Espaces vectoriels de dimension finie

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1 Espaces vectoriels de dimension finie 1.1) Famille génératrice (rappel) Exemple 1 On considère par exemple l'espace vectoriel R² et les vecteurs 1,1, 1, et,3. Soit un élément quelconque de R²,,. Peut-on trouver trois réels,, tels que. Si c'est possible, on aura, 1,1 1,,3, 3 On est ramené à la résolution d'un système de deux équations à trois inconnues : 3 En appliquant la méthode du pivot de Gauss, on obtient par : 3 Soit 3 On obtient un système triangulaire en et dont on sait qu'il a une infinité de solutions paramètrées par l'inconnue secondaire. Pour 0 par exemple, on aura : 3 Donc et donc On peut écrire Si l'on prend par exemple, on trouve 3 donc et donc 3 On aura Tout vecteur de R² peut donc s'écrire comme combinaison linéaire des vecteurs, et. Donc la famille,, est une famille génératrice de R². Montrer qu'une famille est génératrice revient à montrer qu'un système a des solutions. Il peut y avoir une solution ou une infinité de solutions. Exemple Considérons par exemple les vecteurs et avec toujours 1,1, 1,. Ces deux vecteurs constituent-ils encore une famille génératrice de R²? On reprend la même démarche que précédemment. Soit, un élément de R². Peut-on toujours trouver deux réels et tels que? On écrit, 1,1 1,, On aura à résoudre le système :

2 Ce système s'écrit matriciellement Soit 1 1. Si est inversible, alors on pourra écrire : 1 On a évidemment ~ Donc la matrice est inversible. Quels que soient les réels et, on trouvera un unique couple de réels, tels que On aura en pratique : Donc 3 3 Exemple 3 Prenons un autre exemple dans R³. On considère les vecteurs 1,,1, 3,,0 et 1,6,. Ces trois vecteurs constituent-ils une famille génératrice de R³? Soit,, un vecteur quelconque de R³. Existe t'il pour n'importe quel triplet,, trois nombres réels, et tels que Ou autrement dit,, 1,,1 3,,0 1,6, Ce qui revient à,, 3, 6, 3 On est ramené au système 6 Système qui a pour forme matricielle : La matrice 6 est-elle inversible? 1 On a évidemment ~ ~ On obtient une matrice triangulaire non inversible. Nous n avons plus la garanti de l existence de solution, ni bien entendu de leur éventuelle unicité. Du coup, nous n'avons pas pu répondre à la question.

3 3 Revenons au système initial : 6 On le transforme par le pivot de Gauss avec les mêmes opérations que celles effectuées sur la matrice. On a On remarque que la troisième condition n'est pas toujours remplie. Par exemple si l'on prend 1, 1, on obtient Ce qui signifie qu'il existe des triplets,, pour lesquels le système est impossible. On ne pourra pas trouver pour ces triplets,, des nombres réels, et tels que ₁ ₂ ₃ La famille,, n'est donc pas génératrice dans R³. Par contre nous savons qu'elle engendre un sev de R³. Les éléments de R³ qui appartiennent à ce sev s'écrivent ₁ ₂ ₃. Autrement dit si,,, on aura nécessairement : On dit que égalité est une équation de ce sev. 3 Si cette équation est remplie, on peut écrire Donc Ou encore Il y a plus d'inconnues que d'équations. On paramètre le système par rapport à une inconnue secondaire Ce qui donne : Et donc Ce système admet une infinité de solutions.

