Cours d Eléments d Algorithmique. 1 cours magistral le jeudi de 14h à 15h30
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- Anne-Laure Leroux
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1 Cours d Eléments d Algorithmique 1 cours magistral le jeudi de 14h à 15h30
2 Cours d Eléments d Algorithmique 1 cours magistral le jeudi de 14h à 15h30 La prof d amphi: Anne Micheli anne.micheli@liafa.univ-paris-diderot.fr amicheli/
3 Cours d Eléments d Algorithmique Les chargés de TDs Antonio Bucciarelli Info 1 mercredi 16h45-18h45 132C Pierre Charbit Info 2 mardi 16h45-18h45 415B Alexandre Vigny Info 3 jeudi 11h00-13h00 411B Juliusz Chroboczek Info 4 lundi 16h45-18h45 515B
4 Cours d Eléments d Algorithmique 40% de contrôle continu + 60% pour l examen final Partiel
5 Qu est ce qu un algorithme?
6 Qu est ce qu un algorithme? Au départ, il y a un problème???
7 Qu est ce qu un algorithme? Au départ, il y a un problème??? Comment faire un gâteau au chocolat?
8 Qu est ce qu un algorithme? Au départ, il y a un problème??? Comment faire un gâteau au chocolat? Comment trier dans l ordre croissant une suite de nombres entiers?
9 Qu est ce qu un algorithme? Au départ, il y a un problème??? Comment faire un gâteau au chocolat? Comment trier dans l ordre croissant une suite de nombres entiers? Comment additionner 2 nombres?
10 Qu est ce qu un algorithme? Suite finie d instructions qui transforment une donnée d entrée en une donnée de sortie entrée sortie
11 Qu est ce qu un algorithme? Pour 6 personnes: 200 g de chocolat noir 4 œufs 150 g de sucre 80 g de farine 200 g de beurre entrée sortie mélanger les jaunes d œufs avec... mettre 20 min au four à 180 suite finie d instructions
12 Qu est ce qu un algorithme? n 1 = res = n 2 = entrée sortie commencer par additionner les 2 chiffres des unités... suite finie d instructions
13 Qu est ce qu un algorithme? La donnée d entrée est appelée instance du problème n 1 = res = n 2 = entrée sortie commencer par additionner les 2 chiffres des unités... suite finie d instructions
14 Qu est ce qu un algorithme? nouvelle instance du problème n 1 = 18 res = 262 n 2 = 244 entrée sortie commencer par additionner les 2 chiffres des unités... suite finie d instructions
15 Qu est ce qu un algorithme? Un algorithme est dit correct si, pour toute instance du problème, l algorithme s arrête lorsqu il produit la bonne donnée de sortie
16 Qu est ce qu un algorithme? Un algorithme est dit correct si, pour toute instance du problème, l algorithme s arrête lorsqu il produit la bonne donnée de sortie Exemples de problèmes résolus par l algorithmique: - Accéder rapidement à l information sur internet - Identifier les gènes de l ADN humaine - Archiver des données telles qu elles occupent le moins de place possible
17 Écrire un algorithme Il n est pas nécessaire de choisir un langage de programmation
18 Écrire un algorithme Il n est pas nécessaire de choisir un langage de programmation on ne veut pas dépendre des spécificités d un langage = on écrit en pseudo-code
19 Écrire un algorithme Il n est pas nécessaire de choisir un langage de programmation on ne veut pas dépendre des spécificités d un langage = on écrit en pseudo-code Affectation x... Fonction mafonction(...)... return... Conditionnelle if... then... else... endif Boucles for i from... to... do... endfor while... do... endwhile
20 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau
21 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau Principe: on initialise le minimum à la première entrée du tableau. Puis on parcourt les autres entrées du tableau une à une en mettant à jour le minimum si nécessaire min 6
22 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau Principe: on initialise le minimum à la première entrée du tableau. Puis on parcourt les autres entrées du tableau une à une en mettant à jour le minimum si nécessaire min 6
23 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau Principe: on initialise le minimum à la première entrée du tableau. Puis on parcourt les autres entrées du tableau une à une en mettant à jour le minimum si nécessaire. 6 min
24 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau Principe: on initialise le minimum à la première entrée du tableau. Puis on parcourt les autres entrées du tableau une à une en mettant à jour le minimum si nécessaire. 6 min
25 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau Principe: on initialise le minimum à la première entrée du tableau. Puis on parcourt les autres entrées du tableau une à une en mettant à jour le minimum si nécessaire. 6 min
