Cours : Théorème de Bézout. Théorème de Gauss. Ainsi, au moins l un des deux nombres a ou b est non nul, par exemple a.

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1 A la fin de ce chapitre vous devez être capable de : connaître l identité et le théorème de Bézout. savoir calculer les coefficients de Bézout par «descente» ou par remontée de l algorithme d Euclide. connaître le théorème de Gauss et ses conséquences. savoir résoudre les équations diophantiennes du type : ax + by = c. savoir obtenir et reconnaître une fraction irréductible (en particulier lorsque le numérateur et le dénominateur sont fonctions d un entier naturel n). savoir utiliser le petit théorème de Fermat. connaître quelques méthodes de cryptographie. I. Théorème de Bézout. Théorème de Bézout : Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe des entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1. : On suppose a et b premiers entre eux ; donc leur PGCD est 1. Ainsi, au moins l un des deux nombres a ou b est non nul, par exemple a. Soit E l ensemble des entiers naturels de la forme au + bv, avec u et v entiers. Cet ensemble n est pas vide, car il contient a (avec u = 1 et v = 0) et a (avec u = -1 et v = 0). E contient a et a, et l un de ces deux entiers est strictement positif, donc E contient au moins un entier strictement positif. Soit δ le plus petit d entre eux ; il existe ainsi u 0 et v 0 entiers tels que : δ = au 0 + bv 0. La division euclidienne de a par δ s écrit : a = δq + r, avec 0 r < δ. D où : r = a - δq = a (au 0 + bv 0 )q = a(1 qu 0 ) + b(-v 0 q). Ainsi, r appartient à E car il est de la forme au + bv avec u et v entiers (u = 1 qu 0 et v = -v 0 q). Comme δ est le plus petit élément strictement positif de E, l inégalité 0 r < δ montre que r est nul, d où a = δq et δ divise a. On montre de même que δ divise b, d où δ = 1 car a et b sont premiers entre eux : il existe bien deux entiers u 0 et v 0 tels que au 0 + bv 0 = 1. S il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1, alors si d est le PGCD de a et b, il divise a et b, donc au + bv, c'est-à-dire 1 : ainsi, d vaut 1, et a et b sont premiers entre eux. Exemple : a = 4 et b = 9 sont premiers entre eux et on a par exemple : 4 (- 2) = 1 ou (- 3) = 1 ou (- 43) = 1. Les couples (-2 ;1) ; (7 ;-3) et (97 ;-43) sont tous des couples (u ; v) vérifiant l égalité 4u + 9v = 1. Remarques : Ce théorème est un théorème d existence. Il n y a pas unicité du couple (u ; v) tel que au + bv = 1 lorsque a et b sont premiers entre eux. Pour tout entier n, (n + 1) 1 n 1 = 1, donc deux entiers consécutifs n et n + 1 sont toujours premiers entre eux. 1

2 Détermination pratique de u et v. Comment trouver u et v entiers relatifs tels que au + bv = 1 quand a et b sont premiers entre eux? Un examen rapide des plus petits multiples de a et b peut permettre de conclure. Exemple : a = 7 et b = 17. Sachant que 5 7 = 35 et 2 17 = 34, on a 1 = = = (- 2) 17. Le couple (u ; v) = (5 ; - 2) convient. Sinon, on écrit l algorithme d Euclide pour a et b, puis on exprime pas à pas chacun des restes comme combinaisons linéaires de a et de b, jusqu au dernier reste non nul qui est PGCD(a ; b). Si a et b sont premiers entre eux, on aura alors écrit 1 comme une combinaison linéaire au + bv. Ce procédé permet d exprimer PGCD(a ; b) comme combinaison linéaire de a et b, que a et b soient premiers entre eux ou non. Exemple : a =71 et b = 19 Algorithme d Euclide 71 = = = = = On isole les restes dans un membre 14 = = = = On remonte l algorithme à partir de l avant dernière étape 1 = = 5 (14 5 2) 1 = = 14 + ( ) 3 = = 19 3 ( ) 4 = De 1 = , on en déduit que 1 = au + bv, avec u = - 4 et v = 15. Corollaire (Identité de Bézout) : Soit a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls. Si d = PGCD(a ; b), alors il existe des entiers relatifs u et v tels que au + bv = d. En effet, soit a et b deux entiers non nuls dont le PGCD est d. Soit les entiers a et b tels que a=da et b = db. Comme a et b sont premiers entre eux, il existe des entiers u et v tels que a u + b v = 1. En multipliant les deux membres de cette égalité par d, on obtient : ua d + vb d = d, d où au + bv = d. Remarque : contrairement au théorème de Bézout, la réciproque de cette propriété est fausse, si au + bv = d, l entier d n est pas obligatoirement le pgcd de a et b. Par exemple : (-1) 11 = 2, et pourtant le PGCD de 13 et 11 n est pas 2 mais 1. Propriété : Un nombre premier est premier avec tous les entiers qu il ne divise pas. Soit p un nombre premier et a un entier non divisible par p. On note d le PGCD de a et p ; comme d divise p, alors d vaut 1 ou p, puisque p est premier. Or, d ne peut pas être égal à d car a n est pas divisible par p. d où : d = 1. Exemple : 17 est premier, donc premier avec tous les entiers sauf les multiples de 17. 2

