Exercice 1. 1) Représenter le vecteur U ci-dessous. 2) Déterminer graphiquement le module et l'argument du nombre complexe z.

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1 EXERCICES SUR LES NOMBRES COMPLEXES Exercice Une minterie est alimentée par ne tension alternative sinsoïdale U(t) = U m sin(t + ) À n instant cette tension est représentée par n vecter de Fresnel U dont les coordonnées sont (90 ; - 30) L'affixe de U est le nombre complexe z = 90 + j (-30) ) Représenter le vecter U ci-dessos ) Déterminer graphiqement le modle et l'argment d nombre complexe z 3) Calcler le modle d nombre complexe z Arrondir le résltat a dixième 4) Calcler l' argment d nombre complexe z Arrondir le résltat a dixième 5) Écrire le nombre complexe z sos la forme trigonométriqe (D après sjet de Bac Pro ELEEC Session jin 008) Exercices sr les nombres complexes /7

2 Exercice On note : j le nombre complexe de modle et dont n argment est π/ P le plan mni d repère orthonormal direct d'nité graphiqe cm ) Soit le nombre complexe z tel qe z = 4 4j a) Placer, dans le plan P, le point M d'affixe z b) Donner les coordonnées d vecter OM O,, v ) Soit le nombre complexe z tel qe z = 4 4j a) Calcler la valer exacte d modle d nombre complexe z b) Calcler l'argment, compris entre -π et +π d nombre complexe z 3) a) Donner la valer exacte de la norme d vecter OM b) Donner la mesre exacte, en radian, comprise entre -π et +π de l'angle 4) On associe a vecter OM la fonction sinsoïdale définie par : por tot nombre réel t, par a) Calcler la période de la fonction b) Calcler la valer exacte de (l /400) ( t) 4 sin 00 t 4, OM Exercice 3 (D après sjet de Bac Pro Électrotechniqe - Électroniqe Session jin 000) L est l indctance d ne bobine et C est la capacité d n condensater La figre sivante montre n circit LC parallèle, alimenté par n corant électriqe sinsoïdal d intensité i et de tension telle qe = U sin (00t) C i L Il y a phénomène d antirésonnance si LC² = ) a) Écrire la valer exacte de la plsation d signal de tension b) Sachant qe L = 0 mh, calcler C por q il ait antirésonnance Arrondir a F ) Les impédances complexes Z L et Z C de la bobine et d condensater sont telles qe : Z L = jl et Z C = j C On pet calcler l impédance complexe Z d circit grâce ax formles : Z = Z L Z C Z L Z C o Z = Z L + Z C Exprimer Z sos la forme algébriqe a + jb, en fonction de L, C et On rappelle qe j = j (D après sjet de Bac Pro MRBT Session 000) Exercices sr les nombres complexes /7

3 Exercice 4 Dans le graphiqe ci-dessos, le plan est mni d'n repère orthonormal direct d'nité graphiqe 0,0 cm On note j le nombre complexe de modle et dont n argment est Soit les dex nombres complexes z et z tels qe : z = 50 z a por modle 50 et l'n de ses argments est égal à 3 ) a) Placer sr le graphiqe les points M et M d'affixes respectives z et z b) Placer le point M 3 dont l'affixe z 3 est égale à - z c) Constrire à partir des points M et M 3 le point S dont l'affixe z est égale à z + z 3 d) Par lectre graphiqe, proposer ne valer por chacne des coordonnées d point S ) Le nombre complexe z est égal à On rappelle cos 3 et 50cos j sin sin 3 a) Vérifier qe z = -5+ j5 3 b) Déterminer l'écritre algébriqe exacte d nombre complexe z = z + z 3 00 O 00 (D après sjet de Bac Pro Éqipements et Installations Électriqes Session jin 00) Exercices sr les nombres complexes 3/7

4 Exercice 5 On note : j le nombre complexe de modle et dont n argment est le plan mni d repère orthonormal direct Soit le nombre complexe z tel qe z = 4-4j ) a) Placer, dans le plan, le point M d'affixe z b) Donner les coordonnées d vecter OM O; ; v ) a) Calcler la valer exacte d modle d nombre complexe z d'nité graphiqe cm b) Calcler l'argment, compris entre - et, d nombre complexe z 3) a) Donner la valer exacte de la norme d vecter OM OM b) Donner la mesre exacte, en radians, comprise entre - et, de l'angle (, ) 4) On associe a vecter OM a) Calcler la période de la fonction b) Calcler la valer exacte de la fonction sinsoïdale définie, por tot nombre réel t, par : ( t) 4 sin 00 t v O (D après sjet de Bac Pro Éqipements et Installations Électriqes Session 000) Exercices sr les nombres complexes 4/7

