Introduction aux processus de diffusion Pierre Priouret. Mode d emploi

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1 Université Pierre et Marie Curie Master de sciences et technologies Mathématiques et applications. Deuxième année Spécialité Probabilités et applications. Filière Probabilités et Finances Année 24/25 1 Introduction aux processus de diffusion Pierre Priouret Mode d emploi Ce polycopié est destiné aux étudiants de la filière Probabilités et Finances du Master de sciences et technologies de l Université Pierre et Marie Curie Spécialité Probabilités et applications. En principe il s adresse donc à des étudiants ayant suivi un cours d intégration et un premier cours de probabilités. Cependant le chapitre 1 présente tous les résultats d intégration utilisés par la suite et établit la plupart d entre eux. Il n est pas à lire ligne à ligne mais plutôt à utiliser comme référence. Quant au chapitre 2 qui introduit les principales notions de probabilités, il ne suppose aucune connaissance préalable de cette théorie et peut éventuellement être abordé par un étudiant n ayant jamais suivi de cours de probabilités. Le chapitre 3 expose les fondements de la théorie des processus aléatoires, l accent étant mis sur le mouvement brownien. L espérance conditionnelle et les martingales sont présentées dans le chapitre 4; le lecteur pressé peut se contenter de la lecture des sections 4.1 à 4.4 et 4.7. Le chapitre 5 est consacré au sujet principal de ce cours, à savoir la construction de l intégrale stochastique par rapport au mouvement brownien et le calcul stochastique. Cette construction est ensuite étendue aux martingales continues. Le chapitre 6 applique ces résultats à la résolution des équations différentielles stochastiques. Le chapitre 7 traite des processus de Markov et, plus particulièrement, des processus de diffusion. Enfin le chapitre 8 a pour objet l étude de la convergence en loi des processus. Ce polycopié est divisé en chapitres, sections et sous-sections. Ainsi renvoie au chapitre 3, section 2, sous-section 4 et 5.4 renvoie chapitre 5, section 4. A l intérieur d une même section, les énoncés sont numérotés en continu. Ainsi d après le th renvoie au chapitre 5, section 4, énoncé 6. Quant aux égalités, elles sont numérotées entre parenthèses et en continu au sein d un même chapitre. Ainsi vu (3.5) réfère à la cinquième égalité numérotée du chapitre 3. Le signe indique la fin d une preuve. Ce polycopié se termine par un index des notations, un index des termes et une courte bibliographie. Les sections 5.9, 5.1 et le chapitre 8 ne sont pas au programme de l examen.

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3 Table des matires 1 Mesures Tribus Mesures Intégration Espaces de Banach. Espaces L p Espaces de Hilbert. Espaces L Mesures images Mesures produits Transformation de Fourier Mesures de Radon sur R d Mesures signées Fonctions à variation finie Notions de probabilités Espace de probabilité Indépendance Variables aléatoires réelles Variables aléatoires vectorielles Fonctions caractéristiques Vecteurs gaussiens Convergence des suites de variables aléatoires Convergence en loi Simulation Uniforme intégrabilité Processus aléatoires Processus aléatoires Processus gaussiens. Mouvement brownien Construction de Paul Lévy Filtrations. Processus adaptés Temps d arrêt

4 4 TABLE DES MATIRES 4 Espérances conditionnelles. Martingales Espérances conditionnelles Calculs d espérances conditionnelles Martingales Martingales à temps discret Martingales à temps continu Martingales locales Résumé Calcul stochastique Processus à variation finie Intégrale stochastique Le cas vectoriel Formule d Itô Martingales exponentielles Théorème de Girsanov Espaces gaussiens Martingales du mouvement brownien Intégrale stochastique par rapport à une martingale continue Le cas des martingales vectorielles Equations différentielles stochastiques Solutions d Itô Propriétés Unicité en loi Généralisations Solutions fortes et faibles E.D.S. linéaires Processus de diffusion Processus de diffusion La propriété forte de Markov E.D.P. et E.D.S Convergence en loi de processus Convergence faible Convergence en loi Le principe d invariance Problème des martingales A Index des notations 211 B Index des termes 215

5 Chapitre 1 Mesures Dans ce premier chapitre, on présente de façon succincte mais relativement complète les principaux résultats de la théorie de la mesure et de l intégration Tribus Soient E un ensemble et B P(E). On dit que B est une algèbre (resp. une tribu) si E B, si B est stable par passage au complémentaire et si B est stable par réunion et intersection finies (resp. dénombrables). Un couple (E, B), B étant une tribu sur E, s appelle un espace mesurable. S il est souvent possible de décrire les éléments d une algèbre, il n en est pas de même pour ceux d une tribu. On remarque que P(E) est une tribu et que l intersection d une famille quelconque de tribus est une tribu. Donc, étant donné C P(E), on peut considérer la plus petite tribu contenant C, c est l intersection de toutes les tribus contenant C. Cette tribu se note σ(c) et s appelle la tribu engendrée par C Supposons E = R d et soit O la classe des ouverts de E. La tribu σ(o) s appelle la tribu borélienne de R d et se note B(R d ). Il est facile de voir qu elle est aussi engendrée par les fermés, par les boules, par les pavés et même par les pavés à coordonnées rationnelles (cette dernière famille ayant l avantage d être dénombrable). Si d = 1, on considérera, outre B(R), B(R + ) = {A B(R), A R + }, B(R) = σ(b(r), {+ }, { }) et B(R + ) = σ(b(r + ), {+ }). On étend les opérations usuelles à R + en posant (+ ) = (+ ) = Soient (E 1, B 1 ) et (E 2, B 2 ) deux espaces mesurables. Une application f de E 1 dans E 2 est dite mesurable si, pour tout A B 2, f 1 (A) B 1. Il est facile de voir que pour cela, il suffit que f 1 (A) B 1 pour tout A C avec σ(c) = B 2. Ceci implique que, si f est continue de R d dans R m, f est borélienne i.e. mesurable pour les tribus boréliennes. De plus, cette notion est transitive i.e. la composée de deux applications mesurables est mesurable. Quand l espace d arrivée est R, R, R +, R d, C, il est toujours supposé muni de sa tribu borélienne.

6 6 Mesures Soit (E, B) un espace mesurable. Pour qu une application numérique soit mesurable, il suffit que, pour tout a R, {f > a} := {x, f(x) > a} B. On peut aussi considérer {f < a}, {f a}, {f a}. Ceci implique que, si f, g, f n sont des fonctions numériques mesurables, il en est de même de f, sup(f, g), inf(f, g), f + = sup(f, ), f = sup( f, ), sup f n, inf f n, lim sup f n, lim inf f n, lim f n si elle existe. Rappelons que, notant f n f (resp.f n f) si, pour tout x E, f n (x) croît (resp. décroît) vers f(x), lim sup f n (x) = lim n sup f k (x), lim inf f n (x) = lim k n n inf k n f k(x), (1.1) ces quantités étant à valeurs R et que f = lim f n ssi lim sup f n = lim inf f n = f. Soient f, g des fonctions numériques mesurables. Alors φ : x (f(x), g(x)) est mesurable de (E, B) dans R 2 puisque φ 1 (A B) = f 1 (A) g 1 (B). Ceci implique que, si H est une application borélienne de R 2 dans R, H(f, g) est mesurable. On en déduit que f + g, fg, f g, si elle existe, sont mesurables Pour A B, on appelle fonction indicatrice de A et on note 1 A la fonction valant 1 sur A et sur A c (on note A c le complémentaire de A). On a 1 A c = 1 1 A, 1 An = 1 An = inf 1 An, 1 An = sup 1 An. Une application f de E muni de la tribu B dans R est dite étagée si elle s écrit f = p k=1 a k1 Ak, A k B. On notera: [B] l ensemble des fonctions réelles mesurables, bb l ensemble des fonctions réelles mesurables bornées, B + l ensemble des fonctions mesurables à valeurs R +, eb + l ensemble des fonctions étagées positives. Le résultat suivant est à la base de la construction de l intégrale. Proposition Toute f B + est limite d une suite croissante de fonctions de eb +. Preuve: Il suffit de considérer f n (x) = n2 n 1 k= k 2 n 1 { k 2 n f(x)< k+1 2 n } + n1 {f(x) n}. (1.2) Quelques résultats de mesurabilité. L outil de base est le théorème suivant, souvent appelé théorème de la classe monotone. Théorème Soient C M P(E). On suppose que C est stable par intersection finie, que E M, que A, B M et A B impliquent B \ A M et que M est stable par limite croissante. Alors σ(c) M.

