CHAPITRE 6 LES OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS. 6.1 QUATRE OPÉRATIONS (+,, x, ) SUR LES FONCTIONS

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1 CHAPITRE 6 LES OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS 6.1 QUATRE OPÉRATIONS (+,, x, ) SUR LES FONCTIONS On peut effectuer les quatre opérations de base sur des fonctions, c est-à-dire les additionner, les soustraire, les multiplier et les diviser entre elles. On obtient alors de nouvelles fonctions qui peuvent être de même nature ou de nature différente que celles utilisées dans les opérations. Il est possible de prévoir le résultat de l opération de façon algébrique et graphique. Exemple 1 : Soit les deux fonctions affines suivantes. f(x) = 2x 8 g(x) = 3x 9 Si l on multiplie ces deux fonctions, on obtient une nouvelle fonction, h = (f g). Algébriquement, on trouve la règle définissant cette nouvelle fonction de la façon suivante. h(x) = f(x) g(x) MATH TS 102 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

2 Si l on trace le graphique de chacune des fonctions f, g et h, on obtient le graphique ci-dessous. Puisqu il s agit d une multiplication de fonctions, on peut remarquer que : les images de la fonction h sont positives lorsque les images des fonctions f et g sont toutes les deux négatives, soit dans l intervalle [ 3, 4] ; les zéros de la fonction h sont égaux aux zéros de chacune des deux fonctions affines. Exemple 2 :Prenons les mêmes fonctions affines qu à l exemple précédent. f(x) = 2x 8 g(x) = 3x 9 Si l on soustrait la fonction g de la fonction f, on obtient une nouvelle fonction, h = (f g). Algébriquement, on trouve la règle définissant cette nouvelle fonction de la façon suivante. h(x) = f(x) g(x) Si l on trace le graphique de chacune des fonctions f, g et h, on obtient le graphique ci-contre. Puisqu il s agit d une soustraction de fonction, on peut remarquer que l image de la fonction h est nulle lorsque les images des fonctions f et g sont égales, soit lorsque x =. MATH TS 103 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

3 Exemple 3 : Prenons les mêmes fonctions affines que dans les exemples précédents. f(x) = 2x 8 g(x) = 3x 9 Si l on divise la fonction g par la fonction f, on obtient une nouvelle fonction, h = (g f ). Algébriquement, on trouve la règle définissant cette nouvelle fonction de la façon suivante. h(x) = g(x) f(x) Si l on trace le graphique de chacune des fonctions f, g et h, on obtient le graphique ci-contre. Puisqu il s agit d une division de fonctions, on peut remarquer que : le zéro de la fonction g et celui de la fonction h sont égaux ; le zéro de la fonction f correspond à l abscisse à l origine de l asymptote verticale de la fonction h. 6.2 QUATRE OPÉRATIONS (+,, x, ) SUR LES FRACTIONS RATIONNELLES Une fraction rationnelle est une expression algébrique ayant la forme d une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. Le polynôme au dénominateur doit prendre seulement des valeurs différentes de 0. Une telle fraction est aussi nommée expression rationnelle ou fraction algébrique. On peut additionner, soustraire, multiplier et diviser les fractions rationnelles. Lorsqu on effectue des opérations sur des fonctions, selon les fonctions et les opérations utilisées, les manipulations des expressions algébriques impliquées seront plus ou moins complexes. Ces manipulations peuvent impliquer des fractions rationnelles. MATH TS 104 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

4 Voici quelques exemples de fractions rationnelles. On peut additionner, soustraire, multiplier et diviser les fractions rationnelles L addition et la soustraction de fractions rationnelles Comme dans le cas des fractions arithmétiques, pour additionner ou soustraire des fractions rationnelles, il faut trouver un dénominateur commun aux fractions impliquées. La factorisation d expressions algébriques peut être utile pour trouver un dénominateur commun. Exemple : Additionnons les fonctions suivantes : f(x) = et g(x) =. La fonction f + g qui résultera de cette addition est définie comme suit. (f + g)(x) = + (f + g)(x) = La mise en évidence simple du dénominateur de la seconde fraction rationnelle permet de faire ressortir un facteur commun aux deux dénominateurs, soit 3x 1. Le facteur 2 n est pas présent dans le premier dénominateur. Ainsi, pour obtenir un dénominateur commun aux deux fractions, il faut trouver une fraction équivalente à la première en multipliant son numérateur et son dénominateur par le facteur 2. Puisque les fractions ont le même dénominateur, on peut maintenant additionner leurs numérateurs. La fonction qui résulte de la somme des fonctions f et g est aussi une fonction rationnelle, définie pour x. MATH TS 105 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

5 6.2.2 La multiplication et la division de fractions rationnelles Pour multiplier ou diviser des fractions rationnelles, on se sert des mêmes techniques opératoires que celles utilisées pour les fractions arithmétiques. Il est souvent avantageux de factoriser d abord les numérateurs et dénominateurs des fractions rationnelles impliquées afin de trouver des facteurs pouvant être simplifiés. Exemple : Multiplions les fonctions suivantes : f(x) = (où x 3 et x ) et g(x) = (où x 4). La fonction h qui résultera de cette multiplication est définie comme suit. h(x) = f(x) g(x) h(x) = On factorise tous les numérateurs et dénominateurs. On effectue la multiplication des numérateurs et des dénominateurs. On simplifie l expression, car les fractions et ont une valeur équivalente à 1 dans la mesure où x 4 et x 3. La fonction h qui résulte de la multiplication des fonctions f et g est une fonction rationnelle où x doit être différent de 4, 3 et. Graphiquement, la fonction h est représentée comme ci-dessous. MATH TS 106 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

