CHAPITRE 2 INTERETS SIMPLE ET ESCOMPTE

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1 CHAPITRE 2 INTERETS SIMPLE ET ESCOMPTE I. Intérêts simples 1. Définition: Une personne empruntant une somme d'argent (Capital) pour une certaine période doit rembourser le preteur non seulement en capital, mais aussi en rémunération du service rendu, un loyer appelé intérêt. Quand l'intérêt ne s'ajoute pas au capital pour rapporter à son tour un intérêt, on dit que l'emprunt est à intérêt simple Remarque: On utilise généralement les intérêts simple pour les opérations monétaires sur des périodes inférieures ou égales à une année / découvert, escompte commercial/ 2. Principe de base : L'intérêt I est proportionnel au capital prêté C 0,, à la durée n du placement et au taux d'intérêt i exprimé souvent en % et représentant l'intérêt procuré par l'unité de capial (1 ) pour une durée de temps. Règle: Il faut que i et n soient exprimés en unité de temps comparable cad si n représente le nombre d'années alors i est un taux d'intérêt annuel; si n représente le nombre de mois alors i est un taux d'intérêt mensuel; si n représente le nombre de jours alors i est un taux d'intérêt quotidien Dans la pratique, on donne souvent un taux d'intérêt annuel, il suffit d'appliquer la règle précédente pour calculer l'intérêt. 3. Formules de base Si on place une somme C 0 pour n ans au taux annuel i, on a: I = C 0 * i * n (1) Si on place une somme C 0 pendant m mois au taux d'intérêt i annuel, on a: I = C 0 * m * i /12 (1a) Dans les banques, on utilise l'année commerciale de 360 jours I = C 0 * n * i / 360 (1b) De (1) on déduit: i = I / (C 0 n) n = 1 / (C 0 i) et C 0 = I / in 1

2 Méthode des nombres et des diviseurs fixes En posant N = C 0 j appelé nombre (qui peut varier) et D = 360/i appelé diviseur la relation (3) donne I = N / D= Coj*i/ Valeur acquise (ou future) et valeur actuelle (ou présente) Un capital de montant C 0 placé pendant j jours au taux annuel i produit à l'échéance une valeur : C j = C 0 + I = C 0 j * i/360 = C 0 ( 1 + j*i/360) (2) C j est appelé valeur acquise du capital après j jours de placement Inversement une somme C j disponible dans j jours admet une valeur actuelle ou présente : C 0 = C j / (1 + j*i/360) (3) En utilisant la méthode des nombres et des diviseurs on obtient les résultats suivants C j = C 0 + N/D <=> C 0 = C j N/D Calcul du taux d'intérêt i et du nombre j de jours de placement i = (C j - C 0 )*360 / C o j (4) <=> j = (C j C 0 )360 / C o i (5) La première formule donne une interprétation économique simple du taux d'intérêt annuel simple. En effet, le premier facteur (C j - C 0 )/ C 0 représente le taux de croissance global du capital sur la période de j jours. En rapportant ce taux sur un an (360jrs) on obtient le taux d'intérêt annuel simple. I représente ainsi le taux de rendement d'un placement ramené à une année. Il permet en l'occurrence de comparer des placement de durées différentes. 5. Taux moyen de placement : Une personne effectue un placement C R aux conditions décrites par le tableau suivant. C R Taux annuel i K Durée du placement C 1 i 1 j 1 C 2 i 2 j 2 Définition : C N i N j N On appelle taux moyen de placement le taux i, qui appliqué aux capitaux respectifs C k et pour les 2

3 mêmes durées j k conduirait au même intérêt global. L'intérêt global de ces placements est égal à : I = C k * i K * j K /360 Cet intérêt global s'obtient à partir du taux moyen par n k= 1 = C k * j K * i / 360 Soit : i = ( k n = 1 C k * j K * i k ) / ( k k = 1 C k * j K ) Le taux d'intérêt est la moyenne arithmétique pondérée des taux i k par les coefficients. C k * J k / k=i C k J k Cas particulier : si C k = C alors: n n i= k = 1 J k * i k / k = 1 i k Si j k = j alors n i= k = 1 C k i k / C k 6. Taux d'intérêts proportionnels Définition: Deux taux sont proportionnels si leurs rapport est égal au rapport de leurs périodes de capitalisation. D'où les résultats suivants: les taux proportionnels au taux annuel i sont respectivement: i / 360 => taux quotidien i / 12 => taux mensuel i/ 4 => taux trimestriel de façon générale: i/k est le taux proportionnel au taux annuel i relatif à une durée k fois plus petite que l'année On en déduit que pour une même durée de placement à intérêt simple, 2 taux proportionnels corespondent à une même valeure acquise. 7. Taux précompté et taux d'intérêt effectif 3

