Suites numériques. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2007/2008

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1 Suites numériques Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 007/008 Table des matières 1 Notion de suite numérique 1.1 Définition Modes de génération d une suite Sens de variation d une suite Suites arithmétiques 4.1 Définition, exemples Expression en fonction de n Somme de termes consécutifs Suites géométriques Définition, exemples Expression en fonction de n Somme de termes consécutifs Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA 1

2 1 NOTION DE SUITE NUMÉRIQUE En préliminaire au cours : Test A page 198 [Déclic] : Puissances. Test C page 198 [Déclic] : Évolutions successives. Activité 1 page 199 [Déclic] : Des chiffres et leur place. Activité page 199 [Déclic] : Des nombres obtenus par un procédé. 1 Notion de suite numérique 1.1 Définition Définition : Une suite numérique est une liste indexée de nombres. Elle a un premier terme, un deuxième terme, etc. Exemple : Dans l activité 1 page 199, à chaque entier naturel, on associe un nombre suivant sa place dans la liste donnée. Ainsi : u (0) 8 u (1) 6 u () 9 u (3) u (4) Plus généralement, le terme u (n) correspond au (n 1) ième terme de la liste de nombres donnée. Remarque : Une suite numérique est donc une fonction qui, à tout entier naturel n, associe un nombre, noté u (n), ou, plus souvent, u n. Notations : On utilise généralement les lettres u, v, w,... pour caractériser une suite. u n est appelé terme d indice n (ou de rang n) de la suite. La suite dans sa globalité est notée u ou (u n ). Remarque : Attention! Il ne faut pas confondre le terme d indice n de la suite et le n ième terme de la suite. Voir exemple précédent. Exercices : 11 page 11 1 [Déclic] 1. Modes de génération d une suite Exemple 1 : A l aide d une formule explicite Soit (u n ) la suit définie par : u n n + n. On a : u ; u ; u + 4 ; u ; etc. Remarque : La suite est donc de la forme u n f (n), où f est une fonction. Pour calculer des termes de la suite, on peut donc utiliser les tableaux de valeurs de la calculatrice. Exemple : A l aide d un procédé Soit (v n ) la suite de premier terme v 0 5 et dont le terme suivant est obtenu en ajoutant 3 puis en divisant par. On a : v 1 v ; v v ; v 3 v et, plus généralement v n+1 vn+3. Remarques : 1 QCM. 1. Dans ce cas, le terme d indice n est calculé à partir du terme précédent. On calcule donc les termes de (v n ) de proche en proche (avant de calculer v 5, il faut déjà avoir calculé v 4, v 3, etc.). Une telle relation est appelée formule de récurrence.. On notera la suite (v n ) de la façon suivante : { v 0 5 v n+1 vn+3 3. On peut aussi utiliser la calculatrice pour calculer les premiers termes de suites définies par récurrence. Voir page 01 [Déclic] pour une explication du procédé.

3 1 NOTION DE SUITE NUMÉRIQUE 1.3 Sens de variation d une suite Exercices : 1, 13 page 11 17, 18 page 11 et 0, 1 page page 1 et 3, 34 page , 36 page 13 5 [Déclic] 1.3 Sens de variation d une suite Définition : Une suite (u n ) est croissante si, pour tout entier naturel n, on a u n+1 u n. Une suite (u n ) est décroissante si, pour tout entier naturel n, on a u n+1 u n. Remarque : On peut aussi définir une suite strictement croissante, strictement décroissante ou constante. Propriété 1 : Pour étudier les variations de la suite (u n ), il suffit d étudier le signe de u n+1 u n : Si pour tout n, u n+1 u n 0 alors (u n ) est croissante. Si pour tout n, u n+1 u n 0 alors (u n ) est décroissante. 1. Soit (u n ) la suite définie par u n 3 n+. On a : par suite : u n+1 3 (n + 1) + 3 n + 3 u n+1 u n 3 n n + 3 (n + ) 3 (n + 3) (n + 3) (n + ) 3n + 6 3n 9 (n + 3) (n + ) 3 (n + 3) (n + ) De plus, comme n est un entier positif, n + > 0 et n + 3 > 0. Par suite, pour tout n, u n+1 u n < 0 donc la suite (u n ) est décroissante.. Soit (v n ) la suite définie par v n 3n 4 n+. On a : v n+1 3n+1 4 (n+1)+ 3n (n+)+1 3n 3 4 n+ 4 3n 4 n+ 3 4 par suite : v n+1 v n 3 n 4 n n 3 n ( ) 3 4 n n ( 4 n+ 1 ) 4 4 n+ De plus, comme n est un entier positif, 3 n > 0 et 4 n+ > 0. Par suite, pour tout n, u n+1 u n < 0 donc la suite (u n ) est décroissante. Exercices : 40 page 13 6, 3, 5 page 1 7 [Déclic] QCM Vrai ou faux. 3 Calculs de termes à la main ou à la calculatrice. 4 Détermination d une formule de récurrence. 5 Calculs sur les termes d une suite. 6 Étude graphique. 7 Détermination du sens de variation par calcul de u n+1 u n. 3

