Fonctions circulaires et applications réciproques

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1 Chapitre II Fonctions circulaires et applications réciproques A Fonctions circulaires A Rappels de trigonométrie Radians et cercle trigonométrique Le radian est une unité de mesure d angle (orienté) définie par le fait que la mesure d un angle plat est radians Un angle droit par exemple mesure ± radians On appelle cercle trigonométrique le cercle centré en l origine de rayon La circonférence de ce cercle mesure Pour représenter un angle de x radians, on considère un arc de cercle de longueur x orienté dans le sens trigonométrique (ie dans le sens contraire des aiguilles d une montre)

2 Chapitre II - Fonctions circulaires et applications réciproques Les fonctions sinus, cosinus et tangente Les fonctions cosinus et sinus sont définies sur R, à valeurs dans,, -périodiques et dérivables sur R avec pour tout x R cos x = sin x et sin x = cos x tan x La variable x désigne une mesure d angle exprimée en radians Par ailleurs, la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire sin x On appelle fonction tangente la fonction notée tan définie sur R \ ( + Z) par tan x = sin x cos x Il s agit d une fonction impaire, -périodique, infiniment dérivable sur R \ ( + Z) et qui vérifie pour tout x, tan (x) = cos x = + tan x x cos x Quelques valeurs remarquables des fonctions sinus, cosinus et tangente x sin x cos x tan x Beaucoup d autres valeurs remarquables se retrouvent aisément à partir de celles qui précèdent en utilisant les relations entre sinus et cosinus (consulter le formulaire à ce propos) Équivalents En utilisant la définition de la dérivée en un point, on vérifie aisément que : sin x x, cos x x et tan x x

3 A - Fonctions circulaires 3 A Variations de la fonction sinus Puisque la fonction sinus est -périodique et impaire, il suffit de connaître ses variations sur l intervalle, pour en déduire ses variations sur R x sin x = cosx + sin x 3 3 y = sin x A3 Variations de la fonction cosinus La fonction cosinus est -périodique et paire, il suffit donc de connaître ses variations sur l intervalle, pour en déduire ses variations sur R x cos x = sinx cosx 3 3 y = cos x

4 4 Chapitre II - Fonctions circulaires et applications réciproques A4 Variations de la fonction tangente La fonction tangente est -périodique et impaire, il suffit donc de connaître ses variations sur l intervalle, pour en déduire ses variations sur son ensemble de définition Pour tout x,, on a tan x = + tan x > donc la fonction tangente est strictement croissante sur l intervalle, x tan x = + tan x + tan x y = tan x Il faut prendre garde au fait que la fonction tangente n est pas globalement croissante puisqu il s agit d une fonction périodique!

5 B - Fonctions réciproques des fonctions circulaires 5 B Fonctions réciproques des fonctions circulaires B La fonction arcsinus Définition La fonction sinus est continue sur R et strictement croissante sur l intervalle,, elle réalise donc une bijection de cet intervalle sur son image, et on peut définir son application réciproque B Définition On appelle fonction arcsinus, et on note Arcsin :,,, x Arcsin x, l application réciproque de la restriction de la fonction sinus à l intervalle, B Remarques Pour tout x,, Arcsin x est la mesure d angle comprise entre et Pour tout x,, on a sin(arcsin x) = x Pour tout x, ( ), on a Arcsin sin x = x dont le sinus vaut x Étude des variations de la fonction arcsinus Les variations de la fonction arcsinus sur l intervalle, sont les mêmes que celles de la fonction sinus sur l intervalle, x Arcsin x - y = Arcsin x B3 Proposition La fonction arcsinus est dérivable sur, et on a pour tout x, Arcsin (x) = x

6 6 Chapitre II - Fonctions circulaires et applications réciproques B La fonction arccosinus Définition La fonction cosinus est continue sur R et strictement décroissante sur l intervalle,, elle réalise donc une bijection de cet intervalle sur son image, et on peut définir son application réciproque B Définition On appelle fonction arccosinus, et on note Arccos :,,, x Arccos x, l application réciproque de la restriction de la fonction cosinus à l intervalle, B Remarques Pour tout x,, Arccos x est la mesure d angle comprise entre et dont le cosinus vaut x Pour tout x,, on a cos ( Arccos x ) = x Pour tout x,, on a Arccos ( cos x ) = x Étude des variations de la fonction arccosinus Les variations de la fonction arccosinus sur l intervalle, sont les mêmes que celles de la fonction cosinus sur l intervalle, x Arccos x - y = Arccos x B3 Proposition La fonction arccosinus est dérivable sur, et on a pour tout x, Arccos (x) = x

7 B - Fonctions réciproques des fonctions circulaires 7 B3 La fonction arctangente Définition La fonction tangente est continue et strictement croissante sur,, elle réalise donc une bijection de cet intervalle sur son image R et on peut définir son application réciproque B3 Définition On appelle fonction arctangente, et on note Arctan : R,, x Arctan x, l application réciproque de la restriction de la fonction tangente à l intervalle, B3 Remarques Pour tout x R, Arctan x est la mesure d angle comprise entre et Pour tout x R, on a tan ( Arctan x ) = x Pour tout x, ( ), on a Arctan tan x = x dont la tangente vaut x Étude des variations de la fonction arctangente Les variations de la fonction arctangente sur R sont les mêmes que celles de la fonction tangente sur l intervalle, x + Arctan x y = Arctan x B33 Proposition La fonction arctangente est dérivable sur R et on a pour tout x R Arctan (x) = + x

8 8 Chapitre II - Fonctions circulaires et applications réciproques B4 Deux relations remarquables entre les fonctions trigonométriques Exercice Pour tout x,, on a : Arcsin x + Arccos x = Solution Soit x,, on note α = Arcsin x et β = Arccos x, alors { sin α = sin ( Arcsin x ) = x cos β = cos ( Arccos x ) = x On a donc sin α = cos β d où (c est une formule de trigonométrie classique) sin α = sin ( β) La fonction Arcsin est à valeurs dans, donc α, La fonction Arccos est à valeurs dans, donc β,, d où β, Ainsi, on a sin α = sin ( β) alors que α et β sont dans l intervalle, sur lequel la fonction sinus est bijective Par conséquent α = β ie α + β = Exercice Arctan x + Arctan x = si x > si x < Solution Pour tout x, on pose f(x) = Arctan x + Arctan x La fonction f est dérivable sur chacun des intervalles, et, + et on a ( f (x) = Arctan (x) + Arctan ) ( ) x x = + x + ( + ) x x = Il s ensuit que la fonction f est constante sur chacun des intervalles sur lesquels elle est définie ie il existe une constante c telle que l on ait f(x) = c pour tout x > et il existe une constante d telle que l on ait f(x) = d pour tout x < On a f() = Arctan() + Arctan ( ) = = donc f(x) = On a f( ) = Arctan( ) + Arctan = 4 4 = donc f(x) = pour tout x > pour tout x <