7 7 Preuve: On dira que D P(E) est une δ-classe si A, B D et B A impliquent quea \ B D et si D est stable par limite croissante. Il est clair qu une δ-classe contenant E et stable par intersection finie est une tribu. Soit S la plus petite δ- classe contenant E et C. Pour montrer la proposition, il suffit de montrer que S est stable par intersection finie. Pour A E, on pose D A = {B S, A B S}. On vérifie immédiatement que D A est une δ-classe. Si A C, E D A et donc D A = S i.e. si A C, B S, alors A B S. Ceci implique que, si A S, D A est une δ-classe contenant E d où D A = S et S est stable par intersection finie. Théorème Soient H un espace vectoriel de fonctions numériques bornées définies sur E et C un ensemble de parties de E stable par intersection finie. On suppose que H vérifie 1 H, f n H et f n f bornée f H (1.3) et que, pour tout A C, 1 A mesurables bornées. H. Alors H contient toutes les fonctions σ(c)- Preuve: Soit M = {A, 1 A H}. On a C M et, vu les hypothèses sur H, on peut appliquer le th Donc σ(c) M. Ceci implique que, si f est étagée sur σ(c), f H. C est encore vrai (prop ) par passage à la limite croissante si f est positive bornée σ(c)-mesurable puis, par différence, pour toute f bornée σ(c)- mesurable Ces résultats et les corollaires ci-dessous seront d un usage constant en probabilités. Soit X une application de Ω dans un espace mesurable (E, E). On note σ(x) et on appelle tribu engendrée par X la plus petite tribu sur Ω rendant X mesurable. On a donc σ(x) = {X 1 (A), A E}. Plus généralement si (X i, i I) est une famille d applications de Ω dans des espaces mesurables (E i, E i ), on note σ(x i, i I) et on appelle tribu engendrée par les X i la plus petite tribu sur Ω rendant toutes les X i mesurables. Soit C = {A Ω, A = n k=1 Xi 1 k (Γ k ), Γ k E ik, i 1,..., i n I}. C est stable par intersection finie et l on a σ(c) = σ(x i, i I). Noter que: Lemme Une application Φ : (A, A) (Ω, σ(x i, i I)) est mesurable ssi, pour tout i I, X i Φ est mesurable de (A, A) dans (E i, B i ). Preuve: Pour montrer que Φ est mesurable, il suffit (1.1.3) de vérifier que Φ 1 (C) A pour tout C de la forme {X i Γ i }, Γ i B i. Mais, dans ce cas, Φ 1 (C) = {a, Φ X i (a) Γ i } B i. Le th implique alors:

8 8 Mesures Corollaire Soient H un espace vectoriel de fonctions numériques bornées définies sur Ω et (X i, i I) une famille d applications de Ω dans des espaces mesurables (E i, E i ). On suppose que H vérifie (1.3) et que, pour tous i 1,..., i n I et tous Γ k E ik, n 1 Γk X ik H. k=1 Alors H contient toutes les fonctions σ(x i, i I)-mesurables bornées. On suppose que, pour tout i I, (E i, E i ) = (E, E). On note F = E N. Pour x = (x n, n N) F, on définit ξ n : F N par ξ n (x) = x n et on pose F = σ(ξ n, n N). Corollaire Soient, pour tout i I, X i : Ω (E, E) et Y : Ω R (resp. Ω R + ). Alors Y est σ(x i, i I)-mesurable ssi il existe i 1,..., i n,... I et h : F R (resp. h : F R + ) F-mesurable telle que Y = h(x i1,..., X in,...). Preuve: Vu le lem.1.1.4, si h bf, h(x i1,..., X in,...) bσ(x i, i I). Dans l autre sens, soit H = {Z : Ω R; Z = h(x i1,..., X in,...), i k I, h bf}. On vérifie (assez) facilement que H est un espace vectoriel de fonctions numériques bornées vérifiant (1.3) et contenant n k=1 1 Γ k (X ik ). Appliquant le cor.1.1.5, H bσ(x i, i I). On conclut facilement. Corollaire Soit H un espace vectoriel de fonctions numériques bornées définies sur R d. On suppose que H vérifie (1.3) et contient toutes les fonctions continues à support compact. Alors H bb(r d ). Preuve: En effet, pour tout U ouvert borné, on a 1 U = lim f n avec f n continue à support compact. Donc 1 U H et on applique le th Enfin combinant les cor et 1.1.7, on obtient, notant C k (R d ) l espace des fonctions continues à support compact sur R d, Corollaire Soient H un espace vectoriel de fonctions numériques bornées définies sur Ω et (X i, i I) une famille d applications de Ω dans R d. On suppose que H vérifie (1.3) et que, pour tous i 1,..., i n I et toutes f j C k (R d ), n f j X ij H. j=1 Alors H contient toutes les fonctions σ(x i, i I)-mesurables bornées.

9 Mesures Soient I un ensemble dénombrable et (a i, i I) une famille d éléments de R +. On veut définir i I a i. Soit φ une énumération de I i.e. une bijection de N sur I. On pose S φ n = n k= a φ(k). Evidemment S φ n croît avec n et S φ = lim S φ n existe dans R +. Si ψ est une autre énumération de I, on a, pour n fixé et m assez grand, {a φ(),..., a φ(n) } {a ψ(),..., a ψ(m) }, d où S φ n S ψ m et S φ S ψ. Permutant φ et ψ, on a S ψ S φ et S φ = S ψ. On pose donc i I a i := lim S φ n, quantité qui ne dépend pas de l énumération φ. Evidemment si, pour tout i I, a i b i, i I a i i I b i. On a aussi (sommation par paquets): Théorème Soient (a i, i I) une famille d éléments de R + et (A j, j J) une partition de I. On a a i = ( a i ). i I j J i A j Considérons maintenant une famille (a i, i I) d éléments de C. On dit que cette famille est absolument sommable si i I a i < +. Dans ce cas, écrivant a i = [R(a i )] + [R(a i )] +i[i(a i )] + i[i(a i )], on voit facilement que i I a i := lim S φ n existe et est indépendante de φ et que le th reste valable Soit (E, B) un espace mesurable. Définition On appelle mesure sur (E, B) toute application µ de B dans R + telle que (i) µ( ) =, (ii) pour tous A n B deux à deux disjoints, µ( n A n ) = n µ(a n). Le triplet (E, B, µ) s appelle un espace mesuré. Propriétés: (i) si A, B B et A B, µ(a) µ(b), (ii) si A n B, µ( n A n ) n µ(a n), (iii) si A n B et si A n A (i.e. 1 An 1 A ), µ(a n ) µ(a), (iv) si A n B, si A n A (i.e. 1 An 1 A ) et si, pour un n, µ(a n ) < +, µ(a n ) µ(a). Si E = n E n avec E n B et µ(e n ) < +, la mesure µ est dite σ-finie. Si µ(e) < +, la mesure µ est dite bornée. Si µ(e) = 1, la mesure µ est appelée une probabilité. Soit a E. On appelle mesure de Dirac de a et on note δ a la mesure δ a (A) = 1 A (a). Remarque 1: La propriété (ii) de la def s appelle σ-additivité. Si dans la def , on suppose que B est seulement une algèbre, la définition a encore un sens en rajoutant dans (ii) la condition n A n B. On a ainsi la notion de mesure sur une algèbre.

