Option Info - MPSI 2016 Algorithmes de tri - 1

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Tristan Chevalier
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1 Option Info - MPSI 2016

2 Position du problème Un ensemble X muni d une relation binaire R. Pour (a, b) X 2 : a R b se lit "a précède b" On suppose R transitive et totale : (a, b, c) X 3, (a R b et b R c) (a R c) (a, b) X 2, a R b ou b R a

3 Position du problème Soit s = x 1,, x n séquence d éléments de X avec : s = x 1,, x n tri s = x σ(1),, x σ(n) σ S n i {1,, n 1}, x σ(i) R x σ(i+1) S n désigne l ensemble (le groupe...) des permutations de {1,, n}.

4 Tri par comparaison On parle d algorithme de tri par comparaison lorsque les seules informations utilisées pour effectuer le tri sont celles issues des comparaisons entre éléments. 1 Tri à bulles 2 Tri par sélection 3 Tri par insertion 4 Tri par fusion 5 Tri par segmentation 6 Autres (tri par tas, tri hybrides...) Mesure de la complexité : nombre de comparaisons requises pour effectuer le tri.

5 Trier sans comparer!? Un tableau T de 10 entiers compris en 1 et 20 T = [12; 5; 1; 12; 8; 3; 12; 5; 8; 10] Un tableau A de longueur 20, initialement nul. On parcourt T : lorsqu on rencontre k {1,, 20}, on incrémente A [k ], après quoi : A = [1; 0; 1; 0; 2; 0; 0; 2; 0; 1; 0; 3; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0] On parcourt alors A et, pour chaque i {1,, 20}, on énumère A [i] fois l entier i. Tableau trié : T = [1; 3; 5; 5; 8; 8; 10; 12; 12; 12] Algorithme de tri par dénombrement

6 Un exemple moins sérieux Le Bogo-Tri consiste, étant donné un tableau T à trier : à permuter aléatoirement T examiner si T est à présent trié si oui, c est fini sinon, on recommence :) Efficacité douteuse... si T est de longueur n, alors l espérance du nombre de permutations requises pour trier T est n!

On ne fait pas cette hypothèse! Exemple : trier des objets selon leur taille.

7 Stabilité d un tri TRI INSTABLE Algorithmes! de tri - 1 R est dite antisymétrique si : (a, b) X 2, (a R b et b R a) a = b. On ne fait pas cette hypothèse! Exemple : trier des objets selon leur taille... Le tri est dit stable lorsque, chaque fois que a R b et b R a, les positions relatives de a et b ne sont pas altérées par le tri.

8 Listes ou vecteurs? Représentation en CaML d une séquence de valeurs : vecteur ou liste. les vecteurs sont modifiables possibilité de tri sur place généralement itératif les listes ne sont pas modifiables tri hors place généralement récursif

9 Trois algorithmes de tri par comparaison 1 Le tri à bulles 2 Le tri par sélection 3 Le tri par insertion Pour chacun, complexité quadratique dans le pire cas. Peut-on faire mieux?

10 Optimalité Théorème Le tri par comparaison d un tableau de longueur n requiert au minimum log 2 (n!) comparaisons. Complexité minimale Θ (n ln (n)). En outre, il existe des algorithmes possédant cette complexité (algos quasi-linéaires ) : le tri par fusion, le tri rapide (alias quicksort ou encore tri par segmentation) cf. cours ultérieur.

11 Optimalité La borne inférieure Θ(n ln (n)) ne concerne pas des algorithmes de tri qui procéderaient autrement que par comparaison! Exemple : le tri par dénombrement d un tableau de longueur n impose un travail proportionnel à n. Mais alors... pourquoi ne pas utiliser systématiquement cette méthode?! Question à méditer...

12 Description du tri à bulles 1 Un tableau T de nombres, de longueur n 2, à trier dans l ordre croissant... 2 on parcourt T et, pour chaque i {0,, n 2} : si T [i] > T [i + 1], on échange sinon, on ne fait rien 3 La plus grande valeur est correctement placée (en fin de tableau) 4 Si n 3, on recommence avec T [0,, n 2]

13 Terminologie? Tri à bulles Dans un liquide, les bulles de gaz remontent vers la surface...

14 Description du tri par sélection 1 Un tableau T de nombres, de longueur n 2, à trier dans l ordre croissant... 2 On détermine l indice i max de la première occurrence de max (T) 3 On échange les valeurs de T [i max ] et T [n 1] 4 La plus grande valeur est correctement placée (en fin de tableau) 5 Si n 3, on recommence avec T [0,, n 2]

15 Description du tri par insertion C est la méthode qu on emploie généralement pour trier un paquet de cartes. 1 Un tableau T de nombres, de longueur n 2, à trier dans l ordre croissant... 2 Pour chaque i {1,, n 1}, on insère T [i] à sa place, au sein du sous-tableau trié T [0,, i 1]

16 En bref... 1 Le tri à bulles 2 Le tri par sélection 3 Le tri par insertion sont des algorithmes de tri par comparaison. Chacun consiste, pour l essentiel, en une double-boucle complexité quadratique. Implémentation : Pour 1) et 2), on utilise des vecteurs. Pour 3), on peut utiliser des vecteurs ou des listes. Stabilité : 1) et 3) sont stables, mais pas 2)... Pourquoi?

17 Travail à faire 1 Programmer chacune des trois méthodes : bubble sort, selection sort, insertion sort 2 Tenter d établir un encadrement théorique du nombre de comparaisons effectuées par chacune des trois méthodes 3 Tester à la main sur des vecteurs de petite taille

18 Pré-requis pour trier... 1 Echange des valeurs de deux cases d un vecteur let echange v i j =...;; 2 Fonction de comparaison : let precede x y =... ;; a a bool polymorphisme des fonctions de tri

19 T h`e E n`dffl!

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