GE ERALITES. On peut au choix travailler avec ou sans axes, avec ou sans quadrillage en cochant ou décochant axes ou grille dans le menu Affichage.

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1 GE ERALITES GeoGebra est un logiciel de géométrie dynamique qui permet notamment de construire des figures. Ouvrir le logiciel GeoGebra en cliquant sur son icône. La fenêtre suivante apparaît : Commande active indique la commande du bouton sélectionné et le protocole de construction Bouton Annuler/Rétablir permet d'annuler ou de rétablir une manipulation Barre des menus Barre des boutons Fenêtre algèbre affiche tous les objets créés Champ de saisie permet de définir des commandes autres que celles des boutons Feuille de travail On crée la figure dans cette zone. On peut au choix travailler avec ou sans axes, avec ou sans quadrillage en cochant ou décochant axes ou grille dans le menu Affichage. En cliquant en bas à droite sur un bouton de la barre des boutons on obtient un menu déroulant. Par souci de simplification, on numérote les boutons de (1) à (11). (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) Ainsi, par exemple, en sélectionnant en bas à droite le bouton (3) Droite passant par deux points, le protocole de construction indique : Deux points [crées ou non]. Il suffit alors de cliquer dans la feuille de travail sur un point (déjà créé ou non), la droite apparaît, cliquer alors sur un deuxième point (déjà créé ou non).

2 LE QUADRILATERE DE VARIG O Soit ABCD un quadrilatère quelconque et I, J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. On se propose de démontrer que le quadrilatère IJKL, appelé quadrilatère de Varignon, est un parallélogramme. Cliquer sur le menu Affichage puis décocher Axes. Sélectionner le bouton (5) Polygone et construire ABCD en suivant le protocole de construction défini dans la barre des boutons. La fenêtre algèbre ressemble à : Le symbole " = " que l'on voit ici n'est pas le symbole "égal" des mathématiques. Il est utilisé par souci de lisibilité. A = (2.11,4.8) signifie : A a pour coordonnées (2,11 ; 4,8) a = 4.26 signifie : le segment [AB] a pour longueur 4,26 poly1 = signifie : le polygone ABCD a pour aire 15,65 Un peu de nettoyage : cliquer droit sur le segment a, il apparaît : Afficher l'étiquette (l'étiquette est le nom de l'objet), décocher en cliquant gauche dessus. Faire de même pour les autres côtés Sélectionner le bouton (2) Milieu ou centre et construire les milieux des segments [AB], [BC], [CD] et [DA] (suivre le protocole). Cliquer droit sur le milieu de [AB] et il apparaît : Renommer. Cliquer gauche et renommer le point : I. Renommer également les 3 autres milieux : J, K et L. Sélectionner le bouton (5) Polygone et construire IJKL. Effacer comme précédemment l'étiquette des segments. En cliquant droit sur le polygone ABCD ou IJKL (poly1 ou poly2) apparaît Propriétés, cliquer gauche et changer la couleur du remplissage, l'épaisseur des traits Pour rendre la figure plus lisible, il faut parfois déplacer l'étiquette des objets. Sélectionner le bouton (1) Déplacer puis cliquer sur l'étiquette en maintenant enfoncé. Une main apparaît. Déplacer l'étiquette et lâcher le clic. Sélectionner le bouton (1) Déplacer. Cliquer en maintenant enfoncé sur A. Une main apparaît. Déplacer A et lâcher le clic. Quelle conjecture peut-on faire sur la nature du quadrilatère IJKL? 3. Devoir Maison 01 - Démonstration Démontrer que IJKL est un parallélogramme.

3 CO JECTURER AVEC GEOGEBRA ABCD est un carré et ABE et CBF sont des triangles équilatéraux. On veut démontrer que D, E et F sont alignés. Cliquer sur le menu Fichier puis ouveau et décocher Axes dans le menu Affichage. Sélectionner le bouton (5) Polygone régulier et construire ABCD (suivre le protocole). Sélectionner le bouton (5) Polygone régulier et construire ABE (cliquer d'abord sur A puis sur B). Sélectionner le bouton (5) Polygone régulier et construire CBF (cliquer d'abord sur C puis sur B). Sélectionner le bouton (3) Droite passant par deux points et construire la droite (DF). Cliquer sur le menu Editer puis Propriétés... Dans Objets, sélectionner Droite et en maintenant la touche ctrl du clavier de l'ordinateur enfoncée sélectionner Segment. Décocher Afficher l'étiquette. Déplacer l'étiquette des points si nécessaire. Déplacer le point A. Sélectionner le bouton (10) Relation entre deux objets. Cliquer sur la droite (DF) et sur E. Quelle conjecture peut-on émettre? 3. Devoir Maison 01 - Démonstration a. Déterminer la mesure des angles du triangle AED. b. Déterminer la mesure des angles du triangle BEF. c. En déduire la mesure de l'angle DEF et conclure.

