1 Sélection des données dans la feuille de calcul 2 La vue Analyse des données 3 Calculs statistiques

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1 Fiche technique 20 Comparer plusieurs séries statistiques 1 Sélection des données dans la feuille de calcul 2 La vue Analyse des données 3 Calculs statistiques QR Code GeoGebra dispose d'un outil permettant de mener une comparaison de plusieurs séries statistiques. Les valeurs prises par les séries doivent être entrées dans la feuille de calcul de la vue Tableur et GeoGebra ne permet de comparer que des séries dont les données brutes sont fournies. 1 Sélection des données dans la feuille de calcul Lorsque les données occupent des colonnes adjacentes, la sélection de celles-ci s'avère très simple. Sélectionner la plage de cellules contenant les données à comparer. Cliquer sur l'icône. Dans la boîte de dialogue Source des données, cliquer sur puis choisir Utiliser l'entête comme titre si les colonnes présentent un entête. Cliquer sur le bouton Analyse. Comparer plusieurs séries statistiques 559

2 Remarque : Comme l'exemple précédent le montre, les effectifs des séries à comparer peuvent être différents (néanmoins, certains tests statistiques nécessitent des séries de même effectif). La procédure précédente reste valable pour plus de deux séries à comparer. Lorsque les données ne sont pas regroupées dans des colonnes adjacentes (elles peuvent être en ligne ou encore dans des plages de cellules arbitraires), il reste cependant possible de les sélectionner, mais au prix d'un plus grand nombre de manipulations. On désire comparer les trois séries dont les valeurs appartiennent respectivement aux plages de cellules A1:E1, A2:B3 et D4:E6. Sélectionner une cellule non vide (par exemple, la cellule A1). Cliquer sur l'icône. Dans la vue Tableur, sélectionner la plage de cellules A1:E1 puis, dans la boîte de dialogue Source des données, cliquer sur l'icône pour remplir la première colonne avec les valeurs de la plage A1:E1. Cliquer sur le bouton pour ajouter une série de valeurs : une colonne vide apparaît. Dans la vue Tableur, sélectionner la plage de cellules A2:B3 puis, dans la boîte de dialogue Source des données, cliquer sur l'icône située au-dessus de la colonne vide. Cliquer sur le bouton. Dans la vue Tableur, sélectionner la plage de cellules D4:E6 puis, dans la boîte de dialogue Source des données, cliquer sur l'icône située au-dessus de la colonne vide. Cliquer sur le bouton Analyse. 560 commission inter T REM CE

3 Remarque : GeoGebra permet également d'ajouter des séries dont les valeurs sont isolées dans la feuille de calcul : il suffit simplement de sélectionner ces valeurs en maintenant la touche Ctrl enfoncée. Le bouton permet de supprimer une série de valeurs dans la boîte de dialogue Source des données. Cependant, il n'est pas possible de supprimer n'importe laquelle des colonnes : ce bouton n'agit que sur la dernière colonne. 2 La vue Analyse des données L'appui sur le bouton Analyse des données. Analyse de la boîte de dialogue Source des données provoque l'affichage de la vue La barre principale permet d'accéder aux outils (Statistiques à une variable ), (Statistiques à deux variables ) et (Statistiques à plusieurs variables ). La barre d'outils (qui se déplie en cliquant sur le bouton ) propose les outils suivants : : l'outil Afficher la source de données pour afficher la fenêtre Source des données et modifier les données à analyser; : l'outil Afficher statistiques pour afficher dans la vue les calculs statistiques concernant les données. Dans la barre d'outils, le bouton de GeoGebra. permet d'ancrer la vue Analyse des données dans la fenêtre principale Dans la zone de graphique, les boîtes à moustaches sont les seuls types de graphiques disponibles. GeoGebra permet de modifier quelques paramètres de ce mode de représentation. Pour afficher les valeurs aberrantes, c'est-à-dire celles situées hors de l'intervalle [ Q 1 1,5 E I ;Q 3 +1,5 E I ] (où E I désigne l'intervalle interquartile Q 3 Q 1 ) : Comparer plusieurs séries statistiques 561

4 Cliquer sur le bouton. Dans l'onglet Boîtes superposées, cocher ou décocher la case Afficher les valeurs aberrantes. Pour modifier le repère : Cliquer sur le bouton. Ouvrir l'onglet Graphe. Cocher ou décocher la case Afficher Grille selon les besoins. Décocher la case Dimensions automatiques pour modifier les paramètres du repère : les bornes des abscisses et des ordonnées sont modifiables par les champs xmin, xmax, ymin et ymax, tandis que les graduations des axes sont modifiables par les champs xpas et ypas. Le bouton permet d'exporter le graphique : vers la vue Graphique active ; vers le presse-papier afin de coller le graphique dans une autre application en tant qu'image; vers un fichier image. 3 Calculs statistiques L'appui sur le bouton provoque l'apparition d'une nouvelle zone dans la vue Analyse des données. Le choix du type de calculs à afficher s'effectue à l'aide de la liste déroulante située dans la partie supérieure de la zone. Pour afficher les caractéristiques usuelles des séries statistiques : Sélectionner Statistiques dans la liste déroulante. GeoGebra affiche alors, dans un tableau, un certain nombre de caractéristiques des séries sélectionnées : n : l'effectif total des séries statistiques Moyenne : la moyenne des séries statistiques σ : l'écart-type standard des séries statistiques (racine carrée de la variance) σ = X 2 n ( ) X 2 n 562 commission inter T REM CE

