LE PUITS DOUBLE L EXEMPLE STANDARD DE LA MOLECULE D AMMONIAC I. EXERCICE PRELIMINAIRE: EFFET TUNNEL

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Marie-Claude André
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1 Préceptort de Mécnique Quntique 1 ère nnée Florent Krzkl, PCT, Bureu F.3-14 LE PUITS DOUBLE L EXEMPLE STANDARD DE LA MOLECULE D AMMONIAC I. EXERCICE PRELIMINAIRE: EFFET TUNNEL I-1/ Soit une brrière de potentiel rectngulire (Fig. 1), unidimensionnelle, de lrgeur et de huteur V0 (V(x)=V0 pour 0 x, V(x)=0 prtout illeurs). On se propose d étudier l trnsprence de cette brrière pour une prticule de msse m et d énergie E (E V 0 ). E V 0 V(x) 0 Figure 1 : Brrière de potentiel Montrer que le coefficient de trnsmission (ou trnsprence) d une telle brrière, pour l prticule considérée, peut s écrire : où α 2 = 2mE et 2 T = ch 2 β + 1 β 4 α α 2 sh 2 β β β 2 = 2m(V 0 E) 2 (2) 1 = 1+ 1 β 4 α + α 2 sh 2 β β 1 (1)

1), unidimensionnelle, de lrgeur et de huteur V0 (V(x)=V0 pour 0 x, V(x)=0 prtout illeurs).

2 Préceptort de Mécnique Quntique 1 ère nnée Florent Krzkl, PCT, Bureu F.3-14 I-2/ On remrque que T ne dépend que des prmètres sns dimension : X = E 1 et V 0 λ * où λ * est l longueur d onde réduite de de Broglie de l prticule à l intérieur de l brrière λ * = λ 2π = 1 β. On peut donc construire un réseu de courbes universelles de T en coordonnées réduites : T = f X,. λ * sh 2 λ Montrer que : T = 1+ * 4X(1 X) 1 (3). I-3/ Trcer ln T(x) en fonction de pour X=1, X=0.75, X=0.5, vritions de l trnsprence * λ logrithmique de l brrière en fonction de s lrgueur réduite. I-4/ Montrer que : - Si l lrgeur de l brrière est fible : -Si l brrière est très lrge : T 1 mv X (4) lnt 2 + ln[ 16X(1 X) ] (5) λ * Ce dernier résultt est-il cohérent vec l llure du réseu de courbe trcé précédemment? I-5/ On se plce mintennt dns le cs usuel où X n est ps trop voisin de 0 ou de 1 (pr exemple 0.001<X<0.999). On suppose de plus 10. Comprer dns ce cs l importnce reltive des deux termes de l expression (5). Conclusion? I-6/ Que vut l trnsprence de l brrière dns le cs où l énergie de l prticule est juste égle à l huteur de l brrière (ttention à l ordre des limites!!!)? Comprer cette vleur vec celle que donnerit l mécnique clssique. I-7/ Comment obtenir sns clcul (ou presque!) l formule (3) dns le cs où E>V0. Dns ce cs (où mintennt X>1), trcer mintennt T(x). Les gz rres sont complètement trnsprents à des électrons de 0.7 ev (effet Rmsuer Townsend). Comment expliquez-vous ce phénomène? λ *

On peut donc construire un réseu de courbes universelles de T en coordonnées réduites : T = f X,. λ * sh 2 λ Montrer que : T = 1+ * 4X(1 X) 1 (3). I-3/ Trcer ln T(x) en fonction de pour X=1, X=0.

3 Préceptort de Mécnique Quntique 1 ère nnée Florent Krzkl, PCT, Bureu F.3-14 II. UN MODELE DE LA MOLECULE D AMMONIAC Il existe de nombreuses situtions physiques où le potentiel uquel est soumis une prticule possède plusieurs minim et présente l llure d une succession de puits. Dns le cs le plus simple, on un puis double. Un exemple stndrd est fourni pr l molécule d mmonic N3 si l on s intéresse à l position de l tome d zote N pr rpport u pln défini pr les trois tomes d hydrogène. On dit en générl que l forme de l molécule est pyrmidle. Ceci veut dire que l tome N est en équilibre (pr rpport ux forces de liison moléculires) lorsqu il se trouve à une distnce déterminée des trois tomes (figure 2). Il existe donc deux positions d équilibre, symétriques pr rpport u pln, soit deux minim de l fonction potentiel (figure 3). Etudions le comportement d une prticule dns un tel potentiel à l ide d un modèle à potentiel plt pr morceux comme celui représenté en trit pointillé sur l figure (3). N N Figure 2 : Pour une position donnée des tomes d hydrogène (ux sommets d un tringle équiltérl), il existe deux positions d équilibre de l tome d zote N, u sommet d une pyrmide de prt et d utre du pln des hydrogènes. V(x) V 0 -b 0 b x Figure 3 : Vritions en fonction de x de l énergie potentielle V(x) de l molécule. V(x) présente deux minim séprés pr un brrière de potentiel due à l répulsion pour x petit, entre l tome d zote et les trois hydrogènes. En trit pointillé nous vons représenté le potentiel plt pr morceux utilisé pour pproximer V (x).

Dns le cs le plus simple, on un puis double.

