Intégrales curvilignes.

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1 Chapitre 1 Intégrales curvilignes. 1.1 Généralités Courbes paramétrées dans le plan. Motivations, exemples. L exemple basique de courbe est la trajectoire décrite par un objet assimilée à un point matériel (son centre de gravité) qui se déplace au cours du temps t sur un plan. Courbes paramétrées et courbes géométriques. éfinition Soit un sous-ensemble de R 2. On appelle courbe paramétrée dans une application : t (t) = (x(t), y(t)) définie sur un intervalle [a, b] R et à valeurs dans. L image de c est à dire le sous-ensemble de défini par {(t), t [a, b]} est la courbe géométrique associée à, il s agit de la trajectoire décrite par le point (t). On identifie souvent l application à son image et on parle simplement de la courbe. Le point (a) est appelé l origine de et le point (b) est appelé l extrémité de. La courbe est dite fermée lorsque (a) = (b). Courbe inverse et juxtaposition. On appelle courbe inverse la courbe paramétrée : [a, b] R 2 définie par : (t) = (a + b t). (C est la courbe parcourrue en sens inverse). Soient 1 : [a, b] R 2 et 2 : [b, c] R 2 deux courbes paramétrées telles que 1 (b) = 2 (b). On appelle juxtaposition des courbes 1 et 2 la courbe paramétrée 1 2 : [a, c] R 2 définie par : ( t) = 1 (t) si t [a, b] et ( t) = 2 (t) si t [b, c]. (C est la courbe constituée des courbes 1 et 2 parcourrues l une après l autre). 1

2 2 CHAPITRE 1. INTÉGRALES CURVILIGNES. Exemples. Paramétrisation des droites et des segments. La droite (AB) a pour représentation paramétrique : { x(t) = t.x AB + x A y(t) = t.y AB + y A, t R. La segment [A, B] parcourru de A à B a pour représentation paramétrique : { x(t) = t.x AB + x A y(t) = t.y AB + y A, t [0, 1]. Cercles. Soit R un réel strictement positif fixé, l application : [0, 2π] R 2 définie par { x(t) = R. cos t y(t) = R. sin t est une paramétrisaton du cercle de centre (0, 0) et de rayon R. Vecteur tangent. ans la suite de ce chapitre, nous supposerons les courbes de classe C 1 (ou C 1 par morceaux, c est à dire juxtaposition d un nombre fini de courbes C 1 ). Proposition Le vecteur (t) = (x (t), y (t)) est le vecteur tangent à la courbe au point (t). Lorsque (t) décrit la trajectoire d un point matériel, le vecteur (t) est le vecteur vitesse. Nous verrons dans la suite comment déterminer la longueur d une courbe Champs de vecteurs. éfinitions. Soit un sous-ensemble de R 2. Un champ de vecteurs sur est une application F qui à un point (x, y) de fait correspondre un vecteur de R 2, autrement dit : F : { R 2 (x, y) F (x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j = (P (x, y), Q(x, y)) où P et Q sont des fonctions de 2 variables définies sur, appelées les composantes de F. Un champ de vecteurs F = P i + Q j sur est de classe C 1 sur si P et Q sont des fonctions C 1 sur.

3 1.2. INTÉGRALE UN CHAMP E VECTEURS LE LONG UN CHEMIN OU INTÉGRALE CURVILIGNE.3 Exemples. Le champ de gradient d une fonction f. Nous avons vu dans la première partie du cours qu à une fonction numérique f de deux variables (x, y) qui est de classe C 1 sur, on peut associer son champ de gradient. C est le champ de vecteur : { gradf : R 2 (x, y) gradf(x, y) = f (x, y) i + f y (x, y) j = ( f f (x, y), y (x, y)) Le champ de gradient de f est aussi noté : f ou f. Le champ radial. Le champ de vecteurs défini sur R 2 par : F (x, y) = x i + y j est appelé champ radial. 1.2 Intégrale d un champ de vecteurs le long d un chemin ou intégrale curviligne. Hypothèses : Soit F = (P, Q) = P i + Q j un champ de vecteurs défini et C 1 sur un sousensemble de R 2. Soit : [a, b], (t) = (x(t), y(t)) une courbe paramétrée de, C éfinitions. l intégrale (curviligne) de F le long de est par définition : = b a b F := < F ((t)), (t) > dt = a (P (x(t), y(t)).x (t) + Q(x(t), y(t)).y (t)) dt. où < F ((t)), (t) > représente le produit scalaire entre le vecteur F ((t)) et le vecteur vitesse (t). Remarque F est parfois notée F dl, pour bien préciser que l on intègre le long d un courbe. En physique, cette quantité s appelle aussi la circulation de F le long de ou encore le travail de F le long de Lorsque est fermée, F est notée F.

4 4 CHAPITRE 1. INTÉGRALES CURVILIGNES Notation différentielle. P dx + Qdy Elle se calcule en remplaçant : par b a, x par x(t) et y par y(t), dx par d(x(t)) = x (t)dt et dy par d(y(t)) = y (t)dt Exemple Calculer R j F d [0, 1] R 2 où F (x, y) = x i +y j et : t (x(t) = t, y(t) = 2t) Solution : R =. Calculer R j F d [0, 2π] R 2 où F (x, y) = y i + x j et : t (x(t) = cos t, y(t) = sin t) Solution : R = 2π Propriétés. Proposition Indépendance du paramétrage : 1 F ne dépend que de la courbe géométrique associée à et de son sens de parcours. 2. F = F F = 1 F + 2 F. 4. Longueur d une courbe : Lorsque F ((t)) = (t) (t) est le champs tangent unitaire à alors b F = x a 2 (t) + y 2 (t)dt = l() la longueur de. 1.3 Champs dérivant d un potentiel. Un champ de vecteurs F sur est dit conservatif ou dérivant d un potentiel s il est le gradient d une fonction numérique f définie sur. C est à dire s il existe une fonction f telle que F = f. ans ce cas, f est appelée une fonction potentiel de F Propriétés. Proposition Soient : [a, b] un chemin C 1 et f : R une fonction C gradf = f((b)) f((a)). Autrement dit, l intégrale ne dépend pas du chemin choisi pour aller de (a) à (b). 2. Si de plus est fermée, alors gradf = 0.

