MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE. Durée de l épreuve : 2 h 00. L usage de la calculatrice est autorisé.

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1 COMPOSITION SECONDE MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE Durée de l épreuve : 2 h 00 L usage de la calculatrice est autorisé. Toutes les réponses devront être justifiées. Exercice 1 Soit la fonction f définie par : fx = 1) Déterminer l ensemble de définition de f. 2) Déterminer les coordonnées des points d intersection de C f, courbe représentative de f, avec les axes du repère. Exercice 2 Soient 0;i,j un repère orthonormé et g:x x 2 +3x+1 une fonction définie sur.y. 1) Le point A 2; appartient-il à la courbe représentative de g? Justifier. 2) Calculer l image de -1 par la fonction g. 3) Chercher les antécédents de 1 par la fonction g. 4) Soient les points B 1 ; 3, C0 ;1 et D 1 3 ;17 9. a) Déterminer la fonction f telle que la droite (BC) soit la représentation graphique de f. b) Les points B, C et D sont-ils alignés? c) Que peut-on en déduire sur la nature de la fonction g? d) Dans un repère, placer les points A, B, C et D Tracer la courbe représentative de g et la droite (BC) sur l intervalle [-2 ;4]. Ce tracé est-il cohérent avec votre réponse précédente? 1

2 Exercice 3 : COMPOSITION MATHEMATIQUES SECONDE MARS 2014 Soit 0;i,j un repère orthonormé. On considère les points A0; 2, B3; 1 et C2;2. 1) Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. 2) Quelle est la nature du triangle ABC? 3) Déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle ABC puis calculer le rayon de ce cercle. 4) Calculer les coordonnées du point I milieu de [BD]. Que peut-on dire des droites (AC) et (BD)? Exercice 4 : On demande à 100 personnes d indiquer leur loisir préféré parmi «faire du sport», «utiliser son ordinateur» et «lire un livre» : il y a 40% de femmes interrogées ; 35% des personnes interrogées préfèrent lire un livre ; 60% des hommes préfèrent faire du sport ; 10% des femmes préfèrent utiliser leur ordinateur ; le nombre de femmes préférant lire est égal à la moitié du nombre des hommes préférant faire du sport. 1) Recopier et compléter le tableau suivant qui résume la situation. Faire du sport Utiliser son ordinateur Lire un livre Hommes Femmes 2) On choisit au hasard une personne parmi les 100 personnes interrogées. On considère les événements suivants : A : «la personne interrogée préfère le sport» ; B : «la personne interrogée est un homme». a) Calculer les probabilités p(a) et p(b). b) Définir en une phrase l événementa B, puis calculer pa B. 3) Définir en une phrase l événementa B, puis calculer paub en utilisant : a) le tableau b) une formule. 4) On choisit une personne au hasard. Sachant que c est une femme, quelle est la probabilité qu elle aime faire du sport? 2

3 Exercice 1 COMPOSITION MATHEMATIQUES SECONDE MARS 2014 Soit la fonction fx = 1) Déterminer l ensemble de définition de f. 2) Déterminer les coordonnées des points d intersection de C, courbe représentative de f, avec les axes du repère. 1) Les valeurs interdites de f sont 1 et 3 2. (x 1 0 et 2x + 3 0). L ensemble de définition de f est donc D f =Y \ ; 1 ou encore D f = - ; ; 1 1 ; + 2) Pour déterminer l ordonnée du point d intersection de C f avec l axe des ordonnées, on calcule f(0). 1 f(0) = = = Le point d intersection de C f avec l axe des ordonnées a pour coordonnées 0; Pour déterminer l abscisse de(s) éventuel(s) point(s) d intersections de C f avec l axe des abscisses, on résout l équation f(x) = 0. Pour x 1 et x - 3 2, f(x) = 0 1 x x + 3 = 0 1 x - 1 = 4 2x + 3 4(x 1) = 2x + 3 4x 4 = 2x + 3 4x 2x = x = x = 7 2 Le point d intersection de C f avec l axe des abscisses a pour coordonnées 7 2 ;0. Vérification graphique : 3

4 Exercice 2 Soient 0;i,j un repère orthonormé et g:x x 2 3x1 une fonction définie sur R. 1) Le point A 2;13 2 appartient-il à la courbe représentative de g? Justifier. 2) Calculer l image de -1 par la fonction g. 3) Chercher les antécédents de 1 par la fonction g. 4) Soient les points B1 ;3, C0 ;1 et D 1 3 ;17 9. a) Déterminer la fonction f telle que la droite (BC) soit la représentation graphique de f. b) Les points B, C et D sont-ils alignés? c) Que peut-on en déduire sur la nature de la fonction g? d) Dans un repère, placer les points A, B, C et D Tracer la courbe représentative de g et la droite (BC) sur l intervalle [-2 ;4]. Ce tracé est-il cohérent avec votre réponse précédente? 1) g 2 2² Le point A a pour coordonnées 2 ; g 2. Donc A appartient à la courbe représentative de g. 2) g(-1) = -(-1)² + 3 (-1) + 1 = = -3 L image de -1 par la fonction g est -3. 3) Pour déterminer les antécédents de 1 par la fonction g, on résout l équation g(x) = 1 gx 1 x² 3x 1 1 x² 3x 0 xx 3 0 x 0 ou x 3 4

