Correction On considère la fonction

Transcription

1 On considère la fonction f x = x3 4 x ) Calculer la dérivée f x et étudier le signe de f x. 2) En déduire les variations de f sur R. 3) Déterminer les limites de f(x) quand x tend vers + et quand x tend vers. 4) Construire le tableau de variations, puis la courbe représentative de f. 5) Justifier à l aide du tableau de variations que l équation f x = 0 n a qu une seule solution. 6) Déterminer une valeur approchée de cette solution en utilisant les outils algébriques et graphiques du logiciel. 7) On considère la fonction définie par g x = x3 4 x 2 + a où a est un nombre réel. A l aide du logiciel, trouver une valeur approchée de a telle que l équation g x = 0 ait exactement deux solutions. Quelle sera la deuxième solution? Dresser le tableau de variations de la fonction g. Retrouver par le calcul la valeur de a trouvée précedemment. 8) Pour les terminales : Déterminer l aire du domaine défini par le système 1 x 2 0 f x y Correction On considère la fonction f x = x3 4 x ) Calculer la dérivée f (x) et étudier le signe de f (x). Attention : on ne peut pas entrer de fonction dans Encarta Math. On doit donc entre x 3 x 2 x Ici on peut se servir du Tablet PC en mode écriture manuelle. On écrit les données «comme en math». Un petit détail utile : il vaut mieux entre x que x. On obtient après validation : On choisit alors «dériver cette expression»

2 On obtient : Pour étudier le signe de f x, il faut en obtenir la forme factorisée : On obtient : On doit chercher à savoir quand cette quantité est positive. Il faut la récupérer en zone de saisie. On clique sur le résultat avec le bouton droit et l on a le menu suivant : Copier dans le champ Entrée permet de placer l expression en zone de saisie. Dès ce moment on bascule automatiquement dans une zone clavier. On entre le symbole par la calculatrice, ou plus simplement encore en tapant (comme sous Word) >=. On obtient :

3 La représentation graphique de l inéquation n est pas très intéressante, par contre on peut revenir à l écran 2 et demander la représentation graphique de la dérivée : attention dans la version que j ai (c est peut-être la même pour toi), il y a inversion entre les commandes 2D et 3D. La résolution de l inéquation peut être l occasion de montrer le pas à pas : (voir à la fin) 2) En déduire les variations de f sur R. Ici le logiciel n intervient pas. La fonction f est croissante sur ], 1/2], décroissante sur [ 1 2 ; 1], et croissante à nouveau sur [1,+ [. 3) Déterminer les limites de f(x) quand x tend vers + et quand x tend vers. Pour le calcul des limites on clique sur lim du menu Analyse. On complète par ce qu il faut. Puis on rappelle en ligne de saisie l expression 1.

4 4) Construire le tableau de variations, puis la courbe représentative de f. Attention Encarta ne gère pas bien les substitutions de variables. Il n est pas immédiat de calculer f( 1 2 ) et f 1. Il faut passer par une commande qui n est pas au menu «simplify». Pour la courbe, il suffit de retourner à l écran 1 et de demander la représentation graphique : On peut également obtenir un tableau des valeurs.

5 Il suffit pour cela de cliquer sur l icône créer un tableau dans l item «Autres». On configure le tableau : par exemple si l on veut les valeurs de 0,2 en 0,2 de 2 à 2, on entre : On obtient : On peut récupérer ce tableau en sélectionnant toutes les valeurs, puis en passant par Edition- Copier. Il est alors possible de le coller dans Excel. 5) Justifier à l aide du tableau de variations que l équation f x = 0 n a qu une seule solution. En fait le minimum local obtenu en 1 est positif : f 1 = ) Déterminer une valeur approchée de cette solution en utilisant les outils algébriques et graphiques du logiciel. On résout l équation x 3 4 x = 0 On rappelle l expression 1 en ligne de saisie et l on complète.

