SERIE N 7 LES FILTRES ELECTRIQUES

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1 SERIE N 7 LES FILTRES ELECTRIQUES EXERCICE N A l entrée d un filtre RC schématisé sur la figure ci-contre, on applique une tension sinusoïdale u E (t) de fréquence N réglable : Soit u E (t) = U Em. sin( 2πNt + π ) On donne C = 0,47 µf. 2 ) Etablir l équation différentielle régissant l évolution de la tension de sortie u S (t). en déduire qu il s agit d un filtre de premier ordre. 2) Sachant que la tension de sortie s écrit : u S (t) = U Sm. sin (2πNt + φ S ) ; a- Faire la construction de Fresnel correspondante et préciser l axe des phases. b- Etablir l expression de la transmitance T du filtre et déduire celle du gain G. 3) On fait varier la fréquence N et à l aide d un décibel mètre, on mesure à chaque fois le gain correspondant. On trace ainsi la courbe de réponse suivante : Déterminer graphiquement : Le gain maximal G 0 et déduire qu il s agit d un filtre passe bas. La fréquence de coupure haute N h et déduire la valeur de R. 4) pour la fréquence N = N h, déterminer le déphasage de u S (t) par rapport à u E (t) et déduire φ S. EXERCICE N 2 On réalise un montage comportant une résistance R, un condensateur de capacité C et un GBF, délivrant une tension sinusoïdale u e ( t ) = 4.sin( ωt ), on note que la tension à la sortie est u s ( t ) = U sm sin( ωt + φ S ) ) Etablir l équation différentielle régissant l évolution de l intensité i ( t ) 2) Faire la construction de fresnel et établir l expression de l intensité maximale I m 3) Déduire l expression de U sm 4) a- Montrer que le gain G de ce filtre s écrit : G = - 0 log ( + (2πRCN) 2 ) b- Etudier le sens de variation de G en déduire la nature de ce filtre c- On donne à la page suivante la courbe donnant l amplitude de la tension de sortie Usm en fonction du temps t soit ( Usm = f( t ) ) Déterminer l échelle des tensions utilisée pour construire cette courbe. ( Volt par division) A partir de cette courbe déterminer la fréquence de coupure Nc, en déduire la bande passante de ce filtre Déduire la valeur de la capacité C du condensateur Calculer la valeur de la transmitance T pour N = 2 KHz ; dans ces condition le filtre est-il passant?

2 EXERCICE N 3 A/ Le montage ci-contre est alimenté par une tension sinusoïdale dont l amplitude, égale à 4V, est délivré par un GBF : On donne : R = 00Ω ; C =0,μF ) Représenter par des flèches les tensions positives aux bornes des dipôles 2) Quelle est l amplitude de la tension visualisée sur la voie B à très basse fréquence? Justifier la réponse 3) Calculer la valeur de la fréquence de coupure Nc à -3dB de ce filtre. 4) a- Quelle est l amplitude de la tension ubm lorsque la fréquence N du GBF est voisine de MHz? b- Que vaut l amplitude de la tension de sortie lorsque la fréquence N= Nc? 5) Quelle est la dénomination de ce filtre? B/ Soit le filtre schématisé par la figure ci-contre : ) Calculer la fréquence de coupure Nc à -3dB de ce filtre 2) Le GBF délivre une tension sinusoïdale d amplitude u EM constante et égale à 5v. a- Que vaut l amplitude u SM de la tension de sortie à très basse fréquence?justifier la réponse b- Quelle est la valeur de usm à la fréquence N= Nc. 3) Quelle est la dénomination de ce filtre? EXERCICE N 4 On considère le filtre schématisé sur la figure-- où R = 59 Ω et C = 0,5 μf. A l entrée du filtre On applique un tension sinusoïdale ue(t) = U Em sin(2πnt ). ) a- La figure-2 traduit l évolution des tensions u E et u S au cours du temps sur l écran d un oscilloscope bicourbe. Déterminer le type ( passif ou actif ) du filtre. b- Sur un schéma indiquer les branchements à l oscilloscope permettant la visualisation des tensions u E et u S. c- Déterminer les expressions numériques des tensions u E et u S en Figure fonction du temps. 2) Une étude expérimentale conduit à la courbe de réponse G = f(t) avec G le gain de ce filtre représentée sur la figure-3. a- Déterminer la fréquence de coupure N C à -3 db de ce filtre. b- Déterminer la bande passante du filtre. En déduire la nature du filtre. 3) La fonction de transfert T = f(n) est donnée par la courbe de la figure-4 ci-dessous:

