Fonctions circulaires et applications réciproques

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Fonctions circulaires et applications réciproques"

Transcription

1 Chapitre II Fonctions circulaires et applications réciproques A Fonctions circulaires A Rappels de trigonométrie Radians et cercle trigonométrique Le radian est une unité de mesure d angle (orienté) définie par le fait que la mesure d un angle plat est radians Un angle droit par exemple mesure ± radians On appelle cercle trigonométrique le cercle centré en l origine de rayon La circonférence de ce cercle mesure Pour représenter un angle de x radians, on considère un arc de cercle de longueur x orienté dans le sens trigonométrique (ie dans le sens contraire des aiguilles d une montre)

2 Chapitre II - Fonctions circulaires et applications réciproques Les fonctions sinus, cosinus et tangente Les fonctions cosinus et sinus sont définies sur R, à valeurs dans,, -périodiques et dérivables sur R avec pour tout x R cos x = sin x et sin x = cos x tan x La variable x désigne une mesure d angle exprimée en radians Par ailleurs, la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire sin x On appelle fonction tangente la fonction notée tan définie sur R \ ( + Z) par tan x = sin x cos x Il s agit d une fonction impaire, -périodique, infiniment dérivable sur R \ ( + Z) et qui vérifie pour tout x, tan (x) = cos x = + tan x x cos x Quelques valeurs remarquables des fonctions sinus, cosinus et tangente x sin x cos x tan x Beaucoup d autres valeurs remarquables se retrouvent aisément à partir de celles qui précèdent en utilisant les relations entre sinus et cosinus (consulter le formulaire à ce propos) Équivalents En utilisant la définition de la dérivée en un point, on vérifie aisément que : sin x x, cos x x et tan x x

3 A - Fonctions circulaires 3 A Variations de la fonction sinus Puisque la fonction sinus est -périodique et impaire, il suffit de connaître ses variations sur l intervalle, pour en déduire ses variations sur R x sin x = cosx + sin x 3 3 y = sin x A3 Variations de la fonction cosinus La fonction cosinus est -périodique et paire, il suffit donc de connaître ses variations sur l intervalle, pour en déduire ses variations sur R x cos x = sinx cosx 3 3 y = cos x

4 4 Chapitre II - Fonctions circulaires et applications réciproques A4 Variations de la fonction tangente La fonction tangente est -périodique et impaire, il suffit donc de connaître ses variations sur l intervalle, pour en déduire ses variations sur son ensemble de définition Pour tout x,, on a tan x = + tan x > donc la fonction tangente est strictement croissante sur l intervalle, x tan x = + tan x + tan x y = tan x Il faut prendre garde au fait que la fonction tangente n est pas globalement croissante puisqu il s agit d une fonction périodique!

5 B - Fonctions réciproques des fonctions circulaires 5 B Fonctions réciproques des fonctions circulaires B La fonction arcsinus Définition La fonction sinus est continue sur R et strictement croissante sur l intervalle,, elle réalise donc une bijection de cet intervalle sur son image, et on peut définir son application réciproque B Définition On appelle fonction arcsinus, et on note Arcsin :,,, x Arcsin x, l application réciproque de la restriction de la fonction sinus à l intervalle, B Remarques Pour tout x,, Arcsin x est la mesure d angle comprise entre et Pour tout x,, on a sin(arcsin x) = x Pour tout x, ( ), on a Arcsin sin x = x dont le sinus vaut x Étude des variations de la fonction arcsinus Les variations de la fonction arcsinus sur l intervalle, sont les mêmes que celles de la fonction sinus sur l intervalle, x Arcsin x - y = Arcsin x B3 Proposition La fonction arcsinus est dérivable sur, et on a pour tout x, Arcsin (x) = x

