EXERCICES MPSI A9 ESPACES EUCLIDIENS R. FERRÉOL 13/14

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1 EXERCICES MPSI A9 ESPACES EUCLIDIENS R. FERRÉOL 3/4 PRODUIT SCALAIRE. : Dire si chacune des applications suivantes est un produit scalaire surr : x x x x y y = symétrique? bilinéaire? = positif? défini? y y xx xx yy xx +yy xy x y xy +yx (xx +yy ). : Idem pour x y z y z =(xx +yy +zz )+xy +yx +xz +zx +yz +zy surr 3. (a) Montrer que dans un R-espace muni d un produit-scalaire : (b) En déduire des CNS de géométrie : x= y ( x + y) ( x y) et x y x + y= x y i. Un parallélogramme ABCD est un losange ssi ii. Un parallélogramme ABCD est un rectangle ssi iii. Un triangle ABC est isocèle en A ssi iv. Un triangle ABC est rectangle en A ssi 3. *: SoitEunR-espacevectorielmunid unenorme..onsupposequecettenormevérifiel égalitéduparallélogramme, à savoir : x,y E x + y +x y = x + y 4. : On se propose de démontrer que cette norme est euclidienne, c est-à-dire qu il existe un produit scalaire(..) tel que x E x =( x x). (a) Montrer que si(..) existe alors x, y E ( x y )= x + y x y Cette formule définit une aplication dee versr;reste à montrer que c est bien un produit scalaire. (b) Montrer que( x + x y )=( x y )+( x y ) (indication : ( x + x ) y= x +( x y)) (c) Pour x, y fixés, on pose f(α)=(α x y ). Vérifier que et que f est continue. α,α R f(α +α )=f(α )+f(α ) (d) Conclure, en utilisant un résultat sur les fonctions continues. CAUCHY-SCHWARZ (a) Prouver : (x,x,...,x n ) R n (x +x + +x n ) n x +x + +x n A quelle CNS a-t on égalité? Redémontrer cette inégalité en utilisant l inégalité de convexité.

2 EXERCICES MPSI A9 ESPACES EUCLIDIENS R. FERRÉOL 3/4 (b) Prouver : (α) : n (β) : n n k k n(n+) n+ 3 n k (n k) n(n ) k= k= n k= k n k 5. SoitE={f C([,],R) / x [,] f(x)=}. Pour f E, on pose : P(f)= dx f(x)dx f(x). (a) Montrer que minp(f)=;déterminer l ensemble des fonctions f E pour lesquelles P(f)=. f E (b) Montrer que supp(f)=+. f E 6. Montrer que pour x,lnx x (prendre f : t et g: t lnx ). En déduire lim t x + x. 7. Propriétés du produit scalaire usuel dans M n (R). (a) (Re)démontrer que(a B)=tr( t AB) définit un produit scalaire dans M n (R). (b) Montrer que tr(a) na ; indication : tr(a)=(i n A). (c) Montrer que(a B)=( t A t B), que(ab C)=(B t AC)=(A C t B), et queab =( t AA B t B). (d) * Montrer queabab. 8. Soient(a n ) et(b n ) deux suites à termes ; on pose s n = n a k et t n = n b k et u n = n ak b k. (a) Montrer que si les suites (s n ) et (t n ) sont convergentes, vers s et t respectivement, la suite (u n ) également, et limu n st. (b) Calculer s,t, st etlimu n dans le cas où a k = a k et b k = b k, avec a,b ],[. 9. * : Lamoyenne de X=(x,...,x n ) R n est M(X)= n X X x i = m ; lavariance de X est V (X)=M où nk= X=(m,...,m),l écart-type estσ(x)= V (X)etlacovariance dex ety =(y i )estcov(x,y)=m X X Y Y (ici, le produit de deux élément der n se fait coordonnées par coordonnées). (a) Montrer que Cov(X,Y)=M(XY) M(X)M(Y). (b) Montrer que(x,y) Cov(X,Y) est une forme bilinéaire symétrique positive surr n, non définie surr n mais définie sur le sev des listes de somme nulle. (c) Montrer que la covariance est en valeur absolue inférieure ou égale au produit des écart-types. ( Cov(X, Y) σ(x)σ(y)). ORTHOGONALITÉ. : Soit E un espace euclidien (donc de dimension finie) ; x est un vecteur inconnu mais on connait pour tout y le scalaire( x y ). Ceci permet-il de retrouver le vecteur x?. : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels deeespace euclidien ; (a) Montrer que(f+g) = F G ; en déduire que(f G) = F +G. (b) * Soit E l espace C([a,b],R) muni du produit scalaire usuel donné dans le cours ; soit c ]a,b[ et F ={f E / f est nulle sur[a,c]}, et G={f E / f est nulle sur[c,b]}. Déterminer F et G ;(F G) = F +G. k= k= k=