26 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau Principe: on initialise le minimum à la première entrée du tableau. Puis on parcourt les autres entrées du tableau une à une en mettant à jour le minimum si nécessaire. 6 min
27 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau Principe: on initialise le minimum à la première entrée du tableau. Puis on parcourt les autres entrées du tableau une à une en mettant à jour le minimum si nécessaire. 6 min
28 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau Principe: on initialise le minimum à la première entrée du tableau. Puis on parcourt les autres entrées du tableau une à une en mettant à jour le minimum si nécessaire min 2
29 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau Principe: on initialise le minimum à la première entrée du tableau. Puis on parcourt les autres entrées du tableau une à une en mettant à jour le minimum si nécessaire. À la fin du parcours, on obtient le minimum min 2
30 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau RechercheMin (tab: un tableau de n entiers) 1 min tab[0] on initialise le minimum à la première entrée du tableau
31 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau 1 2 RechercheMin (tab: un tableau de n entiers) min tab[0] on initialise le minimum à la première entrée du tableau for i from 1 to n-1 do Puis on parcourt les autres entrées du tableau une à une 7 endfor
32 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau RechercheMin (tab: un tableau de n entiers) min tab[0] on initialise le minimum à la première entrée du tableau for i from 1 to n-1 do Puis on parcourt les autres entrées du tableau une à une if min > tab[i] then en mettant à jour le minimum si nécessaire min tab[i] endif endfor
33 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau RechercheMin (tab: un tableau de n entiers) min tab[0] on initialise le minimum à la première entrée du tableau for i from 1 to n-1 do Puis on parcourt les autres entrées du tableau une à une if min > tab[i] then en mettant à jour le minimum si nécessaire min tab[i] endif endfor return min À la fin du parcours, on obtient le minimum
34 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau RechercheMin (tab: un tableau de n entiers) min tab[0] on initialise le minimum à la première entrée du tableau for i from 1 to n-1 do Puis on parcourt les autres entrées du tableau une à une if min > tab[i] then en mettant à jour le minimum si nécessaire min tab[i] endif endfor return min À la fin du parcours, on obtient le minimum L algorithme est correct!
35 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau RechercheMin (tab: un tableau de n entiers) min tab[0] on initialise le minimum à la première entrée du tableau for i from 1 to n-1 do Puis on parcourt les autres entrées du tableau une à une if min > tab[i] then en mettant à jour le minimum si nécessaire min tab[i] endif endfor return min À la fin du parcours, on obtient le minimum
36 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau RechercheMin (tab: un tableau de n entiers) min tab[0] on initialise le minimum à la première entrée du tableau for i from 1 to n-1 do Puis on parcourt i = 1les autres entrées du tableau une à une if min > tab[i] then en mettant à jour le minimum si nécessaire min tab[i] endif endfor return min À la fin du parcours, on obtient le minimum
37 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau RechercheMin (tab: un tableau de n entiers) min tab[0] on initialise le minimum à la première entrée du tableau for i from 1 to n-1 do Puis on parcourt i = 2les autres entrées du tableau une à une if min > tab[i] then en mettant à jour le minimum si nécessaire min tab[i] endif endfor return min À la fin du parcours, on obtient le minimum
38 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau RechercheMin (tab: un tableau de n entiers) min tab[0] on initialise le minimum à la première entrée du tableau for i from 1 to n-1 do Puis on parcourt i = 3les autres entrées du tableau une à une if min > tab[i] then en mettant à jour le minimum si nécessaire min tab[i] endif endfor return min À la fin du parcours, on obtient le minimum
39 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau RechercheMin (tab: un tableau de n entiers) min tab[0] on initialise le minimum à la première entrée du tableau for i from 1 to n-1 do Puis on parcourt i = 4les autres entrées du tableau une à une if min > tab[i] then en mettant à jour le minimum si nécessaire min tab[i] endif endfor return min À la fin du parcours, on obtient le minimum