6 6 Chapitre II - Fonctions circulaires et applications réciproques B La fonction arccosinus Définition La fonction cosinus est continue sur R et strictement décroissante sur l intervalle,, elle réalise donc une bijection de cet intervalle sur son image, et on peut définir son application réciproque B Définition On appelle fonction arccosinus, et on note Arccos :,,, x Arccos x, l application réciproque de la restriction de la fonction cosinus à l intervalle, B Remarques Pour tout x,, Arccos x est la mesure d angle comprise entre et dont le cosinus vaut x Pour tout x,, on a cos ( Arccos x ) = x Pour tout x,, on a Arccos ( cos x ) = x Étude des variations de la fonction arccosinus Les variations de la fonction arccosinus sur l intervalle, sont les mêmes que celles de la fonction cosinus sur l intervalle, x Arccos x - y = Arccos x B3 Proposition La fonction arccosinus est dérivable sur, et on a pour tout x, Arccos (x) = x

7 B - Fonctions réciproques des fonctions circulaires 7 B3 La fonction arctangente Définition La fonction tangente est continue et strictement croissante sur,, elle réalise donc une bijection de cet intervalle sur son image R et on peut définir son application réciproque B3 Définition On appelle fonction arctangente, et on note Arctan : R,, x Arctan x, l application réciproque de la restriction de la fonction tangente à l intervalle, B3 Remarques Pour tout x R, Arctan x est la mesure d angle comprise entre et Pour tout x R, on a tan ( Arctan x ) = x Pour tout x, ( ), on a Arctan tan x = x dont la tangente vaut x Étude des variations de la fonction arctangente Les variations de la fonction arctangente sur R sont les mêmes que celles de la fonction tangente sur l intervalle, x + Arctan x y = Arctan x B33 Proposition La fonction arctangente est dérivable sur R et on a pour tout x R Arctan (x) = + x

8 8 Chapitre II - Fonctions circulaires et applications réciproques B4 Deux relations remarquables entre les fonctions trigonométriques Exercice Pour tout x,, on a : Arcsin x + Arccos x = Solution Soit x,, on note α = Arcsin x et β = Arccos x, alors { sin α = sin ( Arcsin x ) = x cos β = cos ( Arccos x ) = x On a donc sin α = cos β d où (c est une formule de trigonométrie classique) sin α = sin ( β) La fonction Arcsin est à valeurs dans, donc α, La fonction Arccos est à valeurs dans, donc β,, d où β, Ainsi, on a sin α = sin ( β) alors que α et β sont dans l intervalle, sur lequel la fonction sinus est bijective Par conséquent α = β ie α + β = Exercice Arctan x + Arctan x = si x > si x < Solution Pour tout x, on pose f(x) = Arctan x + Arctan x La fonction f est dérivable sur chacun des intervalles, et, + et on a ( f (x) = Arctan (x) + Arctan ) ( ) x x = + x + ( + ) x x = Il s ensuit que la fonction f est constante sur chacun des intervalles sur lesquels elle est définie ie il existe une constante c telle que l on ait f(x) = c pour tout x > et il existe une constante d telle que l on ait f(x) = d pour tout x < On a f() = Arctan() + Arctan ( ) = = donc f(x) = On a f( ) = Arctan( ) + Arctan = 4 4 = donc f(x) = pour tout x > pour tout x <

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Développements limités usuels en 0

Développements limités usuels en 0 Développements limités usuels en 0 e x sh x ch x sin x cos x = + x! + x! + + xn n! + O ( x n+) = x + x3 3! + + xn+ (n + )! + O ( x n+3) = + x! + x4 4! + + xn (n)! + O ( x n+) = x x3 3! + + ( )n xn+ (n

Plus en détail

Mathématiques I Section Architecture, EPFL

Mathématiques I Section Architecture, EPFL Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Mesure d angles et trigonométrie

Mesure d angles et trigonométrie Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Cercle trigonométrique et mesures d angles

Cercle trigonométrique et mesures d angles Cercle trigonométrique et mesures d angles I) Le cercle trigonométrique Définition : Le cercle trigonométrique de centre O est un cercle qui a pour rayon 1 et qui est muni d un sens direct : le sens inverse