4 Reprenons l'équation de ce sev que l'on nommera. Un vecteur de coordonnées,, appartient à si et seulement si on a 3 8 0, ou autrement dit On peut donc écrire :,, 3 4,, 3, 1,0 4,0,1 Le vecteur,, s'écrit comme combinaison linéaire de deux vecteurs 3, 1,0 et 4,0,1 On a donc ₁ ₂ Deux vecteurs suffisent à engendrer le sev. Est-ce qu'un seul vecteur suffirait? Supposons que ce soit le cas. Nommons ce vecteur et appelons,, ses coordonnées. On devrait avoir pour tout On dit que est colinéaire à. Mais comme ₁ et ₂ sont dans, on trouverait donc deux réels ₁ et ₂ tels que ₁ ₁ et ₂ ₂ On ne peut pas avoir ni ₁ ni ₂ nuls sinon ₁ et ₂ le seraient aussi. Donc on a Ce qui donne Peut-on trouver un tel réel λ? Si ce nombre réel existe, on aura On voit bien que cette égalité est impossible. Un seul vecteur ne suffit donc pas. 1 ₁ 1 ₂ ₁ ₂ ₂ 3, 1,0 4,0,1 4, 0, 1.) Base DEFINITION On considère une famille génératrice,..., d'un espace vectoriel. On sait qu'un vecteur quelconque de s'écrit sous la forme... Si cette écriture est unique, on dit que la famille,..., est une base de. Conséquence immédiate : Si,..., est une base, alors on a

5 Bien entendu dans l'autre sens l'implication est également vraie. Cas particulier En effet, on a toujours L'unicité permet de conclure. 0, Remarque : Le vecteur nul ne peut pas faire partie d'une base, ou autrement dit toute famille contenant le vecteur nul n'est pas une base. En effet l égalité n'implique pas que tous les coefficients soient nuls puisque cette égalité reste vraie pour n importe quel nombre λ. Un résultat fondamental Toute famille contenant deux vecteurs colinéaires n'est pas une base. Plus généralement, toute famille contenant un vecteur qui s'écrit comme combinaison linéaire d'un certain nombre d'autres vecteurs de la famille n'est pas une base. Montrons ce résultat. Considérons une famille de vecteurs,,..., telles que par exemple s'écrivent comme combinaison de vecteurs de cette famille : tous les vecteurs de jusqu'à 1. On aura donc en particulier... Le vecteur est donc égal à 0 sans que tous les coefficients ne soient nuls. Ce qui montre que la famille n'est pas une base. 1.3) Dimension d'un espace vectoriel On considère un ev dont la famille,..., est une base de. On considère une autre base de :,...,. Supposons, par exemple. Nous ferons l étude sur un cas particulier : 3 et. On exprime ₁, ₂ et ₃ dans la base ₁, ₂. ₁ n'est pas le vecteur nul. Donc on est sûr que soit ₁, soit ₂ n'est pas nul. Posons par exemple ₁ 0 On peut écrire alors 1 Et donc en remplaçant dans les deux autres égalités :

6 Ce qui donne Ou encore Ce qui donne enfin : On ne peut pas avoir En effet, si c'était le cas, on aurait Et comme ₁ 0, on aurait 0 0 E Les deux vecteurs ₁ et ₂ seraient colinéaires, ce qui est contradictoire avec le fait que la famille ₁, ₂, ₃ soit une base. On aura donc 1 On raisonne de même avec l'autre égalité. On obtient : Donc ₁₃ ₁₁ ₁₂ ₂₁₂ Pour les mêmes raisons que précédemment, on a nécessairement ₁₂ ₂₁ 0 sinon les vecteurs ₃ et ₁ seraient colinéaires. On a donc 1 ₂ ₁₃ ₁₁ On en tire : Et donc Donc 1 1 ₁₃ ₁₁ ₁₂ ₂₁₁₂ ₁₁ ₁₂ ₁₂₁₃ ₁₁ 0 ₁₂ ₂₁₁ ₁₂ ₁₂₁₁ ₁₂ ₂₁₁₂ ₁₂ ₁₂₁₃ 0 0 Comme ₁, ₂, ₃ est une base, on doit avoir 0 0 Or nous savons que les deux dernières égalités sont fausses. Nous aboutissons à une contradiction. Donc il n'est pas possible d'avoir des bases de dimensions différentes. La démonstration générale suit la même démarche : on exprime les vecteurs de la base contenant le "plus grand nombre de vecteurs" dans l'autre base, puis on en tire les vecteurs de la base ayant le "moins de vecteurs" dans l'autre base. Comme l'on a plus d'équations que d'inconnues, il indispensable que certaines égalités entre vecteurs de la première base soient vérifiées. Or ces