4 Définition 1: lorsque un intérêt est perçu à la fin d'un période de placement, on dit qu'il est calculé à terme échu ou encore post-compte C = C 0 + I Diagramme du préteur : Définition 2 : lorsque l'intérêt est perçu d'avance, c'est au moment du contrat qu'il est dit précompté ou à échoir. Le taux d'intérêt est dans ce cas appelé taux d'escompte. On le désigne parfois par la lettre d. On a alors : I = C o j * d/360 Diagramme du préteur: Taux d'intérêt effectif: dans le cas où l'intérêt est précompté, le taux d'escompte d ne reflète pas la réalité du coût effectif du placement. En effet la somme placée par le préteur est C 0 = C 0 I Et il reçoit à la fin du placement la somme C 0 d'où le taux d'intéret effectivement pratiqué est le taux post-compté i qui est le taux de rendement du placement. Cad i e = (C 0 - C 0 )*360/ C 0 *j = I*360/C 0 j 4

5 Relation entre i et d i= (C 0 - C 0 )*360/ C 0 *j = I*360/C 0 j = (C o Id*360)/ (360*j(C 0 C 0 *jd/360)= d/ (1-jd/360) <=> d = i /( 1 + ij/360) Comme le dénominateur de d est toujours >1 on a d/= i e Exemple: Une personne souscrit 1000 de bon du trésor pour 2ans à intérêts précompté au taux annuel d = 4%. Calculons le taux effectif de ce placement: Méthode 1 intérêt perçu : I = 1000 * 2 *0,04 = 80 Placement effectif initial C 0 = = 920 d'ou i e = 80/2-920 = 0,0435 soit 4,35% Tout se passe comme si un capital de 920 avait produit à 2ans un intérêt de 80 Méthode 2 Application directe de la relation entre i e et d soit : i e = 0.04 / (1 2 *0.04) = 0.04/ 0.92 = 4.35 % II. L escompte à intérêts simple L'opération d escompte consiste à une négociation ou vente d un effet à un banquier ( effets de commerce, billet à ordre etc ) 1. Définition L escompte est la rémunération de la transformation par le banquier d une créance en un moyen de paiement. - Notation C = Valeur nominale de la créance à l échéance V = Valeur actuelle de la créance ou le montant du prêt au moment de la négociation E = Intérêt précompté ou encore escompte d = taux d escompte appliqué j = nombre de jours qui sépare la date de remise à l escompte ou bien de la négociation de la date d échéance = nombre de jours entre les 2 dates 5

6 On obtient la relation fondamentale suivante V = C E (1) 2. Escompte commercial L escompte est dit commercial lorsqu il est calculé sur la valeur nominale C. On le note E c. La valeur naturelle correspondante est aussi appelée valeur naturelle commerciale de la créance. On la note V c Relation entre Vc, Ec, d, j et C Ec = C*j*d/ 360 (1) Vc = C Ec = C-Cj*d/360 = C( 1 j * d/ 360) En utilisant la méthode des nombres et des diviseurs Ec = N / D Vc = C Ec = C N/D = (CD N) /D 3. Escompte rationnel L escompte est dit rationnel lorsqu il porte sur la valeur actuelle. On le note E r La valeur actuelle correspondante est aussi appelée valeur actuelle rationnelle V r Er = Vr*j*d/360 On sait que Vr = C Er Donc Er = (C-Er)jd/360 Er = Cjd/360 Er*jd/360 = Er + Er*jd/360= Cjd/360 Er= Er (1+jd/360) = Cjd/360 Er = ( Cjd/360) / (1+jd/360) Er = Ec/ (1+jd/360) >1 Conclusion Ec>Er 6

7 4. Equivalence d effets Effets équivalent 2 effets de valeurs nominales respective C1 C2 et équivalent à une date donnée t appelée date d équivalence, ssi escomptés au même taux d et à cette même date ils ont la même valeur actuelle V 1 = C 1 E 1 V 2 = C 2 E 2 V 1 = V 2 C 1 -E 1 = C 2 =E 2 Ou encore C 1 D-N 1 = C 2 D-N 2 Explication de cette dernière équation D où V 1 V 2 = C 1 D-N 1 = C 2 D-N 2 Remplacement de plusieurs effets par un effet unique A Une certaine date t, on peut remplacer n effets de valeurs nominales respectives C k (k= 1.n) par un effet unique de valeur nominale C, Si et seulement si (ssi) au même taux d et à cette date t, la valeur actuelle de l effet de remplacement est égale à la somme des valeurs actuelles des n effets. Ou encore 7

8 Echéance moyenne de plusieurs effets Si on impose à l effet unique de valeur nominale C l échéance J (moy des j) équivalent au n effets de valeurs nominales respectives C k (k=1.n) d échéances respectives j k (k=1.n) d avoir comme valeur nominale Alors on dit que j est l échéance moyenne des n effets et on a : J est la moyenne arithmétique pondérée des jn les coefficient de pondération étant Application numérique a. Calculer E c et E r pour un effet de valeur nominale 2000 escompté à 120 jours au taux d intérêt de 6% b. Calculer ensuite le taux d intérêt effectif appliqué (ie) a. C=2000 j=120 d = 0.06 b. = 6.12% 8