10 1 Mesures Proposition Soient µ et ν deux mesures sur (E, B) et C B une classe d ensembles stable par intersection finie. On suppose que, pour tout A C, µ(a) = ν(a) < + et que E = lim E n avec E n C. Alors µ(a) = ν(a) pour tout A σ(c). Preuve: Supposons d abord µ(e) = ν(e) < +. Soit M = {A B, µ(a) = ν(a)}. On vérifie immédiatement que les hypothèses du th sont vérifiées. On a donc σ(c) M. Le cas général se traite en appliquant ce résultat aux mesures µ n (A) = µ(a E n ) et ν n (A) = ν(a E n ). Remarque 2: On voit donc que, si µ et ν sont deux probabilités, l énoncé de la prop se simplifie: si µ et ν coïncident sur C stable par intersection finie et engendrant B, elles sont égales sur B Soit (E, B, µ) un espace mesuré. Un sous- ensemble A de E est dit négligeable (ou µ-négligeable s il y a ambiguïté) si A B avec B B et µ(b) =. Une propriété est vraie presque partout (en abrégé p.p.) si elle est vraie en dehors d un ensemble négligeable. Par exemple f = g p.p. signifie que {x E, f(x) g(x)} est négligeable. Si µ est une probabilité, on dit presque sûrement (en abrégé p.s.) pour presque partout. On note N la classe des ensembles négligeables. Il faut noter que si A n N, on a n A n N. Si N B, l espace mesuré (E, B, µ) est dit complet. Si ce n est pas le cas, on peut le compléter de la façon suivante. On définit B = σ(b, N ). Alors A B ssi A = B N avec B B et N N. On peut prolonger µ à B en posant µ(a) = µ(b) (il est facile de voir que ceci ne dépend pas de l écriture de A). L espace (E, B, µ) est alors complet et s appelle le complété de (E, B, µ). Enfin on vérifie aisément que f : E R est B mesurable ssi il existe g, h : E R B mesurables telles que g f h et g = h p.p Construction. Dans la suite, la plupart du temps, on partira d un espace mesurable ou d un espace de probabilité sans se soucier de sa construction. Il est néanmoins indispensable de s assurer de l existence de tels objets. On va s intéresser aux mesures sur B(R) finies sur les intervalles bornés. On verra une seconde méthode de construction en 1.9. Observons d abord que C = { ]a, b], < a < b < + } est une classe stable par intersection finie et que σ(c) = B(R). Il résulte alors de la prop qu une mesure µ sur B(R) finie sur les intervalles bornés est déterminée par les valeurs µ(]a, b]). Ensuite, étant donnée une telle mesure, si on pose F () = ; F (x) = µ(], x]), x > ; F (x) = µ(]x, ]), x <, F (x) est une fonction continue à droite et croissante et l on a µ(]a, b]) = F (b) F (a). On est donc ramené au problème suivant: soit F une application de R dans R continue à droite et croissante, existe-t-il une mesure µ sur B(R) telle que µ(]a, b]) = F (b) F (a)? Il est facile de décrire l algèbre A engendrée par C. On a A = { A = n k=1 ]a k, b k ], a 1 < b 1 < a 2 <... < b n 1 < a n < b n + } en convenant que, si b n = +, ]a n, b n ] =]a n, + [. On définit µ sur A par µ(a) = n k=1 F (b k) F (a k ) où F (+ ) = lim x + F (x), F ( ) = lim x F (x). Il est

11 11 facile de montrer que µ est additive sur A, un peu plus délicat de montrer que µ est σ-additive sur A mais cela se fait. On a donc construit une mesure µ sur A telle que µ(]a, b]) = F (b) F (a). Pour passer à B(R), on utilise le théorème de Carathéodory: Théorème Soit µ une mesure sur une algèbre A, alors µ se prolonge en une mesure sur σ(a). De plus, si µ est σ-finie, ce prolongement est unique. Tout ceci donne, puisque dans notre cas σ(a) = B(R), le: Théorème Soit F une application de R dans R continue à droite et croissante. Il existe une et une seule mesure µ sur B(R) telle que, pour tous a < b, µ(]a, b]) = F (b) F (a). Si on choisit F (x) = x, on obtient l existence et l unicité d une mesure λ sur B(R) vérifiant, pour tout intervalle I, λ(i) = I. C est la mesure de Lebesgue sur R. Si N est la classe des ensembles λ-négligeables, B(R) = σ(b, N ) s appelle la tribu des ensembles Lebesgue-mesurables (elle est beaucoup plus grosse que B(R)) et λ se prolonge sans peine à B(R) comme en Pour plus de détails sur les résultats de cette sous-section, le lecteur peut consulter [2] et [3] Intégration Soit (E, B, µ) un espace mesuré Intégration des fonctions positives. On va construire l intégrale de f par rapport à µ. Si f eb +, c est très facile, f s écrit f = p k=1 a k1 Ak, A k B et l on pose p f dµ := a k µ(a k ). k=1 Des considérations élémentaires montrent que ceci ne dépend pas de l écriture de f et que, pour f, g eb + et a, b R +, (af + bg) dµ = a f dµ + b g dµ et que, si f g, f dµ g dµ. On a aussi le résultat plus technique suivant qui est la clé de la construction: Lemme Si f n, g n eb + sont croissantes et si lim f n = lim g n, on a lim f n dµ = lim g n dµ. Preuve: Il suffit de montrer que, si lim f n g = p k=1 α k1 Ak eb +, lim fn dµ g dµ. Soient c ], 1[ et E n = {f n cg}. On a E n B, E n E et f n cg1 En d où f n dµ c g1 En dµ = c p k=1 α kµ(a k E n ). On obtient, pour n +, lim f n dµ c p k=1 α kµ(a k ) = c g dµ et le résultat cherché puisque c < 1 est arbitraire. Soit f B +. Il existe (prop ) une suite f n eb + telle que f n f, on a alors fn dµ et on pose f dµ = lim f n dµ. Le point important est que, d après le

12 12 Mesures lem , cette limite ne dépend pas de la suite f n choisie. On a en particulier, vu (1.2), pour f B +, f dµ = lim n2 n 1 k= k 2 n µ({x, k 2 n f(x) < k + 1 }) + nµ({x, f(x) n}). 2n Par passage à la limite, on obtient immédiatement que, pour f, g B + et a, b R +, (af + bg) dµ = a f dµ + b g dµ et que, si f g, f dµ g dµ. Enfin on dira que f B + est intégrable si f dµ < Intégration des fonctions réelles ou complexes. On pose L 1 = L 1 (E, B, µ) = {f [B], f dµ < + }. (1.4) Si f L 1, f + et f sont intégrables et on pose f dµ = f + dµ f dµ. Il est facile de voir (vu que f + g f + g ) que L 1 est un espace vectoriel et que f f dµ est une forme linéaire positive sur L 1. De plus, pour f L 1, f dµ f dµ. Si f est B-mesurable à valeurs C, on pose ( f désignant le module), L 1 C = L1 C (E, B, µ) = {f B-mesurable complexe, f dµ < + }. (1.5) On définit alors, pour f L 1 C, f dµ = R(f) dµ + i I(f) dµ. L 1 C vectoriel sur C et f f dµ une forme linéaire sur L 1 C. On a aussi est un espace Proposition Pour toute f L 1 C, f dµ f dµ. Preuve: On a f dµ = re iθ et f dµ = r = R(e iθ f dµ) = R(e iθ f) dµ f dµ Propriétés. (i) Si f B + et si f dµ < +, f < + p.p. (ii) Si f B + et si f dµ =, f = p.p. (iii) Si f, g L 1 et si f g p.p., f dµ g dµ. (iv) Si f L 1 C et si A B, f1 A L 1 C. On pose alors f dµ := f1 A dµ, A B, f L 1 C B+. A