7 égalités conduisent toutes à considérer que certaines combinaisons linéaires des vecteurs de cette base donnent le vecteur nul sans que leurs coefficients ne soient nuls. Ce qui rend absurde l'hypothèse de nombre différent de vecteurs entre les deux bases. On a donc le résultat suivant. Soit E un espace vectoriel dont on sait qu'une famille,..., est une base. Alors toutes les bases de E ont exactement vecteurs. On dit que E est de dimension. DEFINITION La dimension d'un ev est donc le nombre de vecteurs de toutes ses bases (ou de n'importe laquelle d'entre elles). 1.4) La dimension de Rⁿ. Bases canoniques Le cas de R Tout élément,, de R³ s'écrit sous la forme :,, 1,0,0 0,1,0 0,0,1 Si l'on pose ₁ 1,0,0 ₂ 0,1,0 ₃ 0,0,1 On a pour tout,, ₁ ₂ ₃ La famille ₁, ₂, ₃ est donc une famille génératrice de R³. De plus la décomposition d'un vecteur dans cette famille est unique. Supposons en effet qu'un vecteur de R³ s'écrive à la fois ₁ ₂ ₃ et ₁ ₂ ₃ On aura évidemment,, et,, Ce qui donne,,,, Et d'après l'égalité définie sur R³ On en conclut de la famille ₁, ₂, ₃ est une base de R³, et donc que dimr 3 Cas général De façon générale si est un entier non nul, il est facile de vérifier que la famille ₁, ₂,..., de Rⁿ définie par ₁ 1,0,...,0 ₂ 0,1,...,0 0,0,...,1 est une base de Rⁿ. D'où le résultat :

8 Pour tout entier 0, on a : dimrⁿ DEFINITION La famille ₁,..., de vecteurs de Rⁿ construits comme précédemment est une base de Rⁿ appelée base canonique de Rⁿ 1.5) D'autres bases canoniques a) Les matrices Prenons par exemple l'ensemble M, R. Toute matrice de cet ensemble dont il est facile de vérifier qu'il est un espace vectoriel sur R est de la forme On peut alors écrire Avec , 0 0, 1 0, 0 1, 0 0, La famille ₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆ est une famille génératrice de M, R. D'après la définition de l'égalité de deux matrices, il est évident que la décomposition est unique dans cette famille. Il s'agit donc d'une base de M, R. Donc dim M, R 6 3 De façon générale on démontre de même façon que Les polynômes dim M, R On considère l'ensemble R₃[X], ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 3. On sait que cet ensemble est un ev sur R. Tout polynôme P de R₃[X] s'écrit pour tout R sous la forme ³ ² On considère les polynômes suivants dans R₃[X] ₃ ³ ₂ ² ₁ ₀ 1 On a évidemment pour tout R, ₃ ₂ ₁ ₀ Et donc ₃ ₂ ₁ ₀ La famille ₃, ₂, ₁, ₀ est une famille génératrice de R₃[X].