4 SUITES ARITHMÉTIQUES Propriété : Soit (u n ) une suite définie par u n f (n). Si la fonction f est croissante sur [0 ; + [, alors la suite (u n ) est croissante. Si la fonction f est décroissante sur [0 ; + [, alors la suite (u n ) est décroissante. Remarque : La réciproque de cette propriété est fausse. Voir l exercice 40 page 13 [Déclic] pour un contreexemple. Exemple : Soit (u n ) la suite définie par u n 10 n+1. On a u n f (n) avec f (x) 10 x+1. La fonction f s obtient à partir de la fonction inverse par multiplication par 10 et translation de vecteur ı. Son tableau de variations est donc : x 1 + f (x) Par suite, f est décroissante sur [0 ; + [. La suite (u n ) est donc décroissante. Exercice : 6 page 1 8 [Déclic] Suites arithmétiques.1 Définition, exemples Définition : On dit qu une suite (u n ) est arithmétique si on passe d un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre réel r. On a donc : u n+1 u n + r Le réel r est alors appelé raison de la suite. 1. La suite : 1, 6, 11, 16, 1,... est arithmétique de raison 5.. La suite définie par : { u 0 10 u n+1 u n 3 est arithmétique de raison ( 3). 3. La suite des entiers naturels : 0, 1,, 3,4, 5,... est arithmétique de raison La suite des entiers naturels impairs est arithmétique de raison. Propriété : Une suite (u n ) est arithmétique si et seulement si la différence u n+1 u n est constante pour tout entier n. Dans ce cas, la constante trouvée est la raison de la suite. 1. Soit u la suite définie par u n 3n. u n+1 u n 3 (n + 1) (3n ) 3n + 3 3n + 3 La suite est donc arithmétique de raison 3 et de premier terme u 0.. Soit v la suite définie par v n n. v n+1 v n (n + 1) n n + n + 1 n n + 1 Le résultat dépend de n, la suite n est donc pas arithmétique. 8 Sens de variation d une suite en utilisant une fonction. 4

5 SUITES ARITHMÉTIQUES. Expression en fonction de n 3. Soit w la suite définie par : { w 0 1 w n+1 w n + Par définition, la suite est arithmétique de raison. Exercices : 4, 43 page 14 9 [Déclic] Théorème : Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r. Si r > 0, alors la suite (u n ) est croissante. Si r < 0, alors la suite (u n ) est décroissante.. Expression en fonction de n Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r. On a : u 1 u 0 + r u u 1 + r (u 0 + r) + r u 0 + r u 3 u + r (u 0 + r) + r u 0 + 3r Plus généralement, on a le résultat suivant : Théorème : Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r. Alors : u n u 0 + nr Remarques : 1. En particulier, la représentation graphique d une suite arithmétique est formée de points alignés.. Plus généralement, si (u n ) est une suite arithmétique de raison r et si n et p sont deux entiers naturels, on a : u n u p + (n p) r. Exemple : Soit (u n ) la suite arithmétique de premier terme u 0 7 et de raison ( ). On a : u n u 0 + nr 7 + n ( ) 7 n. En particulier : u Exercices : 45, 46, 47 page page page 15 1 [Déclic].3 Somme de termes consécutifs Théorème : Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r. On note S n la somme des (n + 1) premiers termes de la suite (u n ), c est-à-dire : S n u 0 + u 1 + u + + u n En effet : Alors, on a : S n (n + 1) (u 0 + u n ) S n u 0 + u 1 + u u n S n u n + u n 1 + u n u 0 S n (u 0 + u n ) + (u 1 + u n 1 ) + (u + u n ) (u n + u 0 ) 9 Reconnaissance de suites arithmétiques. 10 Calculs de termes. 11 Utilisation de la représentation graphique. 1 Application concrète. 5

