Algorithmes et transactions boursières : y a-t-il un pilote dans l avion?

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1 Algorithmes et transactions boursières : y a-t-il un pilote dans l avion? Hoel KERVADEC Florent MALLARD Thomas MOREAU Mathieu SPEGAGNE 2013/2014 Département Informatique Département Humanités DREP Bibliothèque INSA

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3 Algorithmes et transactions boursières : y a-t-il un pilote dans l avion? Hoel Kervadec Florent Mallard Thomas Moreau Mathieu Spegagne 10 février 2014

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5 Remerciements Tout d abord nous tenons à remercier Mme Nicole El Karoui, pour l aide précieuse qu elle a fourni, tant au cours de son interview qu ensuite en nous fournissant des documents qui se sont avérés très utiles. Nous voulons également remercier nos professeurs, Mme Valérie Derien-Remeur et Mr Simon Le Bayon, qui ont su nous orienter, nous conseiller tant au niveau des sources que de l organisation, et nous corriger quand nous en avions besoin. Merci aussi à Mme Josiane Fouquet, la bibliothécaire de l Insa, pour son aide au niveau bibliographique qui nous a rendu cette partie plus facile. iii

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7 Sommaire Introduction vii 1 La bourse Fonctionnement Pour quoi? Pour qui? Comment? Évolution historique Aujourd hui au XXIème siècle Les mathématiques dans la finance Chronologie Développement technique L informatique dans la finance Chronologie Les origines Le trading automatisé Le trading algorithmique Trading Haute Fréquence Composition d un algorithme THF Les déterminants d un système de THF? Critiques, risques et dimension éthique Les mathématiques sur la sellette Critiques du Trading Haute Fréquence Les dangers de cette pratique Avantages et inconvénients Une impossible régulation? Conclusion L avenir Evolutions techniques Le cloud Processeurs Évolutions générales Conclusion 39 v

8 vi SOMMAIRE A Interview de Nicole El Karoui 43 B Agences de notation 51 C CAC D Classement des bourses 55 Glossaire 59 Index 61 Table des figures 62

9 Introduction De nos jours, le monde économique dans lequel nous évoluons est régi par une entité majeure et mal connue, la bourse. Peu nombreuses sont les personnes connaissant les rouages de cette dernière. Beaucoup la comparent à un système diabolique issu d un capitalisme qui nous tire vers le bas et qui serait responsable de tous les maux planétaires. Un système qui aurait été mis en place uniquement pour enrichir les plus riches en apauvrissant les plus pauvres. BFM Business, Bloomberg TV, tableaux des Echos ou même Ouest-France, il ne faut pas être un spéculateur fortuné pour être exposé à l univers boursier. Telle la marée, les hauts et les bas du CAC 40 ou du Dow Jones rythment nos vies. Ces colonnes de chiffres, ces mots spécifiques, ces métiers très codifiés donnent l impression d une terra incognita pour la majorité d entre nous, à tel point que parfois, on se demande s il y a un pilote dans l avion... L actualité récente avec la sortie du loup de Wall Street n est pas là pour embellir le tableau. Le film de Martin Scorsese met en avant l histoire vraie de Jordan Belfort, ancien courtier américain ayant connu la réussite par des pratiques douteuses. Il fait passer le métier de courtier pour un métier de voleur aux yeux du grand public. De tout temps le monde boursier a inspiré les auteurs, Emile Zola en avait fait de même avec son livre, L argent. Paru en 1891 il évoque pour la première fois la spéculation financière à une époque où Paris est la première bourse au monde, à égalité avec Londres. Pour écrire son roman, Zola s était inspiré des scandales financiers de son époque... Une des représentations allégoriques les plus connues du système boursier est le taureau de Wall Street. Cette sculpture a été installée par son auteur en face de la bourse de New York après le crash boursier de 1987 sans autorisation préalable de la ville. Selon l artiste, la sculpture est le symbole de «la force, le pouvoir et l espoir du peuple Américain pour le futur» vii