13 13 (v) Si f L 1 et si, pour tout A B, A f dµ alors f p.p. (vi) Si f, g L 1 et si, pour tout A B, A f dµ A g dµ, alors f g p.p. Il nous reste à énoncer les résultats concernant les passages à la limite. Le premier d où découlent facilement les autres s appelle théorème de convergence monotone ou théorème de Beppo-Levi. Théorème Soit f n B + une suite croissante, alors lim f n dµ = lim f n dµ. Preuve: Soit, pour tout k, f n,k eb + telles que f k = lim n f n,k. On pose g n = max k n f n,k. On a g n eb +, g n et, pour k n, f n,k g n f n, f n,k dµ g n dµ f n dµ. On pose f = lim f n. On a, pour n +, puisque f n,k, g n B +, f k lim g n f, f k dµ lim g n dµ = lim g n dµ lim f n dµ, et, pour k +, f lim g n f, lim f k dµ lim g n dµ lim f n dµ. On en déduit f = lim g n et f dµ = lim f n dµ. Corollaire Soit g n B +, alors g n dµ = g n dµ. n n Proposition (Lemme de Fatou) Soit f n B +, alors lim inf f n dµ lim inf f n dµ. Preuve: On a lim inf f n = lim n inf k n f k d où lim inf f n dµ = lim inf k dµ lim inf n k n n k n f k dµ = lim inf f n dµ. On en déduit facilement le célèbre théorème de Lebesgue, Théorème Soit f n L 1 C telles que f n f p.p. avec f n g L 1, alors lim f n dµ = f dµ.

14 14 Mesures Preuve: Il suffit de considérer la cas réel. Appliquant la prop aux fonctions positives g + f n et g f n, on a lim inf f n dµ lim inf f n dµ lim sup f n dµ lim sup f n dµ et le résultat cherché. Ce théorème a une version continu très utile. Corollaire Soit (f t, t U) une famille d éléments de L 1 C, U ouvert de Rd. On suppose que lim t t f t = f p.p. et que, pour tout t U, f t g L 1, alors lim t t ft dµ = f dµ. Preuve: Il suffit de remarquer que lim t t ft dµ = f dµ ssi, pour toute suite t n tendant vers t, lim tn t ftn dµ = f dµ et d appliquer le th Donnons un exemple d utilisation de ce corollaire. Proposition Soient (E, B, µ) un espace mesuré, I un intervalle ouvert et (f(t, x), t I) une famille d éléments de L 1 C (µ). On pose, pour tout t I, φ(t) = f(t, x) dµ(x). On suppose que, pour tout x A, t f(t, x) est dérivable sur I, que, pour tous x A et t I, f t (t, x) g(x), que g L1 (µ) et que µ(a c ) =. Alors φ est dérivable sur I et φ (t) = f t (t, x) dµ(x). Preuve: On a 1 1 (φ(t + h) φ(t)) = (f(t + h, x) f(t, x)) dµ(x). h A h D après la formule des accroissements finis, on a, pour x A, 1 h si h est assez petit et (f(t + h, x) f(t, x)) = f (θ, x) g(x) t 1 h (f(t + h, x) f(t, x)) h On peut appliquer le cor et 1 h (f(t + h, x) f(t, x)) dµ(x) h A A f (t, x). t f (t, x) dµ(x) = t f (t, x) dµ(x). t Lien avec l intégrale usuelle. Soit f une fonction réelle continue sur [a, b] et posons, pour a x b, F (x) = x a f(t) dt (intégrale au sens usuelle) et G(x) = 1[a,a+x[ f dλ, λ mesure de Lebesgue sur R. On sait que F (a) =, F est continue sur [a, b] et que, sur ]a, b[, F est dérivable avec F = f. Il est facile de vérifier que G a les mêmes propriétés. Ceci implique que F = G sur [a, b] et, en particulier, que b f(t) dt = 1 [a,b[ f dλ. a

15 15 Par additivité, cette formule est encore vraie si f est continue par morceaux sur [a, b]. Considérons maintenant une application f de R dans R continue par morceaux telle que + f(t) dt soit absolument convergente. Lorsque a et b +, d une part, par définition, b a f(t) dt + f(t) dt < + et b a f(t) dt + f(t) dt; d autre part, 1 [a,b[ f dλ f dλ (convergence monotone) ce qui implique que f L 1 (λ) puis 1 [a,b[ f dλ f dλ (théorème de Lebesgue puisque 1 [a,b[ f f L 1 (λ). Donc + f(t) dt = f dλ. Par contre, si + f(t) dt est convergente mais pas absolument convergente (par exemple f(x) = sin x x ), f / L1 (λ) Soient E un ensemble dénombrable et (µ(x), x E) une famille d éléments de R +. On pose, pour A E, µ(a) = x A µ(x). Le th implique que µ est une mesure sur (E, P(E)). On a alors L 1 = {f, x E f(x) µ(x) < + } et, pour f L 1, f dµ = x E f(x)µ(x). En particulier si on prend pour µ la mesure de comptage i.e. µ(x) = 1 pour tout x E, on a L 1 = {f, x E f(x) < + } et f dµ = x E f(x). Il est intéressant d énoncer dans ce cadre les théorèmes de convergence de la sous-section précédente. On a (i) Si f n f, x f n(x) x f(x). (ii) Si f n, x lim inf n f n (x) lim inf n x f n(x). (iii) Si f n f et si f n g avec x g(x) < +, x f n(x) n x f(x) Espaces de Banach. Espaces L p Espace de Banach. Soit X un espace vectoriel sur K = R ou C. On appelle semi norme une application N de X dans R + telle que: (i) N(x + y) N(x) + N(y), (ii) N(λx) = λ N(x), λ K. Si, de plus, N vérifie: (iii) N(x) = x =, on dit que N est une norme. Le couple (X, N) s appelle alors un espace normé. On note x = N(x). De (i), on déduit x, y, z X, x y x z + z y. Donc d(x, y) = x y est une distance sur X et (X, d) un espace métrique. D où les notions de suites et de continuité. On vérifie facilement que la topologie ainsi définie est compatible avec la structure d espace vectoriel i.e. que (x, y) x + y et (λ, x) λx sont continues. De même x x est continue. L espace normé (X, N) est appelé un espace de Banach s il est complet i.e. si toute suite de Cauchy est convergente.

