CONCOURS EXTERNE POUR L ACCÈS AU GRADE D INSPECTEUR DES FINANCES PUBLIQUES

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1 J CONCOURS EXTERNE POUR L ACCÈS AU GRADE D INSPECTEUR DES FINANCES PUBLIQUES ANNÉE 2014 ÉPREUVE ÉCRITE D ADMISSIBILITÉ N 2 Durée : 3 heures - Coefficient : 5 Mathématiques Toute note inférieure à 5/20 est éliminatoire. Recommandations importantes Le candidat trouvera au verso la manière de servir la copie dédiée. Sous peine d annulation de sa copie, le candidat ne doit porter aucun signe distinctif (nom, prénom, signature, numéro de candidature, etc.) en dehors du volet rabattable d en-tête. Il devra obligatoirement se conformer aux directives données. Tournez la page S.V.P.

2 Le candidat complétera l intérieur du volet rabattable des informations demandées et se conformera aux instructions données Nom de naissance Prénom usuel Jour, mois et année Numéro de candidature Signature obligatoire externe Inspecteur des Finances publiques Mathématiques Préciser éventuellement le nombre d intercalaires supplémentaires Suivre les instructions données pour les étiquettes d identification EN AUCUN CAS, LE CANDIDAT NE FERMERA LE VOLET RABATTABLE AVANT D Y AVOIR ÉTÉ AUTORISÉ PAR LA COMMISSION DE SURVEILLANCE 2

3 4 ) Montrer que M est semblable à la matrice S ( quelques calculs figureront sur la copie ). SUJET MATHEMATIQUES Code matière : 030 Les candidats sont autorisés à utiliser les matériels et documents suivants : - calculatrices électroniques, y compris programmables et alphanumériques à fonctionnement autonome sans imprimante, à entrée unique par clavier ; - règles à calcul ; - tables de logarithmes ne comportant aucune formule algébrique, géométrique ou trigonométrique. SUJET Le candidat traitera obligatoirement les quatre exercices ci-dessous : Exercice 1 a ) Donner la nature des séries de termes généraux suivants : 1 ) Un = ( ln n n ) / (ln n) n 2 ) Un = 1 n! / n b ) Déterminer la nature des intégrales impropres suivantes : 1 ) sur l'intervalle ] 0, 1 ] cos t / t dt 2 ) sur l'intervalle [ 0, + [ e t / t dt Exercice 2 ( ) Soit la matrice M = ) Calculer les valeurs propres de M. 2 ) a- Vérifier que V1 (12, - 4, - 1) et V2 (3, - 1, 0) sont deux vecteurs propres de M. Les calculs devront figurer sur la copie. b- Préciser, dans chaque cas, la valeur propre associée. ( ) ( 3 ) On donne les matrices S = P = P = matrice de passage ) Tournez la page S.V.P. Calculer P 1 la matrice inverse de P. Quelques calculs figureront sur la copie.

4 2 ) sur l'intervalle [ 0, + [ e t / t dt Exercice 2 ( ) Soit la matrice M = ) Calculer les valeurs propres de M. 2 ) a- Vérifier que V1 (12, - 4, - 1) et V2 (3, - 1, 0) sont deux vecteurs propres de M. Les calculs devront figurer sur la copie. b- Préciser, dans chaque cas, la valeur propre associée. ( ) ( ) On donne les matrices S = P = P = matrice de passage ) Calculer P 1 la matrice inverse de P. Quelques calculs figureront sur la copie. 4 ) Montrer que M est semblable à la matrice S S. ( quelques calculs figureront sur la copie ). 5 ) Calculer S². Les détails du calcul de l'élément S33 ( 3ème ligne, 3ème colonne ) figureront sur la copie. Déterminer S n pour n 2 6 ) Calculer M n pour n 2 4

5 Exercice 3 PARTIE A Soit f f f la la la fonction définie par f(x) = 2x + (( ( x²+ 1 )) /) / / x si si si x 0 et et et f f f (0) = 0 On note (C) la la la courbe représentative de f f f dans un repère orthonormé. 1 )) ) Former le le le développement limité à l'ordre 3 de f(x) au voisinage de En déduire que f f f est continue en 0, 0, 0, et et et que f f f est dérivable pour x = 0, 0, 0, donner la la la valeur de f f f '(0). 2 )) ) Démontrer que l'origine O est le le le centre de symétrie de (C) et et et préciser la la la tangente à l'origine O à (C). 3 )) ) Démontrer que (C) admet une asymptote oblique ( ) lorsque x tend vers + et et et préciser la la la position de (C) par rapport à ( ) pour x > 4 )) ) a )) ) Calculer f f ' f ' ''(x) pour x b )) ) Montrer que,, si, si si on pose u = 4x²+ 1,,, on a f f ' f ' ''(x) = (2 (2 u u + 4) 4) // (/ ( ( u (( ( u²-1) )) ) pour x c )) ) Factoriser le le le polynôme 2 u u + 4 en remarquant qu'il admet une racine évidente. En déduire une expression plus simple de f f ' f ' ''(x) en fonction de u pour x 5 )) ) Former le le tableau de variation de f f et f et et donner l'allure de la la la courbe (C). PARTIE B On pose, pour tout n N,,, In In = (sin(t)) nn n dt dt dt sur l'intervalle [[ [ 0,,, π // / 2] 2] 1) 1) Montrer que (( ( In In )n 00 0 est positive et et et décroissante. 2) 2) Calculer In+2 en fonction de In In 3 )) ) Montrer que In+1 est équivalent à In In 4) 4) Calculer (n (n + 1) 1) In+1 In In 5 )) ) En déduire que In In est équivalent à π // / 2n 5

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8 IMPRIMERIE NATIONALE D après documents fournis partiellement