9 Montrons que la décomposition d'un polynôme dans cette famille est unique. Ce qui revient à démontrer que si,,, sont des réels tels que ₃ ₂ ₁ ₀ soit le polynôme nul alors on aura 0 Dire que ₃ ₂ ₁ ₀ est le polynôme nul, c'est dire que R, ₃ ₂ ₁ ₀ 0 ou, autrement dit : R, ³ ² 0 Une équation du troisième degré ayant au plus 3 solutions si ses coefficients ne sont pas tous nuls, cette égalité est vraie pour tout réel si et seulement si les quatre coefficients sont nuls, c'est-à-dire si et seulement si 0 On peut donc dire que la famille ₃, ₂, ₁, ₀ est une base de R₃[X]. On a donc dimr [] 4 On généralise de la même façon à R []. On aura dimr [] 1 La famille,,..., ₁, ₀ définie par, est la base canonique de R []. On note souvent l application sous la forme. On a alors : R, Une conséquence importante: Cette propriété justifie le procédé d'identification deux polynômes de même degré sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux Une autre conséquence est le fait que si l'on considère un polynôme quelconque de degré 3, par exemple ³ ² et que l'on se pose la question: Ce polynôme peut-il toujours s'écrire sous la forme 1³ 1² 1 La réponse est "oui", car on démontre que la famille ₃ 1³ ₂ 1² ₁ 1 ₀ 1 est aussi une base de R₃[X]. La démonstration utilisera l'écriture matricielle. Nous verrons cette démarche plus loin. 1.6) Famille libre DEFINITION Soit ₁,..., une famille de vecteurs d'un ev. On dit que cette famille est libre si l égalité ₁₁... 0 dans laquelle,, sont des nombres réels, implique nécessairement que tous ces nombres sont nuls, c est-à-dire ₁ ₂... 0 On a donc le théorème suivant :

10 Une base est à la fois une famille libre et génératrice. Si une famille n'est pas génératrice, ce n'est pas une base. Si une famille n'est pas libre, ce n'est pas non plus une base. En effet si une famille n'est pas libre, alors l'égalité ₁₁... 0 est remplie par des réels ₁,..., non tous nuls. Ce qui prouve que le vecteur nul a deux décompositions différentes puisque on a toujours DEFINITION Une famille qui n'est pas libre est appelée famille liée. Dire qu'une famille ₁,..., est liée c'est dire qu'il existe aux moins réels non tous nuls ₁,..., tels que ₁₁ C'est donc dire qu'il existe au moins un vecteur de la famille qui s'exprime comme combinaison linéaire des autres. Remarque importante Soit un vecteur non nul de. Alors la famille est libre. En effet l'égalité 0 implique bien ) Taille d'une famille génératrice Soit un espace vectoriel de dimension. Soit ₁,..., une famille génératrice de. Montrons que. Pour effectuer cette démonstration, on suppose que et l'on démontre que l'on aboutit à une contradiction. On sait que la famille ₁,..., ne peut pas être une base de puisque. Or c'est une famille génératrice, donc ce ne peut pas être une famille libre. Il existe donc des réels ₁,..., non tous nuls, tels que ₁₁ ₂₂... 0 On peut toujours supposer que ₁ 0 quitte à renommer les vecteurs. On aura donc 1 Soit un vecteur de. Comme ₁,..., est une famille génératrice de E, il existe nombres réels ₁,..., tels que ₁₁ ₂₂... On a donc 1 Donc u s'écrit comme combinaison linéaire des vecteurs,...,. Donc,..., est une famille génératrice de.

11 On se retrouve donc dans la même situation que précédemment mais avec 1 vecteurs. La famille ₂,..., n'est pas une base puisque 1, donc elle n'est pas libre puisqu'elle est génératrice. Elle est donc liée. On pourra exprimer un vecteur de la famille comme combinaison linéaire de tous les autres et on montre alors comme précédemment que la famille obtenue en éliminant ce vecteur est encore génératrice. Par une récurrence descendante, on aboutit ainsi à une famille génératrice d'un seul vecteur, qui ne peut pas être égal à 0 Mais un seul vecteur non nul constitue une famille libre. Et donc puisque la famille est génératrice, c'est une base. Ce qui est en contradiction avec les hypothèses. L'hypothèse conduit donc à une absurdité. On peut en conclure le théorème suivant : Soit E un ev de dimension. Toute famille génératrice de E contient au moins vecteurs. Que se passe-t-il quand une famille génératrice contient exactement n vecteurs? Supposons qu'une telle famille ne soit pas libre. Elle serait donc liée. Un des vecteurs de la famille s'écrit alors comme combinaison linéaire des autres vecteurs. Par un raisonnement analogue au précédent, on montre alors que la famille obtenue en supprimant ce vecteur reste génératrice, et on aurait donc une famille génératrice de 1 vecteurs, ce qui est contradictoire avec le théorème précédent. On peut donc affirmer le théorème suivant : Soit E un ev de dimension. Toute famille génératrice de E qui contient vecteurs est une base de E Conséquences : Soit E un ev de dimension : 1. Toute famille de moins de vecteurs n'est pas génératrice et donc n'est pas une base.. Toute famille génératrice de vecteurs est une base. 3. Toute famille génératrice de plus de vecteurs n'est pas une base et donc est liée. Mais attention comme nous l'avons vu au deuxième exemple du 1.1, une famille peut avoir vecteurs sans être génératrice. 1.8) Taille d'une famille libre On se place toujours dans le cadre d'un ev de dimension. On considère une famille libre ₁,..., de E. On va montrer que le nombre de vecteurs de cette famille est nécessairement inférieur ou égal à. On suppose que et l on démontre que l on aboutit à une contradiction. Nous n'examinerons cette question que dans un cas particulier. On prend par exemple 3 et 4. Soit donc ₁, ₂, ₃ une base de E et ₁, ₂, ₃, ₄ une famille de E. On aura ₁ ₁₁ ₂₂ ₃₃ ₂ ₁₁ ₂₂ ₃₃ ₃ ₁₁ ₂₂ ₃₃ ₄ ₁₁ ₂₂ ₃₃