6 Autres exemples : 1) 2) MATH TS 107 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

7 3) ( f + g ) (x) 4) MATH TS 108 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

8 6.3 LA COMPOSITION DE FONCTIONS Lorsqu on effectue une composition de deux fonctions, on applique d abord la première fonction à une valeur de son domaine, et l image obtenue devient la valeur sur laquelle on applique la seconde fonction. On obtient ainsi la valeur de la composée. On écrit alors : (g f )(x) = g(f(x)) L expression se lit «g rond f» ou «f suivie de g». La fonction (g f ) est appelée la composée de f et de g. La représentation ci-dessous illustre la composition des fonctions f et g. Exemple 1 : Si f(x) = 3x + 5 et g(x) = 3x 2 4x + 1 alors déterminez a) g f ( x ) b ) g f(0 ) c ) f g ( - 2 ) MATH TS 109 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

9 Exemple 2 : Prenons les fonctions f et g définies par f(x) = x + 2 et g(x) = 2x 2 + 3x 4, et trouvons les deux composées possibles. 1 re composée: g f (g f )(x) = g(f(x)) Évaluer la fonction g à la valeur f(x). (g f )(x) = Remplacer f(x) par sa valeur, soit x + 2. (g f )(x) = Évaluer la fonction g en considérant la valeur x + 2. (g f )(x) = Réduire l expression trouvée. (g f )(x) = (g f )(x) = 2 e composée: f g (f g)(x) = Évaluer la fonction f à la valeur g(x). (f g)(x) = Remplacer g(x) par sa valeur, soit 2x 2 + 3x 4. (f g)(x) = Évaluer la fonction f en considérant la valeur 2x 2 + 3x 4. (f g)(x) = Réduire l expression trouvée. (f g)(x) = Exemple 3 : Si f(x) = 2x 6 et g(x) = alors déterminez a) f f ( x ) b ) g f(x ) c ) f g ( x ) MATH TS 110 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

10 Exemple 4 : Prenons les fonctions f et g définies par f(x) = x + 10 et g(x) = x 6, et trouvons les deux composées possibles. 1 re composée: g f (g f )(x) = Évaluer la fonction g à la valeur f(x). (g f )(x) = Remplacer f(x) par sa valeur, soit x (g f )(x) = Évaluer la fonction g en considérant la valeur x (g f )(x) = Réduire l expression trouvée. (g f )(x) = 2 e composée: f g (f g)(x) = Évaluer la fonction f à la valeur g(x). (f g)(x) = Remplacer g(x) par sa valeur, soit x 6. (f g)(x) = Évaluer la fonction f en considérant la valeur x 6. (f g)(x) = Réduire l expression trouvée. (f g)(x) = Dans ce dernier exemple, les deux composées, (g f ) et (f g), correspondent à la fonction identité identifiée par I(x). C est ce qui arrive lorsqu on compose une fonction avec sa réciproque. I(x) = x Une fonction définie comme suit: I(x) = x est appelée fonction identité. Les éléments qu elle associe sont identiques. Exemple 5 : Si f (x) = 2 [ 4] + 4, g(x) = 3 2x et h(x)= alors déterminez f g h ( 2 ) = MATH TS 111 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

11 Exemple 6 : La composée g h ( x ) = 5 x 4 et h ( x ) = 2 x +3 Déterminez la règle de g( x ) si la fonction g est une fonction linéaire. Exemple 7 : Si f (x) = et g(x) = Déterminez f g ( x ) 6.4 LA RÉCIPROQUE D UNE FONCTION MATH TS 112 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

12 Exemple 1: Représentons une fonction affine f à l aide de différents modes de représentation. Équation : f(x) = 3x + 4 Table de valeurs : x f(x) Représentons la réciproque, notée f 1, de la fonction f. Algébriquement Il faut inverser les variables dépendante et indépendante dans l équation définissant la fonction f et trouver l équation définissant sa réciproque f 1 en isolant la variable dépendante. Démarche:f(x) = 3x + 4 x = 3y + 4 Graphique : Avec une table de valeurs Il faut inverser les valeurs associées à chacune des variables impliquées. On obtient ainsi la table ci-contre. Graphiquement L inversion des variables dépendante et indépendante correspond graphiquement à une réflexion selon un axe associée à la bissectrice des quadrants I et III, soit la droite d équation y = x. Le graphique de la réciproque f 1 correspondra à l image du graphique de la fonction f par cette réflexion du plan cartésien (voir le graphique ci-contre). x f 1 (x) MATH TS 113 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

13 6.4.1 Illustrations de la réciproque de certaines fonctions connues a) Fonction polynomiale du 2 e degré b) Fonction racine carrée c) Fonction rationnelle e) Fonction valeur absolue d) Fonction partie entière Autres exemples algébriques : Trouvez les fonctions réciproques de ces fonctions. 1) Y = 16 2) Y = ) Y = MATH TS 114 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

14 4) Y = + 4 5) f(x) = 2 8 et calculez ensuite f -1 f ( x ) Rappel des différentes méthodes de factorisation 1) Mise en évidence simple 2) Mise en évidence double MATH TS 115 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

15 3) Différence de carrés 4) Trinôme de la forme x 2 + bx + c (méthode produit-somme) 5) Trinôme de la forme ax 2 + bx + c (méthode produit-somme) MATH TS 116 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

16 6) Trinôme carré parfait 7) Complétion de carré MATH TS 117 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC