L3-2014/2015 Mercredi 14 janvier Mathématiques Discrètes. Examen. Exercice 1.

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1 Examen Exercice 1. Soit N un entier naturel 2. On dispose de trois jeux de N cartes (numérotées de 1 à N), chaque jeu étant d une couleur différente : rouge, bleue et verte. On se propose de distribuer les 3N cartes à trois personnes : Rosalie, Basile et Viviane de façon que Rosalie n ait aucune carte rouge, Basile aucune carte bleue et Valérie aucune carte verte. Une telle distribution sera appelée admissible. On se propose de compter de deux façons le nombre de distributions admissibles. 1. Justifier qu une distribution admissible est uniquement déterminée par trois ensembles de 1, N de même cardinal X l ensemble des cartes de couleur verte distribuées à Rosalie, Y l ensemble des cartes de couleur rouge distribuées à Basile et Z l ensemble des cartes de couleur bleue distribuées à Viviane. 2. En déduire que le nombre de distributions admissibles est k=0 ( N k ) Etant donnée une distribution admissible, on définit une partition de l ensemble 1, N sous la forme A B C D avec A est l ensemble des indices i pour lesquels Rosalie a obtenu la carte verte numérotée par i et la carte bleue numérotée par i. B est l ensemble des indices i pour lesquels Rosalie a obtenu la carte bleue numérotée par i mais pas la carte verte numérotée par i. C est l ensemble des indices i pour lesquels Rosalie a obtenu la carte verte numérotée par i mais pas la carte bleue numérotée par i. D est l ensemble des indices i pour lesquels Rosalie n a obtenu ni la carte verte numérotée par i mais ni la carte bleue numérotée par i. On note a, b, c, d les cardinaux respectifs des parties A, B, C, D. (a) Justifier a = d et a + b + c N/2. (b) Déterminer en fonction de A,B,C,D l ensemble des indices des cartes vertes distribuées à Basile et l ensemble des indices des cartes bleues distribuées à Viviane. (c) En déduire en fonction de a, b, c le nombre de cartes rouges distribuées à Basile et le nombre de cartes rouges distribuées à Viviane. (d) Soit E une partie de 1, N de cardinal k fixée. Justifier que le nombre ( de distributions )( ) k 2k admissibles telles que, avec les notations précédentes, E = A B C est. N k k (e) Quelle autre expression du nombre de distributions admissibles peut-on en déduire? C. Picaronny 1 E.N.S. de Cachan

2 Soit f une application de N dans N telle que 1. Démontrer que f est injective. Exercice 2. x N, f(f(x)) = x Soient x et y des entiers naturels congrus modulo Démontrer que f(x) et f(y) sont congrus modulo Indication : on pourra utiliser f f f. 3. Justifier que f définit par passage au quotient une application bijective f de Z/(2015)Z sur Z/(2015)Z. 4. Démontrer que f admet un point fixe. 5. En déduire qu il n existe pas une telle application f. Exercice 3. On s intéresse à l efficacité du dépistage d une maladie qui affecte 2% de la population. On utilise un test de dépistage qui a les particularités suivantes : Le test est positif sur 97% des personnes malades. Le test est négatif sur 99% des personnes saines. 1. Quelle est la probabilité pour une personne testée positive d être effectivement malade? 2. Quelle est la probabilité que le test donne la mauvaise réponse? Exercice 4. Deux amis Paul et Fabien jouent à pile ou face avec une pièce équilibrée. Au départ ils disposent chacun de 5 euros. Si la pièce tombe sur face, Fabien prend un euro à Paul et si elle tombe sur pile, Paul prend un euro à Fabien. Ils recommencent tant qu aucun n est ruiné. 1. Modéliser ce jeu avec une chaîne de Markov à 6 états. Indication : on pourra coder dans un état la différence des avoirs entre les deux joueurs en valeur absolue. 2. Justifier que le jeu s arrète avec probabilité Pour i entre 0 et 5, on note E i le nombre moyen de lancers pour finir la partie lorsque la différence des avoirs entre les deux joueurs en valeur absolue est 2i. Ecrire un système linéaire qui a comme unique solution (E 0, E 1,..., E 5 ). 4. Déterminer le nombre moyen de lancers dans une partie. C. Picaronny 2 E.N.S. de Cachan

3 Exercice 5. Soit N un entier naturel non nul. Un tableau carré avec N 2 cases est transformé en un tore en identifiant les bords opposés. Ainsi, chaque case a exactement 8 cases voisines. Ces cases sont colorées soit en noir soit en blanc. La donnée des couleurs de chacune des cases est appelée une coloration du tableau. On représente une coloration par une application f de l ensemble 1, N 2 qui numérote les cases dans l ensemble {B, N}. La coloration du tore se modifie de façon aléatoire de la façon suivante : A chaque étape, une case est choisie uniformément au hasard et prend uniformément au hasard la couleur d une des 8 cases voisines. 1. Décrire l évolution de la coloration du tore par une chaîne de Markov dont l ensemble des états est l ensemble des colorations du tore. 2. Justifier que les deux colorations unies (toutes les cases sont noires ou toutes les cases sont blanches) sont des états absorbants de la chaîne de Markov. 3. Soit t N. On note N t la variable aléatoire qui est le nombre de cases noires du tore à l étape t. Soit k / {0, N 2 } une valeur prise par N t. Démontrer que N t+1 prend la valeur k En déduire qu avec probabilité 1, le tore devient uni en un nombre fini d étapes. 5. Soit t N. On considère à nouveau N t la variable aléatoire qui est le nombre de cases noires du tore à l étape t. (a) On suppose N t = k. Soit c la case séléctionnée et soit c la case voisine de c sélectionnée pour donner sa couleur à c. Justifier selon les valeurs possibles des couleurs respectives de c et c, la valeur alors prise par N t+1. (b) Démontrer que E(N t+1 ) = E(N t ). (c) En déduire en fonction du nombre N 0 de cases noires initialement sur le tore, la probabilité que le tore prenne la couleur unie noire en un nombre fini d étapes. C. Picaronny 3 E.N.S. de Cachan