10 viii INTRODUCTION On sait les abus auxquels conduit l argent. La crise financière que nos sociétés subissent de plein fouet depuis plusieurs années contribue à ce que les secteurs des banques et de la finance soient rendus responsables de toutes les catastrophes industrielles, sociales et économiques contemporaines. Des raccourcis ont vite été faits : qui était responsable de cet état de fait? Les énormes algorithmes mis au point par de petits génies extrêmement doués en mathématiques et en informatique ou des entreprises peu scrupuleuses prêtes à tout pour faire des bénéfices? La bourse est pourtant utile dans bien des cas et c est ce qui est le plus souvent mal compris. A l image d Astellia, PME rennaise fondée par un ingénieur Insa de Rennes : son évolution passait par une cotation à la bourse. La bourse permet aux entreprises de se développer plus rapidement en levant des capitaux plus facilement. Elèves-ingénieurs en Informatique, nous avons mené l enquête au pays des chiffres et des algorithmes. Nous avons eu envie de savoir qui était derrière toute cette machinerie, qui activait ces flux de chiffres, qui régnait sur les ordinateurs des spéculateurs. Si jamais vous demandez à des inconnus de décrire ce qu ils entendent par «marché boursier», la plupart vous parleront de mecs en col blanc, hurlant et suant quelque part dans la grande arène de Wall Street. Les plus renseignés feront référence à de riches retraités réinvestissant leur argent via des geeks surmenés, la tête collée à l écran de leurs terminaux. Ayant fait leur apparition au Moyen-Age, les premières bourses avaient pour but de fixer la valeur de change des marchandises sur le commerce. Elles ont rapidement évolué pour permettre aux entreprises et à l industrie de l époque de s accroitre plus aisément. Les premiers indices boursiers comme le Dow Jones ont alors fait leur apparition et ont permis aux investisseurs d avoir rapidement l état de santé des principales valeurs cotées dans un secteur ou un pays. Plusieurs krachs boursiers et explosions de bulles spéculatives plus tard, les mathématiques sont entrées en jeu. L idée initiale était de prévoir l évolution des cours afin d effectuer un profit maximal. Véritable utopie, elles sont souvent mises en cause dans les incidents boursiers les plus récents. De plus avec l évolution des mathématiques et de l électronique au siècle dernier, leur acolyte, l algorithmique informatique est arrivée pour renforcer ce démon qu est cette science obscure au sein des cours boursiers. De nouvelles problématiques sont alors apparues quant à la part de l automatisation dans les transactions. L homme a-t-il encore un rôle à jouer ou bien les ordinateurs ont-ils pris le pouvoir de notre monde économique dont nous ne serions plus que des spectateurs. Sommes-nous dans ce monde où les maths côtoient l humain, où la finance dicte les stratégies économiques des états? En nous lisant, vous allez apprendre à décrypter cet univers à part, emprunt de richesse mais aussi de pauvreté. A travers cette monographie, nous avons l ambition de vous permettre de mieux comprendre l évolution de ce secteur. Bonne lecture.

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13 Chapitre 1 La bourse 1.1 Fonctionnement Pour quoi? C est en 1250 que Toulouse a vu apparaître la première société dont les actions pouvaient s échanger, leur prix étant fixé en fonction de la conjoncture économique. Cette société, la Société des moulins de Bazacle, fournissait un papier notarié à chacun de ses associés en contrepartie de sa participation dans l entreprise. Ainsi en fin d année ils touchaient des sortes de dividendes en nature, essentiellement en farine. Les rendements pouvaient atteindre entre 10% et 20% par an. Les actions étaient alors échangées sur un marché libre comparable à la bourse. Elle est restée cotée jusqu en 1946, sous le nom de Société toulousaine d électricité de Bazacle. C était le début du monde des actions et les prémices des bourses actuelles. L entreprise se divisait en parts qu elle vendait afin d augmenter son capital et d accélérer sa croissance. Les actionnaires touchaient alors une partie du bénéfice en fin d année et ils pouvaient revendre leurs actions en fonction de la loi de l offre et la demande. Si l entreprise marchait bien, la demande augmentait et par conséquent le prix de son action avec. Ce principe est toujours d actualité dans les bourses modernes. Les capitalisations boursières permettent aux entreprises florissantes de continuer à croître. A l image des récentes entrées en bourses des géants Facebook et Twitter qui sont des entreprises modernes en pleine expansion, encore de simples start-up il y a quelques années. Les marchés financiers permettent une allocation efficace des ressources. La bourse est tout d abord un lieu de financement et de placement. Elle permet également l allocation et la gestion des risques ainsi que la liquidité des titres. 3

