Agrégation de mathématiques Option informatique Logique

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1 Agrégation de mathématiques Option informatique Logique

2 Organisation 16 séances de 3 heures 2 enseignants : Gilles Dowek Sylvain Schmitz

3 Quelques adresses dowek/cours/agregation/

4 Six leçons 917 Logique du premier ordre : syntaxe et sémantique. 924 Théories et modèles en logique du premier ordre. Exemples. +++ Lambda calcul pur comme modèle de calcul. 916 Formules du calcul propositionnel : représentation, formes normales, satisfiabilité. Applications. 919 Unification : algorithmes et applications. 918 Systèmes formels de preuve en logique du premier ordre : exemples.

5 Livres G. Dowek, Les démonstrations et les algorithmes, Introduction à la logique et à la calculabilité, Les Éditions de l École polytechnique (2010). J. Goubault-Larrecq, I. Mackie, Proof Theory and Automated Deduction, Kluwer (2001).

6 Nos buts Vous préparer à faire un plan de 6 mn et deux développements de 15 mn Vous donner le recul nécessaire pour préparer les exercices et les questions

7 Quels rapports entre la logique et l informatique? Branche de la philosophie, puis (aussi) des mathématique, puis (aussi) de l informatique Deux concepts communs : calcul (algorithme), langage

8 Logique du premier ordre : syntaxe et sémantique

9 Définir l ensemble des propositions Définir le (sous)-ensemble des propositions démontrables

10 I. Comment définir un ensemble ou une relation?

11 Par une définition explicite : {x N z N x = 2 z} {(x, y) N 2 z N x = y z} Mais ça ne suffit pas... Par une définition inductive La notion de définition inductive : le théorème du point fixe

12 Le premier théorème du point fixe E, relation d ordre u 0, u 1,... suite croissante l limite de (u i ) i si l = sup {u 0, u 1,...} E, faiblement complète si toute suite croissante a une limite f croissante est continue si lim i (f u i ) = f (lim i u i ) Théorème : faiblement complète et a un minimum et f continue alors f a un point fixe Le plus petit point fixe est lim i (f i m)

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14 Exercice Montrer que [0, 1], est faiblement complète R +, est-elle faiblement complète?

15 Exercice Montrer que f i m est une suite croissante Montrer que lim i (f i m) est un point fixe Montrer que c est le plus petit

16 Le second théorème du point fixe Pour les fonctions croissantes (mais pas forcément continues) E, fortement complète si tout ensemble a une borne supérieure Donc tout ensemble a une borne inférieure Théorème : fortement complète et f croissante alors f a un point fixe Le plus petit point fixe est inf {c fc c}

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18 Exercice Montrer que [0, 1], est fortement complète R +, est-elle fortement complète? R, est-elle fortement complète? b c Faiblement / fortement complète? a

19 Exercice Montrer que si tout ensemble a une borne supérieure alors tout ensemble a une borne inférieure

20 Exercice Montrer que inf {c fc c} est un point fixe Montrer que c est le plus petit

21 Un autre exemple A ensemble quelconque P(A), est faiblement et fortement complète f fonction croissante de P(A) dans P(A) a un point fixe Le plus petit point fixe est C f C C C (et aussi i f i ( ) si f est continue)

22 Une première définition inductive P = 2N est défini par 0 P et si n P alors n + 2 P 0 n n P n P n + 2 P

23 P n est pas le seul ensemble qui contient 0 et qui est clos par la fonction n n + 2 Mais c est le plus petit de ces ensembles F de P(N) dans P(N) F (A) = {0} {x + 2 x A} F croissante et continue (A contient 0 et clos par n n + 2) : F (A) A P est défini comme le plus petit point fixe de F Second théorème du point fixe : c est l intersection de tous les ensembles qui contiennent 0 et qui sont clos par n n + 2 Premier théorème du point fixe : c est la réunion de, F ( ), F (F ( )),...