6 La forme exacte retournée montre que Encarta utilise les formules de Cardan pour trouver les solutions exactes. Pour une résolution graphique, on retourne sur l écran où il y a la courbe et l on actionne la commande «Tracer». Une petite «bulle» commence à circuler en affichant les coordonnées des points de la courbe. On clique à l intérieur pour l arrêter. Puis on la déplace à la souris (ou au stylet) pour la placer au plus près du point d intersection de la courbe avec l axe des abscisses. 7) On considère la fonction définie par g x = x3 4 x 2 + a où a est un nombre réel. A l aide du logiciel, trouver une valeur approchée de a telle que l équation g x = 0 ait exactement deux solutions. Quelle sera la deuxième solution? Dresser le tableau de variations de la fonction g. Retrouver par le calcul la valeur de a trouvée précedemment. On entre en ligne de saisie la quantité x 3 x 2 x + a, puis on commande la représentation graphique. Immédiatement le logiciel identifie qu il s agit d une fonction avec un paramètre a qu il fait apparaître dans la zone «Animer». Par défaut, a est dans l intervalle [0,2] ce qui nous arrange ici. En faisant varier a en utilisant les flèches droite et gauche, on arrive à une situation de quasi tangence pour 0,44. Mais il est possible que la valeur ne soit pas exacte. On peut préciser cette valeur en changeant les limites de l intervalle dans lequel varie a.

7 Il suffit de cliquer sur la limite et de taper la nouvelle valeur. On pourra prendre par exemple 0.4,0.5. Sur le plan du calcul, il remarque que le second point d intersection est obtenue dès que le minimum de g que l on atteint en 1 vaut 0, donc si g 1 = 0. On peut combiner les fonctions en utilisant l instruction solve que l on entre au clavier. 8) Pour les terminales : Déterminer l aire du domaine défini par le système 1 x 2 0 f x y La fonction f étant positive sur l intervalle [ 1,2], l aire du domaine cité est égale en unité d aire à f x dx. 2 1 Comme pour l ensemble des fonctions que propose Encarta, on peut soit utiliser la «calculatrice» soit entrer la fonction directement au clavier par son nom («integral»). Si l on bascule dans la fenêtre des représentations graphiques, on peut mettre en évidence le domaine dont nous avons calculé l aire.

8 Après validation on obtient : Le problème est que l on n obtient que ce domaine sans la courbe ce qui est dommage. Mais on peut remédier à cela en «programmant» le tracé simultané des deux : Si l on examine la feuille de calcul, on constate que les deux dernières entrées sont : plot x3 4 x show plotineq 1 x and x 2 and 0 y and y x3 4 x On peut combiner ces deux entrées en une seule par des copier coller : show plotineq 1 x and x 2 and 0 y and y x3 4 x x3 + 1, plot 2 4 x On obtient : Compléments : Etude du signe de f (x) Pour étudier le signe de la dérivée, j ai proposé plus haut une factorisation. Mais les élèves savent également étudier le signe d un trinôme du second degré ax 2 + bx + c dont ils connaissent les zéros. On est dans ce cas ramené à la résolution de l équation x 2 x = 0

9 Cette équation ayant des solutions «simples», le logiciel ne passe visiblement pas par le calcul de. On peut indiquer alors ce qui se passe pour une équation plus générale. Soit par exemple à résoudre x 2 + x 1 = 0 Le logiciel propose alors deux aides qu il convient d explorer. On peut seulement regretter qu il soit impossible de récupérer les différentes étapes. On peut indiquer à ce moment-là l existence du «formulaire» : Limites : C est un point sur lequel il ne faut pas trop insister car Encarta ne permet pour le moment de trouver les limites à droite et à gauche. Système : On aurait pu commencer le problème par une question supplémentaire qui aurait permis de déterminer la fonction f en résolvant un système de deux équations à deux inconnues par exemple. On aurait pu considérer la fonction f sous la forme : en imposant les conditions : f x = x3 + ax + b 4 f 1 = 11 12

10 f 2 = 5 3 Pour écrire puis résoudre le système on commence par introduire la «nouvelle forme de f», puis on estime cette forme en 1 et 2. On ouvre alors le «résoluteur» d équations (joli néologisme au moins aussi bien que le «solveur» qui a de sérieux relents anglicistes). On choisit l item ci-dessus. Par glisser-déposer, on transporte les deux égalités obtenues dans la fenêtre prévue et on les complète avec les données de l énoncé.

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