40 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau RechercheMin (tab: un tableau de n entiers) min tab[0] on initialise le minimum à la première entrée du tableau for i from 1 to n-1 do Puis on parcourt i = 5les autres entrées du tableau une à une if min > tab[i] then en mettant à jour le minimum si nécessaire min tab[i] endif endfor return min À la fin du parcours, on obtient le minimum
41 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau RechercheMin (tab: un tableau de n entiers) min tab[0] on initialise le minimum à la première entrée du tableau for i from 1 to n-1 do Puis on parcourt i = 6les autres entrées du tableau une à une if min > tab[i] then en mettant à jour le minimum si nécessaire min tab[i] endif endfor return min À la fin du parcours, on obtient le minimum
42 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau RechercheMin (tab: un tableau de n entiers) min tab[0] on initialise le minimum à la première entrée du tableau for i from 1 to n-1 do Puis on parcourt i = 7les autres entrées du tableau une à une if min > tab[i] then en mettant à jour le minimum si nécessaire min tab[i] endif endfor return min À la fin du parcours, on obtient le minimum
43 Écrire un algorithme données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau RechercheMin (tab: un tableau de n entiers) min tab[0] on initialise le minimum à la première entrée du tableau for i from 1 to n-1 do Puis on parcourt i = 8les autres entrées du tableau une à une if min > tab[i] then en mettant à jour le minimum si nécessaire min tab[i] endif endfor return min À la fin du parcours, on obtient le minimum
44 Écrire un algorithme de l élément x données: un tableau d entiers et un entier résultat: l indice de l entier recherché dans le tableau s il s y trouve, -1 sinon RechercheMin (tab: un tableau de n entiers) min tab[0] on initialise le minimum à la première entrée du tableau for i from 1 to n-1 do Puis on parcourt les autres entrées du tableau une à une if min > tab[i] then en mettant à jour le minimum si nécessaire min tab[i] endif endfor return min À la fin du parcours, on obtient le minimum
45 Écrire un algorithme de l élément x données: un tableau d entiers et un entier résultat: l indice de l entier recherché dans le tableau s il s y trouve, -1 sinon RechercheMin RechercheElt (tab: un untableau de den nentiers, entiers) x: entier) ind -1 for i from 0 to n-1 do if tab[i] = x then ind i endif endfor return ind on initialise l indice de x dans le tableau à -1, ie. x n a pas encore été vu Puis on parcourt toutes les entrées du tableau une à une en mettant à jour l indice de x dans le tableau si nécessaire À la fin du parcours, on obtient l indice de x dans tab s il s y trouve, -1 sinon
46 Écrire un algorithme de l élément x données: un tableau d entiers et un entier résultat: l indice de l entier recherché dans le tableau s il s y trouve, -1 sinon RechercheMin RechercheElt (tab: un untableau de den nentiers, entiers) x: entier) ind -1 for i from 0 to n-1 do if tab[i] = x then ind i endif endfor return ind on initialise l indice de x dans le tableau à -1, ie. x n a pas encore été vu Puis on parcourt toutes les entrées du tableau une à une en mettant à jour l indice de x dans le tableau si nécessaire À la fin du parcours, on obtient l indice de x dans tab s il s y trouve, -1 sinon Amélioration: retourner l indice de x dès qu on le trouve dans le tableau
47 Écrire un algorithme de l élément x données: un tableau d entiers et un entier résultat: l indice de l entier recherché dans le tableau s il s y trouve, -1 sinon RechercheMin RechercheElt (tab: un untableau de den nentiers, entiers) x: entier) ind -1 on initialise l indice de x dans le tableau à -1, ie. x n a pas encore été vu for i from 0 to n-1 do Puis On parcourt on parcourt toutes toutes les entrées les entrées du tableau du tableau une àune une à une if tab[i] = x then en mettant retournant à jour l indice l indice de xde dans x dans le tableau tableau si onsitrouve nécessaire x ind return i i endif endfor return ind -1 ÀSi la onfin arrive du parcours, ici, c est que on obtient x n a pas l indice été trouvé de x dans tab s il et on s yretourne trouve, -1 sinon Amélioration: retourner l indice de x dès qu on le trouve dans le tableau
48 Conclusion Losqu on connait bien un algorithme pour résoudre un problème, on peut en déduire d autres pour résoudre d autres problèmes similaires en effectuant de petits changements
49 Conclusion Losqu on connait bien un algorithme pour résoudre un problème, on peut en déduire d autres pour résoudre d autres problèmes similaires en effectuant de petits changements Questions On a parlé d amélioration, mais qu est-ce que cela signifie? Comment comparer deux algorithmes résolvant le même problème sur les mêmes instances?
