Ces quelques formules sont censées être sues à la fin de la classe de quatrième!
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- Aurélien Trudeau
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1 Ces quelques formules sont censées être sues à la fin de la classe de quatrième! I. Multiplication et division de nombres relatifs Le produit (ou le quotient) de deux nombres de même signe est positif. Le produit (ou le quotient) de deux nombres de signe contraire est négatif. II. Priorité des opérations. Suppression des parenthèses 1. Règles de priorité des opérations Règle 1 : On calcule d'abord les expressions entre parenthèses (s'il y en a) Règle 2 : En l'absence de parenthèses on effectue : d'abord les puissances, puis les multiplications et divisions, ( et ont le même niveau de priorité) puis les additions et soustractions (+ et - aussi). Règle 3 : deux opérations ayant le même niveau de priorité s'effectuent dans l'ordre où elles sont écrites. Exemples : a = ² = = = 53 b = = = 4 c = = 6 4 = 1,5 2. Suppression des parenthèses dans une somme On peut supprimer les parenthèses précédées du signe + du signe - à condition de changer les signes des termes entre parenthèses. III. Développer, factoriser 1. Pour développer un produit k (a + b) = k a + k b On multiplie k par chaque terme de la somme (a+b) (a+b) (c+d) = a c + a d + b c + b d On multiplie chaque terme de la somme (a+b) par chaque terme de la somme (c+d) 2. Pour factoriser une somme On cherche un facteur commun à tous les termes de la somme. On peut ainsi réduire certaines expressions. Exemples : = 3 ( ) = 3 23 = 69 2a + 3a = (2 + 3) a = 5a IV. Résolution d'une équation Exemple : Résoudre l'équation 7x - 3 = 9 Si 7x - 3 = 9 alors
2 on a (7x - 3) + 3 = soit 7x = 12 c'est-à-dire x = 12/7. Vérification : 7 (12/7) - 3 = 12-3 = 9 donc 12/7 convient Conclusion : L'équation 7x - 3 = 9 admet une seule solution 12/7. V. Fractions 1. Egalité de deux fractions. Avec k 0 et b 0, on a 2. Simplification de fraction. Exemple : Avec a 0, on a : 3. Multiplication de fractions. Avec a 0 et b 0, on a : Inverse d'une fraction. Soit b 0 et d 0 : l'inverse de a/b est. 4. Division avec des fractions. Avec b 0, c 0 et d 0, on a :. Pour diviser par, on multiplie par son inverse. VI. Puissances 1. Définitions Soit n un nombre entier positif : a n = a a... a n est l'exposant et il y a n facteurs. aº = 1, et pour a 0,. a -n est l'inverse de a n. 2. Exemples 3 4 = 3 x 3 x 3 x 3 =
3 3. Quelques formules. C'est l'inverse de a. Produit des puissances somme des exposants..quotient des puissances différence des exposants.. Puissance d'un produit produit des puissances. VII. Médiatrices La médiatrice du segment [AB] est la droite d perpendiculaire à (AB) et passant par le milieu I de [AB]. Tout point M de d vérifie MA = MB. Réciproquement, si un point M vérifie MA = MB alors M est un point de la médiatrice d. VIII. Parallélogrammes Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère ayant ses côtés opposés parallèles. Soit un quadrilatère : Proposition 1 : S'il est un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leurs milieux. Réciproque 1 : Si ses diagonales se coupent en leurs milieux, c'est un parallélogramme. Proposition 2 : S'il est un parallélogramme, ses côtés opposés ont même longueur. Réciproque 2 : Si ses côtés opposés ont même longueur, c'est un parallélogramme. Réciproque 3 : S'il a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, c'est un parallélogramme. Parallélogrammes particuliers Définition 1 : Un rectangle est un parallélogramme ayant un angle droit. Proposition 1 : Tous les angles d'un rectangles sont droits. Proposition 2 : Les diagonales d'un rectangles ont la même longueur. Réciproque 2 : Un parallélogramme qui a ses diagonales de même longueur est un rectangle. Définition 2 : Un losange est un quadrilatère ayant ses côtés de même longueur. Proposition 3 : Un losange est un parallélogramme. Réciproque 3 : Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange. Proposition 4 : Un parallélogramme ayant ses diagonales perpendiculaires est un losange. Définition 3 : Un carré est à la fois un losange et un rectangle. IX. Théorème de Pythagore
4 Propriété de Pythagore Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC ² = AB ² + AC ². Réciproquement Si dans un triangle ABC, on a la relation BC ² = AB ² + AC ² alors ABC est rectangle en A. Formules à savoir pour le Brevet de Maths Le Théorême de Thalès : Ce cas est valable dans les triangle ABC et AMN dont les point A,B,M d'une part et ACM d'autre part sont alignés et dont les droites (BC) et (MN) sont //. La Théorême de Pythagore : Ce cas est valable dans la meure où ABC est un triangle rectangle en A et dont l'hypoténuse est (BC). La distributivité : Les identités remarquables :
5 La trigonométrie : Les racines carrées : Les fonctions linéaires : Sachant que a désigne le coefficient :
6 Les fonctions affines : a désigne le coefficient et b l'ordonnée à l'origine dans a représentation graphique. Coordonnées d'un vecteur : Dans un plan muni d'un repère O,I,J, soit 2 points : A de coordonnées et B de coordonnées Alors le vecteur a pour coordonnées : Coordonnées du milieu d'un segment : signifie que est le milieu de [AB] On fait donc la moyenne. Distance entre deux points : Soit A Soit B AB 2 =
Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
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