Examen probatoire d admission dans les Ecoles de formation d officiers. Epreuve de Sciences Physiques. Durée : 4 heures

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1 Année 2011 Examen probatoire d admission dans les Ecoles de formation d officiers Epreuve de Sciences Physiques Durée : 4 heures Ce sujet comporte 8 pages numérotés. Veuillez vous assurer que cet exemplaire est complet. S il est incomplet, demandez un autre exemplaire. La calculatrice est autorisée. Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans un ordre quelconque. L attention des candidats est portée sur le fait que l on tiendra compte du soin et de la rigueur apportés au travail. Si, en cours d épreuve, le candidat rencontre ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il la signale sur sa copie et continue sa composition. NB : attention, il est demandé pour l exercice 2 partie A.7 de répondre directement sur la feuille de sujet en complétant l annexe 1. Tournez la page S.V.P

2 Exercice 1 : Etude d un parachutiste Lors de conflits importants, l armée française dispose d unités de parachutistes pour accomplir des raids, renforcer des garnisons assiégées, couper la retraite d'unités ennemies ou encore livrer bataille à des divisions tentant de s'infiltrer. Par exemple, la guerre d'indochine a connu la plus intense activité aéroportée française : pendant les 7 années que dura ce conflit, 198 sauts opérationnels furent réalisés. Le mouvement d un parachutiste se compose de deux phases : - au cours de la première phase, le parachutiste tombe, parachute fermé, jusqu à atteindre sa vitesse limite ; - au cours de la seconde phase, il ouvre son parachute pour freiner avant l atterrissage. Dans tout l exercice, on assimilera le parachutiste, de masse m = 90,0 kg, à son centre d inertie G et on supposera que son mouvement est vertical dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen. On prendra g = 10,0 m.s -2. Première phase du saut Parachute fermé Le parachutiste saute sans vitesse initiale d un hélicoptère en vol stationnaire à l altitude h = 2000 m. Les frottements dus à l air sont équivalents à une force f r unique, verticale et orientée vers le haut, de valeur proportionnelle à la valeur v de sa vitesse : f = k. v, avec k = 15,0 SI lorsque le parachute est fermé. Le parachutiste a un volume V = 110 L et chute dans l air de masse volumique ρair = 1,30 g.l -1. P A Préliminaires : A.1) Donner l expression littérale puis calculer la valeur du poids P du parachutiste. A.2) Donner l expression littérale puis calculer la valeur de la poussée d Archimède parachutiste. A.3) Comparer la valeur de poids à celle de la poussée d Archimède. Conclure. Aide : une grandeur est négligeable devant une autre si sa valeur est au moins 100 fois plus petite. F A subie par le B Mise en équation : B.1) Déterminer l unité du coefficient k dans le système international. m On pose pour la suite τ =. k B.2) Montrer que τ s exprime en seconde puis calculer sa valeur. B.3) Etablir sous forme littérale l équation différentielle vérifiée par la vitesse v(t) du parachutiste. On utilisera un axe Oz vertical dirigé vers le bas et on négligera la poussée d Archimède. B.4) Montrer que l équation différentielle précédente, peut se mettre sous la forme dv ( t ) = A B. v ( t ) où A = 10,0 SI et B = 1, SI. Préciser les unités des constantes A et B. dt B.5) Etablir l expression littérale de la vitesse limite vlim atteinte par le parachutiste puis calculer sa valeur. B.6) Représenter l allure de l évolution de la vitesse du parachutiste en fonction du temps. On mettra en évidence et on nommera les deux régimes du mouvement

