MATHEMATIQUES 1 partie. Activités numériques

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1 NOM : Classe : Prénom : MATHEMATIQUES partie Les réponses seront justifiées. Le détail des calculs figurera sur la copie. Activités numériques Quel est le PGCD des nombres 185 et 444? 2 Un chef d orchestre fait répéter 185 choristes hommes et 444 choristes femmes pour un concert. Il veut faire des groupes de répétition de sorte que - le nombre de choristes femmes est le même dans chaque groupe, - le nombre de choristes hommes est le même dans chaque groupe, - chaque choriste appartient à un groupe. a) Quel nombre maximal de groupes pourra-t-il faire? b) Combien y aura-t-il de choristes hommes et de choristes femmes dans chaque groupe? Problème Les trois parties sont indépendantes. Première partie Une entreprise fabrique des saladiers en faïence ayant la forme d'une demisphère de rayon 12 cm. 1) Vérifie que, en, la valeur exacte du volume du saladier est π. 2) Une ménagère a besoin de 1,5 litre de pâte pour faire des crêpes. Pourra-t-elle utiliser ce type de saladier pour les préparer?

2 Deuxième partie Les saladiers sont vendus 5,50 euros pièce. 1) Complète : le prix de vente de 40 saladiers est... le prix de vente de 800 saladiers est... 2) a) Soit x, le nombre de saladiers achetés par un supermarché. Détermine le prix f(x) qu'il paiera à l'entreprise. b) Quelle est la nature de la fonction? c) Détermine le nombre dont l'image par la fonction est Interprète le résultat. d) Représente graphiquement la fonction dans un repère orthogonal. Tu prendras l'origine du repère en bas à gauche sur une feuille de papier millimétré et - en abscisses, 1 cm pour 100 saladiers - en ordonnées, 1 cm pour 400 euros 3) En utilisant le graphique, retrouve le résultat de la question 2 c) (Fais apparaître les tracés nécessaires). Troisième partie Le responsable du supermarché a relevé le nombre de saladiers vendus par chacune de ses quatre vendeuses et l'a inscrit dans le tableau suivant: Nom de la vendeuse Sofia Natacha Lorie Magali Nombre de saladiers vendus ) Combien de saladiers ont été vendus? 2) Calcule le pourcentage de saladiers vendus par Natacha. Arrondis au dixième. 3) Le responsable du supermarché affirme qu'il a vendu 80% de son stock. Combien avait-il acheté de saladiers?

3 NOM : Classe : Prénom : Les réponses seront justifiées. Le détail des calculs figurera sur la copie. MATHEMATIQUES 2 partie Activités géométriques Thalès de Millet ( av JC) se rendit célèbre en donnant la hauteur de la plus grande pyramide d Égypte. Nous allons utiliser son théorème pour calculer la hauteur de cette pyramide représentée ci-contre. [SH] est la hauteur de cette pyramide. On se place à l extérieur de la pyramide et on plante verticalement un bâton représenté par le segment [AB] de 2 m de façon à ce que les points M, B, S et M, A, H soient alignés. On sait que MA = 2,4 m et MH = 165 m. S B H I A M Justifie que (HS) et (AB) sont parallèles. 2 En utilisant la propriété de Thalès dans le triangle MHS, déduis-en la hauteur SH de la pyramide.

4 Exercice 2 EFG est un triangle rectangle en E tel que EF = 5 cm et FG = 13 cm. F N La figure donnée n est pas réalisée à l échelle. Les questions sont indépendantes. Calcule la mesure de l angle EFG. Arrondis au degré près. 2 Montrer que EG = 12 cm. E M G 3 On considère les points M et N respectivement sur [EG] et sur [GF] tel que GM = 5 cm et GN = 6 cm. Les droites (MN) et (EF) sont-elles parallèles? Justifie. Activités numériques Exercice 3 On considère le système suivant: x+ y=3 000 { 4,5 x+ 6 y= Le couple (2 000 ; 1 000) est-il solution du système? Répons à cette question sans résoudre le système. 2 Résous algébriquement ce système. Exercice 4 Soit E = ( x + 2 )² 4 a. Développe et réduis E. b. Factorise E. 2 Les figures suivantes ne sont pas représentées en vraie grandeur, l unité de longueur est le centimètre. a. Exprime l aire A de la croix grise en fonction de x. b. Détermine une valeur de x non nulle pour que l aire de la croix grise soit égale à l aire du rectangle.

