Physique générale I Examen Janvier 2014 Prof. J-Ph. Ansermet. A. L anneau et le ressort (4/10 points) 20 janvier h15-15h15

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1 Physique générae I Examen Janvier 014 Prof. J-Ph. Ansermet 0 janvier 014-1h15-15h15 Nom : Prénom : N Sciper : A. L anneau et e ressort (4/10 points) Un objet de masse m, considéré comme un point matérie P, est astreint à se dépacer sur un cerce de rayon R, de centre O, situé dans un pan vertica. L objet subit action de a pesanteur ainsi que a force de rappe exercée par un ressort de constante éastique k, de ongueur au repos nue, attaché à extrémité A du demi-cerce et au point P. On négige es frottements dans ce probème. Le probème sera traité en coordonnées cyindriques (ρ, φ, z) définies en O, avec ange φ défini par rapport à horizontae. Aide : L ange θ qui donne orientation du ressort par rapport à horizontae est donné par a reation θ = φ/. L ange AP B est un ange droit, par conséquent, on a a reation : AP = R cos(φ/). Questions et réponses au verso!

2 1. (0.5 point) Expiciter en coordonnées cyindriques es projections de AP, c est-à-dire avec AP = L ρ ê ρ + L φ ê φ L ρ = R cos φ L φ = R cos φ sin φ. (0.5 point) Etabir e bian des forces (vectoriees). F r = kap N a réaction du cerce mg 3. (0.5 point) Projeter es forces dans e repère des coordonnées cyindriques. F tot = (N kl ρ mg sin φ) ê ρ + ( kl φ mg cos φ) ê φ + (0) ê z 4. (0.5 point) Exprimer accéération vectoriee, compte tenu des contraintes. ( a tot = R φ ) ( ê ρ + R φ ) eˆ φ + (0) ê z 5. (0.5 point) Ecrire es équations du mouvement. ( m R φ ) = N kr cos φ mg sin φ ( m R φ ) = kr cos φ sin φ mg cos φ 0 = 0 6. (0.5 point) Donner une expression de énergie mécanique. E = 1 mr φ + mgr sin φ + kr cos φ 7. (1.0 point) Appiquer e théorème du moment cinétique en prenant e point d attache du ressort A comme point de référence pour obtenir une équation du mouvement. L A = AP m (R φê ) φ = R cos φ êρ m (R φê ) φ = mr cos φ φê z dl A dt = AP (F r + N + mg) = (L ρ ê ρ + L φ ê φ ) ((N mg sin φ) ê ρ + ( mg cos φ) ê φ )

3 ẑ dl A dt = mr φ sin φ cos φ + mr φ cos φ = mgr cos φ cos φ + mgr sin φ NR sin φ = R cos φ mg NR sin φ

4 Physique générae I Examen Janvier 014 Prof. J-Ph. Ansermet 0 janvier 014-1h15-15h15 Nom : Prénom : N Sciper : B. Barre en rotation (4/10 points) Une barre rigide, de ongueur L, de masse m, de diamètre négigeabe, soumise à a pesanteur, est accrochée en O, point fixe du référentie, à une articuation qui ui impose une rotation uniforme de vitesse anguaire ω constante, d axe vertica, mais n impose rien à son incinaision θ. L articuation en O permet d appiquer un moment M O. Ee impose égaement une force de réaction R. I n y a pas de frottement. Les moment d inertie de a barre pour un axe perpendicuaire à a barre, passant par G, respectivement O, sont supposés connus, on es notera respectivement I G et I O. Le moment d inertie de a barre par rapport à un axe passant e ong de axe de a barre est supposé nu. Questions et réponses au verso!

