Calcul matriciel ... Il est impossible de faire la somme de 2 matrices de tailles différentes.

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1 Chapitre : Calcul matriciel Spé Maths - Matrices carrées, matrices-colonnes : opérations. - Matrice inverse d une matrice carrée. - Exemples de calcul de la puissance n-ième d une matrice carrée d ordre ou 3. I. Matrices et opérations élémentaires Définition : Une matrice de taille mxn est un tableau de nombres de m lignes et de n colonnes. a1,1 a1,... a1, n1 a1, n a,1 a,... a, n1 a, n a3,1 a3,... a3, n 1 a 3, n M am 1,1 am 1,... am 1, n 1 a m1, n am,1 am,... am, n1 a m, n Les nombres a i,j (avec 1 i m et 1 j n ) sont appelés les coefficients de la matrice M. Exemples : Une matrice dont tous les coefficients sont nuls est appelée matrice nulle. Une matrice de taille 1xn est appelée matrice ligne. Une matrice de taille mx1 est appelée matrice colonne. Somme de matrices : La somme de matrices A et B de même taille est la matrice C à coefficients c i,j =a i,j b i,j (avec 1 i m et 1 j n ). On ajoute entre eux les coefficients des matrices A et B qui ont la même position. Remarque : Il est impossible de faire la somme de matrices de tailles différentes. Produit d une matrice par un réel : Soit A une matrice et k un réel. Le produit de A par le réel k est la matrice ka dont chaque coefficient a été obtenu en faisant le produit des coefficients de A par le réel k Propriété : Soit A et B deux matrices de même taille et k un réel. k(ab)=kakb

2 Définition : Une matrice carrée de taille n est une matrice qui comporte autant de lignes que de colonnes. a1,1 a1,... a1, n1 a1, n a,1 a,... a, n1 a, n M an 1,1 an 1,... an 1, n 1 a n1, n a1 a... a n1 a n Les coefficient a 1,1, a,, a 3,3,, a n sont les coefficients diagonaux de la matrice carrée. Exemples : La matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonales qui sont égaux à 1 est appelée matrice unité I n de taille n : 1 1 I4 1 1 Produit d une matrices carrée par une matrice colonne : Soit A une matrice carrée de taille n et B une matrice colonne de taille nx1. Le produit de A par B est la matrice colonne C à coefficients c i,1 =a i,1 xb 1,1 a i, xb,1 a i,n xb 1 (avec 1 i n ). b b b 1,1,1 3,1 a a a a a a a a a 1,1 1, 1,3,1,,3 3,1 3, 3,3 c c c 1,1,1 3, ( 1) ( 1) 3 1 ( 3) 7 1 ( 1) ( 1)

3 Produit de deux matrices carrées : Le produit de matrices carrées A et B de même taille est la matrice C à coefficients c i,j =a i,1 xb 1,j a i, xb,j a i,n xb j (avec 1 i n et 1 j n ). b b b b b b b b b 1,1 1, 1,3,1,,3 3,1 3, 3,3 a a a a a a a a a 1,1 1, 1,3,1,,3 3,1 3, 3, Exemples : ( 4)( ) ( 4) 1 1( 4) ( 7) 1 9( 1)( ) ( 1) 1 1( 1) ( 7) ( ) ( 7) Mais : Remarques : En général, le produit de deux matrices n est pas commutatif. (AB BA) La multiplication par la matrice unité ne change rien (la matrice unité est l élément neutre du produit matriciel). Propriétés : Soit A, B et C trois matrices carrées de taille et k un réel. A(BC)=ABAC et (BC)A=BACA (distributivité) A(BC) = (AB)C = ABC (associativité) (ka) B = k (AB) = A(kB)

4 II. Puissances de matrices Définition : Soit n un entier naturel et soit A une matrice carrée de taille n. A = AA A 3 = AAA A n = AA A Propriété : Soit n un entier naturel et soit A une matrice diagonale de taille n. a1,1 a, A... a n a1,1 a, Alors : A... a n k a1,1 k a k, Et plus généralement: A, pour tout k entier naturel.... k a n III. Matrice inverse Définition : Soit A une matrice carrée de taille n. A est une matrice inversible s il existe une matrice B telle que : AB = I n Dans ce cas B est appelée matrice inverse de A et se note : B = A -1 = BA

5 Remarque : Les matrices carrées ne sont pas toutes inversibles I Donc est inversible et a pour inverse Propriété : Soit A une matrice carrée de taille : A est inversible si et seulement si ad bc. a A c b d Démonstration : a b Soit A et c d On a alors : d b B, avec a, b, c et réels. c a a b d b ad bc 1 A B () ad bc c d c a ad bc 1 1 er cas : (a,b,c,d) = (,,,) Dans ce cas, A et B sont deux matrices nulles. A=B= A n est donc pas inversible ème cas : ad-bc =, avec (a,b,c,d) (,,,) 1 Dans ce cas : A B 1 Raisonnons par l absurde en supposant que A est inversible. Soit C sa matrice inverse. On a d une part : C A B C A B C 1 Et d autre part : C A B C A B B B 1 Donc : B Ceci implique que : (a,b,c,d) = (,,,) Absurde! Donc A n est pas inversible. 3 ème cas : ad-bc Comme ad-bc, on peut diviser par ad-bc. d b 1 1 a b ad bc ad bc 1 A B A B ad bc ad bc c d c a 1 ad bc ad bc d b ad bc ad bc A est donc inversible, et sa matrice inverse est B c a ad bc ad bc.

6 Méthode : Résolution de systèmes à l aide des matrices On considère un système de 3 équations à 3 inconnues x, y et z. ax by cz d a ' x b ' y c ' z d ' a '' x b '' y c '' z d '' Ce système équivaut à ce produit matriciel : a b c x d a ' b ' c ' y d ' a '' b '' c '' z d '' a b c Si la matrice a ' b' c ' est inversible, alors on obtient : a '' b'' c '' 1 1 a b c a b c x a b c d a ' b' c ' a ' b ' c ' y a ' b ' c ' d ' a '' b '' c '' a '' b '' c '' z a '' b '' c '' d '' I 3 1 x a b c d y a ' b ' c ' d ' z a '' b '' c '' d '' Ce qui permet de déterminer rapidement la solution de ce système x y z 7 Résous ce système : x y 3z 3 3x y z x 7 Ce système équivaut au produit matriciel suivant : 3 y z est inversible d inverse x y z