5 1.4. CHANGEMENT E VARIABLES ANS UNE INTÉGRALE CURVILGNE. 5 Proposition Réciproquement si F = 0, pour tout chemin fermé alors F dérive d un potentiel. Ce critère ne permet, en général pas de montrer qu un champ dérive d un potentiel. Il sert à montrer qu un champ F ne peut pas dériver d un potentiel : pour celà il suffit de trouver un chemin fermé 1 tel que 1 F 0. Proposition Si F sur. P y = Q = (P, Q) champ C 1 sur dérive d un potentiel alors Cette proposition résulte du théorème de Schwarz et sa réciproque n est vraie que sur des domaines d un type particulier : les domaines simplement connexes CNS sur les domaines simplement connexes. éfinitions. Un chemin fermé : [a, b] R 2 est dit simple si (t 1 ) (t 2 ) pour tout t 1 t 2 sauf lorsque {t 1, t 2 } = {a, b}. Autrement dit la courbe ne se recoupe pas. Un sous-ensemble de R 2 est dit simplement connexe si tout chemin fermé dans n entoure que des points de. Autrement dit, n a pas de trous. Exemples. Sont simplement connexes : R 2, les convexes : en particulier les disques et polygones convexes. CNS : Théorème de Poincaré Theorème F = (P, Q) champ C 1 sur simplement connexe dérive d un potentiel ssi P y = Q sur. Remarque : ce théorème permet de montrer qu un champ dérive d un potentiel, mais il n indique pas comment procéder pour déterminer sa (ses) fonction(s) potentiel(s). Exemple. Soit F = (3 + 2xy, x 2 3y 2 ) un champ sur R 2. Mobtrer que F dérive d un potentiel. Puis calculer sa (ses) fonction(s) potentiel(s). 1.4 Changement de variables dans une intégrale curvilgne. Soit Φ : { (u, v) (x = x(u, v), y = y(u, v)) un C 1 -difféomorphisme.

6 6 CHAPITRE 1. INTÉGRALES CURVILIGNES. Pour changer de variables dans P dx + Qdy On remplace : par φ 1 x par x(u, v) et y par y(u, v), dx par dx = udu + v dv dy par dy = y y udu + v dv. Exemple. Passage en polaires. 1.5 Formule de Green-Riemann. Liens avec les intégrales doubles. La formule de Green (ou de Green-Riemann) établit une relation entre F, où est une courbe fermée simple et une intégrale double f(x, y)dxdy, où est le domaine intérieur à. Ce théorème est à voir comme un analogue du théorème fondamental du calcul intégral pour les fonctions d une variable Formule de Green. Theorème Soient : 1. une courbe paramétrée C 1 par morceaux du plan R 2, fermée, simple et orientée dans le sens trigonométrique, 2. le domaine intérieur de (qui se trouve alors sur la gauche lorsqu on parcourt dans le sens trigonométrique), Alors 3. F = (P, Q) un champ de vecteurs C 1 (par morceaux) sur. P dx + Qdy = ( Q P y )dxdy Exemple Calculer en utilisant la formule de Green : H Γ x2 dx + xydy, où Γ est le bord du carré [0, 1] [0, 1] parcouru dans le sens trigonométrique. Solution : H Γ = Applications. Aire d un domaine. Aire() = dxdy = 1 2 ydx + xdy En effet, si on applique la formule de Green avec P (x, y) = y et Q(x, y) = x on trouve Q P = 1 et y = 1.

7 1.5. FORMULE E GREEN-RIEMANN. LIENS AVEC LES INTÉGRALES OUBLES.7 Exemple Calculer, en utilisant la formule de Green, l aire de l ellipse pleine (E) : x2 a 2 + y2 b 2 1. Solution : Le bord de (E) est paramétrisée par (t) = (x(t) = a cos t, y(t) = b sin t), t [0, 2π]. Ainsi, I Z 2π ydx + xdy = ( b sin t( a sin t) + a cos t(b cos t))dt =... = 2πab 0 Par conséquent, Aire (E) = πab Forme vectorielle des Théorèmes de Green et Poincaré. éfinition-notation. On note rot F = Q P y, le rotationnel dans le plan R2 d un champ F, C 1. Forme vectorielle du Théorème de Green. Theorème Soit un sous-ensemble de R 2 dont le bord est une courbe C + fermée simple C 1 par morceaux orientée dans le sens trigonométrique. Soit F un champ de vecteurs de classe C 1 (par morceaux) sur. Alors : F = rot F dxdy On peut aussi écrire une : Forme vectorielle du Théorème de Poincaré Theorème F = (P, Q) champ C 1 sur simplement connexe dérive d un potentiel ssi rot F = 0 sur Extension de la formule de Green. La formule de Green s étend aux domaines dont le bord est formé d un nombre fini de courbes fermées simples deux à deux disjointes : C i, i = 1,..., p. Les courbes C i sont orientées de sorte que le domaine se trouve toujours sur la gauche lorsqu on les parcourt suivant cette orientation. La formule de Green pour un champ de vecteurs F = (P, Q) C 1 (par morceaux) sur, s écrit : Theorème p F = C i i=1 ( Q P y )dxdy = rot F dxdy