3 Figure -3- Figure -4- Retrouver les résultats de la question 2 en exploitant la courbe de la figure-4. EXERCICE N 5 On considère un filtre électrique RC constitué d un résistor de résistance R et d un condensateur de capacité C=0,47μF. Lorsqu on applique à l entrée du filtre une tension sinusoïdale u E (t)=u Em sin(2πnt) de fréquence N réglable, on obtient à la sortie une tension u S (t)=usmsin(2πnt+φs). ) a- En appliquant la loi des mailles, établir l équation différentielle régissant la tension u S (t). b- Faire la construction de Fresnel relative à cette équation différentielle. c- Déterminer l expression de la transmittance T en fonction de R, C et N. d- En déduire que le gain de ce filtre s écrit : G= 0log (+(2πNRC)2). 2) La courbe suivante représente l évolution du gain G du filtre en fonction de la fréquence N.

4 a- Déterminer graphiquement : - la valeur maximale G 0 du gain G. - la fréquence de coupure N C. - la larguer de la bande passante. b- On applique à l entrée de ce filtre une tension électrique u E (t)=9.sin(800πt). b - Indiquer, en justifiant, si cette tension sera transmise où non. b 2 - Si oui, calculer la valeur maximale U Sm de la tension transmise? 3) a- Etablir l expression de la fréquence de coupure N C de ce filtre en fonction de R et C. b- Calculer la valeur de la résistance R. 4) Sans modifier la valeur de R, faut-il augmenter ou diminuer la valeur de C pour que la bande passante du filtre soit plus large? Justifier. EXERCICE N 6 On considère deux filtres électriques (F ) et (F 2 ) schématisés ci-contre. Chacun de ces filtres est alimenté par une tension alternative sinusoïdales u e (t) d amplitude U em et de fréquence N réglable. L amplificateur opérationnel est idéal polarisé à ±5V, les deux condensateurs ont la même capacité C = 0,47 μf et R, R et R 2 sont les résistances des trois résistors. Les tensions de sorties u S (t) et u S2 (t) des filtres (F ) et (F 2 ) sont sinusoïdales de même fréquence N que ue(t) et d amplitude respective U Sm et U S2m. Les gains des filtres (F ) et (F 2 ) sont respectivement : G = 20 log R R - 0log *+(2πNRC)2 ] et G 2 = 0log *+ On rappelle qu un filtre électrique est passant lorsque G G 0-3dB avec G 0 son gain maximal. ) Préciser, en le justifiant, s il s agit d un filtre passif ou actif pour (F ) et (F 2 ). (2πNCR 2 ) 2 ] 2) On suit l évolution du gain G de chacun des filtres (F ) et (F 2 ) en fonction de la fréquence N. On obtient alors les courbes (A) et (B) (page suivante). En exploitant les courbes (A) et (B) ainsi que les expressions de G et G 2 : a- Justifier que la courbe (A) représente le gain G en fonction de N. b- Déterminer les valeurs maximales G 0 et G 02 respectivement de G et G 2 c - Identifier, lequel des deux filtres (F ) où (F 2 ) permet d amplifier la tension électrique. d- Déterminer les valeurs des fréquences de coupures N C et N C2, respectivement de (F ) et (F 2 ). e- préciser la nature (passe bas, passe haut) de chacun des filtres. 3) a- Montrer que les fréquences de coupures N C et N C2, respectivement de (F ) et (F 2 ) ont pour expression : b. Calculer les valeurs de R,R 2 et R. N C = 2πR C et N C2 = 2πR 2 C