16 16 Mesures On considère deux espaces normés X et Y et soit u une application linéaire de X dans Y. On pose u = sup ( u(x), x X, x ). (1.6) x Si u < +, u est appelé un opérateur linéaire borné. Remarquons que u = sup ( u(x), x X, x 1 ) = inf ( a, u(x) a x ). De plus il est immédiat que u u est une norme sur l espace des opérateurs linéaires bornés de X dans Y. Proposition Soit u une application linéaire de X dans Y. Il y a équivalence entre: (i) u est bornée, (ii) u est continue, (iii) u est continue en un point de X. Preuve: Vu que u(x 2 ) u(x 1 ) = u(x 2 x 1 ) u x 2 x 1, (i) entraine (ii) qui implique (iii). Supposons u continue au point x. Alors, pour tout ε >, il existe δ > tel que x x < δ implique u(x) u(x ) < ε. Donc, si x < δ, u(x + x) u(x ) < ε i.e. u(x) < ε. Donc u < ε/δ et on a (i). Proposition Si Y est un espace de Banach, l espace vectoriel des opérateurs linéaires bornés de X dans Y, muni de la norme (1.6), est un espace de Banach. Preuve: Il faut montrer qu il est complet. Soit (u n ) une suite telle que u n u m n,m. Alors, pour tout x X, u n (x) u m (x) u n u m x n,m. Donc, puisque Y est complet, u n (x) converge vers un point de Y noté u(x). On vérifie facilement que u est linéaire bornée et que u n u n. Un cas particulier important est celui où Y = K. On obtient l espace, noté X, des formes linéaires continues sur X. Muni de la norme u = sup ( u(x), x 1 ), c est un espace de Banach appelé le dual (topologique) de X L espace C (R d ). On note C = C (R d ) l espace des applications continues de R d dans R tendant vers à l infini. On munit C de la norme de la convergence uniforme f = sup x f(x). Une partie H de C est totale dans C si l espace vectoriel engendré par H, noté e.v. [H], est dense dans (C, ). Rappelons le théorème de Stone-Weierstrass relatif à C. Une sous-algèbre A de C est un sous-espace vectoriel tel que f, g A implique fg A. Alors: Théorème Soit A une sous-algèbre de C vérifiant: (i) pour tous x, y R d, x y, il existe f A telle que f(x) f(y), (ii) pour tout x R d, il existe f A telle que f(x), alors A = C.

17 17 Notant Ck R d, on a: l espace des fonctions indéfiniment dérivables à support compact sur Corollaire C k est dense dans C. Preuve: Soit, pour t R, φ(t) = 1 ],+ [ (t) exp( 1 t 2 ). On vérifie facilement que φ C (R). On pose, pour ρ >, a R d et x R d, f ρ,a (x) = φ(ρ 2 x a 2 ). On a f ρ,a C k, f ρ,a(a) >, f ρ,a (x) = si x a > ρ. On peut alors appliquer le th On pose, pour x R d, g σ (x) = (2πσ 2 ) d/2 exp( x 2 2σ 2 ), σ >, x 2 = x x 2 d. (1.7) Corollaire La famille (g σ (x a), σ >, a R d ) est totale dans C (R d ). Preuve: Soit V = e.v. [H]. Vu que g σ (x a) g ρ (x b) = C g τ (x c) avec τ 2 = ρ2 σ 2 ρ 2 + σ 2, c = ρ2 a + σ 2 b ρ 2 + σ 2, V est une algèbre. On vérifie immédiatement (i) et (ii) du th d où V = C. Corollaire Il existe un ensemble dénombrable dense dans C (R d ). Preuve: Il suffit de considérer les combinaisons linéaires rationnelles des fonctions g σ (x a), σ Q +, a Q d. Le résultat suivant sera très utile: Proposition Soient µ, ν deux mesures bornées sur B(R d ). Si, pour tout f H total dans C, f dµ = f dν, alors µ = ν. Preuve: Soit V = e.v.[h]. On a, pour toute f V, f dµ = f dν. Soient f C et f n V tendant vers f dans (C, ). Vu que f n dµ f dµ f n f µ(r d ), f n dµ n f dµ. De même fn dν n f dν d où f dµ = f dν pour toute f C. Soient A B(R d ), A borné, f C + valant 1 sur A et H f = {g bb(r d ), gf dµ = gf dν}. Vu le cor , H f = bb(r d ) d où µ(a) = 1 A f dµ = 1A f dν = ν(a) et µ = ν Soit (E, B, µ) un espace mesuré. Pour f B +, on pose N p (f) = [ f p dµ] 1 p, 1 p < +, N (f) = inf(m, P (f > M) = ). (1.8) On a alors, convenant que, pour f, g B +, f(x)g(x) = dès que f(x) = ou g(x) =, Proposition Pour 1 p +, 1 p + 1 q = 1, f, g B+, (i) N 1 (fg) N p (f)n q (g), (ii) N p (f + g) N p (f) + N p (g). (1.9)

18 18 Mesures Preuve: Ces formules sont faciles à vérifier si p = 1 ou p = +. On suppose donc 1 < p < +. Lemme Si 1 < p < +, 1 p + 1 q = 1, a, b, on a ab ap p + bq q. Preuve: La fonction f(x) = xp p + 1 q x atteint son minimum sur R+ en x = 1 d où f(ab 1 1 p ) f(1) = et l inégalité cherchée. Soient A = N p (f) et B = N q (g). Si AB = ou si A + B = +, (1.9)(i) est évidente. On suppose donc < A < + et < B < +. On applique le lem à a = A 1 f et b = B 1 g et on intègre en µ ce qui donne 1 AB fg dµ 1 p 1 A p f p dµ + 1 q 1 B q g q dµ = 1 i.e. fg dµ AB. De même (1.9)(ii) est évidente si f + g = p.p. ou si N p (f) + N p (g) = +. On peut donc supposer, vu que (f + g) p 2 p 1 (f p + g p ), < N p (f + g) < +. On a, utilisant (1.9)(i), [ (f + g) p dµ (f + g) p 1 f dµ + (f + g) p 1 g dµ f p dµ] 1/p [ (f + g) q(p 1) dµ] 1/q + [ g p dµ] 1/p [ (f + g) q(p 1) dµ] 1/q [N p (f) + N p (g)][ (f + g) p dµ] 1/q et on divise par [ (f + g) p dµ] 1/q On note L l ensemble des applications B-mesurables de E dans R finies p.p. On dit que f g si f = g p.p. Alors est une relation d équivalence sur L. On note L = L /. En fait L est l espace des classes de fonctions B-mesurables définies à un p.p. près. Puisque f = g p.p. implique f dµ = g dµ et f dµ = g dµ si f et g sont dans L 1, on peut définir sans ambiguïté, pour f L, f dµ puis, si f dµ < +, f dµ. Par abus de langage, dans toute la suite nous noterons de la même façon une fonction et sa classe d équivalence. On pose alors pour 1 p +, L p = {f L, N p ( f ) < + }, L p = {f L, N p ( f ) < + }, (1.1) et, pour f L p, f p = [ f p dµ] 1/p, 1 p < +, f = inf(m, µ( f > M) = ). (1.11) On écrira L p (E, B, µ) et L p (E, B, µ) si on veut préciser l espace mesuré que l on considère. La prop devient:

19 19 Théorème (i) Soient 1 p + et f, g L p. Alors f + g L p et f + g p f p + g p. (Inégalité de Minkowski). (1.12) (ii) Soient 1 p +, 1 p + 1 q = 1, f Lp, g L q. Alors fg L 1 et fg 1 f p g q. (Inégalité de Hölder). (1.13) Le th implique que L p est un espace vectoriel et que. p est une norme sur L p. On a alors, Théorème Pour 1 p +, (L p,. p ) est un espace de Banach. Preuve: Il s agit de montrer que toute suite de Cauchy est convergente. Commençons par le cas p = +. Supposons que f n f m. Soient A m,n = {x, f n (x) f m (x) > f n f m } et A = A m,n. On a µ(a) =. Soit g n = f n 1 A. On a sup x E g n (x) g m (x). Il existe donc une fonction g mesurable bornée telle que sup x E g n (x) g(x) et, puisque f n = g n p.p. f n g. Passons au cas 1 p < +. Lemme Soient 1 p < + et f n une suite de fonctions de L p telle que n f n p < +. Alors il existe f L p telle que n k= f k converge vers f p.p. et dans L p. Preuve: Notons d abord que, si h n B +, on a, vu la prop , N p ( n h n ) = lim n N p ( n h k ) lim n k=1 n k=1 N p (h k ) = n N p (h n ). (1.14) Soit g = n f n. Vu (1.14), N p (g) < +. Donc g L p, g < + p.p. et n f n converge p.p. vers f avec f g d où f L p. De plus f f n = k>n f k k>n f k et d après (1.14) f f n p k>n f k p n. Soit f n L p telles que f n f m. On peut construire une suite (n k, k 1) telle que f nk f nk+1 2 k. Posant f n =, on a, vu le lem , f nk = nk j=1 (f n j f nj 1 ) k f dans L p. Il en est de même de f n puisque la suite est de Cauchy Donnons une première propriété des espaces L p. Proposition Pour 1 p < +, E B, µ(a k ) < + } est dense dans L p (E, B, µ). = {f, f = n k=1 a k1 Ak, A k Preuve: Il suffit de considérer f. Alors il existe (prop ) une suite f n eb + telle que f n f. Vu que fn p f p L 1, f n E. On a, puisque f < + p.p., f f n p p.p. et f f n p f p L 1 donc (th. de Lebesgue) f f n p dµ On fixe p [1, + ]. On note q l exposant conjugué de p défini par 1 p + 1 q = 1. Si f L p et g L q, l inégalité de Hölder (1.13) affirme que

20 2 Mesures fg dµ f p g q. Ceci montre que, g fixé, f Φ(f) = fg dµ est une forme linéaire sur L p et que Φ g q, Φ étant définie par (1.6). Le théorème suivant affirme que, sauf pour p = +, les formes linéaires sur L p sont toutes de cette forme. Théorème Soient 1 p < + et Φ une forme linéaire continue sur L p (E, B, µ), µ σ-finie. Alors il existe g L q unique tel que Φ(f) = fg dµ. De plus Φ = g q. On admet ce théorème qui dit que, pour 1 p < +, L q est le dual de L p. Par contre L 1 n est pas le dual de L. Dans la section suivante, nous montrerons que L 2 est le dual de L Nous avons considéré les fonctions réelles sur E mais on peut aussi s intéresser aux fonctions complexes. Il n y a rien à changer à ce qui précède (on remplace la valeur absolue par le module) et on obtient ainsi l espace de Banach complexe L p C (E, B, µ) Espaces de Hilbert. Espaces L Espace de Hilbert. Définition Soit H un espace vectoriel sur R. H est appelé un espace préhilbertien s il existe une application x, y (x, y) de H H dans R vérifiant: (i) (x, y) = (y, x), (ii) (x + y, z) = (x, z) + (y, z), (iii) (λx, y) = λ(x, y), λ R, (iv) (x, x), (v) (x, x) = ssi x =. On pose x = (x, x). De (i)-(iv), on déduit l inégalité de Schwarz, x, y H, (x, y) x y. (1.15) En effet, pour tout λ R, (x + λy, x + λy) = λ 2 (y, y) + 2λ(x, y) + (x, x) d où = (x, y) 2 (x, x) (y, y). De (1.15) on déduit facilement l inégalité x+y x + y. Donc x x est une norme sur H et H est alors un espace normé. Notons que l application x (x, y) est continue. Définition On appelle espace de Hilbert un espace préhilbertien complet Dans cette sous section H désigne un espace de Hilbert.

21 21 Si (x, y) =, on dit que x est orthogonal à y et on écrit x y. Cette relation est évidemment symétrique. On pose, pour x H et M H, x = {y H, y x}, M = {y H, x M y x}. On voit de suite que x est un sous espace vectoriel de H qui est fermé puisque x = {y, (x, y) = } et que y (x, y) est continue. Il en est de même de M puisque M = x M x. Remarquons que M M = {} puisque (x, x) = implique x =. On établit maintenant quelques résultats fondamentaux sur les espaces de Hilbert. On vérifie d abord facilement que: x + y x y 2 = x y 2, x, y H. (1.16) Rappelons qu un sous ensemble F de H est convexe si x, y F implique que, quel que soit < t < 1, tx + (1 t)y F. Proposition Soit F un sous-ensemble convexe fermé de H. Alors il existe x F, unique, tel que x = inf( x, x F ). Preuve: Soient δ = inf( x, x F ) et x, y F. D après (1.16) et puisque x+y 2 F, x y 2 2 = 1 2 x y 2 x + y x y 2 δ 2. (1.17) Ceci implique d abord que, si x, y F et x = y = δ, alors x = y d où l unicité. Soient y n F tels que y n δ. D après (1.17), y m y n 2 2 y m y n 2 4δ 2 m,n. Donc y n est une suite de Cauchy. Soit y = lim n y n. Puisque F est fermé, y F et (continuité de la norme) y = lim n y n = δ. Théorème Soit M un sous espace fermé de H. Il existe des applications P de H dans M et Q de H dans M, uniques, telles que, pour tout x H, x = P x + Qx. Ces applications sont linéaires et vérifient: (i) Pour tout x M, P x = x, Qx = ; pour tout x M, P x =, Qx = x, (ii) x P x = inf( x y, y M), (iii) x 2 = P x 2 + Qx 2. On appelle P x (resp. Qx) la projection orthogonale de x sur M (resp. M ). Preuve: (a) Existence. Soient x H et F = x + M = {x + y, y M}. F est un convexe fermé. Soient Qx l unique élément de F tel que Qx = inf( z, z F ) (prop ) et P x = x Qx. Comme Qx x + M, P x M. Posons z = Qx. On a, pour tout y M tel que y = 1 et tout λ R, vu que z λy F, z 2 z λy 2 = (z λy, z λy) = z 2 2λ(y, z) + λ 2.

22 22 Mesures On en tire 2λ(y, z) λ 2 et, choisissant λ = (y, z), (y, z) = d où z = Qx M. (b) Unicité. Supposons x = x + x 1, x M, x 1 M. On a x P x = Qx x 1. Mais x P x M et Qx x 1 M et, vu que M M = {}, x = P x, x 1 = Qx. (c) Linéarité. Si on écrit x = P x + Qx, y = P y + Qy, λx + µy = P (λx + µy) + Q(λx + µy), on a P (λx + µy) λp x µp y = λqx + µqy Q(λx + µy) = puisque le premier terme est dans M, le second dans M. (d) Enfin (i) résulte de l unicité, (ii) est vrai par construction et (iii) provient de ce que (P x, Qx) =. Corollaire Soit M un sous espace fermé de H. Si M H, M {}. Preuve: Soit x H, x / M. On a x = P x + Qx avec Qx M puisque x / M. Théorème Soit φ une forme linéaire continue sur H. Il existe y H, unique, tel que, pour tout x H, φ(x) = (x, y). Preuve: On peut supposer φ (sinon y = convient). Soit M = Ker(φ). C est un sous espace fermé (puisque φ est continue) et différent de H (car φ ) donc (cor ) il existe z M, z. Puisque z / M, φ(z). Soient y = φ(z) (z,z) z et x H. Puisque φ s annule en x φ(x) φ(z) z, ce vecteur appartient à M i.e. est orthogonal à z. On a donc (x, z) = φ(x) φ(z) (z, z) et (x, y) = φ(x) Soit H un espace vectoriel sur C. Remplaçant (i) et (iii) de la def par (i) (x, y) = (y, x), (iii) (λx, y) = λ(x, y), λ C, on a la notion d espace préhilbertien puis d espace de Hilbert sur C. Les résultats précédents restent valables dans ce cadre avec des modifications mineures quant aux preuves Espace L 2. Si on munit L 2 (E, B, µ) du produit scalaire (f, g) := fg dµ, les hypothèses de la def sont vérifiées et (f, f) = f 2 2. C est donc un espace de Hilbert. On peut aussi considérer le cas des fonctions à valeurs complexes. Dans ce cas l espace de Hilbert L 2 C est associé au produit scalaire < f, g >:= fḡ dµ.