3 C Méthode d Euler Premier essai : La méthode d Euler permet de résoudre numériquement une équation différentielle. On souhaite mettre en œuvre cette méthode pour calculer la valeur de la vitesse toutes les t secondes. On prend pour la suite de cette partie t = 5,00 s, cette grandeur est appelée pas du calcul. C.1) Soient vk la vitesse à l instant tk et vk+1 la vitesse à l instant tk+1 avec tk+1 = tk + t. La méthode d Euler repose sur l approximation suivante : dv vk 1 vk ( t + k ) dt t En injectant cette approximation dans l équation différentielle trouvée précédemment, établir clairement la relation de récurrence liant vk+1 à vk, A, B et t. C.2) Calculer la valeur de la vitesse au bout de 5 s ; 10 s ; 15 s ; 20 s et 25 s. C.3) Au bout de combien de temps, approximativement, peut-on considérer que la vitesse limite est atteinte à 99%? La réponse sera basée sur les résultats obtenus à la question précédente. D Méthode d Euler Second essai : t La solution analytique de l équation différentielle établie à la question 1 est : v( t) = vlim. 1 e τ. D.1) Calculer le temps t1 pour lequel la vitesse limite est atteinte à 99%. D.2) Le choix t = 5,00 s utilisé à la question C.2 vous paraît-il judicieux? D.3) On prend maintenant t = 0,500 s. En utilisant la méthode d Euler, calculer la valeur de la vitesse au bout de 0,5 s ; 1 s ; 1,5 s ; 2 s ; 2,5 s ; 3 s ; 3,5 s ; 4 s ; 4,5 s et 5 s. E Méthode d Euler Synthèse : Comparer les valeurs de la vitesse obtenues au bout de 5 s de chute avec t = 0,500 s et t = 5,00 s. Quelle valeur vaut-il mieux choisir? Justifier votre réponse par une condition sur le choix de t. Seconde phase du saut Parachute ouvert Après 30 s de chute, le parachutiste a parcouru 1500 m et tombe à vitesse constante. Il ouvre alors son parachute pour réduire sa vitesse. F En cas de problème : F.1) Quelle est la vitesse du parachutiste juste avant qu il n ouvre son parachute? F.2) S il n ouvrait pas son parachute, en combien de temps atteindrait-il le sol? G Vitesse à l atterrissage : On considère qu un homme peut se réceptionner sans mal d une chute d une hauteur de 2,0 m. Soit le mouvement de chute libre d un objet ponctuel de masse m0 lâché sans vitesse initiale d un point O. G.1) Déterminer l équation horaire z(t) du mouvement le long de l axe Oz vertical et orienté vers le bas. G.2) Calculer la valeur de la vitesse v acquise par l objet après h = 2,0 m de chute

4 H Dimensionnement du parachute : L instant auquel le parachutiste ouvre son parachute est pris comme nouvelle origine des temps. La force de frottement a alors pour intensité f = k v avec k > k. H.1) Tracer sans calcul l évolution de la vitesse du parachutiste en fonction du temps. H.2) En vous aidant des travaux effectués en B.5), donner l expression de la nouvelle vitesse limite vlim qui sera atteinte par le parachutiste en fonction de m, k et g. On suppose que le régime permanent est atteint bien avant l atterrissage. H.3) Calculer la valeur de k qui permet au parachutiste d atteindre le sol avec une vitesse égale à v. Exercice 2 : Conception d un oscillateur sinusoïdal On souhaite réaliser un oscillateur électrique délivrant une tension alternative sinusoïdale. On dispose pour cela de condensateurs et d une bobine d inductance L = 50 mh et de résistance interne r inconnue. PARTIE A : Etude expérimentale de la bobine i(t) K Le but de cette partie est de déterminer expérimentalement la valeur de r. Pour cela on réalise le montage suivant constitué d un générateur de tension continue parfait de force électromotrice E0, d un interrupteur K, de la bobine précédente et d une résistance de valeur R = 10 Ω. R ur(t) L ul(t) E 0 r ur(t) K étant initialement ouvert, on le ferme à un instant pris comme origine des temps. A.1) Etablir une relation simple liant les tensions ur(t), ul(t), E0 et ur(t). L A.2) Etablir l équation différentielle vérifiée par i(t). On posera τ = et R T E = où RT = R + r. 0 I 0 R T A.3) Etablir l unité de τ. bt Une solution de cette équation différentielle est de la forme i( t) = a. e + c où a, b et c sont des constantes. A.4) Déterminer les expressions de a, b et c en fonction de τ et de I 0. La démarche sera clairement détaillée. En déduire l expression de i(t). A.5) Est-il possible de visualiser explicitement i(t) sur l écran d un oscilloscope? Pourquoi? A.6) En annexe 1, on donne le graphe représentant l évolution temporelle de ur(t). En quoi cette courbe permet-elle d obtenir des renseignements sur i(t)? Justifier précisément. A.7) Déterminer graphiquement sur l annexe 1 par la méthode de votre choix, la valeur expérimentale de τ. En déduire la valeur de la résistance interne r de la bobine