5 s : l'écart-type sans biais des séries statistiques (racine carrée de la variance sans biais) s = σ Min : la valeur minimale des séries statistiques Q 1 : le premier quartile des séries statistiques Médiane : la médiane des séries statistiques Q 3 : le troisième quartile des séries statistiques Max : la valeur maximale des séries statistiques n n 1 Une analyse de la variance (ou encore ANOVA) à un facteur est un moyen d'apprécier l'effet d'une variable qualitative (appelée facteur) sur une variable numérique et revient à comparer plusieurs moyennes d'échantillons supposés gaussiens et de variance identique. On teste l'hypothèse que les moyennes des échantillons sont identiques contre celle qu'il existe au moins deux échantillons de moyennes différentes. Techniquement, on construit un test de FISHER ; en effet si les moyennes des échantillons sont identiques alors on décompose la variance totale comme suit : S 2 = S 2 A + S2 R Où S 2 A représente la variance due au facteur (dite aussi inter-groupes) et S2 R la variance résiduelle (dite aussi intra-groupes). Ainsi, si k représente le nombre de modalités de la variable qualitative et n l'effectif total, on construit la statistique suivante : S 2 A k 1 S 2 F (k 1;n k) R n k Si ce rapport est supérieur à une valeur critique, alors on conclut à une influence significative du facteur et on rejette alors l'hypothèse que toutes les moyennes sont identiques. Pour effectuer une analyse de la variance à un facteur : Sélectionner AnalyseVariance dans la liste déroulante. GeoGebra affiche alors un premier tableau qui permet de connaître toutes les valeurs nécessaires au test de FISHER, à savoir : dlib : nombre de degrés de liberté associé aux variances inter-groupes et intra-groupes ; SS : somme des carrés inter-groupes et intra-groupes ; Comparer plusieurs séries statistiques 563

6 MoyCarrés : quotient des sommes des carrés inter-groupes et intra-groupes par les degrés de liberté respectifs; F : quotient de MoyCarrés inter-groupes par MoyCarrés intra-groupes; P : probabilité d'avoir une variable aléatoire suivant une loi de FISCHER de paramètres les degrés de liberté inférieure à la valeur donnée par F. En général, si P est supérieur à 0,05, on rejette l'hypothèse d'égalité des moyennes. Le second tableau permet de visualiser l'effectif total des séries (n), leur moyenne et leur écart-type sans biais (s). GeoGebra permet d'effectuer un t-test de la différence des moyennes de deux populations à partir de la donnée d'échantillons. On suppose ici que les deux échantillons X 1 et X 2 suivent des lois normales de paramètres respectifs (µ 1,σ 1 ) et (µ 2,σ 2 ). On construit la statistique : T = µ 1 µ 2 ( ) où S S 2 = (n 1 1)S1 2 + (n 2 1)S2 2 1n n2 n 1 + n 2 2 S 2 1 et S2 2 étant les variances observées. Cette statistique suit une loi de STUDENT de paramètre (n 1 + n 2 2). GeoGebra permet d'effectuer un test bilatéral ou unilatéral. Sélectionner T Test, Différences des moyennes dans la liste déroulante. Dans la liste déroulante Alternative, sélectionner l'hypothèse alternative souhaitée (l'hypothèse nulle est toujours µ 1 µ 2 = 0). GeoGebra affiche alors un premier tableau récapitulant la moyenne, l'écart-type sans biais (s) ainsi que l'effectif total (n) des séries sélectionnées. Dans le cas où plus de deux séries ont été choisies dans la vue Tableur à l'occasion de l'utilisation de l'outil, GeoGebra permet de sélectionner les échantillons à comparer à l'aide des listes déroulantes situées sur les lignes Échantillon 1 et Échantillon 2. Le second tableau fournit les résultats du test. 564 commission inter T REM CE

