Vecteurs du plan. Définition. Un vecteur est une «flèche», caractérisée par sa longueur, sa direction et son sens. 1

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1 Vecters d plan. Définitions et généralités Définition. Un vecter est ne «flèche», caractérisée par sa longer, sa direction et son sens. Exemple. Sr la figre ci-contre, on a représenté le vecter = AB, d origine A et d extrémité B. La longer d vecter AB est celle d segment [ AB ], sa direction est celle de la droite ( AB ) et son sens est celi de A vers B. Attention. Un vecter n est pas n ensemble de points! Il ne fat donc pas confondre le vecter AB avec le segment [ AB ]. Définition. Le vecter nl, noté, est n vecter dont la longer est. Sa direction et son sens ne sont pas définis. On le représente par n point. Par exemple, AA= et pls généralement, MM= por tot point M. Définition. La longer d n vecter est encore appelée norme. On note la norme d vecter. Définition. Dex vecters et v ayant même direction sont dits colinéaires o parallèles. On note alors : v. Exemples. v et AB CD EF Par convention, le vecter nl est colinéaire à tot atre vecter. Attention : il ne fat pas confondre direction et sens : par exemple le movement d n ascenser a ne direction, la verticale, et dex sens : la montée et la descente.

2 Définition. Dex vecters et v sont égax si et selement si ils ont même longer, même direction et même sens. On dit alors qe est n représentant de v. Exemple. Sr la figre ci-contre, = AB= CD. AB et CD sont des représentants d vecter. Attention. AB= CD, mais [ AB] [ CD]. Remarqe. Tot vecter admet ne infinité de représentants, mais n sel représentant d origine o d extrémité donnée. Par exemple, CD est l niqe représentant de d origine C et AB est l niqe représentant de d extrémité B. Conditions por l égalité entre dex vecters. AB= CD ABDC est n parallélogramme (éventellement aplati) mil[ AD] = mil[ BC] Les dex cas de figre possibles sont représentés ci-dessos. ABDC est n parallélogramme aplati ABDC est n (vrai) parallélogramme M = mil AD = mil BC [ ] [ ] M = mil AD = mil BC [ ] [ ] Conséqences. AB= CD BA= DC : si dex vecters sont égax, lers opposés (voir définition sivante) sont assi égax. AB= CD AC= BD : si dex vecters sont égax, les vecters obtens en échangeant l origine de l n avec l extrémité de l atre sont assi égax.

3 Définition. Dex vecters et v sont opposés si et selement si ils ont même longer et même direction, mais des sens opposés. On note : = v. Exemples : CD = AB AB= CD AB= BA CD= DC Rappel. Etant donné n vecter d plan, la translation de vecter, notée t, est l application d plan dans li-même qi associe à tot point M le point M ' tel qe MM ' =. Le point M ' est appelé image de M par t. Exemple. t ( A) = A' AA' = t( C) = C ' CC ' =. Addition et sostraction des vecters L ensemble des vecters d plan est noté V. On définit sr V ne addition de la manière sivante : er cas : et v sont dex vecters conséctifs, c.-à-d. l extrémité de et l origine de v sont confonds ; par exemple, = AB et v= BC. Dans ce cas on définit : + v= AB+ BC= AC. L égalité AB+ BC= AC, vraie por tos les points A, B et C d plan est appelée relation de Chasles.

4 e cas : et v sont ne sont pas conséctifs. Dans ce cas, on choisit dex représentants qi sont conséctifs et on appliqe à novea la relation de Chasles. + v= AB+ CD = AB+ BE = AE Remarqe. Cette définition de l addition des vecters a n sens : le vecter + v ne dépend pas d choix des représentants de et v, comme le montre la figre sivante : AB et A' B ' sont des représentants de BC et B ' C ' sont des représentants de v AC et A' C ' sont des représentants d même vecter ; ce vecter est par définition + v. Cas particlier important : Règle d parallélogramme. Lorsqe = AB et v= AC sont dex vecters ayant la même origine, alors + v est le vecter AD, où D est l niqe point tel qe ABDC est n parallélogramme. 4

5 En effet : + v= AB+ AC = AB+ BD = AD Propriétés de l addition des vecters a) L addition des vecters est commtative, c.-à-d. (, v V) + v= v+ En effet : + v= AB+ BC = AC v + = AD + DC = AC b) L addition des vecters est associative, c.-à-d. (, v, w V) ( + v) + w= + ( v+ w) En effet : ( + v) + w= ( AB+ BC) + CD = AC+ CD = AD + ( v + w) = AB + ( BC + CD ) = AB+ BD = AD 5

