Unité 1 Leçon 4 L'interprétation de données

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1 Recensement à l'école Statistique Canada est une agence gouvernementale qui recueille des données sur les citoyens canadiens. Recensement à l école est un projet international en ligne qui permet aux élèves de la 4 e à la 12 e année de découvrir le monde des enquêtes et de la statistique. Le site Web Recensement à l école contient des données sur des élèves de 8 à 18 ans. Sur le site Recensement à l école, tu trouveras des données relatives aux jeunes du Canada sous des titres tels que : Quelle est votre matière préférée? Ressentez vous une certaine pression en raison du travail scolaire? Lequel des sports ou loisirs suivants préférez vous pratiquer? Un lien te donne accès aux données des autres pays participants comme l Afrique du Sud et la Nouvelle Zélande. Pour utiliser Recensement à l école, suis les étapes sur votre feuille d'exercise, puis réponds aux questions qui les suivent. Unité 1 Leçon 4 L'interprétation de données 1

2 Qu'apprenons nous dans cette leçon? Le théorème de limite centrale. Les intervalles de confiances. La distribution d'échantillonnage des moyennes En statistiques, il est important de noter que la moyenne d une population ne change jamais, elle reste fixe. Cependant, la moyenne d un échantillon peut varier selon l échantillon obtenu de la population. En d autres mots, la moyenne de la population est fixe et la moyenne de l échantillon est aléatoire. Les moyennes des échantillons ne sont pas prévisibles et varient d un échantillon à l autre. Mais comment utiliserons nous la moyenne de plusieurs échantillons pour prédire la moyenne d'une population? Ce processus s'appelle la distribution d échantillonnage des moyennes (les moyennes des échantillons) et est composé des moyennes arithmétiques et écart types de tous les échantillons possibles de taille donnée n qui peuvent être formés au hasard à partir de la population. Dans d'autres mots... La moyenne des moyennes des échantillons = L'écart type des moyennes des échantillons = Pour les populations vastes, le nombre de moyennes est énorme!!! 2

3 Le théorème limite centrale Cette distribution a 3 propriétés : 1. Pour des valeurs de n suffisamment grandes (n > 30), la distribution des moyennes de tous les échantillons aléatoires de taille n, pour une population donnée, est approximativement normale. 2. La moyenne des moyennes des échantillons est approximativement égale à la moyenne de la population. 3. L écart type des moyennes des échantillons (pour une population très grande) est approximativement égal à : Exemple: 1. Une compagnie maintient que la moyenne de gras par tablette de chocolat est égale à µ = 25 grammes avec un écart type de σ = 4 grammes. Un échantillon de 40 tablettes de chocolat est choisi au hasard et la quantité de gras est mesurée. Les résultats sont présentés dans le tableau suivant a. Quelle est la moyenne de la population? b. Détermine la moyenne de l échantillon. 3

4 c. Si on choisi au hasard plusieurs échantillons de 40 tablettes, détermine la moyenne des moyennes des échantillons. d. Quelle est l écart type de la population? e. Détermine l écart type de l Échantillon. f. Si on choisi au hasard plusieurs échantillons de 40 tablettes, détermine l écart type des moyennes des échantillons. Vérifions nos connaissances: 1. On choisi un échantillon dont la taille est 30 à partir d une population donnée ayant une moyenne µ de 29,8 et un écart type σ de 3,4. Les données recueillies sont représentées dans le tableau suivant. 31,27 28,52 27,77 31,32 29,63 30,10 30,17 26,59 27,63 24,59 27,94 29,70 31,39 31,41 26,10 34,27 24,82 34,12 36,54 25,64 31,75 31,96 29,45 27,94 31,81 28,67 28,87 24,60 26,06 32,34 a. Quelle est la moyenne de la population? b. Détermine la moyenne de l échantillon. 4

5 31,27 28,52 27,77 31,32 29,63 30,10 30,17 26,59 27,63 24,59 27,94 29,70 31,39 31,41 26,10 34,27 24,82 34,12 36,54 25,64 31,75 31,96 29,45 27,94 31,81 28,67 28,87 24,60 26,06 32,34 c. Quelle est l écart type de la population? d. Détermine l écart type de l échantillon. e. Si on choisi au hasard 700 échantillons de 30, détermine la moyenne des moyennes des échantillons. f. Si on choisi au hasard 700 échantillons de 30, détermine l écart type des moyennes des échantillons. Exercice Photocopie # 1 4 5

6 BILLET DE SORTIE Une certaine population de lapins a une espérance de vie moyenne de 16 ans avec un écart type de 2,5 ans. Si on prend des échantillons de taille 45 à plusieurs reprises, détermine... a. la moyenne des moyennes des échantillons b. l'écart type des moyennes des échatillons Utilisons des échantillons pour estimer une population On a encore une question à répondre... "En tenant compte des résultats d'un certain échantillon aléatoire, quelle sera l'estimation pour sa population correspondante?" Il y a 2 types d'estimation. La situation suivante te permet de comprendre les 2 types. Quand tu apportes ton auto au garage pour des réparations, tu demandes au garagiste d'estimer les coûts de réparation. S'il te dit que les réparations vont te coûter 500$, il te donne une estimation ponctuelle (un point). S'il te dit que les réparations vont te coûter entre 400$ et 600$, il te donne une estimation par intervalle. La deuxième situation contient une estimation ponctuelle de 500$ et aussi une marge d'erreur de ± 100$. 6

7 Les estimations par intervalles La moyenne d'un échantillon est une estimation ponctuelle car ce seul nombre est utilisé comme une valeur possible de la moyenne de la population. Mais si on trouve la moyenne d'un seul échantillon, il est peu probable que la moyenne de l'échantillon est exactement la même valeur que la moyenne de la population. Alors, au lieu de rendre compte une seule valeur, on a tendance de donner un intervalle de valeurs raisonnables basé sur les données de l'échantillon. Cet intervalle est appelé l'intervalle de confiance, et à cet intervalle, on associe un degré ou niveau de confiance. Ce niveau de confiance indique jusqu'à quel point on est confiant que l'intervalle inclut la moyenne de la population. N.B. La moyenne de la population est fixe et la moyenne d'un échantillon est aléatoire. Puisque les échantillons sont aussi aléatoires, les intervalles de confiance basés sur ces échantillons seront aussi aléatoires. Comment construisons nous un intervalle de confiance? Nous allons nous concentrer sur 3 intervalles de confiance principaux. Quand la taille de l'échantillon est assez grande (n > 30), l'intervalle de confiance pour la moyenne de la population se calcule comme suit: où z est égal à 1,645 pour un niveau de confiance de 90% 1,96 pour un niveau de confiance de 95% 2,56 pour un niveau de confiance de 99% aussi... est l'estimation ponctuelle de la moyenne de la population. est considéré la marge d'erreur. Remarque que les valeurs de Z sont semblables aux lois des distributions normales ,7... 7

8 Que faire si...les populations inconnues Souvent la taille, la moyenne et l'écart type de la population sont soit inconnues soit trop difficile à calculer. Si la taille de l'échantillon est suffisamment large (n > 30), on peut remplacer l'écart type de la population avec l'écart type de l'échantillon. Avec ce changement, on obtient une estimation d'un intervalle de confiance. où z est égal à 1,645 pour un niveau de confiance de 90% 1,96 pour un niveau de confiance de 95% 2,56 pour un niveau de confiance de 99% aussi... est l'estimation ponctuelle de la moyenne de la population. est considéré la marge d'erreur. 8