12 Soit ₁, ₂, ₃, ₄ quatre réels tels que ₁₁ ₂₂ ₃₃ ₄₄ 0 On aura 0 Ce qui donne 0 La famille ₁, ₂, ₃ étant une base, elle est libre donc : ₁₁ ₂₁ ₃₁ ₄₁ 0 ₁₂ ₂₂ ₃₂ ₄₂ 0 ₁₃ ₂₃ ₃₃ ₄₃ 0 Nous avons un système de trois équations à quatre inconnues en λ₁,λ₂,λ₃,λ₄. Ce système admet le quadruplet 0,0,0,0 comme solution évidente. Un système comprenant plus d'inconnues que d'équations admet toujours soit aucune, soit une infinité de solutions. Dans tous les cas, il ne peut admettre une unique solution, donc ici il existe d'autres réels autre que 0,0,0,0 tels que ₁₁ ₂₂ ₃₃ ₄₄ 0. La famille de quatre vecteurs ne peut pas être libre. Bien entendu pour la même raison et plus encore une famille contenant plus de quatre vecteurs sera a fortiori non libre. De façon générale, si la dimension de l'ev est, une famille contenant plus de vecteurs ne pourra pas être libre. Si E est un espace vectoriel de dimension, toute famille libre de E contient au plus vecteurs. On a comme conséquence immédiate : Toute famille de plus de vecteurs est liée. Si l'on se donne par exemple quatre vecteurs de R³, on est sûr que l'un de ces quatre vecteurs est combinaison linéaire des autres. Que se passe-t-il dans le cas d'une famille libre d'exactement vecteurs? On se place dans le cas de la dimension 3. La démonstration se généralise assez simplement à la dimension. On considère une base ₁, ₂, ₃ et une famille libre ₁, ₂, ₃. On a ₁ ₁₁ ₂₂ ₃₃ ₂ ₁₁ ₂₂ ₃₃ ₃ ₁₁ ₂₂ ₃₃ Soit un vecteur de E tel que ₁ ₂ ₃ On veut montrer que la famille ₁, ₂, ₃ est aussi génératrice. Cela revient à chercher trois nombres réels λ₁,λ₂,λ₃ tels qu'on puisse écrire ₁₁ ₂₂ ₃₃ En remplaçant ₁, ₂ et ₃, on obtient :

