIN D UN TABLEUR. Version OPEN OFFICE PRISE EN MAIN D UN TABLEUR Version OPEN OFFICE Prise en main d un tableur page 2 1. L utilisation de la souris Pour faire fonctionner un tableur, on utilise le clavier mais aussi la souris. Rappelons,

Plus en détail

EVALUATIONS MI-PARCOURS CM2

EVALUATIONS MI-PARCOURS CM2 Les enseignants de CM2 de la circonscription de METZ-SUD proposent EVALUATIONS MI-PARCOURS CM2 Mathématiques Livret enseignant NOMBRES ET CALCUL Circonscription de METZ-SUD Page 1 Séquence 1 : Exercice

Plus en détail

TP oscilloscope et GBF

TP oscilloscope et GBF TP oscilloscope et GBF Ce TP est évalué à l'aide d'un questionnaire moodle. Objectif : ce travail a pour buts de manipuler l oscilloscope et le GBF. A l issu de celui-ci, toutes les fonctions essentielles

Plus en détail

V- Manipulations de nombres en binaire

V- Manipulations de nombres en binaire 1 V- Manipulations de nombres en binaire L ordinateur est constitué de milliards de transistors qui travaillent comme des interrupteurs électriques, soit ouverts soit fermés. Soit la ligne est activée,

Plus en détail

Découverte des nouveautés de la version 2.0 de TI-Nspire

Découverte des nouveautés de la version 2.0 de TI-Nspire Découverte des nouveautés de la version 2.0 de TI-Nspire Mars 2010 Découverte des nouveautés de la version 2.0 de TI-Nspire... 1 I - Les améliorations de l OS de la calculatrice... 2 Un nouvel écran d

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009.

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009. Licence de Gestion. 3ème Année Année universitaire 8-9 Optimisation Appliquée C. Léonard Correction de l épreuve intermédiaire de mai 9. Exercice 1 Avec les notations du cours démontrer que la solution

Plus en détail

Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009. Descriptifs. (Page vide)

Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009. Descriptifs. (Page vide) Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009 Descriptifs (Page vide) Sujet 001 Épreuve pratique de mathématiques Descriptif Étude d une fonction dépendant d un paramètre Étant donné une fonction dépendant

Plus en détail

Représentation des Nombres

Représentation des Nombres Chapitre 5 Représentation des Nombres 5. Representation des entiers 5.. Principe des représentations en base b Base L entier écrit 344 correspond a 3 mille + 4 cent + dix + 4. Plus généralement a n a n...

Plus en détail

CONCOURS D ADJOINT ADMINISTRATIF DE 1 ÈRE CLASSE DE CHANCELLERIE NATURE DES ÉPREUVES

CONCOURS D ADJOINT ADMINISTRATIF DE 1 ÈRE CLASSE DE CHANCELLERIE NATURE DES ÉPREUVES CONCOURS D ADJOINT ADMINISTRATIF DE 1 ÈRE CLASSE DE CHANCELLERIE NATURE DES ÉPREUVES CONCOURS EXTERNE : I - Épreuves écrites d'admissibilité : 1 Epreuve consistant à partir d'un texte d'ordre général d

Plus en détail

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 % 23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une

Plus en détail

Collège LANGEVIN WALLON CORRIGE du BREVET BLANC DES 25 et 26 mai 2004 SÉRIE COLLÈGE

Collège LANGEVIN WALLON CORRIGE du BREVET BLANC DES 25 et 26 mai 2004 SÉRIE COLLÈGE Collège LANGEVIN WALLON CORRIGE du BREVET BLANC DES 5 et 6 mai 004 SÉRIE COLLÈGE Durée heures MATHEMATIQUES Rédaction, présentation, orthographe (4 points) PARTIE I : ACTIVITES NUMERIQUES (1 points) Dans

Plus en détail

Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés

Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : affixe d un point, représentation d un point-image dans le plan complexe, argument

Plus en détail

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point 03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

Étapes pour utiliser une calculatrice à capacité graphique

Étapes pour utiliser une calculatrice à capacité graphique Étapes pour utiliser une calculatrice à capacité graphique Contexte Les bénévoles d une association locale, responsable, de l installation de jeux pour les jeunes dans les parcs de la ville ont récemment

Plus en détail

Calcul différentiel et intégral

Calcul différentiel et intégral Chapitre 27. Calcul différentiel et intégral 27 Limites... 27 2 Limite en un point fini... 27 2 Limite à droite ou à gauche... 27 2 Limite à l infini... 27 2 Utilisation de conditions... 27 2 Dérivation...

Plus en détail

1 CRÉER UN TABLEAU. IADE Outils et Méthodes de gestion de l information

1 CRÉER UN TABLEAU. IADE Outils et Méthodes de gestion de l information TP Numéro 2 CRÉER ET MANIPULER DES TABLEAUX (Mise en forme, insertion, suppression, tri...) 1 CRÉER UN TABLEAU 1.1 Présentation Pour organiser et présenter des données sous forme d un tableau, Word propose

Plus en détail

point On obtient ainsi le ou les points d inter- entre deux objets».

point On obtient ainsi le ou les points d inter- entre deux objets». Déplacer un objet Cliquer sur le bouton «Déplacer». On peut ainsi rendre la figure dynamique. Attraper l objet à déplacer avec la souris. Ici, on veut déplacer le point A du triangle point ABC. A du triangle

Plus en détail

SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique

SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique DOMAINE P3.C3.D1. Pratiquer une démarche scientifique et technologique, résoudre des

Plus en détail

Documentation Tableur OpenOffice 2

Documentation Tableur OpenOffice 2 Documentation Tableur OpenOffice 2 1. Environnement de travail Nom du Nom du logiciel Barre de Zone de nom elle affiche l'adresse du champ sélectionné Cellule active Zone d'édition : elle affiche le contenu

Plus en détail

Introduction aux inégalités

Introduction aux inégalités Introduction aux inégalités -cours- Razvan Barbulescu ENS, 8 février 0 Inégalité des moyennes Faisons d abord la liste des propritétés simples des inégalités: a a et b b a + b a + b ; s 0 et a a sa sa

Plus en détail

LIMITES EXERCICES CORRIGES

LIMITES EXERCICES CORRIGES ours et eercices de mathématiques LIMITES EXERIES ORRIGES M UAZ, http://mathscyrreer Eercice n Déterminer la ite éventuelle en de chacune des onctions suivantes : ) ) ) 4 ( ) Déterminer la ite éventuelle

Plus en détail

Excel 2007 Niveau 3 Page 1 www.admexcel.com

Excel 2007 Niveau 3 Page 1 www.admexcel.com Excel 2007 Niveau 3 Page 1 TABLE DES MATIERES UTILISATION DE LISTES DE DONNEES... 4 REMARQUES PREALABLES SUR LES LISTES DE DONNEES... 4 METTRE EN FORME LE TABLEAU... 6 METTRE LA LISTE A JOUR... 7 a/ Directement

Plus en détail

Activités numériques [13 Points]

Activités numériques [13 Points] N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible

Plus en détail

Baccalauréat ST2S Antilles-Guyane 16 juin 2014 Correction

Baccalauréat ST2S Antilles-Guyane 16 juin 2014 Correction Baccalauréat ST2S Antilles-Guyane 16 juin 2014 Correction EXERCICE 1 6 points Le tableau ci-dessous donne le nombre de maladies professionnelles ayant entrainé un arrêt de travail de 2003 à 2010 : Année

Plus en détail

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x = LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste

Plus en détail