4 MESURER AVEC GEOGEBRA ABC est un triangle équilatéral et C son cercle circonscrit. M est un point quelconque du petit arc AB. On veut montrer que MA + MB = MC. Cliquer sur le menu Fichier puis ouveau et décocher Axes dans le menu Affichage. Sélectionner le bouton (5) Polygone régulier et construire ABC. Sélectionner le bouton (6) Cercle passant par trois points et construire C. Sélectionner le bouton (2) ouveau point et construire un point sur l'arc AB. Renommer ce point M. Décocher Afficher l' étiquette des objets a, b, c et d. Sélectionner le bouton (3) Segment entre deux points et construire les segments [MA], [MB] et [MC]. Déplacer si nécessaire les étiquettes des points. Dans le champ de saisie taper h = e + f puis entrée (h correspond à la longueur MA + MB). Déplacer M sur le petit arc AB. Quelle égalité peut-on conjecturer? 3. Démonstration On considère le point I du segment [MC] tel que MI = MA. a. Montrer que MAI est un triangle équilatéral. b. A l'aide d'une rotation de centre A, démontrer que MB = IC. c. Conclure.

5 LIEU GEOMETRIQUE AVEC GEOGEBRA ABC est un triangle rectangle en C. C1 est le cercle de centre A passant par C et C2 le cercle de centre B passant par C. Une droite d qui pivote autour de C coupe C1 en M et C2 en N. On note P le point d'intersection des droites (MA) et (NB). On se demande quel est l'ensemble des points P lorsque d pivote autour de C. Cliquer sur le menu Fichier puis ouveau et décocher Axes dans le menu Affichage. Sélectionner le bouton (2) ouveau point et construire les deux points A et B. Pour que le triangle ABC soit rectangle en C, il faut placer C sur un demi-cercle de diamètre [AB] : sélectionner le bouton (6) Demi-cercle créé par 2 points et construire un demi-cercle de diamètre [AB], sélectionner ensuite le bouton (2) ouveau point et construire un point sur ce demi-cercle. Cliquer droit sur le demi cercle, il apparaît Afficher l'objet, décocher en cliquant gauche dessus. Sélectionner le bouton (5) Polygone et construire le triangle ABC. Sélectionner le bouton (6) Cercle (centre-point) et construire les cercles C1 et C2. Les renommer. Sélectionner le bouton (2) ouveau point et construire un point sur C1, le renommer M. Sélectionner le bouton (3) Droite passant par deux points et construire la droite (MC). Sélectionner le bouton (2) Intersection entre deux objets et construire le point d'intersection du cercle C2 et de la droite (MC). Renommer le point créé N et décocher Afficher l'étiquette du deuxième point d'intersection (celui qui est en C et que GeoGebra appelle D). Sélectionner le bouton (3) Droite passant par deux points et construire la droite (MA) et la droite (NB). Sélectionner le bouton (2) Intersection entre deux objets et construire le point d'intersection des droites (MA) et (NB). Le renommer P. Un peu de nettoyage : enlever les étiquettes inutiles. (Menu Editer puis Propriétés) Cliquer droit sur le point P, il apparaît Trace activée. Cocher en cliquant dessus. Déplacer M sur le cercle C1 (la droite d pivote alors autour de C). Sur quelle ligne se déplace P? 3. Devoir Maison 01 - Démonstration a. Démontrer que les triangles AMC et CBN sont isocèles. b. En déduire que AMC + BNC = 90. c. Démontrer alors que les points A, B, C et P appartiennent à un même cercle. Lequel? d. Sur quelle ligne se déplace le point P lorsque d pivote autour de C?

6 DM TICE Exercice 1 Soit ABCD un quadrilatère quelconque et I, J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. Démontrer que le quadrilatère IJKL, appelé quadrilatère de Varignon, est un parallélogramme. Exercice 2 ABCD est un carré et ABE et CBF sont des triangles équilatéraux. On veut démontrer que D, E et F sont alignés. a. Déterminer la mesure des angles du triangle AED. b. Déterminer la mesure des angles du triangle BEF. c. En déduire la mesure de l'angle DEF et conclure. Exercice 3 ABC est un triangle équilatéral et C son cercle circonscrit. M est un point quelconque du petit arc AB. On veut montrer que MA + MB = MC. On considère le point I du segment [MC] tel que MI = MA. a. Montrer que MAI est un triangle équilatéral. b. A l'aide d'une rotation de centre A, démontrer que MB = IC. c. Conclure. Exercice 4 ABC est un triangle rectangle en C. C1 est le cercle de centre A passant par C et C2 le cercle de centre B passant par C. Une droite d qui pivote autour de C coupe C1 en M et C2 en N. On note P le point d'intersection des droites (MA) et (NB). On se demande sur quelle ligne se déplace le point P lorsque d pivote autour de C. a. Démontrer que les triangles AMC et CBN sont isocèles. b. En déduire que AMC + BNC = 90. c. Démontrer alors que les points A, B, C et P appartiennent à un même cercle. Lequel? d. Sur quelle ligne se déplace le point P lorsque d pivote autour de C?