* Agenda 34: POUR JEUDI 17 NOVEMBRE : POUR VENDREDI 18 NOVEMBRE 2016 DME n 3: Exercice 37 F70 à rédiger
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- Antoinette Labelle
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1 * Agenda 34: POUR JEUDI 17 NOVEMBRE : POUR VENDREDI 18 NOVEMBRE 2016 DME n 3: Exercice 37 F70 à rédiger CHAPITRE 3 SEANCE 6 SEANCE 7 SEANCE 8: 34: JEUDI 10; LUNDI 14 ET JEUDI 17 NOVEMBRE : MERCREDI 16; JEUDI 17 ET VENDREDI 18 NOVEMBRE 2016 * En groupe: Exercices 8 et 9 F70 * Partie exercices (A recopier) Correction de l'exercice 8 F70 On considère deux perches dans le même plan On a * Les points A, B, C, D et H sont cinq points distincts du plan. * Les droites (BC) et (AD) sont sécantes en H. * On suppose le sol parallèle au chapeau, d'où les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Remarque: Pour être plus rigoureux: * Les points A, H, D d'une part et B, H, C d'autre part sont alignés dans le même ordre. On a HA HB et HC HD HA HB Donc HC HD D'après la réciproque du théorème de Thalès: Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Donc maintenant: HA HB AB HD HC CD 3 AB , AB 18 AB 2,5 Le diamètre du chapeau est de 2,5 pieds. Correction de l'exercice 9 F70:
2 Pour déterminer le parcours dont la longueur est la plus proche de 4 km, on va calculer la longueur des deux parcours. Pour le parcours ACDA On calcule AD: Dans le triangle CDA rectangle en C L'égalité de Pythagore est vérifiée AD² AC² + CD² AD² 1,4² + 1,05² AD² 3,0625 AD 1,75 AD est égale à 1,75 km On en déduit la longueur du parcours ACDA AC + CD + DA 1,4 + 1,05 + 1,75 4,2 Le parcours ACDA mesure 4,2 km. Pour le parcours AEFA On calcule EF * A; E'; E; F et F' sont cinq points distincts du plan * Les droites (EE') et (FF') sont sécantes en A * Les droites (E'F') et (EF) sont parallèles AE ' AF ' E ' F ' AE AF EF 0,5 AF ' 0,4 1,3 1,6 EF 0,4 1,3 EF 0,5 EF 1,04 EF est égale à 1,04 km On en déduit la longueur du parcours AEFA AE + EF + FA 1,3 + 1,04 + 1,6 3,94 Le parcours AEFA mesure 3,94 km On vérifie lequel se rapproche le plus de 4 km 4 3,94 0,06 et 4,2 4 0,2 Donc c'est le parcours AEFA qui a une longueur la plus proche de 4 km. Remarque: La mesure de l'angle est une information inutile ici. * Brouillon Exercices 15 F70 Exercices 29; 30; 31; 32; 35; 36; 38; 39 F70 Exercice 10; 11; 12; 23; 24; 26 F70
3 * Supplément: (Peut être imprimé ou recopié) Correction de l'exercice 10 F70: On peut représenter la situation par le schéma suivant: On détermine la hauteur CP du pinus. Pour cela on détermine CA * A, B, C, M et N sont cinq points distincts du plan * Les droites (CN) et (AM) sont sécantes en B * On suppose que le pinus est vertical et on sait que le bâton est vertical donc (CA) et (NM) sont perpendiculaires à (AB). Or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Donc (CA)// (NM) : BM BN MN BA BC AC 1,2 0,4 13,2 AC AC 13,2 0,4 1,2 13,2 0,4 AC 1,2 AC 4,4 AC 4,4 m De plus: A, C et P sont alignés Donc CP AC + AP CP 4,4 + 1,6 CP 6 La hauteur du pinus est de 6 m. Correction de l'exercice 11 F70: 1) On réalise une figure en vraie grandeur 2) On détermine l'aire du triangle ABE On cherche donc BE (Remarque: on ne peut pas utiliser Pythagore puisque l'on ne connaît qu'un côté) On sait que *A, B, C, D et E sont cinq points distincts du plan * Les droites (BC) et (AE) sont sécantes en D * Les droites (AC) et (BE) sont perpendiculaires à (AB) Or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Donc (AC) // (BE) DB DE BE DC DA CA 2,5 BE 1,5 2,4 2,5 2,4 BE 1,5 BE 4 D'où
4 BE AB A ABE 2 4 3,2 2 6,4 L'aire de ABE est égale à 6,4 cm² Correction de l'exercice 12 F70: On détermine la hauteur de l'assise CE Dans le triangle ACE rectangle en C L'égalité de Pythagore est vérifiée AE² AC² + CE² 56² 34 ² + CE² CE² CE² or CE est une longueur donc CE est positive CE 44,5 La hauteur de l'assise est d'environ 44,5 cm Or 44 cm 44,5 cm 46 cm Donc la hauteur de l'assise est adaptée. Remarque: Voici un exercice qui contient plein de données non nécessaires et vous oblige à choisir les bonnes données et le bon théorème. Correction de l'exercice 15 F70: 1) On calcule DC * A, B, C, D et E sont cinq points distincts du plan * Les droites (AB) et (ED) sont sécantes en C * Les droites (AE) et (BD) sont parallèles on a: CB CD BD CA CE AE CD 1,1 6 1,5 1,1 6 CD 1,5 CD 4,4 La longueur CD est égale à 4,4 m. 2) On en déduit ED E, D et C sont alignés ED EC DC ED 6 4,4 ED 1,6 Donc la longueur ED est égale à 1,60 m 3) On explique si le conducteur peut voir la fillette