5 MATHEMATIQUES Correction de la partie Algorithme d Euclide : 444 = 2 x = 2 x = 2 x Activités numériques Le PGCD des nombres 185 et 444 est 37 2 a) Le chef d orchestre souhaite réaliser des groupes identiques en utilisant tous les choristes et il veut un nombre maximal de groupe : je dois donc utiliser le PGCD(185 ;144) calculé à la question précédente. Il réalisera 37 groupes. b) Il y aura (185 37) 5 choristes hommes et (444 37) 12 choristes femmes dans chaque groupe. Problème Première partie Une entreprise fabrique des saladiers en faïence ayant la forme d'une demisphère de rayon 12 cm. 1) Volume d une demi-boule = : 2 = = = = = π. La valeur exacte du volume du saladier est π cm 3. 2) 1,5 L = 1,5 dm 3 = 1500 cm 3 et π cm cm cm cm 3, la ménagère pourra utiliser ce saladier. Deuxième partie 1) Le prix de vente de 40 saladiers est 40 5,5 = 220. Le prix de vente de 800 saladiers est 800 5,5 = ) a) f(x) = 5,5 x. b) La fonction est une fonction linéaire car elle est de la forme f(x) = a x avec a = 5,5. c) ,5 = Le nombre dont l'image par la fonction est est Avec 6050, le supermarché achètera 1100 saladiers. 3) Je lis sur le graphique que 1100 saladiers coutent Troisième partie 1) 960 saladiers ont été vendus. 2) 20,8. Natacha a vendus environ 20,8% des saladiers. 3) = Le responsable du supermarché avait 1200 saladiers en stock.

6 MATHEMATIQUES Correction de la 2 partie Les droites (HS) et (AB) sont perpendiculaires à la droite (HM). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles. Donc les droites (HS) et (AB) sont parallèles. 2 Dans le triangle MHS : A [ MH], B [ MS], ( HS)//( AB). D'après la propriété de Thalès MB MS = MA MH = HS AB 2, = HS 2 HS= , 4 = 137, 5 La hauteur SH de la pyramide est de 137, 5 m Exercice 2 Le triangle EFG est rectangle en E donc : cos EFG = EF FG L'angle EFG mesure environ 67. cos EFG = 5 13 EFG 67 2 Le triangle EFG est rectangle en E, on obtient donc l'égalité de Pythagore : FG 2 = EF 2 + EG 2 EG 2 = FG 2 EF 2 EG 2 = EG 2 = 144 EG = 144 = 12 cm La longueur EG est bien de 12 cm. 3 GN GF = 6 13 et GM GE = 5 12 Comparons les produits en croix : GN GE = 6 12 = 72 GF GM = 13 5 = 65 Les produits en croix sont différents donc GN GF GM, on n'obtient pas l'égalité de Thalès, les GE (MN) et (EF) ne sont donc pas parallèles. Exercice 3 Pour x = et y = : x + y = = ,5x + 6y = 4, = = Le couple (2 000 ; 1 000) ne vérifie pas la deuxième équation, il n'est donc pas une solution.

7 2 { x y=3 000 j 4,5 x 6 y= k 4,5 j : 4,5x 4,5y = j+k : 1,5y = y = ,5 = Dans j : x = x = x = Le couple solution est (1 200 ; 1 800). 3 On note x le nombre de places «balcon» et y le nombre de places «orchestre», il faut donc résoudre le système { x y= x 60 y= En divisant par 10 la deuxième équation on obtient le système de la question précédente qui a pour solution (1 200 ; 1 800). Il y a donc places «balcon» et places «orchestre». Exercice 4 a. A = x 2 + 4x = x 2 + 4x b. A = ( x + 2 )² 2 2 On peut alors utiliser la 3ème identité remarquable a 2 b 2 = (a b)(a + b) avec a = x+2 et b = 2. A = [(x + 2) 2][(x + 2) + 2] A = x(x+4) 2 a. Pour calculer l'aire de la croix grise il suffit de calculer l'aire du grand carré de côté 1 + x + 1 et enlever l'aire des 4 carrés de côté 1. A = ( 1 + x + 1)² 4 1 = ( x + 2 )² 4 b. L'aire du rectangle est : longueur largeur = 7x On cherche une valeur de x pour laquelle les deux aires sont égales, il faut donc résoudre l'équation suivante : ( x + 2 )² 4 = 7x x 2 + 4x = 7x x 2 3x = 0 x(x 3) = 0 Si A B = 0 alors A = 0 ou B = 0. x = 0 ou x 3 = 0 x = 0 ou x = 3 Les solution de l'équation sont 0 et 3. La seule valeur non nulle de x pour laquelle les deux aires sont égales est 3.