4 Problème. Partie I. Un ensemble E muni d un ordre partiel est dit localement fini si pour tous éléments x et y dans E, l ensemble {z E; x z y} est fini. On considère un ensemble E muni d un ordre partiel localement fini et on suppose de plus que E possède un plus petit élément pour cet ordre. 1. Justifier qu on peut définir sur E E une fonction µ à valeurs dans Z telle que : 1, si x = y (x, y) E E, µ(x, y) = µ(x, z), si x < y x z<y 0, sinon. 2. Soient x et y dans E tels que x y. Démontrer que le nombre de chaînes x < x 2 < < x l 1 < y est fini. 3. Soient x et y dans E tels que x y. Pour tout entier naturel non nul l, on note nc l (x, y) le nombre de chaînes x < x 2 < < x l 1 < y (chaînes de longueur l). On remarque que nc 1 (x, y) = 1 si x = y et nc 1 (x, y) = 0 sinon. Justifier que nc l+1 (x, y) = nc l (x, z) = nc l (z, y). 4. Soient x et y dans E tels que x y. Justifier que µ(x, y) = x z<y x<z y + l=1 ( 1) l 1 nc l (x, y). En déduire que µ(x, y) = x<z y µ(z, y). 5. Soit f une fonction de E dans R. Justifier qu on peut définir une fonction ˆf de E dans R en posant : y E, f(y) = z y f(z). Démontrer qu on a alors la formule d inversion : y E, f(y) = z y f(z)µ(z, y). 6. On suppose dans cette question E = N muni de l ordre usuel. (a) Justifier que E est localement fini. C. Picaronny 4 E.N.S. de Cachan

5 (b) Expliciter la fonction µ dans ce cas. On remarquera que µ(m, n) = µ(0, n m) pour tous entiers naturels m, n tels que m n. (c) Soit f une fonction de N dans R. Démontrer que n N \ {0}, f(n) = f(n) f(n 1). 7. On suppose dans cette question E = N \ {0} muni de l ordre de divisibilité. (a) Justifier que E est localement fini. (b) Expliciter la fonction µ dans ce cas. On donnera la valeur de µ(m, n) en fonction de la décomposition en facteurs premiers de n/m. (c) Soit ϕ la fonction d Euler. Soit n N \ {0}. On note p 1,..., p r les diviseurs premiers de n dans N. i. En utilisant la relation sur le groupe Z/nZ définie par x y si x et y ont le même ordre, justifier que n = d n ϕ(d). ii. En déduire que r ϕ(n) = n (1 1 ). p i 8. On suppose dans cette question E est l ensemble des parties finies de N muni de l inclusion. (a) Justifier que E est localement fini. (b) Soient S et T deux parties finies de N telles que S T. On pose s = S et t = T. i. Démontrer que ( ) t s t s i=0 ( 1)i = δ i s,t. ii. En déduire que µ(s, T ) = ( 1) t s. i=1 Partie II. Soit (Ω, T, P ) un espace probabilisé. Soient E 1,..., E N N événements. On note Ē1,..., EN les événements respectivement complémentaires. Soit X la variable aléatoire à valeurs dans 0, N telle que X = k s il y a exactement k évènements parmi E 1,..., E N réalisés. Pour k 0, N, on définit P k l ensemble des parties de cardinal k dans 1, N. Si I dans P k est tel que I = {j i, j 2,..., j k }, on note I E i = E j1 E j2 E jk. Pour k 0, N, on définit s k = I P k P ( I E i ). 9. Justifier que s N = P (X = N). 10. Soit k 0, N. (a) Pour I dans P k justifier que P ( I E i ) = P ( I E i (X = l)). (b) Démontrer que: P ( I E i (X = l)) = P ( J E i ( J cē i )) J P l I J C. Picaronny 5 E.N.S. de Cachan

6 11. En déduire que s k = I P k J P l I J P ( J E i ( J cē i )). 12. En déduire que 13. En déduire que s k = P (X = k) = ( l k ) P (X = l). ( ( 1) l k l k ) s k. 14. Exprimer N k=1 P (X = k) en fonction des s k, k 0, N. Quelle formule vue en cours retrouve-t on ainsi? Partie III. On considére un groupe de n personnes numérotées de 1 à n. On suppose que les dates anniversaires de ces personnes sont uniformément distribuées ente 1 et Rappeler la formule qui exprime la probabilité que ces n personnes aient toutes des dates anniversaires distinctes. 16. Exprimer la probabilité que les personnes j 1,..., j k avec j 1 < j 2 < < j k ne partagent leurs anniversaires avec aucune autre personne. 17. En déduire l expression de la probabilité que les n personnes partagent toutes leur anniversaire avec au moins une autre personne. Indication: On pourra considérer les évènements E j : "la j-ème personne ne partage son anniversaire avec aucune autre", pour j entre 1 et n. C. Picaronny 6 E.N.S. de Cachan