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

Traceur de courbes planes

Traceur de courbes planes Traceur de courbes planes Version 2.5 Manuel d utilisation Patrice Rabiller Lycée Notre Dame Fontenay le Comte Mise à jour de Janvier 2008 Téléchargement : http://perso.orange.fr/patrice.rabiller/sinequanon/menusqn.htm

Plus en détail

DURÉE DU JOUR EN FONCTION DE LA DATE ET DE LA LATITUDE

DURÉE DU JOUR EN FONCTION DE LA DATE ET DE LA LATITUDE DURÉE DU JUR E FCTI DE LA DATE ET DE LA LATITUDE ous allons nous intéresser à la durée du jour, prise ici dans le sens de période d éclairement par le Soleil dans une journée de 4 h, en un lieu donné de

Plus en détail

Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide

Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide I Rappels : Référentiel : Le mouvement d un corps est décris par rapport à un corps de référence et dépend du choix de ce corps. Ce corps de référence

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Fonction réciproque. Christelle MELODELIMA. Chapitre 2 :

Fonction réciproque. Christelle MELODELIMA. Chapitre 2 : UE4 : Evaluation des méthodes d analyses appliquées aux sciences de la vie et de la santé Analyse Chapitre 2 : Fonction réciproque Christelle MELODELIMA Année universitaire 2011/2012 Université Joseph

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Utiliser des fonctions complexes

Utiliser des fonctions complexes Chapitre 5 Utiliser des fonctions complexes Construire une formule conditionnelle avec la fonction SI Calculer un remboursement avec la fonction VPN Utiliser des fonctions mathématiques Utiliser la fonction

Plus en détail

Chapitre 0 Introduction à la cinématique

Chapitre 0 Introduction à la cinématique Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à

Plus en détail

Développements limités

Développements limités Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Développements limités Bernard Ycart Les développements limités sont l outil principal d approximation locale des fonctions. L objectif de ce chapitre

Plus en détail

5.2 Théorème/Transformée de Fourier a) Théorème

5.2 Théorème/Transformée de Fourier a) Théorème . Théorème de Fourier et Transformée de Fourier Fourier, Joseph (788). Théorème/Transformée de Fourier a) Théorème Théorème «de Fourier»: N importe quelle courbe peut être décomposée en une superposition

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 : Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1

Plus en détail

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 % 23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une

Plus en détail

Nathalie Barbary SANSTABOO. Excel 2010. expert. Fonctions, simulations, Groupe Eyrolles, 2011, ISBN : 978-2-212-12761-4

Nathalie Barbary SANSTABOO. Excel 2010. expert. Fonctions, simulations, Groupe Eyrolles, 2011, ISBN : 978-2-212-12761-4 Nathalie Barbary Nathalie Barbary SANSTABOO Excel 2010 Fonctions, simulations, bases bases de de données expert Groupe Eyrolles, 2011, ISBN : 978-2-212-12761-4 Du côté des mathématiciens 14 Il n est pas

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Cours de tracés de Charpente, Le TRAIT

Cours de tracés de Charpente, Le TRAIT Page 1/5 Cours de tracés de Charpente, Le TRAIT Recherches de vraies grandeurs, angles de coupes, surfaces. Les Méthodes : Le tracé et les calculs Chaque chapitre ou fichier comportent une explication

Plus en détail

Cours d Analyse I et II

Cours d Analyse I et II ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres

Plus en détail

Quelques contrôle de Première S

Quelques contrôle de Première S Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

Algorithmes et mathématiques. 1. Premiers pas avec Python. Exo7. 1.1. Hello world!

Algorithmes et mathématiques. 1. Premiers pas avec Python. Exo7. 1.1. Hello world! Exo7 Algorithmes et mathématiques Vidéo partie 1. Premiers pas avec Python Vidéo partie 2. Ecriture des entiers Vidéo partie 3. Calculs de sinus, cosinus, tangente Vidéo partie 4. Les réels Vidéo partie

Plus en détail

Les travaux doivent être remis sous forme papier.