4 Préceptort de Mécnique Quntique 1 ère nnée Florent Krzkl, PCT, Bureu F.3-14 II-1. Puits simple infini ) Donner l expression des énergies propres En et des fonctions d onde ϕ n d une prticule piégée dns un puits de potentiel infini de lrgeur. b) A t=0 on considère que l prticule est dns un étt de superposition linéire de l étt n=1 ( ) et n=2 : Ψ(x,t = 0) = 1 2 ϕ1 (x) + ϕ 2 (x) Déterminer l évolution de l fonction d onde Ψ(x,t) en fonction du temps t. Clculer églement Ψ(x,t) 2. Que peut-on en déduire pour l prticule? II-2. Double puits infini. V(x) -b 0 b x Figure 4 : Modèle du double puits infini. Avnt de clculer les fonctions propres et vleurs propres de l miltonien correspondnt u potentiel crré de l figure 3, nous llons dns un premier temps supposer que l brrière de potentiel V0 est infinie. Cel nous permettr ensuite de mieux comprendre les conséquences de l effet tunnel à trvers l brrière finie. Nous considérons donc tout d bord une prticule soumise à un potentiel V(x) constitué de deux puits infinis de lrgeur centrés en x=±b (figure 4). Si l prticule est dns un puits, elle ne peut ps psser dns l utre. ) En utilisnt les résultts de l question précédente, donner l expression des fonctions n n d onde ϕ G et ϕ D correspondnt ux cs où l prticule est dns le puits de guche ou dns le puits de droite. Donner le spectre d énergie de l molécule en précisnt l dégénérescence des différents niveux. Dessiner l llure de ces fonctions dns le double puits pour n=1. b) On introduit mintennt les fonctions d onde symétrique pr superposition linéire de ϕ G 1 Dessiner l llure des fonctions et ϕ 1 D : ϕ 1 S = 1 2 ϕ 1 1 ( G + ϕ D ) et ϕ S 1 ϕ A 1 ϕ S 1 ( ) = 1 2 ϕ 1 1 G + ϕ D et ntisymétrique ϕ 1 A obtenues et ϕ 1 A et donner leurs énergies propres ES et EA.

b) A t=0 on considère que l prticule est dns un étt de superposition linéire de l étt n=1 ( ) et n=2 : Ψ(x,t = 0) = 1 2 ϕ1 (x) + ϕ 2 (x) Déterminer l évolution de l fonction d onde Ψ(x,t) en fonction

5 Préceptort de Mécnique Quntique 1 ère nnée Florent Krzkl, PCT, Bureu F.3-14 II-3. Molécule d mmonic : double puits séprés pr une brrière de potentiel finie. On se plce mintennt dns le cdre d une brrière de potentiel finie comme présenté sur l figure 3. A l intérieur des deux puits de potentiel (qund V(x)=0), l fonction d onde est de l forme : où k est relié à l énergie χ n D (x) = Asin k(b + 2 x) si b 2 x b + 2 χ n G (x) = A ʹ sin k(b x) si b 2 x b + 2 E = 2 k 2 2m (6). Vérifiez que, comme dns le cs précédent, n χ G(D) (x) s nnule toujours en (x) devient infini en ce deux points. En revnche, V0 étnt fini, x = ±(b + 2 ) cr V n χ G(D) (x) ne s nnule plus en x = ±(b 2 ) et k nπ. ) Comme précédemment, on introduit les fonctions symétrique χ n S (x) et ntisymétrique χ n A (x) combinisons linéires de χ n G (x) et χ n D (x). Les vleurs propres ssociées seront désignées pr ES et EA ce qui permet de définir les vleurs correspondntes ks et ka du prmètre k à prtir de l reltion (6). Etblir l expression de χ n S (x) et χ n A (x) dns l intervlle -(b 2 ) x b. On introduir le 2 prmètre α tel que V 0 = 2 α 2 2m. En effectunt le rccord des fonctions d onde dns les différentes prties de l espce montrer notmment que ks et ka peuvent être déterminés à prtir des équtions suivntes : k tg(k S ) = S α 2 k coth α 2 k 2 2 S b (7) S 2 tg(k A ) = k α 2 k th 2 α 2 2 k A b (8) 2 b) Quel est l effet d une brrière finie sur l dégénérescence de l étt symétrique et ntisymétrique? Montrer que dns le cs d une brrière infinie, on retrouve bien les vleurs de ks et ka déterminées précédemment. c) Dessinez l llure des fonctions χ n S (x) et χ n A (x) dns tout l espce. Dns le cs le plus générl, les équtions (7) et (8) ne peuvent être résolues que numériquement ou grphiquement.

A l intérieur des deux puits de potentiel (qund V(x)=0), l fonction d onde est de l forme : où k est relié à l énergie χ n D (x) = Asin k(b + 2 x) si b 2 x b + 2 χ n G (x) = A ʹ sin k(b + 2 + x) si b

6 Préceptort de Mécnique Quntique 1 ère nnée Florent Krzkl, PCT, Bureu F.3-14 d) A t=0 on considère que l prticule est dns un étt de superposition linéire de l étt symétrique n=1 et de l étt ntisymétrique n=1: Déterminer l évolution de Ψ(x,t) 2 d inversion crctéristique de l molécule de N3. ( ) Ψ(x,t = 0) = 1 2 χ 1 S(x) + χ 1 A (x) en fonction du temps t. En déduire l fréquence L tome d zote ynt tendnce à ttirer vers lui les électrons des trois tomes d hydrogène, l molécule d mmonic possède un dipôle électrique proportionnel à l vleur moyenne <X> de l position de l prticule fictive que nous vons étudiée. Ce dipôle est une fonction oscillnte du temps et dns ces conditions l molécule d mmonic est susceptible d émettre ou d bsorber du ryonnement électromgnétique à l fréquence d inversion. Expérimentlement, l vleur de cette fréquence tombe dns le domine des ondes centimétriques. En rdiostronomie, on pu insi mettre en évidence l présence de molécules d mmonic dns l espce interstellire.

de l molécule de N3. ( ) Ψ(x,t = 0) = 1 2 χ 1 S(x) + χ 1 A (x) en fonction du temps t.

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