3 EXERCICES MPSI A9 ESPACES EUCLIDIENS R. FERRÉOL 3/4. : Déterminer une base orthonormale pour le produits scalaires rencontré dans l exercice : x y z (xx +yy +zz )+xy +yx +xz +zx +yz +zy surr 3. (a) Méthode: procédede Schmidtsurlabasecanonique;ontrouve:,, 6 3 (b) Méthode : remarquer que x y y =XX +YY +ZZ avec X= y+z etc.. z z On trouve, 3. : Calculer le produit scalaire x y z, y z. 4. : SoitE={f C(R,R) / f est périodique de périodeπ}. sachant que la base, (a) Vérifier queeest un sous-espace vectoriel dec(r,r). E R (b) Montrer que l application : (f,g) (f g)= π f(x)g(x)dx π, est un produit scalaire danse. y z 3 =. est orthonormée. (c) Montrer que la famillef n =(x coskx) kn est orthogonale. La rendre orthonormale (attention au cas k= qui est à part). (d) Qu en déduit-on pour la famillef n? 5. : Pour P,Q R[X], on pose( P Q)= P(x)Q(x)dx. (a) Montrer que(..) est un produit scalaire dansr[x]. (b) Déterminer X k X l et remplir le tableau (..) X X. X X (c) Déterminer une base orthonormale der [X] pour ce produit scalaire. Réponse : (, 5 3X, 3X ). 6. : Soit( e, e,.., f e n ) une base dee, espace euclidien, et, f,.., f n la base orthogonale obtenue à partir de ( e, e,.., e n ) par le procédé de Schmidt, et f k g k = ; f k montrer que f k = e k k (Vect( e, e,.., e k )). i= ( e k g i ) g i ; en déduire que f k = p k ( e k ) où p k est la projection orthogonale sur 7. On dit que deux sev F et G sont faiblement orthogonaux s il existe 3 sev deux à deux orthogonaux H,F,G tels que F = H F et G=H G (a) Montrer que deux sev sont faiblement orthogonaux ssi leurs orthogonaux le sont aussi. (b) Montrer que les sev engendrés par deux sous-familles d une famille orthogonale sont faiblement orthogonaux. ENDOMORPHISMES D UN ESPACE EUCLIDIEN 3

4 EXERCICES MPSI A9 ESPACES EUCLIDIENS R. FERRÉOL 3/4 8. Soit f un endomorphisme d un espace euclidien, A sa matrice dans une base orthonormée ; montrer que ( +x,+y E (+x f(+y))=(f( x) +y) ) A est symétrique 9. Soit p un projecteur deeespace euclidien de base F et de direction G.. : (a) Montrer que p est une projection orthogonale (c est-à-dire F G) ssi x, y E ( x p( y))=(p( x) y ). En déduire que A M n (R) est une matrice de projection orthogonale dans une base orthonormée ssi A = A et A est symétrique (cf. ex 8). (b) * Montrer que p est une projection orthogonale ssi x E ( x p( x)). (c) * Montrer que p est une projection orthogonale ssi x E p( x) x. ère méthode : pour x dans F et y dans G, écrire quep( x +λ y) x +λ y et conclure. ème méthode : prendre x dans G montrer quep( x) =p( x) x + x et conclure. (a) Soit s L(E). Montrer que s est une symétrie orthogonale ssi deux quelconques des trois conditions suivantes sont réalisées : i. s =id E ii. x, y E ( x s( y))=(s( x) y ) iii. x E s( x)= x (b) En déduire que A M n (R) est une matrice de symétrie orthogonale dans une base orthonormée ssi A = I n et A est symétrique (cf. ex. 8).. : Soit f L(E) aveceespace euclidien muni d une base orthonormaleb. On note A=Mat B (f). (a) Montrer que x E f( x) x () x, y E ( f( x) y )= ( x f( y)) ( ) (b) En déduire que f vérifie() si et seulement si A est antisymétrique. (c) Montrer queendimension3, f vérifie() si et seulement s il existe a telle que pour tout u, f( u)= a u. (d) Montrer que parmi les trois propriétés suivantes, deux d entre elles impliquent toujours la troisième : i. x E f( x) x ii. x E f( x)= x (autrement dit f est un automorphisme orthogonal dee). iii. f = id E Indication : pour i. et ii. iii. utiliser a = b b a = ; pour ii. et iii. i. écrire ( f( x) x) = f( x) f ( x) ; pour i. et iii. implique ii., écrire x = x f ( x). Un tel endomorphisme s appelle une isométrie antisymétrique. (e) Donner des exemples d isométrie antisymétrique en dimension, 3 ou 4, si c est possible. (f) Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu il existe une isométrie antisymétrique dans E. (g) On suppose que f vérifie iii. ; on pose ( x y ) = ( x y )+(f( x) f( y)). Montrer que (..) est un produit scalaire, et que f est une isométrie antisymétrique pour ce produit scalaire.. : Soient E et F deux espaces vectoriels euclidiens. (a) f est une application deeversf, et g une application defverse. Montrer que si x E y F ( f( x) y )=( x g( y)) alors f et g sont linéaires. Indication : calculer( f( x +λ y) f( x) λf( y) z ). 4