24 Cas général Un ensemble E On définit un sous-ensemble B de E par des fonctions de fermeture (règles) f 1, f 2,... F (A) = i {f i(a 1,..., a ni ) a 1,..., a ni A} F croissante et continue B est le plus petit point fixe de F

25 La notion de dérivation x B si x F k ( ) pour un certain k c.-à-d. s il existe i, y 1,..., y n F k 1 ( ) tq x = f i (y 1,..., y n ) Par récurrence sur k si x B alors il existe un arbre dont les nœuds sont étiquetés par des éléments de E et les enfants d un nœud x sont y 1,..., y n tq il existe une règle f i tq x = f i (y 1,..., y n )

26 P 2 P 4 P 6 P 0

27 Exercice E = {a, b} b X a X a

28 Exercice E = {0, 1, 2, 3, 4} x C x si x R y x C y x C y y C z x C z 0 C 3 3 C 2 0 C 2

29 Exemple A B A A B B A B B A (P Q) P

30 (P Q) P P Q Q (P Q) P P

31 Étiquetées par les éléments et par les noms z p p p z 0 p 2 p 4 p 6

32 Pause

33 II. La notion de langage en général

34 On oublie la contrainte de linéarité du langage On ne s intéresse pas à savoir si on écrit 3 + 4, +(3, 4) ou 34+ Les expressions sont des arbres + 3 4

35 Les langages sans variables Un langage (sans variables) est un ensemble de symboles, chacun muni d un nombre entier appelé son arité ou nombre d arguments L ensemble des expressions du langage est l ensemble d arbres défini inductivement par la règle t 1... t n si f est un symbole d arité n f (t 1,..., t n ) f t 1... t n

36 Exemple Une constante (c.-à-d. symbole d arité nulle) 0 Un symbole unaire S Deux symboles binaires +, Deux symboles unaires pair, impair Un symbole binaire impair(s(s(s(0)))) pair(s(s(s(s(0)))))

37 Si un nombre est impair alors son successeur est pair x (impair(x) pair(s(x))) Des variables Des symboles qui lient des variables

38 Les langages avec variables L arité d un symbole est un n-uplet (k 1,..., k n ) le symbole a n arguments, il lie k 1 variables dans le premier,..., k n variables dans le n ème Exemple : a l arité (1) Un ensemble de symboles et un ensemble infini de variables Les expressions sont définies inductivement par les règles : les variables sont des expressions, si f est un symbole d arité (1, 3), t et u sont des expressions, w, x, y, z sont des variables alors f (w t, x y z u) est une expression (à généraliser)

39 f (x x 1 k 1 t 1,..., x n 1...x n k n t n ) est l arbre f 2 x x 1 k x x 2 k2 t1 t2...

40 Les variables et les variables libres Var(x) = {x}, Var(f (x x 1 k 1 t 1,..., x n 1...x n k n t n )) = Var(t 1 ) {x 1 1,..., x 1 k 1 } Var(t n ) {x n n,..., x n k n }. VL(x) = {x}, VL(f (x x 1 k 1 t 1,..., x n 1...x n k n t n )) = (VL(t 1 ) \ {x 1 1,..., x 1 k 1 }) (VL(t n ) \ {x n n,..., x n k n })

41 Exercice Var( x (x = x))? VL( x (x = x))? VL( x (x = y))?

42 Les langages à plusieurs sortes d objets 0, S, +,, pair, impair,, Empêcher 0 0 Distinguer 0, S(0), S(x),... termes de pair(0), impair(0), x (pair(x)),... propositions Mais aussi peut-être les termes de vecteurs, les termes de scalaires...

