Logique. L intégrale des connecteurs logiques

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1 Logique L intégrale des connecteurs logiques Jusqu à présent, nous avons vu les connecteurs,,,, et accessoirement. Il en existe d autres. Nous allons maintenant tous les voir un par un plus exactement tous les connecteurs unaires et binaires. En fait il est très facile d en établir la liste complète : il suffit de construire toutes les tables de vérité possibles (i.e. toutes celles à 1 et 2 arguments). On sait qu il existe 2 21, soit 4, connecteurs unaires différents, et 2 22, soit 16, connecteurs binaires différents. 1 Connecteurs unaires Regardons d abord les connecteurs, ou opérateurs, unaires. On prend une formule ϕ quelconque, et on va examiner toutes les «transformations» possibles de ses valeurs de vérité, i.e. toutes les tables de vérité imaginables. Notons qu ici il n y a que deux valuations différentes à prendre en compte : V 1 telle que V 1 (ϕ) = 1 et V 2 telle que V 2 (ϕ) = 0. Les quatre tables de vérité sont données dans le tableau 1. Chaque colonne chapeautée par un (i) représente un opérateur unaire. Table 1 Les 4 opérateurs unaires ϕ (1) (2) (3) (4) L opérateur (3), on le connaît déjà, il inverse les valeurs de vérité, c est la négation. L opérateur (2), au contraire, conserve à l identique les valeurs de vérité de ϕ. On peut l appeler l opérateur identitaire. Il n est pas très intéressant, il ne sert quasiment à rien. On peut éventuellement le noter id. Les opérateurs (1) et (4) sont assez singuliers, car les valeurs de vérité qu ils permettent d obtenir ne dépendent finalement pas de celles de l argument ϕ. (1) rend tout vrai et (4) rend tout faux. On ne les utilise généralement pas, même s il arrive parfois qu on leur donne des noms (de vilains noms) : (1) est appelé opérateur de «tautologisation» et se note parfois V ; (4) est appelé opérateur d «absurdisation» et peut se noter F. 2 Connecteurs binaires Voyons maintenant les 16 tables de vérité à deux arguments. Cette fois, on prend deux formules quelconques ϕ et ψ, et donc on tient compte de 4 valuations différentes. Les 16 tables de vérité sont données dans le tableau 2. Pour faire systématique, chaque connecteur binaire est noté i, avec 1 i 16. Le symbole dans la marge signifie que le connecteur est commutatif. 1

2 Table 2 Les 16 connecteurs binaires (ϕ i ψ) ϕ ψ V / / F 1 et 16 sont les pendants binaires respectivement de la tautologisation et l absurdisation vues précédemment. Même diagnostique : les valeurs résultantes ne dépendent pas des valeurs des arguments. On peut leur donner les mêmes noms et les mêmes notations que pour (1) et (4). 2 on le connaît déjà, c est la disjonction (inclusive). À (ϕ ψ) correspondent approximativement les formulations suivantes : ϕ ou ψ (ou les deux) on a au moins l une des propositions ϕ, ψ 3 regardez bien, c est en quelque sorte l implication «à l envers» ; et on peut éventuellement la symboliser par, pour rappeler que (ϕ ψ) est la même chose que (ψ ϕ). Formulations possibles de (ϕ ψ) (voir aussi 5 ) : ϕ pourvu que ψ ψ à condition que ϕ ψ seulement si ϕ ϕ est nécéssaire pour que ψ 4 se contente de transmettre (de reproduire) les valeurs de son premier argument, ϕ, en ignorant les valeurs de ψ. Ce connecteur n a pas de nom précis, ni de symbole officiel ; on pourrait à la rigueur l écrire, mais en fait il correspond simplement à ϕ (c est-à-dire : (ϕ ψ) équivaut à ϕ). Formulations possibles : ϕ, quel que soit ψ ϕ 5 c est l implication (matérielle). Formulation possibles de (ϕ ψ) (voir aussi 3 ) : ϕ implique ψ si ϕ, alors ψ ψ si ϕ ϕ est suffisant/est une condition suffisante pour que ψ il suffit que ϕ pour que ψ du moment que ϕ, ψ 6 reproduit les valeurs de ψ indépendamment de celles de ϕ (cf. 4 ). Il pourrait éventuellement se noter ((ϕ ψ) équivaut à ψ). Formulations possibles : quel que soit ϕ, ψ ψ 7 c est l équivalence (matérielle) ; (ϕ ψ) est vraie si et seulement si ϕ et ψ ont la même valeur de vérité. Formulations possibles de (ϕ ψ) : ϕ équivaut à ψ ϕ et ψ sont équivalent(e)s ϕ si et seulement si (ssi) ψ ϕ est une condition nécessaire et suffisante de ψ ϕ bi-implique ψ 2