5 La fillette passe à 1,40 m donc dans la zone ABDE grisée et sa hauteur ne dépasse pas BD. Donc elle ne dépasse pas de la zone grisée. Donc le conducteur ne peut pas la voir. Correction de l'exercice 16 F70: 1) Les segments [AB] et [AE] sont perpendiculaires Donc le triangle AEB est rectangle en A. L'égalité de Pythagore est vérifiée BE² EA² + AB² BE² 2,625² + 3,5² BE² 19, BE 19, BE 4,375 BE est égale à 4,375 m 2) On détermine BC pour [CD] parallèle à [AE] On a A, B, E, C et D sont cinq points distincts du plan Les droites (ED) et (AC) ont sécantes en B Les droites (CD) et (EA) sont parallèles BD BC DC BE BA EA BC 1,5 3,5 2,625 1,5 3,5 BC 2,625 BC 2 On doit placer C à 2 mètres de B. Correction de l'exercice 17 F70: 1) On démontre que les droites (DE) et (AB) sont parallèles. * A, B, C, D et E sont cinq points distincts du plan * Les droites (AD) et (BE) sont sécantes en C * Les points A, C et D d une part et B, C et E d autre part sont alignés dans le même ordre. * D une part D autre part Donc CD 10 CE 14 CA 30 CB 42 CA CD D après la réciproque du théorème de Thalès Les droites (DE) et (AB) sont parallèles. 2) On en déduit que le triangle ABC est rectangle. * (DE) est perpendiculaire à (DA) et D, C et A sont alignés donc (DE) est perpendiculaire à (AC) * (DE) est parallèle à (AB) Or si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Donc (CA) est perpendiculaire à (AB). Donc ABC est rectangle en A. Correction de l'exercice 23 F70: 1. a. On montre que le triangle ABC est rectangle et on précise en quel point. CE CB
6 Dans le triangle ABC [AB] est le plus grand côté D une part : AB² 6,25² D autre part : AC² + BC² 5² + 3,75² Donc AB² AC² + BC² AB² 39,0625 AC² + BC² 39,0625 L égalité de Pythagore est donc vérifiée Donc le triangle ABC est rectangle en C. b. On en déduit que les droites (BC) et (DE) sont parallèles. (ED) est perpendiculaire à (DA) or C, D et A sont alignés donc (ED) est perpendiculaire à (CA) De plus d après a., ABC est rectangle en C donc (CB) est perpendiculaire à (CA) Or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Donc (DE) // (CB) 2. On calcule DE A, B, C, D et E sont cinq points distincts du plan Les droites (BE) et (CD) sont sécantes en A. Les droites (BC) et (DE) sont parallèles. D après le théorème de Thalès On a : En particulier ED vaut 2,4 cm 3. On détermine si les droites (MN) et (BC) sont parallèles. A, B, C, M et N sont cinq points distincts du plan. Les droites (BN) et (CM) sont sécantes en A. B, N et A d une part et C, M et A d autre part sont alignés dans le même ordre. D après la réciproque du théorème de Thalès Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Correction de l'exercice 26 F70: 1. On démontre que JKL est un triangle rectangle. Dans le triangle JKL [JK] est le plus grand côté
7 Donc l égalité de Pythagore est vérifiée Donc le triangle JKL est rectangle en L 2. On justifie que IJM est rectangle [IJ] est un diamètre du cercle C M appartient au cercle C Or si un triangle est inscrit dans un cercle qui admet pour diamètre l un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle et admet ce diamètre pour hypoténuse. Donc IJM est rectangle en M et a pour hypoténuse [IJ]. 3. On détermine JM D après 1. (LK) est perpendiculaire à (LJ) et L, J, M sont alignés donc (LK) est perpendiculaire à (LM) D après 2. (IM) est perpendiculaire à (MJ) et L, J et M alignés donc (IM) est perpendiculaire à (LM) Or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Donc (LK) // (IM) (1) De plus M, I, J, L et K sont cinq points distincts du plan. Les droites (IK) et (LM) sont sécantes en J D après (1) Les droites (LK) et (IM) sont parallèles. D après le théorème de Thalès JM vaut 5,4 cm. Correction de l'exercice 29 F70: Utiliser le théorème de Thalès dans la configuration suivante :