14 4 CHAPITRE 1. LA BOURSE Figure 1.1 Titre de la plus vieille société cotée en bourse. Le financement des entreprises Le marché boursier permet aux entreprises de se financer, d investir, en mettant directement en contact l offre et la demande de capital. On parle de système désintermédié à la différence du système bancaire. Par l introduction en bourse ou par les augmentations de capital, les entreprises ont accès à des ressources financières supplémentaires. Les bourses ont permis aux entreprises de grandir et donc de développer des projets qu un individu seul n aurait pu financer. Par exemple, la bourse de Londres voit le jour avec le besoin de financer des expéditions vers la Russie et l Inde. De même, un essor est donné aux bourses avec la révolution industrielle et le besoin de financer, entre autres, les grands réseaux ferrés. Le 1er août 1836, le Mohawk and Hudson Railroad est le premier chemin de fer coté. Une entreprise n obtient de nouvelles ressources, à travers l émission d actions ou d obligations, que sur le marché dit primaire. Il existe trois grands types de mécanismes d introduction (IPO ou Initial Public Offering) : l offre à prix ferme (OPF), à prix minimum (OPM), sorte d enchète et l offre à prix ouvert (OPO), où le prix est compris dans une fourchette. Un lieu d épargne Les investisseurs ayant une capacité d épargne positive peuvent devenir les actionnaires des entreprises privées ou devenir les créanciers de ces sociétés et des collectivités publiques. Ils peuvent investir soit à l occasion d augmentation de capital ou d introduction en bourse sur le marché primaire, ou s orienter sur le marché dit secondaire

15 1.1. FONCTIONNEMENT 5 sur lequel sont négociés les titres déjà émis. La bourse permet la mobilisation de l épargne et une meilleure allocation des ressources vers les projets d investissements les plus profitables. La gestion du risque La bourse permet de transférer le risque par le biais des négociations d actions et d obligations. Elle permet également aux investisseurs (entreprises, actionnaires, créanciers...) de se protéger du risque (risques de change, de taux, de crédit, de baisse des cours...) par l utilisation de produits dérivés 1. La liquidité des titres La bourse permet la négociabilité des titres. Cette facilitation de la sortie permet d attirer un plus grand nombre d investisseurs et explique pourquoi les sociétés de capital-risque souhaitent que les entreprises dans lesquelles elles ont investi s introduisent en bourse. Indicateur économique Les cotations effectuées à la bourse permettent de mesurer la valeur attribuée par le marché à une entreprise, une matière première ou à une créance dans le temps. Les cours permettent donc de suivre l évolution du prix de produits et l évolution générale de la situation économique d un pays. Outil de contrôle Les sociétés cotées en bourse doivent respecter des règlementations plus strictes quant à la publication de leurs comptes. Ces entreprises sont également suivies par de multiples équipes d analystes financiers, qui diffusent largement toutes les informations qui ont potentiellement un impact sur le cours de l action de la société Pour qui? La Bourse est donc un bien bel outil, mais qui l utilise vraiment en dehors des entreprises qui y sont cotées? Théoriquement tout le monde y a accès, une simple connexion à votre compte par internet et vous pourrez y acheter des actions, mais qu en est-il en pratique? Dans l esprit collectif, la bourse est un jeu de hasard très mal compris où l on peut très rapidement perdre toutes ses économies. Les gens en ont peur et se disent que c est fait pour que les banques puissent s enrichir facilement avec leur argent tranquillement déposé sur leur livret A ou bien pour les retraités qui ont suffisamment d argent pour payer quelqu un qui le gerera à leur place. Ce constat est encore plus vrai depuis le début des années 2000 avec l explosion de la première bulle internet qui a fait perdre beaucoup d argent à des boursicoteurs ne connaissant pas grand-chose et investissant un peu trop à l instinct. 1. Voir glossaire page 59.