Les travaux doivent être remis sous forme papier. Physique mathématique II Calendrier: Date Pondération/note nale Matériel couvert ExercicesSérie 1 : 25 septembre 2014 5% RH&B: Ch. 3 ExercicesSérie 2 : 23 octobre 2014 5% RH&B: Ch. 12-13 Examen 1 : 24

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Chapitre III : Fonctions réelles à une variable réelle. Notion de Limite (ses variantes) et Théorèmes d'analyse

Chapitre III : Fonctions réelles à une variable réelle. Notion de Limite (ses variantes) et Théorèmes d'analyse Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014 Rabat, Maroc Filière DEUG : Sciences Mathématiques et Informatique (SMI) et

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

Paris et New-York sont-ils les sommets d'un carré?

Paris et New-York sont-ils les sommets d'un carré? page 95 Paris et New-York sont-ils les sommets d'un carré? par othi Mok (3 ), Michel Vongsavanh (3 ), Eric hin (3 ), iek-hor Lim ( ), Eric kbaraly ( ), élèves et anciens élèves du ollège Victor Hugo (2

Plus en détail

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

Logique. Plan du chapitre

Logique. Plan du chapitre Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels

Plus en détail

Mais comment on fait pour...

Mais comment on fait pour... Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition

Plus en détail

Calculatrice TI Collège Plus

Calculatrice TI Collège Plus Calculatrice TI Collège Plus Important... 2 Exemples... 3 Mise en marche et arrêt de la calculatrice TI Collège Plus... 3 Contraste d affichage... 3 Accueil... 4 Fonctions secondaires... 5 Modes... 5 Menus...

Plus en détail

Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................

Plus en détail

C est un mouvement plan dont la trajectoire est un cercle ou une portion de cercle. Le module du vecteur position OM est constant et il est égal au

C est un mouvement plan dont la trajectoire est un cercle ou une portion de cercle. Le module du vecteur position OM est constant et il est égal au 1 2 C est un mouvement plan dont la trajectoire est un cercle ou une portion de cercle. Le module du vecteur position est constant et il est égal au rayon du cercle. = 3 A- ouvement circulaire non uniforme

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

I. RACINE CARREE D UN NOMBRE POSITIF : La racine carrée d un nombre positif a est le nombre positif noté a dont le carré est a.

I. RACINE CARREE D UN NOMBRE POSITIF : La racine carrée d un nombre positif a est le nombre positif noté a dont le carré est a. OURS 3 EME RINES RREES PGE 1/1 ONTENUS OMPETENES EXIGILES OMMENTIRES alculs élémentaires sur les radicaux Racine carrée d un nombre positif Savoir que si a désigne un nombre positif, a est le nombre positif

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé

Baccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H

Plus en détail

SOUS TITRAGE DE LA WEBÉMISSION DU PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 11 e ET 12 e ANNÉE

SOUS TITRAGE DE LA WEBÉMISSION DU PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 11 e ET 12 e ANNÉE SOUS TITRAGE DE LA WEBÉMISSION DU PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 11 e ET 12 e ANNÉE Table de matières INTRODUCTION 2 ITINÉRAIRE MEL3E/MEL4E 6 ITINÉRAIRE MBF3C/MAP4C 9 ITINÉRAIRE MCF3M/MCT4C 12 ITINÉRAIRE MCR3U/MHF4U

Plus en détail

Annexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Annexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Annexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Physique, chimie et sciences de l ingénieur (PCSI) Discipline : Mathématiques Première année Classe préparatoire

Plus en détail

Algorithmique avec Algobox

Algorithmique avec Algobox Algorithmique avec Algobox 1. Algorithme: Un algorithme est une suite d instructions qui, une fois exécutée correctement, conduit à un résultat donné Un algorithme doit contenir uniquement des instructions

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

G.P. DNS02 Septembre 2012. Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3. Réfraction

G.P. DNS02 Septembre 2012. Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3. Réfraction DNS Sujet Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3 Réfraction I. Préliminaires 1. Rappeler la valeur et l'unité de la perméabilité magnétique du vide µ 0. Donner