8 Correction de l'exercice 30 F70: * A, B, C, D et E sont cinq points distincts du plan * Les droites (CE) et (AD) sont sécantes en B * Les droites (AC) et (ED) sont parallèles D après le théorème de Thalès BE BD ED BC BA CA BE 1,8 2,5 2,33 BE 1,93 BE est égal à environ 1,93 m CE mesure environ 0,57 m Donc en largeur au sol on aura environ 1,14 m et en longueur 12 m soit une superficie au sol supplémentaire de 13,7 m² Frédéric pourra déclarer en plus 13,7 m² Correction de l'exercice 31 F70: On calcule la longueur en vert de la ligne sur laquelle va se trouver les rosiers 1) Pour calculer CD, on peut utiliser Pythagore dans le triangle rectangle BCD 2) Pour AE, il suffit de diviser par 4 BC 3) Pour EF et FD, on utilise Thalès dans la configuration formée par les droites sécantes (CE) et (DF) et les droites parallèles (EF) et (CD) 4) On multiplie la somme de ces longueurs par 2 par symétrie. Puis divise par 0,4. Détail : 1) Dans BCD rectangle en D L égalité de Pythagore est vérifiée CD² + BD² BC² CD² CD² 72 CD 72 CD 8,49 CD D B 8,49 m 2) De plus EA AE 3 m 3) On sait que
9 * B, E, C, D et F sont cinq points distincts du plan * Les droites (CE) et (DF) sont sécantes en B * Les droites (EF) et (CD) sont parallèles. D après le théorème de Thalès BE BF EF BC BD CD 9 BF EF EF 4 EF 6,36 EF E F BF 6,36 m Donc EF + FD BF + FD BD CD En fait CD + FD + EF + AE 2CD + AE Donc avec le symétrique on double cette longueur ce qui donne 4CD +2AE 4CD+AC Au total : ,94 m On divise le résultat par 0,4 Cela fait 99 rosiers Correction de l'exercice 32 F70: Correction de l'exercice 35 F70: Pour le funiculaire de Montmartre On connaît la distance parcourue et le dénivelé. On détermine AB Le triangle AB est rectangle en A L'égalité de Pythagore est vérifiée
10 BC² AB² + AC² 108² AB² + 36² AB² AB 101,82 m On détermine la pente p p EF, C'est le dénivelé pour EB 100 m de distance au sol On sait que * A, E, B, F, C sont cinq points distincts du plan * (AE) et (CF) sont sécantes en B * (CA) et (FE) sont parallèles On a: BE EF BA AC EF 101,82 EF 35,36 Le funiculaire de Montmartre a une pente moyenne de 35 % environ. Or 35% est bien inférieure à celle de 106 % du funiculaire de Gelmer Pour le funiculaire de Gelmer: On calcule ON ON ON 448 Le dénivelé est de 448 mètres. On détermine NK On sait que: * O, M, K, N, L sont cinq points distincts du plan * (NL) et (OM) sont sécantes en K * (ML) et (ON) sont parallèles. On a KL ML KN ON KN KN KN 106 KN 422,64 On détermine la distance parcourue OK Dans le triangle ONK rectangle en N
11 L'égalité de Pythagore est vérifiée OK² ON² + KN² OK² 448² + 422,64² OK² OK 615,9 OK est égale à environ 615,90 m Or 615,90 m est bien supérieur à 108 m, donc la distance parcourue par le funiculaire de Gelmer est bien supérieure à celle parcourue par celui de Montmartre. Correction de l'exercice 36 F70: 1) On calcule l'inclinaison APQC est un quadrilatère qui a trois angles droits donc c'est un rectangle. Ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux. QC PA 0,65 m QK 0,65 0,58 QP 5 0,014 L'inclinaison est donc de 0,014. 2) On calcule CS On sait que * P, Q, K, C et S sont cinq points distincts du plan * (PQ) et (CS) sont perpendiculaires à (QC) Or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Donc (PQ) et (CS) sont parallèles. * (QC) et (PS) sont sécantes en K KP KQ PQ 0,07 5 d' où KS KC SC 0,58 SC 5 0,58 SC 0,07 SC 41 m On en déduit la distance AS. De plus AC 5 m et A, C et S sont alignés Donc AS La longueur AS est de 46 m, à 1 m près. Remarque : on pouvait aussi appliquer Thalès avec les points P, A, C, K et S mais c'est plus compliqué. Correction de l'exercice 38 F70: Correction de l'exercice 39 F70:
Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11
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