5 Les antécédents de 1 par la fonction g sont donc 0 et 3. 4) a) Si la représentation de la fonction f est une droite alors f est une fonction affine; donc f(x) = ax + b avec a et b deux nombres à déterminer. C(0;1) D f ; donc f(0) = 1 = b B(-1; -3) D f ; donc f(-1) = -3 a (-1) + 1 = -3 -a = - 4 a = 4 Donc f(x) = 4x + 1 f = 7 3 = ) Df. Donc D& ;' ( Donc les points B, C et D ne sont pas alignés. Autre méthode : montrons que les vecteurs,,,,, BC et CD,,,,, ne sont pas colinéaires. BC x C x B y Soit BC 0 (-1) = 1 C - y B 1 (-3) = 4 1 CD x D x C y Soit 3-0 = 1 3 CD D - y C = 8 9 Or = 8 12 = Donc les vecteurs BC et CD ne sont pas colinéaires et donc les points B, C et D ne sont pas alignés. c) -& ) = & ) = ( + 2 = / ( = ' ( Donc D 1 3 ;17 9 C g. Comme les points B, C et D ne sont pas alignés et que B, C et D appartiennent à la représentation graphique de g, on en déduit que la représentation graphique de g n est pas une droite. d) 5

6 Exercice 3 : Soit 0;i,j un repère orthonormé. On considère les points A0;2, B3;1 et C2;2. 1) Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. 2) Quelle est la nature du triangle ABC? 3) Déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle ABC puis calculer le rayon de ce cercle. 4) Calculer les coordonnées du point I milieu de [BD]. Que peut-on dire des droites (AC) et (BD)? 1) Si ABCD est un parallélogramme, alors on a l égalité vectorielle suivante : AD = BC Soit x D x A y = x C x B D - y A y C - y B Soit : x D 0 = 2 3 y D (-2) = 2 (-1) D où : x D = -1 et y D = 3 2 = 1 Les coordonnées de D sont donc (-1 ;1) 2) AC² = (x C x A )² + (y C y A ) ² = (2 0)² + (2 (-2))² = = 20 BC² = (x C x B )² + (y C y B )² = (2 3)² + (2 (-1))² = = 10 6

7 AB² = (x B x A )² + (y B y A )² = (3 0)² + (-1 (-2))² = = 10 L égalité de Pythagore AC² = AB² + BC² étant vérifiée, le triangle ABC est donc rectangle en B. De plus BC = AB = 10 Donc le triangle ABC est rectangle et isocèle en B. 3) Le triangle ABC étant rectangle en B est inscrit dans le cercle de diamètre [AC]. Donc le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est le milieu de [AC]. Soit le point de coordonnées x A + x C ; y A + y C 2 2 = ; = (1 ;0) Le centre du cercle circonscrit au triangle ABC a pour coordonnées (1 ;0). 4) I xb + x D ; y B + y D 2 2 = 3 + (-1) ; = (1,0) ABCD est un carré car c est un parallélogramme avec un angle droit et deux côtés consécutifs de même longueur. Les droites (AC) et (BD) sont les diagonales du carré ABCD : elles sont donc perpendiculaires et se coupent en I centre du carré. Exercice 4 : On demande à 100 personnes d indiquer leur loisir préféré parmi «faire du sport», «utiliser son ordinateur» et «lire un livre» : il y a 40% de femmes interrogées ; 35% des personnes interrogées préfèrent lire un livre ; 60% des hommes préfèrent faire du sport ; 10% des femmes préfèrent utiliser leur ordinateur ; le nombre de femmes préférant lire est égal à la moitié du nombre des hommes préférant faire du sport. 1) Recopier et compléter le tableau suivant qui résume la situation. 7

8 Faire du sport Utiliser son ordinateur Lire un livre Hommes Femmes 2) On choisit au hasard une personne parmi les 100 personnes interrogées. On considère les événements suivants : A : «la personne interrogée préfère le sport» ; B : «la personne interrogée est un homme». a) Calculer les probabilités p(a) et p(b). b) Définir en une phrase l événement A B, puis calculer pa B. 3) Définir en une phrase l événementa B, puis calculer paub en utilisant : a) le tableau b) une formule. 4) On choisit une personne au hasard. Sachant que c est une femme, quelle est la probabilité qu elle aime faire du sport? 8

9 1) Recopier et compléter le tableau suivant qui résume la situation. Faire du sport Utiliser son ordinateur Lire un livre Hommes 60 0,6 = Femmes ,4 = 4 36 :2 = ) a) On se trouve dans une situation d équiprobabilité, donc la probabilité d un nombre de cas favorables évènement est égale à : nombre de cas possibles. Donc p(a) = = 0,54 et p(b) = = 0,6 b) A B : La personne interrogée préfère le sport et est un homme. p(a B) = = 0,36 3) A B : La personne interrogée préfère le sport ou est un homme a) p(a B) = = = 0,78 b) p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) = 0,54 + 0,6 0,36 = 0,78 4) La probabilité cherchée est : = 0,45. 9