16 6 CHAPITRE 1. LA BOURSE Depuis ces années-là si l on annonce que l on a l intention de placer en bourse, on est soit catalogué comme étant une personne qui n a que ça à faire de son argent soit comme un utopiste pensant faire fortune et qui va tout perdre car la bourse fait peur. La réalité en est pourtant toute autre, en ne faisant pas n importe quoi et en plaçant sur des valeurs sures on peut rapidement atteindre un taux d intérêts de 10% par an. Ce taux peut bien sûr être augmenté, c est ce que font les banques. Figure 1.2 Évolution du CAC40 entre 1964 et 2012 (échelle logarithmique). De nombreux nouveaux métiers sont apparus ces dernières décennies pour jongler avec ces chiffres. Le métier de courtier qui consiste à faire du profit sur le système boursier avec de l argent invest a notamment a pris de l ampleur puis est progressivement devenu le métier de trader. La connotation de ce dernier réside plus dans son lien avec les transactions informatisées. Ce sont les courtiers qui effectuent la majorité des transactions pour les banques et les particuliers. Des sociétés de courtage ont alors vu le jour, elles servent d intermédiaire entre l investisseur et le marché. Elles simplifient ce monde qui paraît complexe pour les utilisateurs en leur promettant des bénéfices inatteignables autrement sur lesquels elles prélèvent bien sûr leur part. Ce fut d ailleurs l objet de plusieurs dérives et de fraudes financière. On peut citer l exemple de Jordan Belfort sur lequel Martin Scorsese a fait son dernier film, le Loup de Wall Street.

17 1.1. FONCTIONNEMENT 7 D autres affaires ont également fait scandale, plus récemment celle de Jérome Kerviel. Ce courtier (ou trader) salarié de la société générale a fait perdre près de 5 milliards d euros sur les marchés avec des montants engagés de l ordre de 50 milliards sans autorisation. Ces chiffres exorbitants sont apparus choquants pour la population mais ont surtout mis en avant les pratiques déraisonnées de certains traders mettant en péril les grandes banques. La Cour d appel de Paris confirmant le jugement de première instance, condamne Jérôme Kerviel à une peine de 5 ans de prison dont 2 ans assortis du sursis. La juridiction le condamne par ailleurs à rembourser en totalité le préjudice subi par la Société générale, partie civile, qui s élève à un peu plus de 4,91 milliards d euros Comment? En France, les acheteurs et les vendeurs passent leurs ordres de bourse par le biais d un intermédiaire financier (banque, société de gestion, conseiller financier,...) qui transmet ceuxci à un membre officiel de la bourse (dénommé courtier, agent de change, société de bourse, entreprise d investissement, ou broker). Depuis la directive européenne de 1993 sur les services d investissement (DSI), on parle de prestataires de services d investissement (PSI). La multiplication des opérations est rendue possible grâce à la dématérialisation des titres. Les transactions ont lieu grâce aux systèmes informatiques développés par les sociétés de bourse comme NYSE Euronext ou le London Stock Exchange. La vocation de ces sociétés est de gérer et d assurer le bon fonctionnement du marché, ainsi que de garantir collectivement les opérations vis-à-vis des investisseurs. Les Bourses étaient, à l origine, des sociétés mutuelles possédées par les courtiers. Ainsi, le New York Stock Exchange est créé le 17 mai 1792 par 24 courtiers. De plus en plus les bourses tendent cependant à être elles aussi introduites en bourse. Euronext est ainsi coté sur la place de Paris et est le résultat d un processus de fusion entre différentes bourses européennes puis avec le New York Stock Exchange aux États-Unis. De nouvelles méthodes d investissement sont alors progressivement apparues dans le but d augmenter le profit. On peut en citer deux : L analyse technique L analyse technique est une méthode utilisant souvent des graphiques résumant l évolution du cours d une valeur et permettant d envisager plusieurs scénarios possibles d évolution future du cours de cette valeur. Les dits scénarios pouvant être exploités dans le cadre d une stratégie de «trading» dont le but est de gagner de l argent. Le Trading haute Fréquence (THF) C est aujourd hui le phénomène en vogue dans les transactions. Il s agit tout simplement de transactions qui sont confiées à des logiciels extrêmement rapides. Les échanges s effectuent en quelques millième de seconde, d où le nom de haute fréquence. Cette dernière technique accaparant près de 90% des transactions est jugée comme dan-