43 Les langages à plusieurs sortes d objets Un ensemble de sortes {Terme, Prop} plus généralement S L arité d un symbole est un n + 1-uplet de sortes (s 1,..., s n, s ) Si t 1 terme de sorte s 1, t 2 terme de sorte s 2,..., t n terme de sorte s n et f d arité (s 1,..., s n, s ) alors f (t 1,..., t n ) de sorte s

44 Plusieurs sortes d objets + variables ((s 1 1,..., s 1 k 1, s 1 ),..., (s n 1,..., s n k n, s n ), s ) Exemple d arité ((Terme, Prop), Prop)

45 III. La notion de langage de la logique des prédicats

46 Ensemble S de sortes de termes (souvent une seule) et une sorte de plus Prop Seulement deux symboles lieurs et Les symboles se divisent en les symboles de fonction f d arité (s 1,..., s n, s ) les symboles de prédicat P d arité (s 1,..., s n, Prop) (notée (s 1,..., s n )) les symboles communs à tous les langages,,,,,,, x (pair(x) impair(s(x)))

47 IV. La notion de proposition démontrable

48 Une première (et presque bonne) idée Un sous-ensemble de l ensemble des propositions inductivement défini par des règles de déduction A B A A B B A B B A

49 Mais... Pour démontrer A B : supposons A et démontrons B Non seulement la proposition à démontrer varie, mais aussi l ensemble d hypothèses Un séquent Γ A formé d un ensemble d hypothèses Γ et d une conclusion A

50 Les règles Un sous-ensemble de l ensemble des séquents inductivement défini par des règles de déduction Γ A B Γ A Γ A B Γ B Γ A B Γ A Γ B Γ, A B Γ A B

51 La classification des règles La plupart des règles concernent un symbole (connecteur ou quantificateur) unique Γ A Γ B -intro Γ A B classification des règles en fonction du symbole concerné Conclusion ou prémisse : introduction / élimination fabriquer / utiliser Exceptions : axiome, tiers exclu, négation Négation : symbole composite : A peut être défini comme A

52 Les règles une par une axiome : la notion de contexte, raisonnement hypothético-déductif : pas d élim : pas d intro : ras : intros triviales, élim démonstration par cas : intro : la notion de contexte, raisonnement hypothético-déductif : lien avec, les deux formes de raisonnement par l absurde, forme radicale de raisonnement hypothético-déductif

53 Les règles une par une : «soit x un objet», notion de généricité (x n apparaît pas (libre) dans Γ), substitution : substitution, «x P, appelons le y», y générique

54 V. La substitution

55 -élim et -intro : une opération annexe : la substitution (t/x)u L opération qui donne son sens au mot variable Les langages de la logique des prédicats et tous les autres langages Définition simple pour les langages sans symboles lieurs de var. (t/x)(f (u 1,..., u n )) = f ((t/x)u 1,..., (t/x)u n ) (t/x)x = t (t/x)y = y si x y

56 Dans les langages avec des symboles lieurs de variables (4/x)( x P(x)) = x P(4) ou x P(x)? Règle 1 : ne substituer que les variables libres Première tentative : t/x ( y A) = y ( t/x A) si x y t/x ( x A) = x A

57 Exercice 4/y ( x P(x + y))? z/y ( x P(x + y))? x/y ( x P(x + y))?

58 Mais ce n est pas suffisant Règle 2 : éviter les captures de variables (x/y)( x P(x + y)) = w P(w + x) Renommer la variable liée x en w Pourquoi w plutôt que v? C est équivalent (variable liée = variable muette) Équivalence alphabétique (α-équivalence)

59 L équivalence alphabétique x A y B si pour toute variable z qui n apparaît ni dans x A ni dans y B on a z/x A z/y B Exemple : x P(x + w) et y P(y + w) sont équivalents Désormais on ne raisonne plus que sur des classes d expressions modulo équivalence alphabétique

60 La substitution (enfin...) (t/x)( y A) = z (t/x) z/y A où z est une variable quelconque différente de x et y et qui n apparaît ni dans t ni dans A Généraliser tout cela à la substitution simultanée t 1 /x 1,..., t n /x n et à un langage quelconque Un empilement de notions : substitution avec captures équivalence alphabétique classes d expressions substitution De nombreuses erreurs dans les livres De nombreuses erreurs dans les systèmes de calcul symbolique (langages de programmation, systèmes de calcul formel, systèmes de traitement de démonstrations,...)

61 La notion de modèle La prochaine fois

62 Deux développements Et...