Plus en détail

Calcul Formel et Numérique, Partie I

Calcul Formel et Numérique, Partie I Calcul Formel et Numérique N.Vandenberghe nvdb@irphe.univ-mrs.fr Table des matières 1 Introduction à Matlab 2 1.1 Quelques généralités.......................... 2 2 Où trouver des informations 2 3 Opérations

Plus en détail

Calcul Formel et Numérique, Partie I

Calcul Formel et Numérique, Partie I Calcul Formel et Numérique NicolasVandenberghe nvdb@irphe.univ-mrs.fr Table des matières 1 Introduction à Matlab 2 1.1 Quelques généralités.......................... 2 1.2 Où trouver des informations......................

Plus en détail

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

Python - introduction à la programmation et calcul scientifique

Python - introduction à la programmation et calcul scientifique Université de Strasbourg Environnements Informatique Python - introduction à la programmation et calcul scientifique Feuille de TP 1 Avant de commencer Le but de ce TP est de vous montrer les bases de

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Chapitre 2 Les ondes progressives périodiques

Chapitre 2 Les ondes progressives périodiques DERNIÈRE IMPRESSION LE er août 203 à 7:04 Chapitre 2 Les ondes progressives périodiques Table des matières Onde périodique 2 2 Les ondes sinusoïdales 3 3 Les ondes acoustiques 4 3. Les sons audibles.............................

Plus en détail

Voyez la réponse à cette question dans ce chapitre. www.hometownroofingcontractors.com/blog/9-reasons-diy-rednecks-should-never-fix-their-own-roof

Voyez la réponse à cette question dans ce chapitre. www.hometownroofingcontractors.com/blog/9-reasons-diy-rednecks-should-never-fix-their-own-roof Une échelle est appuyée sur un mur. S il n y a que la friction statique avec le sol, quel est l angle minimum possible entre le sol et l échelle pour que l échelle ne glisse pas et tombe au sol? www.hometownroofingcontractors.com/blog/9-reasons-diy-rednecks-should-never-fix-their-own-roof

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie

Plus en détail

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé et tangente Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative

Plus en détail

Nombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation

Nombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation 1 Nombres complexes cours, exercices corrigés, programmation Nous allons partir des nombres réels pour définir les nombres complexes. Au cours de cette construction, les nombres complexes vont être munis

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail

Proposition de programmes de calculs en mise en train

Proposition de programmes de calculs en mise en train Proposition de programmes de calculs en mise en train Programme 1 : Je choisis un nombre, je lui ajoute 1, je calcule le carré du résultat, je retranche le carré du nombre de départ. Essai-conjecture-preuve.

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Graph 25+ Pro au lycée

Graph 25+ Pro au lycée Utiliser sa calculatrice Graph 25+ Pro au lycée Par Yves Coudert www.casio-education.fr Sommaire 1 - Description des principales fonctionnalités... 3 2 - SYSTEM : Initialisation et réglages de la calculatrice....

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Statistiques Descriptives à une dimension

Statistiques Descriptives à une dimension I. Introduction et Définitions 1. Introduction La statistique est une science qui a pour objectif de recueillir et de traiter les informations, souvent en très grand nombre. Elle regroupe l ensemble des

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations

Plus en détail

Fonctions de deux variables. Mai 2011

Fonctions de deux variables. Mai 2011 Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs

Plus en détail

Michel Henry Nicolas Delorme

Michel Henry Nicolas Delorme Michel Henry Nicolas Delorme Mécanique du point Cours + Exos Michel Henry Maître de conférences à l IUFM des Pays de Loire (Le Mans) Agrégé de physique Nicolas Delorme Maître de conférences à l université

Plus en détail

COMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre?

COMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Claire FORGACZ Marion GALLART Hasnia GOUDJILI COMPTERENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Si l on se pose la question de savoir comment on peut faire

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Repérage d un point - Vitesse et

Repérage d un point - Vitesse et PSI - écanique I - Repérage d un point - Vitesse et accélération page 1/6 Repérage d un point - Vitesse et accélération Table des matières 1 Espace et temps - Référentiel d observation 1 2 Coordonnées

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Université Bordeaux 1 MIS 103 OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE

Université Bordeaux 1 MIS 103 OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE Université Bordeaux 1 MIS 103 OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE Année 2006 2007 Table des matières 1 Les grands principes de l optique géométrique 1 1 Principe de Fermat............................... 1 2 Rayons lumineux.

Plus en détail

4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE

4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Introduction. 1. 1 Justication historique. La résolution de l'équation du degré (par la méthode de Cardan) amena les mathématiciens italiens du seizième 3ème siècle

Plus en détail

Équations non linéaires

Équations non linéaires Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et

Plus en détail

Initiation à la programmation OEF pour Wims (exercices).

Initiation à la programmation OEF pour Wims (exercices). page 1 sur 9 Initiation à la programmation OEF pour Wims (exercices). Les titres des différentes parties de ce document, en grisé, sont donnés en référence au document Wims «DocAide Exercices OEF» rédigé

Plus en détail

Construction de la bissectrice d un angle

Construction de la bissectrice d un angle onstruction de la bissectrice d un angle 1. Trace un angle. 1. 2. Trace un angle cercle. de centre (le sommet de l angle) et de rayon quelconque. 1. 2. 3. Trace Le cercle un angle cercle coupe. de la demi-droite

Plus en détail

Utilisation du logiciel ModellingSpace

Utilisation du logiciel ModellingSpace Utilisation du logiciel ModellingSpace 1. Pour ouvrir le logiciel, cliquer deux fois sur l icône de ModellingSpace se trouvant sur le bureau. N ouvrez pas d autres applications en même temps que ModellingSpace.

Plus en détail

MESURE ET PRECISION. Il est clair que si le voltmètre mesure bien la tension U aux bornes de R, l ampèremètre, lui, mesure. R mes. mes. .

MESURE ET PRECISION. Il est clair que si le voltmètre mesure bien la tension U aux bornes de R, l ampèremètre, lui, mesure. R mes. mes. . MESURE ET PRECISIO La détermination de la valeur d une grandeur G à partir des mesures expérimentales de grandeurs a et b dont elle dépend n a vraiment de sens que si elle est accompagnée de la précision

Plus en détail

Equations différentielles linéaires à coefficients constants

Equations différentielles linéaires à coefficients constants Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I

Plus en détail

Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010

Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010 Université de Provence Introduction à l Informatique Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010 Année 2009-10 Aucun document n est autorisé Les exercices peuvent être traités dans le désordre.

Plus en détail

Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné :

Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné : Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Plans tangents à un graphe, différentiabilité Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point

Plus en détail

Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007

Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007 Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses Guillaume Martinez 17 décembre 2007 1 Table des matières 1 Le projet 3 1.1 Objectif................................ 3 1.2 Les choix techniques.........................

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

Pi, poker et informatique ; une «épuisante» alliance pour des projets en mathématiques

Pi, poker et informatique ; une «épuisante» alliance pour des projets en mathématiques Pi, poker et informatique ; une «épuisante» alliance pour des projets en mathématiques Jean Fradette et Anik Trahan, Cégep de Sherbrooke Résumé Dans un cours intégrateur en mathématiques, des étudiants

Plus en détail

SOMMAIRE. 1. Préambule...2. 2. Le calendrier...2. 3. Trajectoire d un objet lancé...6. 4. Régression linéaire...9

SOMMAIRE. 1. Préambule...2. 2. Le calendrier...2. 3. Trajectoire d un objet lancé...6. 4. Régression linéaire...9 SOMMAIRE 1. Préambule...2 2. Le calendrier...2 3. Trajectoire d un objet lancé...6 4. Régression linéaire...9 5. Calcul de commissions par tranches...12 6. Base de données...16 7. Valeur cible...19 ATTENTION

Plus en détail