3 8 c est la conjonction. Formulations possibles de (ϕ ψ) : ϕ et ψ ϕ. ψ ϕ, mais ψ ϕ, et pourtant ψ ϕ, quoique ψ A partir d ici, «on traverse le miroir». 9 regardez bien, les valeurs résultantes sont l inverse de celle de la conjonction, c est-à-dire leur négation. Autrement dit 9 est la négation de la conjonction ((ϕ 9 ψ) revient à (ϕ ψ)). On appelle parfois ce connecteur l exclusion ou l incompatibilité 1 ; il refuse que ses arguments soient vrais en même temps. Le symbole qui le représente est, qui s appelle la barre de Sheffer 2. Formulations possibles de (ϕ ψ) : ϕ et ψ sont incompatibles ϕ exclut ψ 10 c est la disjonction exclusive, qui retourne 1 si ses arguments ont des valeurs différentes. On l appelle aussi parfois l alternative. Notons qu il s agit (aussi) de la négation de l équivalence ( (ϕ ψ)). Formulations possibles de (ϕ ψ) : ϕ ou ψ, mais pas les deux soit ψ, soit ψ (mais pas les deux) ou bien ϕ, ou bien ψ ϕ sauf si ψ ϕ à moins que ψ 11 nie les valeurs de vérité de ψ, indépendamment de ϕ. C est la négation de 6. Pas de notation particulière. Revient à ψ. Formulations possibles : quel que soit ϕ, non ψ non ψ 12 c est la négation de l implication. On pourrait l appeler la non-implication, mais c est un terme un peu imprécis. On peut utiliser le symbole pour la représenter. Formulations possibles de (ϕ ψ) : ϕ n implique pas ψ ϕ sans (que) ψ 13 nie les valeurs de vérité de ϕ, indépendamment de ψ. C est la négation de 4. Pas de notation particulière. Revient à ϕ. Formulations possibles : non ϕ, quel que soit ψ non ϕ 14 c est la négation de 3, c est-à-dire l implication de droite à gauche ( ), et on peut la noter par. Formulations possibles de (ϕ ψ) : ψ n implique pas ϕ ψ sans (que) ϕ 15 c est la négation de la disjonction. Ce connecteur retourne 1 uniquement lorsque ses arguments sont tous les deux faux ; c est pourquoi on l appelle parfois le rejet. Il porte aussi le nom de flèche de Pierce 3, que l on représente par le symbole. Formulation possible de (ϕ ψ) : 1. Certains disent aussi la réjection, mais attention aux confusions avec 15. De même, il ne faut pas confondre l exclusion avec la disjonction exclusive. 2. Henry M. Sheffer, logicien américain ( ). 3. Charles S. Pierce, philosophe et logicien américain ( ). Il est à noter également que le rejet est aussi souvent appelé «the Quine s dagger» par les anglo-saxons (du nom de Willard V. O. Quine, philosophe américain ( )). Je ne connais pas de traduction française ; dagger ici ne désigne pas la dague, mais le symbole typographique, dont le nom français exact est obèle. Pour autant, je ne pense pas que l on parle de «l obèle de Quine». Candidats possibles (et spéculatifs) : la croix, la broche, la pointe de Quine...? 3