5 EXERCICE N 7 On considère le filtre électrique de la figure suivante. A l entrée du filtre, on applique une tension u E (t) = U Em sin (2πNt), d amplitude U Em = 2V et de fréquence N réglable La tension de sortie est : U Sm sin (2πNt + φ). L amplitude opérationnelle est supposé idéale et polarisé à ± 5 V. ) Etablir l équation diffé régissant les variations de la tension de sortie u S (t) du filtre pour une tension d entrée u E (t). 2) Faire la construction de Fresnel relative à l équation différentielle régissant les variations de u S (t). 3) En exploitant cette construction, déterminer l expression de la transmittance T du filtre. 4) a- Montrer que l expression du gain G du filtre peut se mettre sous la forme : G = 20 log R R 2-0log [+(2πNR C) 2 ] b- Déduire le comportement du filtre pour les faibles et les hautes fréquences. 5) a- Déterminer l expression et la valeur du gain maximal G 0. On donne R 2 = 2R. b- Quelle condition doit satisfaire le gain G pour que le filtre soit passant? c- Calculer la valeur de la fréquence N h du filtre pour R 2 = 38 Ω et C = 0,47 µf

6 EXERCICE N 8 A l entrée du filtre (F) schématisé ci-contre, on applique une tension sinusoïdale u E (t) = U Em sin (2πNt) de valeur maximale U Em constante, et de fréquence N réglable. La tension de sortie du filtre est u s (t) =U sm sin (2πNt+φ). A/ Etude théorique : ) a- Définir un filtre électrique. b- Indiquer la différence entre un filtre passe-bas et un filtre passe-haut. 2) La transmittance T du filtre ainsi réalisée est T = a- Montrer que le gain du filtre s écrit : G = -0 log(+ ( + 2πRC 2 ) ) (2πRC) 2 b- Montrer que la valeur maximale G 0 du gain du filtre est nulle (G 0 = 0 db). 3) a- Quelle condition doit satisfaire le gain G pour que le filtre soit passant? Filtre F b- Montrer que la fréquence de coupure du filtre est : N C = (2πRC) B/ Etude expérimentale : Pour une tension maximale U Em donnée, l évolution du gain G du filtre en fonction de la fréquence N est donnée par le graphique ci-dessous : ) a- Montrer que le filtre (F) est passif. b- Déterminer graphiquement la valeur de sa fréquence de coupure N c. c- En déduire la bande passante du filtre. Ce filtre est-il passe-haut ou passe-bas? d- Déterminer la valeur de la capacité C. On donne R=500Ω. 2) On applique à l entrée du filtre, deux signaux (S ) et (S 2 ) de fréquences respectives : N =600 Hz et N 2 =2000 Hz. a- Préciser, en le justifiant, lequel des deux signaux est transmis. b- On garde le condensateur précédent de capacité C, et on remplace le conducteur ohmique de résistance R par un autre de résistance R =2R. Justifier que les deux signaux (S ) et (S 2 ) sont transmis. EXERCICE N 9 Un filtre électrique est constitué d un GBF délivrant une tension sinusoïdale de fréquence N réglable et d amplitude U Em constante, d un condensateur de capacité C=2μF, d une bobine d inductance L = 0,8H et de résistance r, et d un conducteur ohmique de résistance R=200Ω (voir figure ). La tension de sortie du filtre est notée : u S (t) = U Sm sin(2πnt + φs). Cependant, la tension d entrée est notée u E (t) = U E sin(2πnt). Un oscilloscope bicourbe, convenablement branché aux bornes de ce filtre, permet de visualiser, simultanément, les tensions u E (t) et u s (t). Pour les fréquences N et N 2 de N, on obtient, respectivement les chronogrammes des figures 2 et 3.