5 PARTIE B : Utilisation de la bobine C uc(t) i(t) K À l aide de la bobine précédemment étudiée, on réalise à présent le montage ci-contre dans lequel L le condensateur a été initialement chargé sous une r tension de 5,0 V : uc (0) = 5,0 V. À un instant pris comme origine des temps, on ferme l interrupteur K. ul(t) ur(t) B.1) Etablir l équation différentielle relative au fonctionnement du circuit, vérifiée par la tension mesurée entre les bornes du condensateur uc(t). On posera pour simplifier 0 1 LC r λ = 2 L. B.2) En annexe 2, on donne le graphe représentant l évolution temporelle de uc(t). Quel qualificatif peut-on attribuer à l évolution de la tension uc(t)? B.3) Pourquoi n obtient-on pas une tension alternative sinusoïdale pour uc(t)? PARTIE C : Amélioration C i(t) K Dans le but d obtenir des oscillations alternatives sinusoïdales aux bornes du condensateur, on réalise maintenant le montage ci-dessous dans lequel D désigne un dipôle dont la nature est inconnue. Le condensateur a été initialement chargé sous une tension de 5,0 V : u (0) = 5,0 V. C uc(t) L ul(t) r ur(t) D ud(t) À un instant pris comme origine des temps, on ferme l interrupteur K. C.1) En appliquant la loi des mailles, établir une relation liant ur(t), ul(t), uc(t) et ud(t). C.2) Etablir, en respectant les conventions de la figure, l expression de ul(t) en fonction de L, C et uc(t). C.3) Donner l expression de ur(t) en fonction de r et de i(t). C.4) À partir des résultats précédents, établir la relation suivante : 2 d uc 2 2 ( t) + Ω u ( t) + Ω ( u ( t) + r. i( t) ) = 0 2 C D dt On précisera l expression de Ω en fonction de L et de C puis on établira son unité. C.5) En déduire la relation tension - intensité du dipôle D permettant réaliser un oscillateur délivrant une tension alternative sinusoïdale. C.6) D un point de vue tout à fait théorique, donner la nature du dipôle D. Le résultat était-il prévisible? Justifier

6 Exercice 3 : Désintégration du Radium Le radium est un élément chimique de symbole Ra et de numéro atomique 88. Un isotope appelé «radium 226» est radioactif α. Sa durée de demi-vie est de 1602 ans. A Généralités : A.1) Qu'est-ce qu'un noyau radioactif? Définir le terme isotope. A.2) Donner la notation du noyau de radium étudié sous la forme A Z X. Comment nomme-t-on les nombres A et Z? Préciser leur signification puis donner la composition de ce noyau de radium. A.3) Ecrire l équation traduisant la désintégration du noyau de radium 226. On énoncera les lois de conservation à respecter. A.4) Donner la composition de la particule émise lors de cette désintégration. A.5) Définir la grandeur appelée «durée de demi-vie». Au bout de combien de temps peut-on considérer un échantillon de radium 226 comme inactif? B Etude d un échantillon de radium 226 : On considère un échantillon de radium 226 de masse m = 1,0 g. On rappelle que l'activité d'un échantillon radioactif à un instant t, notée A(t), est liée au nombre de noyaux radioactifs N(t) dans l'échantillon au même instant par la relation : A(t) = λ.n(t). De plus, dn l activité A(t) d une source radioactive vérifie A(t) = - (t). dt B.1) Calculer le nombre No de noyaux de radium 226 contenus dans l échantillon. B.2) Définir l activité d une source radioactive. Préciser son unité dans le système international. B.3) Etablir l équation différentielle vérifiée par N(t). b t B.4) Une solution de cette équation différentielle est de la forme N(t) = a. e. où a et b désignent deux constantes. B.4.a) Exprimer les constantes a et b en fonction de N0 et/ou de λ. La démarche sera clairement expliquée. B.4.b) En déduire l expression de N(t) en fonction de N0, λ et t. B.5) En utilisant la définition donnée à la question A.5, établir l expression de la durée de demi-vie notée t1/2 en fonction de λ. En déduire la valeur de λ en précisant son unité. B.6) Déduire des questions précédentes l expression A(t) de l activité de l échantillon à l instant t. Préciser l expression de l activité initiale notée A0 en fonction de λ et de N0 puis calculer sa valeur numérique. B.7) Tracer sans souci d échelle l allure de la courbe représentant A(t) en fonction du temps en précisant ses éléments remarquables. Extrait de la classification périodique : Légende pour chaque case : Le nombre indiqué en haut à gauche est la valeur du numéro atomique. Le nombre indiqué en haut à droite est la valeur de la masse molaire atomique en g.mol -1. Donnée supplémentaire : Nombre d Avogadro N A = 6, mol

7 ANNEXE 1 ur(t) en volts t en secondes - 7 -

8 ANNEXE 2 uc(t) en volts t en secondes FIN DU SUJET - 8 -