6 c) L addition des vecters admet comme élément netre, c.-à-d. ( V) + = + = En effet : + = AB+ BB= AB= d) L addition des vecters est symétriqe, c.-à-d. ( V) + ( ) = ( ) + = En effet : + ( ) = AB+ BA= AA= Définition. Soit et v dex vecters d plan. La différence des vecters et v, notée v, est par définition la somme de et de l opposé de v, c.-à-d. : v= + ( v) Cas particlier important : Lorsqe = AB et v= AC alors : v= AB AC = AB+ CA = CA+ AB = CB sont dex vecters ayant la même origine, 6

7 On porra vérifier à l aide de figres qe la sostraction n est ni commtative, ni associative. Cependant, la sostraction possède la propriété importante sivante : (, v V) v= ( v ) En d atres termes, les vecters v et v sont opposés.. Mltiplication d n vecter par n réel Définition. Soit n vecter d plan et k n réel. On appelle prodit d vecter par le réel k et on note de longer k, de direction celle de, k o k le vecter de sens celi de si k> et opposé à celi de si k<. Exemples. A' B ' = AB ; A'' B '' = AB ; EF= CD ; GF= CD ; AE= 4 AB. Remarqes. Les vecters k et sont tojors colinéaires. Si k= alors k = =. Si k= alors k= =. Si k= alors k= =. Propriétés de la mltiplication d n vecter par n réel (, v V)( k, k ' R) a) Distribtivité par rapport à l addition dans V : k( + v) = k+ kv b) Distribtivité par rapport à l addition dans R :( k+ k ') = k+ k ' c) Associativité mixte : k( k ' ) = ( kk ') d) Règle d prodit nl : k= k= o = Démonstration. A l aide de figres (exemples) en exercice. 7

8 Exemples. () ( + v) = + v d après a). () AB+ BC = ( AB+ BC) = AC () ( 4w ) = 8w d après c). d après b) et la relation de Chasles. 4. Vecters colinéaires On a déjà v la définition de la colinéarité : Définition. Dex vecters et v sont colinéaires (parallèles) et on note v si et selement si et v ont la même direction o bien l n des dex est le vecter nl. AB et CD sont colinéaires et de même sens Théorème. Soit et v dex vecters non nls d plan. Alors v si et selement si il existe n réel k tel qe v = k. Démonstration. " " Si v = k alors, par définition, v. " " Soit et v dex vecters non nls d plan tels qe v. Si et v ont même sens alors on prend v k=. Comme k>, le vecter k a même direction et même sens qe et donc même direction et même sens qe v. Il a également même longer qe v car sa longer est égale à : v k =. = v. Donc k = v. Si et v ont des sens opposés alors on prend v k=. AB et DC sont colinéaires et de sens opposés 8

9 Comme k<, le vecter k a même direction qe mais le sens opposé à celi de. Il a donc même direction et même sens qe v. Il a également même longer qe v car sa longer est égale à : v k =. = v. Donc k = v. Remarqes. Une relation d type v= k est appelée relation de colinéarité entre dex vecters. Si et v sont dex vecters non nls alors k et : v= k = v. La relation de colinéarité entre n vecter qelconqe et le vecter nl est : =, mais si il n existe pas de relation d type = k. Les propositions sivantes sont évidentes mais d ne tilité considérable dans les exercices. Condition d alignement de points. Trois points A, B et C d plan sont alignés si et selement les vecters AB et AC sont colinéaires. On pet reformler cette propriété de la manière sivante : Condition d appartenance d n point à ne droite. Etant donnée ne droite ( AB ) d plan, on a : ( ) k M AB AM AB Condition de parallélisme de dex droites. Dex droites ( AB ) et ( CD ) d plan sont parallèles si et selement si les vecters AB et CD sont colinéaires. 9

10 5. Formlation vectorielle d théorème de Thalès Théorème de Thalès (Cas d triangle). Spposons qe AC ' = k ' AC, où k et k sont dex réels. Alors : Dans le cas où k ( ) ( ) B ' C ' BC k= k '. = k ', on a assi B ' C ' = kbc. AB ' = kab et Figre avec k = k ' = Figre avec k = k ' = Figre avec k = k ' = Démonstration. Par hypothèse : B ' C ' = B ' A+ AC ' = kba+ k ' AC = kba+ kac+ ( k ' k) AC = k( BA+ AC) + ( k ' k) AC = kbc+ ( k ' k) AC ( ) B ' C ' Donc : B ' C ' BC B ' C ' = rbc kbc+ ( k ' k) AC= rbc ( k ' k) AC= rbc kbc ( k ' k) AC= ( r k) BC Or, ABC est n triangle, donc les vecters AC et BC ne sont pas colinéaires. La dernière égalité a donc lie si et selement si les dex membres sont égax a vecter nl, c.-à-d. ssi k ' = k et r= k. Lorsqe k ' = k, on a d après ( ) : B ' C ' = kbc. Figre avec ( ) k k ' : BC ( )