18 8 CHAPITRE 1. LA BOURSE gereuse par les économistes car difficilement contrôlable. Ce sont en effet des dizaines d algorithmes qui tentent de prévoir les fluctuations du marché afin d investir. On rend responsable cette méthode du mini krach de Wall Street ayant vu plonger ses valeurs cotées de -2 à -10% sur quelques minutes en mai Figure 1.3 L informatique permet une analyse des données beaucoup plus facile et poussée qu auparavant. 1.2 Évolution historique Premières actions En France, la première société dont les titres étaient échangeables est née en 1250 à Toulouse Première Bourse La première bourse de commerce organisé naît à Lyon. Elle restera la seule du pays, jusqu à ce que soient créées les bourses de Toulouse, Rouen, Bordeaux, Marseille, Lille elle restera cotée jusqu en 1946, sous le nom de Société Toulousaine d Electricité de Bazacle

19 1.2. ÉVOLUTION HISTORIQUE Création de la Bourse de Londres Le financier Thomas Gesham fonde, le 23 janvier 1571, la Royal Exchange, la Bourse de Londres. Son travail est valorisé grâce à l intérêt qu il porte aux questions monétaires et à la gestion des devises. La Bourse de Londres est aujourd hui une des plus solides du monde Premier Krach Le premier krach boursier se déroule en Hollande et concerne le commerce des bulbes de Tulipe. Cette marchandise très prisée possédait une valeur excessivement élevée. Lorsque la noblesse pris conscience du déséquilibre financier du produit, les prix chutèrent fortement. Ce krach, surnommé la «Tulipomania» aura de sérieuses répercussions sur l économie de l époque Etablissement de la Bourse de Paris Un arrêt établi par le Conseil d État du Roi donne naissance à la bourse de Paris. Cette dernière occupe alors l hôtel de Nevers. Le Roi espère ainsi rétablir un semblant d ordre au sein de l économie française, bouleversée par la banqueroute du système de Law 3. La bourse est ainsi soumise à une stricte réglementation, qui stipule, entre autre, qu aucune femme ne peut y accéder. Il faudra attendre 1967 pour que les portes du palais Brongniart, futurs locaux de la Bourse, s ouvrent à la gent féminine Création de Wall Street La Bourse de New-York voit le jour quand 24 courtiers, réunis sous un platane devant les numéros de la rue du Mur, décident d appliquer un taux de commission uniforme à toutes les ventes de titres. C est la création du New York Stock Exchange, qu on appelle aussi "Wall Street", aujourd hui première place financière du monde Officialisation de la Bourse de Paris Depuis des années, la Bourse de Paris connaît un désordre important. Fermée à la fin du siècle précédent, puis rouverte quelques temps après, elle est définitivement officialisée et confère aux Agents de Change le monopole de leur activité. La Bourse compte désormais 71 Agents, contre 60 par le passé Le coup de Bourse de Rothschild Au lendemain de la bataille de Waterloo, Nathan Rothschild accomplit un «coup de bourse» remarquable. Informé de la défaite napoléonienne bien avant les autorités, il se rend à la Bourse de Londres et met en vente tous ses titres. Tous pensent alors que Napoléon est sorti victorieux du combat et chacun, gagné par la panique, suit l exemple de Rothschild. Les actions chutent à une vitesse folle. Rothschild attend la dernière minute puis les rachète et assoit ainsi la fortune familiale Création du Dow Jones Charles Dow, qui a créé une agence de presse avec Edward Jones à New York, publie le premier indice des valeurs industrielles construit à 3. John Law était un économiste écossais, ayant développé l utilisation du papier-monnaie à la place des monnaies en métal en France, afin notamment d alléger la dette laissée par Louis XIV. Le système s écroule en 1720 lorsque tout les épargnants veulent échanger leurs billets contre de l or.