23 Mesures images Soit µ une mesure sur (E, B). On peut lui associer une application I de B + dans R + en posant I(f) = f dµ, f B +. L application I a les propriétés suivantes: I(f + g) = I(f) + I(g), I(af) = ai(f), a R + et I(f n ) I(f) si f n f. Réciproquement on a, Proposition Soient (E, B) un espace mesurable et I une application de B + dans R + telle que (i) si f, g B +, I(f + g) = I(f) + I(g); si f B + et a R +, I(af) = ai(f), (ii) si f n B + et si f n f, I(f n ) I(f). Alors µ(a) = I(1 A ), A B, définit une mesure sur B et on a, pour toute f B +, I(f) = f dµ. Preuve: Soient A n B des ensembles deux à deux disjoints d union A, on a 1 A = n 1 A n = lim n k=1 1 A k et µ(a) = I(1 A ) = I(lim n n 1 Ak ) = lim I( 1 Ak ) = lim k=1 k=1 n k=1 I(1 Ak ) = n µ(a n ). Ce qui montre que µ est une mesure. On a alors, pour toute f eb +, I(f) = f dµ. On conclut facilement en utilisant la prop Donnons deux applications Mesures à densité. Proposition Soient (E, B, µ) un espace mesuré et h B +. La formule ν(a) = A h dµ, A B définit une mesure sur B appelée mesure de densité h par rapport à µ. On note ν = h.µ. On a, pour toute f B +, f dν = fh dµ. (1.18) De plus f [B] est ν-intégrable ssi fh est µ-intégrable et l on a dans ce cas (1.18). Preuve: On considère la fonctionnelle I(f) = fh dµ, f B +, et on applique la prop La dernière assertion est pure routine en écrivant f = f + f Mesures images. Proposition Soient h une application mesurable de (E, B) dans (F, F) et µ une mesure sur (E, B). La formule ν(a) = µ(h 1 (A)), A F, définit une mesure sur (F, F) appelée mesure image de µ par h et notée µ h 1. On a, pour toute f F +, f dµ h 1 = f h dµ. (1.19) De plus f [F] est µ h 1 -intégrable ssi f h est µ-intégrable et l on a dans ce cas (1.19).

24 24 Mesures Preuve: On considère la fonctionnelle I(f) = f h dµ, f F + et on applique la prop La mesure associée à I est ν(a) = I(A) = 1 A h dµ = 1 h 1 (A) dµ = µ(h 1 (A)). On conclut facilement Mesures produits Soient (E 1, B 1 ) (E 2, B 2 ) deux espaces mesurables. On définit une tribu sur E 1 E 2, appelée tribu produit de B 1 et B 2 et notée B 1 B 2, par B 1 B 2 = σ(a 1 A 2, A 1 B 1, A 2 B 2 ). Alors si f : E 1 E 2 R + (resp. R) est une fonction B 1 B 2 -mesurable, on a que, pour tout x 1 E 1, x 2 f(x 1, x 2 ) est B 2 -mesurable et que, pour tout x 2 E 2, x 1 f(x 1, x 2 ) est B 1 -mesurable. En particulier si A B 1 B 2, A x2 = {x 1, (x 1, x 2 ) A} B 1 et A x1 = {x 2, (x 1, x 2 ) A} B 2. On en déduit que, si f (B 1 B 2 ) + et si µ i est une mesure sur (E i, B i ), x 1 f(x 1, x 2 ) dµ 2 (x 2 ) est B 1 -mesurable et x 2 f(x 1, x 2 ) dµ 1 (x 1 ) est B 2 -mesurable. Théorème Soient (E 1, B 1, µ 1 ) et (E 2, B 2, µ 2 ) deux espaces mesurés avec µ 1 et µ 2 σ-finies. Il existe une unique mesure sur B 1 B 2, notée µ 1 µ 2 et appelée mesure produit de µ 1 et µ 2, telle que, pour tous A 1 B 1, A 2 B 2, µ 1 µ 2 (A 1 A 2 ) = µ 1 (A 1 ) µ(a 2 ). De plus, pour toute f (B 1 B 2 ) +, f dµ 1 µ 2 = [ f(x 1, x 2 ) dµ 1 (x 1 )] dµ 2 (x 2 ) = [ f(x 1, x 2 ) dµ 2 (x 2 )] dµ 1 (x 1 ). Preuve: (i) Unicité. On applique la prop à C = {A, A = A 1 A 2, A 1 B 1, A 2 B 2, µ(a 1 ) < +, µ(a 2 ) < + }. (ii) Existence. On applique la prop à I 1 (f) = [ f(x 1, x 2 ) dµ 1 (x 1 )] dµ 2 (x 2 ) ce qui donne l existence. Mais on peut aussi appliquer la prop à I 2 (f) = [ f(x1, x 2 ) dµ 2 (x 2 )] dµ 1 (x 1 ) et, vu l unicité, on a I 1 (f) = I 2 (f). Si f L 1 C (µ 1 µ 2 ), on peut appliquer le théorème précèdent à [R(f)] +, [R(f)], [I(f)] + et [I(f)] et l on obtient le théorème de Fubini: f dµ 1 µ 2 = [ Théorème Soit f L 1 C (µ 1 µ 2 ). Alors, f(x1, x 2 ) dµ 2 (x 2 ) < + µ 1 p.p. et φ 1 (x 1 ) = f(x 1, x 2 ) dµ 2 (x 2 ) L 1 (µ 1 ), f(x1, x 2 ) dµ 1 (x 1 ) < + µ 2 p.p. et φ 2 (x 2 ) = f(x 1, x 2 ) dµ 1 (x 1 ) L 1 (µ 2 ), et f(x 1, x 2 ) dµ 1 (x 1 )] dµ 2 (x 2 ) = [ f(x 1, x 2 ) dµ 2 (x 2 )] dµ 1 (x 1 ).

25 Tout ceci s étend sans (trop de) peine au cas de n espaces mesurables. Il y a quelques vérifications fastidieuses à faire du type µ 1 (µ 2 µ 3 ) = (µ 1 µ 2 ) µ 3. De plus dans la formule d intégrations successives, les variables peuvent être intégrées dans tous les ordres possibles. A ce sujet, le grand principe est: si f est positive, tout est permis, si f est de signe quelconque ou complexe, on considère d abord f et on commence par montrer que f est intégrable Mesures de Lebesgue sur R d. Lemme B(R) B(R)... B(R) = B(R d ) Preuve: Soit B d = B(R) B(R)... B(R). (i) Si est U un ouvert de R d, U = n P n, P n pavé ouvert. Donc U B d et B(R d ) B d. (ii) Soient X 1, X 2,..., X d les projections canoniques de R d sur R. Les X k sont continues donc mesurable de (R d, B(R d )) dans (R, B(R)) d où B d = σ(x 1,..., X d ) B(R d ). Soit λ la mesure de Lebesgue sur (R, B(R)). On définit alors, sur (R d, B(R d )), λ d = λ λ... λ. On peut appliquer la prop à C = {A, A = d ]a i, b i [, < a i < b i < + }. i=1 On obtient que λ d est l unique mesure sur B(R d ) telle que, pour tous < a i < b i < +, d d λ d ( ]a i, b i [) = (b i a i ). i=1 On appelle λ d la mesure de Lebesgue sur R d Transformation de Fourier Dans cette section, d étant fixé, on notera simplement λ la mesure de Lebesgue sur R d. Rappelons que h.λ désigne la mesure sur R d de densité h par rapport à λ (prop ). Notation. On note M b l ensemble des mesures bornées sur (R d, B(R d )) Produit de convolution. Soit φ l application de R d R d dans R d, (x, y) x+y. Définition Soient µ, ν M b. On appelle produit de convolution de µ et ν et on note µ ν la mesure sur R d image de µ ν par φ. i=1 D après (1.19), µ ν est caractérisée par: pour toute f B + (R d ), f d(µ ν) = f(x + y) dµ(x)dν(y). (1.2)