3 Propriété : Si un entier est premier avec deux entiers, alors il est premier avec leur produit. Soit a un entier premier avec b et c : d après le théorème de Bézout, il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1 et des entiers u et v tels que au + cv = 1. En effectuant le produit membre à membre, on obtient : (au + bv)(au + cv ) = 1, soit : a²uu + acuv + abvu + bcvv = 1. Ou encore : a(auu + cuv + bvu ) + bc(vv ) = 1 Comme auu + cuv + bvu et vv sont des entiers, le théorème de Bézout montre que a et bc sont premiers entre eux. Exemple : Soit n un entier. On a vu que n et n + 1 sont premiers entre eux ; de même, n 1 et n sont premiers entre eux. On en déduit que n et n² - 1 sont premiers entre eux (en effet, n² - 1 = (n + 1)(n 1)). II. Théorème de Gauss. Théorème de Gauss : Soit a, b et c trois entiers non nuls. Si a divise bc et si a et premier avec b alors a divise c. Ce théorème est très utile pour résoudre les équations diophantiennes de la forme ax + by = c, avec x et y entiers. Si a est premier avec b, d après le théorème de Bézout, il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1. En multipliant les deux membres de cette égalité par c, on obtient : acu + bcv = c. Or, a divise acu et bc par hypothèse, donc a divise bcv : on en déduit que a divise acu + bcv, c'est-à-dire c. Exemple : Soit a et b deux entiers tels que 3a = 4b. Ici, 4 divise le produit 3a. Les entiers 3 et 4 sont premiers entre eux, donc 4 divise a. Corollaires : Si deux entiers a et b premiers entre eux divisent un entier c alors leur produit ab divise c. Si un nombre premier p divise un produit ab alors p divise a ou p divise b. Comme c est divisible par a et b, alors il existe des entiers k et k tels que c = ka = k b. Cette égalité montre que a divise k b ; comme a et b sont premiers entre eux, le théorème de Gauss assure que a divise k. Donc il existe un entier q tel que k = qa. On en déduit c = qab. Donc ab divise c. Soit p un nombre premier divisant le produit ab. Si p divise a, la conclusion est assurée. Si p ne divise pas a, alors a et p sont premiers entre eux ; comme p divise ab, alors p divise b d après le théorème de Gauss. 3

4 Exemples : Le nombre est divisible par 5 (car le chiffre des unités est 5) et divisible par 9 (car = 36 et 36 9 = 4). Or 5 et 9 sont premiers entre eux, donc est divisible par 5 9, c'est-à-dire 45. Le produit de trois entiers naturels consécutifs, n(n + 1)(n + 2), est divisible par 2 et par 3 ; 2 et 3 étant premiers entre eux alors ce produit est divisible par 6. III. Petit théorème de Fermat. Théorème : Si p est un nombre premier et n entier, alors n p n [p]. On va raisonner par récurrence sur n. Pour n = 0, on a bien 0 p 0 [p]. Supposons la propriété vraie pour l entier naturel n, soit n p n [p]. En appliquant la formule du binôme de Newton, (n + 1) p = n p + p 1 np-1 + p 2 np p p - 1 n + 1. Or, pour 1 k p 1, p k est divisible par p ; en effet, la formule p k p(p -1) (p k + 1) = donne : k! k! p k = p(p 1).(p k + 1). p est premier avec k, k 1,,2 et 1 car un nombre premier est premier avec tous les entiers naturels non nuls strictement inférieurs à lui. Donc p est premier avec le produit k! de tous ces entiers naturels. Comme p divise le produit k! p k, p divise p k d après le théorème de Gauss. D où : (n + 1) p n p + 1 [p], soit (n + 1) p n + 1 [p]. La propriété est donc vraie pour le rang n + 1. Puisqu elle est vraie pour le rang 0, elle est vraie pour tout entier naturel n. Petit Théorème de Fermat : Soit n un entier. Si p est un nombre premier ne divisant pas n, alors n p-1 1 [p]. En effet, d après le théorème précédent, n p n est congru à 0 modulo p, d où p divise n p n, c'est-à-dire n(n p-1 1). Or, p et n sont premiers entre eux, donc le théorème de Gauss montre que p divise n p-1 1 et alors : n p [p] soit n p-1 1 [p]. 4

5 Point Info Le théorème ci-dessus a été énoncé pour la première fois par Fermat sans démonstration en dans une correspondance à Frénicle de Bessy. On n a pas trouvé sa démonstration, mais nul ne doute qu il l ait établie. On appelle ce résultat Petit théorème de Fermat par opposition au Grand théorème de Fermat («Lorsque n 3, l équation x n + y n = z n, n admet aucun triplet de solutions entières strictement positives.») qui formulé par Fermat en n a, lui, été démontré qu en par le mathématicien anglais Andrew Wiles. Exemple : est divisible par En effet, est premier, et 2 n est pas un multiple de Le petit théorème de Fermat nous permet d affirmer ce résultat alors que bien des calculatrices sont incapables de nous donner la valeur de