11 Théorème de Thalès (Cas d trapèze). Soit bases parallèles [ AA '] et [ '] C AB qe AC= kab et A' C ' = k ' AB. Alors : BB, ( ) et C ' ( AB) ( ) ( ) BB ' CC ' k= k '. ABB ' A ' n trapèze de. Soit k et k ' tels Figre avec k = k ' = Figre avec k = k ' = Démonstration. Admise. Figre avec k k ' : BB ' CC ' 6. Caractérisation vectorielle d milie d n segment Proposition. Soit [ AB ] n segment et I n point d plan. Les propriétés sivantes sont éqivalentes : () I= mil[ AB] () IA+ IB= () AI= AB (4) Por tot point M : MI= ( MA+ MB) Démonstration. () () : I= mil[ AB] AI= IB IA+ IB=. () () : IA+ IB= IA+ IA+ AB= o MA+ MB= MI

12 IA+ AB= IA= AB AI = AB AI= AB () (4) : Soit M n point qelconqe d plan. AI= AB AM+ MI= ( AM+ MB) MI= AM+ MB MI= MA+ MB MI= MA+ MB ( ) 7. Caractérisation vectorielle d centre de gravité d n triangle Proposition. Soit ABC n triangle qelconqe, A' = mil[ BC], B ' = mil[ AC], et C ' = mil[ AB]. Soit G n point d plan. Les propriétés sivantes sont éqivalentes : () G est le point d intersection des médianes BB ' et CC ' () GA+ GB+ GC= () AG= AA', BG= BB ', CG= CC ' (4) Por tot point M : MG= ( MA+ MB+ MC) o MA+ MB+ MC= MG

13 Remarqe. Si le point G vérifie l ne des 4 propriétés éqivalentes de la proposition ci-desss, il appartient assi à la e médiane AA '. Cela décole directement de la propriété () : AG= AA', qi impliqe qe A, G et A ' sont alignés. Retenons ce résltat bien conn : Corollaire. Les trois médianes d n triangle ABC sont concorantes en n point G, appelé centre de gravité d triangle ABC. Démonstration d théorème. () () : Soit G le point d intersection des médianes BB ' et CC '. En appliqant la propriété (4) d milie à C ' = mil[ AB], on a : GA+ GB+ GC= GC ' + GC, qi est colinéaire à CC ' pisqe C, G et C ' sont alignés. De même, en appliqant la propriété (4) d milie à B ' = mil[ AC], on a : GA+ GB+ GC= GB ' + GB, qi est colinéaire à BB ' pisqe B, G et B ' sont alignés. Par conséqent GA+ GB+ GC est le vecter nl, car il est colinéaire à dex vecters non colinéaires. () () : GA+ GB+ GC= GA+ ( GA+ AB) + ( GA+ AC) = GA+ ( AB+ AC) = GA+ AA' = car A' = mil[ BC] AA' = AG AG= AA' On prove de façon analoge les dex égalités. () (4) : Soit M n point qelconqe d plan. GA+ GB+ GC= GM+ MA+ GM+ MB+ GM+ MC= GM + MA+ MB+ MC= MA+ MB+ MC= MG MG= ( MA+ MB+ MC) () () : BG= BB ' G BB ' CG= CC ' G CC ' Donc { G} = BB ' CC '.

14 8. L tilité des vecters en physiqe Beacop de granders en physiqe ne pevent être complètement définies par n sel nombre, comme par exemple ne vitesse o ne force. Ces granders sont modélisées par des vecters. a) Lorsq n point mobile M se déplace sr ne corbe, sa vitesse est représentée par le vecter vitesse v, dont les caractéristiqes sont : point d application (origine d vecter) : le point M longer : la vitesse en m/s o km/h direction : celle de la tangente en M à la corbe sens : celi d movement d solide b) Par définition, ne force est tote case capable de modifier le movement d n corps o de déformer n corps. La force qi s exerce sr n solide est représenté par le vecter force. caractéristiqes sont : Un exemple est le poids P dont les point d application : le centre de gravité d solide longer : l intensité d poids en N (Newton), qi vat m g, où m est la masse en kg d corps et g est l accélération de la pesanter, c.-à-d. 9,8 m/ s. direction : verticale sens : vers le centre de la terre Lorsqe plsiers forces s exercent sr n solide, la force totale qi en réslte (o résltante) est la somme vectorielle des différentes forces. Un système est dit en éqilibre (mécaniqe) lorsqe la somme des forces qi s exercent sr li est le vecter (voir figre ci-contre). 4