4 ni ϕ, ni ψ On comprend maintenant pourquoi à partir de 8 on passait de l autre côté du miroir : les connecteurs 9, 10,..., 16 sont, respectivement, les négations des connecteurs 8, 7,..., 1. Effectivement, écrire (ϕ ψ) revient exactement à écrire (ϕ ψ), c est-à-dire que les deux formules signifient la même chose (dans la limite de la sémantique de LP 0 ) ; on dira aussi que ces deux formules sont logiquement équivalentes. Cela nous amène à commencer à comprendre pourquoi on n utilise qu un sous-ensemble de connecteur dans LP 0. Une des explications 4 est qu un certain nombre de connecteurs parmi la collection que nous venons de voir sont interdéfinissables. Cela veut dire que certains connecteurs peuvent s exprimer ou se réécrire à l aide d autres connecteurs, tout en préservant, bien évidemment, la sémantique du connecteur que l on réécrit. Autrement dit, en logique propositionnelle, on peut écrire des formules «synonymes» (i.e. des paraphrases ou des «paraformules»), sachant qu ici «synonymes» signifie «logiquement équivalentes». Ainsi, il n est vraiment pas utile de faire figurer dans la vocabulaire de LP 0, puisque l on peut réécrire ce connecteur à l aide de et (car (ϕ ψ) c est pareil que (ψ ϕ)). 3 Jeux de connecteurs fonctionnellement complets Profitons-en pour introduire une nouvelle notion. Un jeu de connecteurs est dit fonctionnellement complet, s il permet d exprimer à lui seul tous les autres connecteurs possibles. Le jeu de connecteurs utilisé dans LP 0, {,,,, }, est fonctionnellement complet. C est assez facile à montrer : il suffit de réussir à écrire 16 formules en n utilisant que ces connecteurs, telles que la table de vérité de chacune de ces formules corresponde à une colonne (différente) du tableau 2. Mais il existe des jeux de connecteurs fonctionnellement complets encore plus économiques (i.e. plus petits) que celui que nous utilisons. Par exemple, {, } est fonctionnellement complet. En effet, il permet de réécrire la conjonction comme ceci : ( ϕ ψ) ; calculez la table de vérité de cette formule, vous verrez que c est la même que pour (ϕ ψ). De même, l implication (ϕ ψ) se réécrit : ( ϕ ψ) ; l équivalence (ϕ ψ) : ( (ϕ ψ) ( ϕ ψ)) ; le connecteur 1 : (ϕ ϕ), etc. Et les jeux {, } et {, } sont eux aussi fonctionnellement complets. Par exemple, ϕ ψ peut se réécrire en (ϕ ψ). Et il y a encore plus économique : par exemple la barre de Sheffer,, constitue à elle seule un jeu fonctionnellement complet ; elle permet de réécrire tous les autres connecteurs à elle toute seule, y compris la négation. Il en va de même pour la flèche de Pierce,. Exercice 1 Dressez les tables de vérité de (ϕ ϕ), (ϕ ϕ), ((ϕ ψ) (ϕ ψ)) et ((ϕ ψ) (ϕ ψ)). Que remarquez-vous? 4. Voici quelques autres explications. D abord, c est arbitraire : pour définir un langage comme LP 0, on choisit le jeu de connecteurs que l on veut (enfin presque comme on veut, cf. ci-après). Ensuite, il y a une question de «tradition» : les connecteurs que nous avons pris pour LP 0 sont ceux que l on retrouve habituellement dans les manuels de logique. Enfin, notre jeu de connecteurs est aussi suffisamment proche des tournures linguistiques les plus fréquentes en langage naturel. 4

5 Solutions Exercice 1 Pour dresser le stables de vérité, on consulte les colonnes 9 et 15 du tableau 2. ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Les deux formules (ϕ ϕ) et (ϕ ϕ) expriment la négation de ϕ, elles sont équivalentes à ϕ. ϕ ψ ϕ ψ (ϕ ψ) (ϕ ψ) On reconnaît la table de vérité de la conjonction : ((ϕ ψ) (ϕ ψ)) équivaut à (ϕ ψ). ϕ ψ ϕ ψ (ϕ ψ) (ϕ ψ) On reconnaît la table de vérité de la disjonction : ((ϕ ψ) (ϕ ψ)) équivaut à (ϕ ψ). 5