5 EXERCICES MPSI A9 ESPACES EUCLIDIENS R. FERRÉOL 3/4 (b) Montrer que si f est une application linéaire deeversf, il existe une unique application g defversevérifiant x E y F ( f( x) y )=( x g( y)) Indication : pour y F fixé, considérer la forme linéaire x (f( x) y ). Déduire du (a) la linéarité de g ; montrer que les matrices de f et g dans des bases orthonormées deeet def sont transposées l une de l autre. g est appelée la transposée de f. 3. : (a) Rappeler comment est défini le produit scalaire usuel dans M n (R). (b) Montrer que l application A t A est une symétrie orthogonale de M n (R). 4. : Soit n un vecteur unitaire d un espace vectoriel euclidien E ; on appelle p la projection orthogonale sur la droite D=vect( n) et s la réflexion de base n. (a) Rappeler la formule pour p( x) utilisant le produit scalaire. (b) Donner la matrice de p dans une base orthonormalebdans le cas oùdime=3, et où n (c) En déduire, toujours dans ce cas, la matrice de la réflexion s dansb. a b c /B. (d) * Revenant au cas général, montrer que si N est la matrice colonne des coordonnées de n dans une base orthonormale B, X celle de x et Y celle de p( x), alors Y = N t NX ; en déduire P = mat B (p) et S =mat B (s) ; expliquer alors comment a été fabriqué l exercice 7 a) sur les matrices. 5. * : On considère E= f C ([a,b],r) / f(a)=f(b)=. (a) Vérifier que E est un espace vectoriel ; on le munit du produit scalaire défini par(f g)= b a fg (b) Montrer que la dérivation D est un endomorphisme antisymétrique de E, c est-à dire que pour tout f,g E que dire de D? ( D(f) g)= ( f D(g)) (c) En déduire queker D λid E etker D µid E sont orthogonaux pour λ= µ R. (d) On prend a= et b=π ; déterminerker D λid E suivant les valeurs de λ R. AUTOMORPHISMES ET MATRICES ORTHOGONAUX 6. : Les endomorphismes non nuls conservant l orthogonalité sont les similitudes. Soit f un endomorphisme non nul d un espace euclidien. On dit que f est une similitude s il existe k=tel que x E f( x)=k x (autrement dit, f est k fois une isométrie) ; on veut montrer qu une condition nécessaire et suffisante est que f conserve l orthogonalité (c est à dire x y f( x) ( y) ). (a) Condition sufisante : supposons que f conserve l orthogonalité. i. Montrer que f conement (cf. exercice.) ii. Montrer qu il existe un vecteur unitaire x avec k=f( x )= iii. Montrer que f est une similitude. 7. Soit f un automorphisme orthogonal d un espace euclidieneconservant l égalité des normes, c est-à-dire que si x et y ont même norme alors f( x) et f( y) également. 5

6 EXERCICES MPSI A9 ESPACES EUCLIDIENS R. FERRÉOL 3/4 (a) Montrer la condition nécessaire.; rappelons que Inv(f) =ker(f id) et Inv (f)=ker(f+id) ; montrer que(inv(f)) =Im(f id) et que Inv (f) en est un sev. 8. : Soit n un vecteur normé d un espace vectoriel euclidiene. On pose f( x)= x +λ( x n) n. (a) Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur λ pour que f soit une isométrie vectorielle. (b) Interpréter géométriquement l application f dans ce cas, ainsi que f. 9. : Soit n un vecteur normé d un espace vectoriel euclidien E, s n la réflexion par rapport à n et f une isométrie quelconque ; montrer que f s n = s f( n) f (utiliser l expression trouvée dans l exercice précédent). 6