50 Un nouvel algorithme pour trouver le minimum d un tableau données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau
51 Un nouvel algorithme pour trouver le minimum d un tableau données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau Principe: diviser pour régner
52 Un nouvel algorithme pour trouver le minimum d un tableau données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau Principe: diviser pour régner
53 Un nouvel algorithme pour trouver le minimum d un tableau données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau Principe: diviser pour régner
54 Un nouvel algorithme pour trouver le minimum d un tableau données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau Principe: diviser pour régner
55 Un nouvel algorithme pour trouver le minimum d un tableau données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau Principe: diviser pour régner
56 Un nouvel algorithme pour trouver le minimum d un tableau données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau Principe: diviser pour régner
57 Un nouvel algorithme pour trouver le minimum d un tableau données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau Principe: diviser pour régner
58 Un nouvel algorithme pour trouver le minimum d un tableau données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau Principe: diviser pour régner si T a plus qu un élément scinder le tableau en deux sous-tableaux T 1 et T 2 calculer le minimum, min 1, de T 1 calculer le minimum, min 2, de T 2 retourner le minimum de min 1 et min 2 sinon retourner l unique élément de T
59 Un nouvel algorithme pour trouver le minimum d un tableau données: un tableau d entiers résultat: l élément minimum du tableau Principe: diviser pour régner si T a plus qu un élément scinder le tableau en deux sous-tableaux T 1 et T 2 calculer le minimum, min 1, de T 1 calculer le minimum, min 2, de T 2 Algorithme récursif retourner le minimum de min 1 et min 2 sinon retourner l unique élément de T
60 Questions On a parlé d amélioration, mais qu est-ce que cela signifie? Comment comparer deux algorithmes résolvant le même problème sur les mêmes instances?
61 Questions On a parlé d amélioration, mais qu est-ce que cela signifie? Comment comparer deux algorithmes résolvant le même problème sur les mêmes instances? Comparer deux algorithmes comparer les vitesses d exécution sur les mêmes instances algorithme efficace
62 Questions On a parlé d amélioration, mais qu est-ce que cela signifie? Comment comparer deux algorithmes résolvant le même problème sur les mêmes instances? Comparer deux algorithmes comparer les vitesses d exécution sur les mêmes instances algorithme efficace compter le nombre d opérations élémentaires effectuées lors du déroulement de l algorithme aujourd hui: 1 opération élémentaire 1 nanoseconde (10 9 s) Étude de la complexité en temps
63 Questions On a parlé d amélioration, mais qu est-ce que cela signifie? Comment comparer deux algorithmes résolvant le même problème sur les mêmes instances? Comparer deux algorithmes comparer les vitesses d exécution sur les mêmes instances comparer l espace nécessaire en mémoire selon les instances algorithme efficace
64 Questions On a parlé d amélioration, mais qu est-ce que cela signifie? Comment comparer deux algorithmes résolvant le même problème sur les mêmes instances? Comparer deux algorithmes comparer les vitesses d exécution sur les mêmes instances algorithme efficace comparer l espace nécessaire en mémoire selon les instances lisibilité de l algorithme, simplicité du principe, simplicité de l implémentation... Attention il existe des algorithmes pour lesquels on ne connait pas de solution efficace!
65 Le problème du voyageur de commerce
66 Le problème du voyageur de commerce ronde la plus courte passant par tous les villages?
67 Le problème du voyageur de commerce ronde la plus courte passant par tous les villages? Pas d autre algorithme connu que de calculer toutes les rondes possibles! Pas de solution efficace!
68 aujourd hui: 1 opération élémentaire 1 nanoseconde (10 9 s) n taille de la donnée n ms ms ms ms 1 11 ms n s 1 10 s s 10 s 40,5 min 2 n n n 1 ms 18, 3 min 3, siècles 36, 5 années siècles... nombres d opérations élémentaires
69 aujourd hui: 1 opération élémentaire 1 nanoseconde (10 9 s) n taille de la donnée n ms ms ms ms 1 11 ms n s 1 10 s s 10 s 40,5 min 2 n n n 1 ms 18, 3 min 3, siècles 36, 5 années siècles... nombres d opérations élémentaires Et il existe des problème qu on ne sait pas résoudre avec un algorithme!
70 Conclusion Connaître des algorithmes permet d en concevoir de nouveaux régit par un principe similaire lecture, modification et écriture d algorithmes Un algorithme doit être efficace pour pouvoir donner une réponse dans un temps raisonnable en utilisant une place en mémoire raisonnable. étude de la complexité d un algorithme
Probabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12
Probabilités. I - Rappel : trois exemples. Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns. Parmi les filles, 6 sont blondes. Parmi les garçons, 3 sont
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