Green Library. Chapitre 3 : Triangles semblables - Théorème de Thales. Triangles semblables

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1 Chapitre 3 : Triangles semblables - Théorème de Thales I Triangles semblables Définition 1. Des triangles semblables sont des triangles qui ont leurs angles deux à deux de même mesure. On dit que ces triangles sont de même forme. Exemple 1. On a : ĈAB = DEF ÂCB = ÊF D Â = F DE Propriété 1. Si deux angles d un triangle sont égaux à deux angles d un autre triangle alors ces deux triangles sont semblables. Vocabulaire Dans l exemple précédent, Â = F DE, les angles sont dits homologues. les côtés opposés à deux angles homologues sont homologues. Pour ne pas se tromper, on remplit le tableau ci-dessous : Sommets homologues Côtés homologues A et E [] et [FD] B et D [AC] et [EF]. C et F [AB] et [ED] Exemple 2. 1

2 Propriété 2. Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de leurs côtés sont deux à deux proportionnelles. Exemple 3. En utilisant l exemple 1, les triangles ABD et DFE sont semblables, donc les longueurs de leurs côtés homologues sont deux à deux proportionnelles : AB DE = DF = AC EF Propriété 3. Si les longueurs des côtés de deux triangles sont deux à deux proportionnelles, alors ces triangles sont semblables. Exemple. Les triangles sont-ils semblables? Solution : classons les longueurs par ordre croissant : nous allons comparer AB avec EF, puis AC et DE et et DF. AB EF = 1, 3, 5 AC = 0, ; DE = 2 = 0, ; 5 DF = 2, 6 6, 5 = 0, ; Comme les longueurs de A sont donc proportionnelles aux longueurs de DEF alors les triangles A et DEF sont semblables. Remarque. Le coefficient de proportionnalité est aussi appelé coefficient d agrandissement ou de réduction. Exemple Prouver que A et DEF sont des triangles semblables. 2. En déduire les longueurs CB et AB. Solution : 1. ĈAB = ÊDF et A = F ED = 90, donc les angles ĈBA = ÊF D. Si... alors... les deux triangles sont semblables. 2.A et DEF sont semblables, les longueurs des côtés de l un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l autre. 2

3 CA ED = CB EF = AB 1, 6 soit, DF 8 = CB 6 = AB A0. On en déduit CB = 6 1, 6 8 = 1, 2 et AB = 10 1, 6 8 = 2 II A Théorème de Thalès Théorème direct Thalès Théorème. Si deux droites (BM) et (CN) sécantes en A sont coupées par deux droites parallèles () et (MN) alors AM AB = AN AC = MN Comment le retenir? A et AB C sont deux triangles en situation de Thalès ; ils ont un sommet commun A, et deux côtés parallèles (B C ) et (). Un triangle est un «agrandissement» de l autre. Les deux triangles sont semblables. Ils ont en effet des côtés deux à deux proportionnels. Exemple 6. 3

4 (CF) et (DE) sont parallèles. Calculer les longueurs de BD et EF. Solution : Les droites (DC) et (EF) sont sécantes en B. De plus (DE) est parallèle à (CF). Les triangles F et BED sont des triangles en situation de Thalès. Donc BD = BF BE = CF ED Remplaçons par les valeurs BD =, 5 BE = 3 7 BD = 7 3 = , 3 BE =, = 10, 5 donc EF = BE BF = 10, 5, 5 = 6 B Conséquence du théorème de Thalès Si les droites (BM) et (CN) sécantes en A sont telles que AM AB AN, alors les droites (MN) et AC () ne sont pas parallèles. Exemple 7. Soit la configuration : AD=cm et AC=10cm, AE=2 cm, DE=3cm et =7cm. Montrer que les droites (DE) et () ne sont pas parallèles. AD Solution : AC = DE et 10 = 3 7 Produits en croix non égaux, donc AD AC DE, d après la conséquence du th. de Thalès, les droites () et (DE) ne sont pas parallèles.

5 C Réciproque du théorème de Thalès Thalès Théorème 5. (BM) et (CN) sont deux droites sécantes en A. Si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre et si AM AB = AN AC, alors les droites ( ) et (MN ) sont parallèles. la réciproque du théorème de Thalès permet uniquement de montrer que deux droites sont parallèles. Exemple (AB) et (DE) sont-elles parallèles? 2. (PR) et (DE) sont-elles parallèles? Solution : D une part CE CA = 3 CB et d autre part, CD =, 5 6 = 3 CE donc CA = CB CD De plus les points A, C et E sont alignés dans le même ordre que les points B,C et D. D après la réciproque du théorème de Thalès, on peut conclure que les droites (AB) et (DE) sont parallèles. D une part, CP CD = 6 CR et CE = 2, 5 théorème de Thalès. (PR) et (DE) ne sont pas parallèles. CP donc CD CR. On ne peut pas utiliser la réciproque du CE 5