6 3 SUITES GÉOMÉTRIQUES De plus : u 0 + u n u 0 + u 0 + nr u 0 + nr u 1 + u n 1 (u 0 + r) + (u 0 + (n 1) r) u 0 + r + u 0 + nr r u 0 + nr u 0 + u n et, plus généralement, pour tout k, u k + u n k u 0 + u n. On a donc : On a donc : soit, en divisant par : S n (u 0 + u n ) + (u 0 + u n ) + + (u 0 + u n ) } {{ } (n+1) termes S n (n + 1) (u 0 + u n ) S n (n + 1) (u 0 + u n ) Remarque : Il est plus facile de retenir cette formule sous la forme suivante : S (nombre de termes) premier terme + dernier terme Exercices : 50 page 14 et 5, 54, 55 page , 61 page 15 et 63 page [Déclic] 3 Suites géométriques 3.1 Définition, exemples Définition : On dit qu une suite (u n ) est géométrique si on passe d un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre réel q. On a donc : Le réel q est alors appelé raison de la suite. u n+1 q u n 1. La suite : 1,, 4, 8, 16,... est géométrique de raison.. La suite définie par : { u 0 3 u n+1 1 u n est arithmétique de raison ( 1 ). 3. La suite définie par u n ( 1) n est géométrique de raison ( 1). 4. On augmente tous les ans une quantité de 5%. La suite obtenue est u n+1 1, 05u n. C est donc une suite géométrique de raison 1, 05. Propriété : Une suite (u n ) est géométrique si et seulement si le quotient un+1 u n est constante pour tout entier n. Dans ce cas, la constante trouvée est la raison de la suite. 1. Soit u la suite définie par u n 5 3 n+. u n+1 u n 5 3n n+ 3n+3 n 3 La suite est donc géométrique de raison 3 et de premier terme u Calcul de sommes. 14 Applications concrètes. 6

7 3 SUITES GÉOMÉTRIQUES 3. Expression en fonction de n. Soit v la suite définie par v n 3n 4 n+1 v n+1 v n 3 n+1 4 n+ 3 3n+1 4n+1 n 4n+ 4 n+1 3 n 3n+1 n 4 n+ n La suite est donc géométrique de raison 3 4 et de premier terme v Exercices : 67, 69 page [Déclic] Théorème : Soit (u n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0 positif. Si q > 1, alors la suite (u n ) est croissante. Si 0 < q < 1, alors la suite (u n ) est décroissante. 3. Expression en fonction de n Soit (u n ) une suite géométrique de raison q. On a : u 1 u 0 q u u 1 q (u 0 q) q u 0 q u 3 u q ( u 0 q ) q u 0 q 3 Plus généralement, on a le résultat suivant : Théorème : Soit (u n ) une suite géométrique de raison q. Alors : u n u 0 q n Remarque : Plus généralement, si (u n ) est une suite géométrique de raison q et si n et p sont deux entiers naturels, on a : u n u p q n p. Exemple : Soit (u n ) la suite arithmétique de premier terme u 0 3 et de raison. On a : u n u 0 q n 3 n. En particulier : u Exercices : 64, 65 page , 71 page [Déclic] 3.3 Somme de termes consécutifs Théorème : Soit (u n ) une suite géométrique de raison q (avec q 1). On note S n la somme des (n + 1) premiers termes de la suite (u n ), c est-à-dire : S n u 0 + u 1 + u + + u n Alors, on a : S n u 0 1 q n+1 1 q En effet, si on note S 1 + q + q + + q n : S 1 + q + q q n qs q + q q n + q n+1 15 Reconnaissance de suites géométriques. 16 Calculs de termes. 17 Applications concrètes. S qs ( q n+1) 7

8 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES On a donc : S qs 1 q n+1 (1 q) S 1 q n+1 et, comme q 1, 1 q 0. D où : S 1 qn+1 1 q De plus : S n u 0 + u 1 + u + + u n u 0 + u 0 q + u 0 q + + u 0 q n u 0 ( 1 + q + q + + q n) u 0 S Par suite : S n u 0 1 q n+1 1 q Remarque : Il est plus facile de retenir cette formule sous la forme suivante : de termes 1 (raison)nbre S (premier terme) 1 raison Exercices : 75, 76, 78 page page 16 et 73, 79, 81, 8 page [Déclic] Exercices de synthèse : 89, 90 page , 9, 94 page page 19 et 10, 104, 105 page 0 [Déclic] Références [Déclic] Déclic 1re ES, Hachette éducation (édition 005), 3, 4, 5, 6, 7, 8 18 Calcul de sommes. 19 Applications concrètes. 0 Comparaison de suites. 1 Placements à intérêts simples ou composés. Applications. 8