20 10 CHAPITRE 1. LA BOURSE partir d une liste de douze titres (un seul, General Electric, en fait toujours partie). La liste sera portée à vingt en 1916 et à trente en Le plus vieil indice boursier au monde est né et synthétise en un seul chiffre la performance des 30 valeurs industrielles le composant Jeudi noir à Wall Street Le 24 octobre, la bourse de New York s effondre. En quelques heures, 12 millions de titres sont vendus sur le marché. Constatant la baisse des cours, les spéculateurs cherchent à se débarrasser au plus vite de toutes leurs actions. Les cours chutent de 30%. Le "krach" se confirmera le mardi 29. Le "black Thursday" est le commencement de ce qui sera la plus grave crise économique de l Histoire. Les États-Unis seront ruinés, et le monde entier souffrira, tant au niveau économique que politique Création du Nikkei 225 Le plus important des indices boursiers de Tokyo est calculé sur la base de 225 valeurs japonaises actives et représentatives. Il est obtenu par un calcul complexe qui se rapproche de celui du Dow Jones. Son but est tout simplement de devenir la référence boursière du marché japonais, chose qui se produira rapidement Première cotation informatisée du Nasdaq La National Association of Securities Dealers Automated Quotations met en place son premier réseau informatique entre agents de change. Fondée par la NASD (National Security Dealers Association), le Nasdaq est le premier marché de cotations informatisées. À l origine, son but était d améliorer la transparence des marchés hors-cote. Il deviendra par la suite le second plus grand marché boursier américain après celui de Wall Street, en misant principalement sur les secteurs des nouvelles technologies Lundi noir à Wall Street Le 19 octobre, à Wall Street l indice Dow Jones perd 22,6% de sa valeur entraînant la majeure partie des places financières internationales dans sa chute. Les cours n amorceront leur remontée qu à partir du 21 octobre. Une perte de 10 à 20% est enregistrée pour tous les pays. Seules la France et la Belgique ne seront pas affectée par ce "lundi noir" Création du CAC40 Établi à la fin de l année précédente sur une base de 1000, le CAC 40 est officiellement créé par la Compagnie des Agents de Change. Né au coeur de la Bourse de Paris, cet indice français est calculé en fonction de 40 valeurs 4 continuellement cotées. Son but est de refléter le plus fidèlement possible l évolution du marché français La bulle internet Les valeurs boursières des entreprises du secteur de l Internet atteignent un paroxysme qui annonce un sévère revers. En effet, depuis quelques années, toute arrivée d actions de start-up Internet est accompagnée d une forte confiance dans le potentiel de croissance de ces entreprises. Les cours atteignent ainsi des proportions impressionnantes 4. Une annexe portant sur le CAC 40 se trouve en page 53, comprenant une liste des entreprises le composant.

21 1.3. AUJOURD HUI AU XXIÈME SIÈCLE 11 sans rapport avec le chiffre d affaire de ces dernières. Mais à partir de mars la bulle va éclater pour aboutir à un réajustement violent, entraînant le secteur dans la récession Crise bancaire et financière La faillite de Lehman Brothers aggrave grandement la situation. Le paysage bancaire est profondément modifié tandis que les places boursières connaissent de fortes variations (du 01/01/2008 au 24/10/2008, le CAC 40 baisse de 43,11 %, le Dax (Allemagne) de 46,75 %, le FTSE 100 (Royaume-Uni) de 39,86 %, le Nikkei (Japon) de 50,03 % et le Dow Jones (États-Unis) de 36,83 %). 1.3 Aujourd hui au XXIème siècle De nos jours, les bourses sont finalement assez peu nombreuses et sont installées avec la surveillance des États. Trois pôles importants existent : un en Asie avec l institution de Tokyo, un grand pôle européen avec Londres, Paris et Francfort et évidemment la bourse de New-York. Chaque institution a mis en place des indices boursiers dont les plus connus sont le Dow Jones et le Nasdaq à New York ou encore le CAC 40 à Paris. Ces derniers rassemblent des entreprises pour lesquelles des milliers d actions sont échangées chaque minute. Ces entreprises génèrent des retombées extrêmement présentes pour une économie nationale car elles font vivre de nombreux sous-traitants et PME dans leur sillage. L économie mondiale actuelle s est considérablement formée autour des bourses et se sont finalement ces dernières qui permettent ou non une croissance économique. Le fait est qu une crise économique est toujours la conséquence d une crise boursière. D ailleurs, en 1929, en 1973 (premier choc pétrolier) ou en 2008, la forte chute d actions provoqua des crises profondes pour les sociétés et les états. En effet, l argent mondial se joue dans ces endroits et les banques sont les premières concernées par de tels résultats. Si une crise financière voit le jour, les banques, piliers de l économie, s effondrent. L économie se grippe alors irrémédiablement. Pour les petits épargnants, la bourse reste un moyen risqué d investir.