5 Exercice 6 Un circit électriqe est alimenté par ne tension d entrée variant en fonction d temps t CIRCUIT La fonction de transfert en régime sinsoïdal d circit, constité par ne résistance de valer R = 000 Ω et par n condensater de capacité C = 0-7 F,a por expression : avec R en Ω, C en F et en rad/s T = jrc jrc j désigne le nombre complexe de modle et d argment ) Montrer qe, por = 0 4 rad/s, l expression de T pet s écrire : T = ) Calcler ( + j)( j) 3) En tilisant le résltat précèdent, montrer qe T = 0,8 + 0,4j j j 4) Calcler le modle d nombre complexe T Le résltat sera arrondi a millième 5) Calcler n argment d nombre complexe T Le résltat sera arrondi a centième de radian (D après sjet de Bac Pro Micro-informatiqe et Réseax Session jin 009) Exercice 7 Un circit électroniqe a ne tension d'entrée V e, et ne tension de sortie y(t) qi dépend d temps t Por ne valer fixée de la fréqence, la fonction de transfert d circit ci-desss a por expression : T 0,5 j où j désigne le nombre complexe de modle et d'argment ) Donner le conjgé de 0,5 j ) Calcler 0,5 j 0,5 j 3) En tilisant les résltats précédents, montrer qet 0,48 0,64 j 4) Calcler le modle de T, noté T 5) Calcler n argment de T arrondi a degré (D après sjet de Bac Pro MAVELEC Session 00) Exercices sr les nombres complexes 5/7

6 Exercice 8 Un dipôle D parcor par n corant d'intensité i est somis a ne différence de potentiel telle qe : (t) = 30 sin (t) On associe à (t) le nombre complexe U ayant por modle U = 30 V et por argment U = [ U ; ] = [ 30 ; 0 ] = rad R L'impédance complexe Z d dipôle D a por expression : Z = R + jrc avec R = 0 3 ; C = 0, F ; = 0 4 rad/s et où j designe le nombre complexe de modle et d'argment ) Montrer q'avec les valers nmériqes de R, C et, l'impédance complexe Z a por expression Z = 0 3 j j ) Vérifier qe Z a por forme algébriqe Z = j 3) a) Calcler le modle Z de Z Le résltat sera arrondi à 0 b) Calcler n argment de Z Le résltat, en radian, sera arrondi à 0 - c) En dédire l'expression de Z sos forme trigonométriqe 4) On rappelle qe : I = U modle U modle I = Z modle Z argment( I ) = argment(u) argment(z) Sachant qe l'intensité d corant traversant le dipôle a por expression : i(t) = I sin (t + ) Donner l'expression de la valer instantanée i(t) de l'intensité d corant, la valer I d modle de I sera arrondie a millième (D après sjet de Bac Pro MRIM Session jin 007) Exercices sr les nombres complexes 6/7

7 Exercice 9 On appliqe ne tension de fréqence variable f à l entrée d n filtre passe-bas : Filtre R C Ce filtre atténe o «arrête» les tensions de fréqences spérieres à la fréqence f0 RC On appelle gain (en décibel) d filtre le nombre : G = 0logT où log est le logarithme décimal et où T est le modle d nombre complexe : T= +jrcω On rappelle qe j désigne le nombre complexe de modle et d argment ) On donne : R = 00 Ω C = 63 μf = πf avec f = 50 Hz Calcler RC, où la capacité C doit être exprimée en Farad Arrondir à 0 - ) On admet qe T= +,98j En mltipliant le nmérater et le dénominater de montrer qe T pet s écrire T 0, 0,4j T par le nombre complexe (,98j), 3) a) Calcler le modle d nombre complexe T Arrondir à 0 - b) En dédire le gain G d filtre Arrondir à l nité (D après sjet de Bac Pro ELEEC Session 006) Exercices sr les nombres complexes 7/7