7 ) a- Définir un filtre électrique. b- Déterminer, par exploitation des figures 2et 3, les fréquences N et N 2 du GBF. c- Justifier, pour les deux figures 2 et 3, que la courbe (a) correspond à la variation de u E (t). d- Préciser, en le justifiant, la nature de ce filtre (actif ou passif). 2) On rappelle que la transmittance d un filtre est donnée par la relation : T= U Sm U Em a- Déterminer, pour la fréquence N, la valeur de la transmittance T de ce filtre. b- Donner la relation entre la transmittance maximale T 0 et la transmittance T pour que N soit une fréquence de coupure. c- Sachant que T 0 = 0,90 ; vérifier que N est une fréquence de coupure de ce filtre. 3) Pour une fréquence N 0 de N, les tensions u E (t) et u s (t) sont en phase, avec une transmittance T qui atteint sa valeur maximale T 0. a- Déterminer la valeur de la fréquence N 0. b- Montrer que l expression de T 0 peut se mettre sous la forme : T 0 = R R+r c- En déduire que la valeur de r est pratiquement égal à 20Ω. 4) Pour une fréquence N 3 inférieur à N 0 la transmittance T 3 est telle que T 3 = T a- Montrer que N 3 est aussi une fréquence de coupure. b- Préciser, en le justifiant, la nature de ce filtre (passe-bas, passe- haut ou passe- bande). c- En déduire la largeur de la bande passante ΔN de ce filtre. On donne N 3 =05 Hz. d- Calculer la valeur du facteur de qualité Q de ce filtre. EXERCICE N 0 On considère le circuit de la figure (en annexe) comportant un résistor de résistance R réglable, une bobine d inductance L et de résistance r négligeable, un condensateur de capacité C et un générateur GBF délivrant une tension alternative sinusoïdale u(t) de fréquence N réglable. La tension efficace du GBF est fixée à la valeur U = 4V et la résistance du résistor est réglée à la valeur R = 450 Ω. On fait varier la fréquence N du GBF est on mesure à l aide d un voltmètre la tension efficace U R aux bornes du résistor correspondante. Les mesures réalisées permettent de tracer la courbe U R = f(n) donnée par la figure 3 (en annexe). Une zone de cette partie est agrandie sur la figure 4. On rappelle que la fréquence propre du circuit N 0 = 2π LC ; Le facteur de qualité Q= N 0 N = R t. L C avec ΔN la largeur de la bande passante et R t la résistance totale du circuit électrique. ) a- Déterminer graphiquement la valeur de la fréquence propre du circuit N0 du circuit. b- En déduire la valeur du produit LC. 2) Le circuit étudié constitue un filtre électrique. Les tensions u(t) et u R (t) sont respectivement, la tension d entrée et la tension de sortie du filtre. a- En exploitant la figure 3, indiquer la nature de ce filtre (passe bas, passe haut, passe bande). b- Déterminer, graphiquement, la (ou les) fréquence(s) de coupure(s) du filtre. En déduire la larguer de la bande passante ΔN.

8 c- Calculer la valeur du facteur de qualité Q. En déduire la valeur du quotient L C 3) Déduire, des calculs précédents, la valeur de L et la valeur de C. 4) Sans changer les autres composants du circuit, on règle la valeur de la résistance du résistor à une valeur R 3 >R 2. Indiquer, si les grandeurs suivantes sont modifiées ou non : - La fréquence propre N 0. - La larguer de la bande passante ΔN. EXERCICE N Un filtre électrique comprend en série : un résistor de résistance R 0 réglable, un condensateur de capacité C, une bobine d inductance L et de résistance interne r. Ce filtre est alimenté par une tension sinusoïdale de valeur maximale U Em constante, de fréquence N réglable et d expression u E ( t ) = U Em sin ( 2πNt ) La tension de sortie est la tension aux bornes du résistor : u s ( t ) = U Sm sin (2πNt + φ S ) A- Etude théorique: ) le filtre considéré est-il passif ou actif? Justifier la réponse 2) Schématiser le circuit. Choisir un sens positif pour le courant électrique et représenter les tensions aux bornes des différents dipôles du circuit. 3) Montrer que l équation différentielle régissant les variations de u S (t) s écrit :

9 4- a- Faire la construction de Fresnel relative à l équation différentielle précédente. b- En exploitant cette construction de Fresnel, montrer que la transmit tance T dufiltre étudié est donnée par l expression : avec R = R 0 +r c- Ecrire, en fonction de r et R0, l expression de la transmit tance maximale T0 du filtre. d- En déduire que le filtre considéré est un atténuateur de tension. B- Etude expérimentale : Pour une tension U Em donnée, on fait varier la fréquence N du générateur.pour chaque valeur de N, on mesure la tension maximale U Sm et par la suite on détermine la valeur de la transmittance T du filtre. La courbe de la figure ci- dessous traduit la variation en T en fonction de N soit T = f ( N ) ) A partir du graphe déduire la valeur de : a- La transmittance maximale T 0 du filtre. b- La fréquence propre N 0 du filtre. c- La largeur ΔN de la bande passante.préciser en le justifiant, si le filtre est passe bas, passe haut ou passe bande. 2) a- Calculer le facteur de qualité Q du filtre. b- Choisir et recopier la proposition correcte parmi celles données ci-dessous : Un filtre passe bande est d autant plus sélectif si : - Sa bande passante est nettement grande devant sa fréquence propre. - Son facteur de qualité est nettement supérieur à.

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