5 1. (0.5 point) Le moment de force que articuation en O exerce sur a barre peut être matériaisé par deux forces F 1 et F = F 1 exercées respectivement aux points P 1 et P aux extrémités de axe de cette articuation. Ainsi, M O = OP 1 F 1 + OP F. Trouver a reation entre M O et e moment en G des deux forces F 1 et F. M O = M G + (zéro) car M G = (GO + OP 1 ) F 1 + (GO + OP ) F = OP 1 F 1 + OP F. (0.5 point) On annonce ici un résutat qui peut être dériver des équations du mouvement : e moment M O exercé par articuation est nu quand θ ne dépend pas du temps. La force en O est-ee aignée avec a barre quand θ a une vaeur constante? Non, pour a raison suivante. Le moment cinétique en G est non-nu, perpendicuaire à a barre, donc i varie dans e temps, ce qui impique que e moment des forces en G est non-nu, et i faut donc bien que R ne soit pas coinéaire avec a barre, compte tenu du fait que M O est nu. A propos de ce dernier point, on pourrait s y attendre vu que pour ce mouvement stationnaire, on pourrait rempacer articuation par un fi soupe infiniment court, et on aurait e même mouvement. En revanche si a barre osciait, aors i faudrait pouvoir exercer un coupe pour a maintenir dans e pan vertica en rotation à a vitesse ω. C est ce qu on avait obtenu avec a bie dans anneau : i y a une force normae au pan de anneau quand a bie oscie dans anneau. 3. (1.0 point) Déterminer ange θ 0 de a barre en régime stationnaire, c est-à-dire, incinaison qu ee aurait si un frottement avait permis amortissement des osciations de a fonction θ(t). Pour trouver θ 0, on peut appiquer e théorème du moment cinétique pour e moment cinétique en O. On a : dl O = ω L O = OG Mg dt Le modue du moment cinétique en O vaut I O ω sin θ 0. On peut concure en cacuant a norme de expression vectoriee en tenant compte des sinus des anges entre es vecteurs des produits scaaires. I vient : cos θ 0 = MgL I O ω Comme a donnée est formuée, i est possibe aussi de partir du théorème du centre de masse. I faut aors invoquer a composante R θ de a force de contrainte en O. Le théorème du centre de masse ne suffit pas à résoudre a question. Une aternative à usage du théorème du moment cinétique avec e moment cinétique en O et de prendre e moment cinétique en G. On doit aors considérer aussi R θ, qui reste une inconnue, à moins qu on aie en chercher a vaeur en utiisant e théorème du centre de masse conjointement avec ceui du moment cinétique. 4. (0.5 point) Dans e repère (O, ê r, ê θ, ê φ ) des coordonnées sphériques définies en O, exprimer es composantes du moment cinétique en O quand θ dépend du temps. On a pour a vitesse anguaire vectoriee du soide : ω = ω cos θê r ω sin θê θ + θê φ

6 Le repère est un repère d inertie pour a barre, avec e moment d inertie I O pour toute vitesse anguaire perpendicuaire à a barre. Ainsi : ( ) L O = (0) ê r (I O ω sin θ) ê θ + I O θ ê φ 5. (1.0 point) Appiquer e théorème du moment cinétique en considérant e moment cinétique de a barre en O pour obtenir une équation du mouvement pour ange θ. On écrira ici M O = M r ê r + M θ ê θ. La dérivée temporee de L O fait apparaître ω L O qui vaut : Le moment résutant des forces en O vaut : I O ω θ cos θê θ I O ω sin θ cos θê φ M O + OG Mg = M r ê r + M θ ê θ + L êr Mg (cos θê r sin θê θ ) = M r ê r + M θ ê θ L Mg sin θê φ Par conséquent, es équations du mouvement sont : Comme annoncé, on a M θ = 0 quand θ = 0. 0 = M r I O ω θ cos θ = M θ I O θ IO ω sin θ cos θ = L Mg sin θ 6. (0.5 point) Exprimer énergie cinétique quand θ dépend du temps. T = 1 I O θ + 1 I Oω sin θ

7 Physique générae I Examen Janvier 014 Prof. J-Ph. Ansermet 0 janvier 014-1h15-15h15 Nom : Prénom : N Sciper : C. Tester a reativité dans une coision équerre (/10 points) Deux particues de masse m 1 et m entrent en coision et forment dès ors une particue composite. Les particues incidentes ont es vitesses v 1 et v, supposées orthogonaes. L ange α est donné par a direction du mouvement de a particue composite par rapport à a trajectoire de a particue 1. On notera v 1 a norme de v 1 et v a norme de v. P 1 P 1 α P Questions et réponses au verso!

8 1. (0.5 point) Que vaut tan α en termes de v 1, v, m 1, m, si on traite e probème avec a reation Newtonienne entre a quantité de mouvement et a vitesse? tan α = m v m 1 v 1. (0.5 point) Par a mesure de α, est-ce qu on peut tester tout aussi bien a vaidité de a théorie de a reativité restreinte si on prend pour conditions expérimentaes v 1 = v = v et m 1 m ou si on prend aternativement m 1 = m = m et v 1 v? Non Expication : si v 1 = v aors on a e même rapport m /m 1 que pour a prévision newtonienne. En revanche, si es vitesses diffèrent, aors i y a es coefficients gamma qui interviennent, voir ci-dessous. 3. (0.5 point) Cacuer tan α avec expression reativiste de a quantité de mouvement. tan α = tan α = m v 1 v 1 /c m 1 v 1 1 v /c 4. (0.5 point) Pour un P 1 supposé connu, que prédit a théorie de a reativité restreinte pour a vaeur de a masse M de a particue composite, exprimée en termes de m 1, m, v 1, v, P 1? M = 1 ( ) m 1 c c 1 v 1 /c + m c P 1 v /c 1 c