26 26 Mesures On a donc µ ν(1) = µ(1)ν(1) et µ ν M b. Supposons que µ = φ.λ. On a (tout est positif) f d(µ ν) = f(x + y)φ(x) dxdν(y) = f(x)[ φ(x y) dν(y)] dx et donc, si on pose φ ν(x) = φ(x y) dν(y), (1.21) φ ν < + λ p.p. et on a (φ.λ) ν = φ ν.λ. Supposons que µ = φ.λ et ν = ψ.λ. On a (tout est positif) f d(µ ν) = f(x + y)φ(x)ψ(y) dxdy = f(x)[ φ(x y)ψ(y) dy] dx, et donc, si on pose φ ψ(x) = φ(x y)ψ(y) dy, (1.22) φ ψ < + λ p.p. et on a (φ.λ) (ψ.λ) = φ ψ.λ Transformée de Fourier. Définition Soit µ M b. On appelle transformée de Fourier de µ et on note ˆµ la fonction sur R d définie par ˆµ(t) = e i<t,x> dµ(x). Vu que e i<t,x> 1 L 1 (µ), t ˆµ(t) est continue ( cor.1.3.7). Si µ est symétrique (i.e. µ(a) = µ( A)), ˆµ est réelle. Enfin on a ˆµ(t) µ(1) = ˆµ(). (1.23) Si on note ˆf(t) = e i<t,x> f(x) dx, f L 1 (λ), on a, pour µ = h.λ, ˆµ(t) = ĥ(t). Théorème Soient µ, ν M b. On a µ ν(t) = ˆµ(t)ˆν(t). Preuve: En effet, puisque e i<t,x+y> 1 L 1 (µ ν), on a (th.1.7.2), µ ν(t) = e i<t,x> d(µ ν)(x) = e i<t,x+y> dµ(x)dν(y) = e i<t,x> dµ(x) e i<t,y> dν(x) = ˆµ(t)ˆν(t). Théorème (i) Soient µ, ν M b. Si ˆµ = ˆν, µ = ν. (ii) Soit µ M b telle que ˆµ L 1 (λ). On a alors µ = h.λ avec h(x) = (2π) d e i<t,x> ˆµ(t) dt. (1.24)

27 27 Preuve: On rappelle qu on a posé g σ (x) = (2πσ 2 ) d/2 exp( x 2 2σ 2 ), x 2 = x x 2 d. (1.25) et que (cor ) la famille (g σ (x a), σ >, a R d ) est totale dans C (R d ). Lemme On a ĝ σ (t) = exp( σ2 2 t 2 ) = (2πσ 2 ) d/2 g σ (σ 2 t). Preuve: Soit φ(t) = (2π) 1/2 e itu e u2 /2 du, t R. Vu que d dt eitu u L 1 (e u2 /2.λ), on peut appliquer la prop et on a φ (t) = i(2π) 1/2 e itu d( e u2 /2 ) = (2π) 1/2 t e itu e u2 /2 du = tφ(t) d où φ(t) = Ce t2 /2 = e t2 /2 puisque φ() = 1. Alors (th ) (2πσ 2 ) d/2 e i<t,x> e x 2 /2σ 2 dx = d (2πσ 2 ) 1/2 k=1 Lemme Soit µ M b. On a g σ (x a) dµ(x) = (2π) d/2 e it kx k e x2 k /2σ2 dx k = e σ2 t 2 /2. g 1 (σt)e i<a,t> ˆµ(t) dt. (1.26) Si, de plus, ˆµ L 1 (λ), g σ (x a) dµ(x) = (2π) d g σ (x a) e i<x,t> ˆµ(t) dt dx. (1.27) Preuve: Notons d abord que, vu le lem , g σ (x) = (2πσ 2 ) d/2 ĝ σ ( x σ 2 ) = (2π) d/2 σ d g σ (σ 2 t)e i<x,t> dt. (1.28) (i) On a, puisque g σ (σ 2 t) dtdµ(x) < +, g σ (x a) dµ(x) = (2π) d/2 σ d g σ (σ 2 t)e i<x a,t> dtdµ(x) = (2π) d/2 σ d g σ (σ 2 t)e i<a,t> e i<x,t> dµ(x) dt = (2π) d/2 σ d g σ (σ 2 t)e i<a,t> ˆµ(t) dt d où (1.26) puisque σ d g σ (σ 2 t) = g 1 (σt). (ii) Si ˆµ L 1 (λ), g σ (σ 2 u)ˆµ(t) L 1 (λ λ) et on a, vu que g σ (σ 2 t) = (2πσ 2 ) d/2 ĝ σ (t), g σ (x a) dµ(x) = (2π) d/2 σ d g σ (σ 2 t)e i<a,t> ˆµ(t) dt = (2π) d e i<a,t> ˆµ(t) e i<u,t> g σ (u) dudt

28 28 Mesures = (2π) d g σ (u) e i<u a,t> ˆµ(t) dtdu = (2π) d g σ (x a) e i<x,t> ˆµ(t) dtdx. (On a posé u = a x et utilisé que g σ ( x) = g σ (x)). Fin de la preuve. Soit H = {g σ (x a), σ >, a R d }. Si ˆµ = ˆν, on a, vu (1.26), pour toute f H, f dµ = f dν d où, H étant total, µ = ν (prop ). De même, si ˆµ L 1, posant h(x) = (2π) d e i<x,t> ˆµ(t) dt, on a vu (1.27), pour toute f H, f dµ = fh dλ d où µ = h.λ Mesures de Radon sur R d Nous étudions plus en détails les mesures sur R d utilisant ses propriétés topologiques On note C b l ensemble des fonctions continues bornées sur R d, C l ensemble des fonctions de C b tendant vers à l infini, C k l ensemble des fonctions de C à support compact. On munit ces espaces de la norme f = sup x R d f(x). Alors (cor ) C est un espace de Banach séparable (il existe une suite dense). Rappelons que: a. Etant donnés K compact U ouvert, il existe f C k, f 1, f = 1 sur K, f = sur U c. b. Soit K un compact. Il existe une suite d ouverts U n et une suite f n C k telles que K = lim U n, 1 K = lim f n. c. Soit U un ouvert. Il existe une suite de compacts K n et une suite f n C k telles que U = lim K n, 1 U = lim f n. L objet auquel on s intéresse est le suivant. Définition On appelle mesure de Radon sur R d toute mesure sur B(R d ) finie sur tout compact. Donc toute mesure bornée sur B(R d ) ainsi que la mesure de Lebesgue sur R d sont des mesures de Radon. Soit µ une mesure de Radon sur R d. Alors C k L 1 (µ) et I : f f dµ est une forme linéaire positive sur C k (positive signifiant que I(f) si f ). Il est remarquable que toutes les mesures de Radon s obtiennent ainsi (c est le théorème de Riesz): Théorème Soit I une forme linéaire positive sur C k. Il existe une et une seule mesure de Radon µ sur B(R d ) telle que, pour toute f C k, I(f) = f dµ. Ce théorème fournit une seconde méthode pour construire des mesures. Considérons par exemple C k (R). Pour f C k (R), on peut construire + f(x) dx par des méthodes élémentaires (sommes de Riemann ou limite de fonctions en escalier). Appliquant ce théorème, on en déduit l existence de la mesure de Lebesgue sur R. La