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23 Chapitre 2 Les mathématiques dans la finance 2.1 Chronologie Grâce au site du CNRS, nous avons appris qu en 1827, le botaniste Robert Brown essaye de décrire les trajectoires de fines particules en suspension dans un liquide. Le mouvement brownien décrit leurs trajectoires irrégulières, rendant la fonction non dérivable en fonction du temps. C est un processus stochastique, c est-à-dire qu il modélise le comportement d une ou plusieurs variables aléatoires. Ce mouvement a été, en 1900, utilisé dans la thèse de Louis Bachelier, afin de modéliser les cours de la bourse. Cette thèse est aujourd hui très populaire et à la base des mathématiques financières modernes. En effet, l intuition du botaniste était que les particules, malgré que leurs trajectoires soient très irrégulières voire chaotiques, ne s éloignaient jamais beaucoup d une position d équilibre. Ceci permet, en économie, d éviter les irrégularités extrêmes, et permet de modéliser le marché en utilisant une courbe de Gauss. Norbert Wiener 1 a réussi en 1923 à modéliser ce mouvement, à travers ce qu on a appelé le processus de Wiener. La principale difficulté de cette modélisation résidait dans le fait que le mouvement est aléatoire, et que le déplacement est statistiquement nul. Les échanges commerciaux de toutes sortes entre les hommes ont existé depuis des temps immémoriaux, et ont entretenu des relations importantes avec les mathématiques, par exemple sous la forme de la comptabilité (bookkeeping), et des assurances. Le 20ème siècle est marqué par la prise en compte du caractère aléatoire des principales quantités, procédures, intervenant dans ces échanges. 1. Norbert Wiener était un mathématicien, chercheur en mathématiques appliquées. Il fut un pionnier dans l étude de la stochastique et du bruit. Il a, entre autres, fondé la cybernétique, et introduit en science la notion de rétroaction, notion qui a des implications dans les domaines de l ingénierie, des contrôles de système, l informatique, la biologie, la psychologie, la philosophie et l organisation de la société. 13

24 14 CHAPITRE 2. LES MATHÉMATIQUES DANS LA FINANCE Figure 2.1 Le travail de Louis Bachelier commença a être reconnu seulement 20 ans après sa mort. Paul Samuelson, en 1965, «corrige» le modèle de Wiener en prenant l exponentielle du mouvement brownien. La formule de Black-Scholes, en 1973, marque un tournant essentiel et, à ce jour, malgré nombre de critiques, reste un des piliers des mathématiques financières. Après le krach de 1987, l industrie bancaire se décide résolument à intégrer la culture de l aléa, i.e : utilisation des processus et calculs stochastiques, en particulier. V t σ2 S 2 2 V V + rs S2 S rv = 0 Des modèles extrêmement sophistiqués, mettant en jeu processus de Lévy 2 et autres éléments de la panoplie de la théorie des processus stochastiques, sont constamment utilisés 2. Nommé d après le mathématicien français Paul Lévy, un processus de Lévy est un processus stochastique à temps continu à valeurs dans R +.