13 ₁₁ ₂₁ ₃₁₁ ₁₂ ₂₂ ₃₂₂ ₁₃ ₂₃ ₃₃₃ Or ₁ ₂ ₃. On est donc ramené à résoudre le système d'inconnues ₁, ₂, ₃ Nous savons qu'un tel système est un système de Cramer si et seulement si le système homogène associé l'est aussi : Ce qui revient à dire que ce système admet comme unique solution le triplet 0,0,0. Or ce système est équivalent en remontant en arrière à l'équation vectorielle ₁₁ ₂₂ ₃₃ 0 dont on sait puisque la famille est libre qu'elle admet 0,0,0 comme unique solution. On peut donc dire que le système est un système de Cramer ainsi que le premier. Ce qui prouve que la famille ₁, ₂, ₃ est génératrice. C'est une base de E. Toute famille libre de vecteurs dans un ev de dimension est une base de cet espace vectoriel. En conclusion, quand on connaît la dimension d'un ev, il suffit de démontrer qu'une famille contenant le même nombre de vecteurs que cette famille est libre, ou bien est génératrice pour être sûr qu'il s'agit d'une base. 1.9) Dimension d'un sev En général, on ne connaît pas la dimension d'un sev d'un espace vectoriel donné. Un sev peut avoir une dimension finie sans que ce soit le cas pour l'espace qui le contient. On a un premier théorème de bon sens : Soit E un ev de dimension et F un sev de E, alors dim dim Si F est réduit au vecteur nul 0, alors sa dimension est 0 par convention. Si ce n'est pas le cas, F contient au moins un vecteur non nul, ₁. Ce vecteur constitue une famille libre. S'il est aussi une famille génératrice alors c'est une base et donc la dimension de F est 1. Si ce n'est pas une famille génératrice de F, il existe un vecteur ₂ de F qui ne soit pas colinéaire à ₁, et donc la famille ₁, ₂ est une famille libre de F. Encore une fois, soit elle est génératrice, soit elle ne l'est pas. Si elle ne l'est pas on pourra trouver un vecteur ₃ qui ne soit pas combinaison linéaire de ₁ et de ₂. La famille ₁, ₂, ₃ sera une famille libre de F. Et ainsi de suite. Si au bout de opérations, on aboutit encore à une famille libre de vecteurs de F, alors cette famille est aussi une famille libre de vecteurs de E, donc c'est une base de E. C'est donc une famille génératrice de E, et donc a fortiori de F, donc c'est une base de F. Remarquons qu'en appliquant la même méthode on démontre les résultats suivants :

14 Soient ₁ et ₂ deux sev d'un même espace E, on a : ₁ ₂ dim dim₂ la réciproque est bien sûr fausse Si et dim dim alors Souvent on connaît un sev par une équation, ou des équations, ou une famille génératrice. Comment en connaître la dimension? 3 0 Prenons par exemple le sev F de R⁴ défini par le système d'équations 0 On cherche un système équivalent par la méthode du pivot de Gauss. En faisant, on trouve : On a un système triangulaire en et en prenant et comme inconnues secondaires. On a On en tire Un vecteur,,, appartient à si et seulement si on peut l écrire sous la forme 4 3, 5 5,, Ou autrement dit 4,5,1,0 3, 5,0,1 On pose ₁ 4,5,1,0 et ₂ 3, 5,0,1 On a ₁ ₂ La famille ₁, ₂ est une famille génératrice de F. Est-ce une famille libre? Oui car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Donc ₁, ₂ est une base de F. F est de dimension. 1.10) Caractérisation matricielle des bases On a le théorème suivant : Si E est un ev de dimension rapporté à une base ₁,..., et si ₁,..., est une famille de vecteurs de E, est une base de E si et seulement si la matrice des coordonnées des vecteurs-colonnes de dans la base B est inversible. DEFINITION Cette matrice est notée. On se place ici en dimension 3. En reprenant les notations du 1.8, on a vu que montrer que est une base de E c'est montrer que le 0 système 0 est un système de Cramer et donc que la matrice 0

15 ₁ ₁ ₁ ₂ ₂ ₂ ₃ ₃ ₃ est inversible. Ce résultat se généralise à toutes les dimensions. Conséquence importante : Une matrice carrée est non inversible si et seulement si un des vecteurs colonnes est combinaison linéaire des autres. 3 5 Exemple : la matrice 1 1 est non inversible car