7 Différence : la différence entre les moyennes des deux échantillons; P : la probabilité associée à la statistique T calculée, à savoir t (si la valeur est inférieure à 0,05 par exemple, on rejette l'hypothèse d'égalité des moyennes); t : valeur de la statistique de test T pour les échantillons donnés ; SE : erreur standard (à priori, il s'agit du quotient de la différence des moyennes par la valeur de t); dlib : nombre de degrés de liberté associé à t. Lorsque les échantillons sont appariés (ils doivent donc avoir le même effectif) et quand les données des deux variables sont distribuées selon une loi normale, on peut effectuer un test t pour comparer leurs moyennes. On soustrait les observations du premier échantillon et les observations du deuxième entre elles et on étudie la moyenne des écarts. L'hypothèse du test ici est que la moyenne des écarts est nulle contre une des trois hypothèses alternatives en fonction du choix d'un test bilatéral ou unilatéral. On construit la statistique T = m S 2 qui suit une loi de STUDENT de paramètre n 1 (n étant la taille commune n n i=1 des échantillons) où m = d n i, d i étant l'écart entre les observations i des échantillons et S 2 i=1 = (d i m) 2. n n 1 Sélectionner T Test, Différences appariées dans la liste déroulante. Dans la liste déroulante Alternative, sélectionner l'hypothèse alternative souhaitée (l'hypothèse nulle est toujours «la moyenne des différences appariées de la population vaut zéro»). GeoGebra affiche alors un premier tableau récapitulant la moyenne, l'écart-type sans biais s (s est le quotient de la somme des écarts aux carrés des observations à la moyenne par n-1), l'effectif total n des séries sélectionnées ainsi que les différences entre les deux échantillons pour ces valeurs. Dans le cas où plus de deux séries ont été choisies dans la vue Tableur à l'occasion de l'utilisation de l'outil, GeoGebra permet de sélectionner les échantillons à comparer à l'aide des listes déroulantes situées sur les lignes Échantillon 1 et Échantillon 2. Le second tableau fournit les résultats du test. Comparer plusieurs séries statistiques 565

8 Différence des écarts : la différence entre les moyennes des deux échantillons ; P : probabilité associée à la statistique T calculée, à savoir t ; t : valeur de la statistique de test T pour les échantillons donnés ; SE : erreur standard (à priori, il s'agit du quotient de la moyenne des écarts par la valeur de t); dlib : nombre de degrés de liberté associé à t. T Estimation, Différences des moyennes : c'est le même point de départ que le t-test différence des moyennes, sauf qu'à la place d'un test, on fournit un intervalle dans lequel se trouve la différence des moyennes des deux échantillons au niveau de confiance fixé. On considère donc la même statistique T. Sélectionner T Estimation, Différences des moyennes dans la liste déroulante. Dans le champ Niveau de confiance, entrer une valeur comprise entre 0 et 1 : elle représente la probabilité que la valeur de la différence des moyennes des populations soit dans l'intervalle donné. GeoGebra affiche alors un premier tableau récapitulant la moyenne, l'écart-type sans biais (s), et l'effectif total (n) des séries sélectionnées. Les listes déroulantes situées sur les lignes Échantillon 1 et Échantillon 2 permettent de sélectionner les échantillons à comparer. Le second tableau fournit les résultats du test. Différence : la différence entre les moyennes des deux échantillons; ME : amplitude de l'intervalle divisée par deux; Limite inférieure : valeur minimale de l'intervalle ; Limite supérieure : valeur maximale de l'intervalle; SE : erreur standard (à priori, il s'agit du quotient de la différence des moyennes par la valeur de t); dlib : nombre de degrés de liberté associé à t. T Estimation, Différences appariées : c'est le même point de départ que le t-test, différences appariées, sauf qu'à la place d'un test, on donne un intervalle dans lequel se trouve la moyenne des différences des observations des deux échantillons au niveau de confiance fixé. On considère donc la même statistique T. 566 commission inter T REM CE

9 Sélectionner T Estimation, Différences appariées dans la liste déroulante. Dans le champ Niveau de confiance, entrer une valeur comprise entre 0 et 1 : elle représente la probabilité que la valeur de la différence des moyennes des populations soit dans l'intervalle donné. GeoGebra affiche alors un premier tableau récapitulant la moyenne, l'écart-type sans biais s (s est le quotient de la somme des écarts aux carrés des observations à la moyenne par n 1), l'effectif total n des séries sélectionnées ainsi que les différences entre les deux échantillons pour ces valeurs. Les listes déroulantes situées sur les lignes Échantillon 1 et Échantillon 2 permettent de sélectionner les échantillons à comparer. Le second tableau fournit les résultats du test. Moyenne des écarts : la moyenne des écarts des observations des deux échantillons; ME : amplitude divisée par deux de l'intervalle de confiance; Limite inférieure : borne inférieure de l'intervalle ; Limite supérieure : borne supérieure de l'intervalle; SE : erreur standard (à priori, il s'agit du quotient de la différence des moyennes par la valeur de t); dlib : nombre de degrés de liberté associé à t. Comparer plusieurs séries statistiques 567